Integral de Riemann

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INTEGRAL DE RIEMANN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTEGRAL DE RIEMANN 
1.1 Conceito e exemplos: 
A integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira 
definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Ela pode ser 
do tipo definida ou indefinida. 
Integral Definida vem do fato que a integral está restrita a um intervalo. 
Assim se temos uma função f(x) e aplicarmos a integral definida em [a,b] 
obteremos um valor que não depende mais de x. Este valor encontrado é 
a Área que está limitada entre a função f(x), o eixo x e as retas x=a e x=b, 
como na figura. 
 
Definição: Se a função f(x) for contínua em [a,b], onde este intervalo seja dividido 
em n partes iguais de comprimento e tomarmos para cada i-ésimo 
intervalo um , i=1,…,n, a integral definida de f(x) em [a,b] é dada por 
, 
se este limite existir. 
Exemplo: Encontre a área sob a função f(x)=sen(x) no intervalo . 
Observe que o exemplo nos pede que calculemos a área localizada entre 
a curva, o eixo e no intervalo indicado, assim utilizaremos a Integral Definida. 
. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
O primeiro passo é encontrar a integral e deixar indicado o intervalo de 
integração. Perceba que podemos integrar direto, sem uso de outro artificio, pois 
temos uma integral imediata 
. 
O passo seguinte é aplicarmos o intervalo de integração, que consiste em aplicar 
o intervalo superior na função encontrada menos o intervalo inferior também 
aplicado na função encontrada 
 
 
Logo, 
. 
Gráfico da função: 
 
 
 
 
A integral indefinida é a operação inversa da diferenciação (derivação) 
que também é chamada antidiferenciação, e a função obtida por esse processo 
é chamada antiderivada. Assim, temos a seguinte definição: “Uma função F é 
uma antiderivada de f em um intervalo I se F’(x) = f(x) para todo x em I”. 
Assim se temos a função derivada, f'(x), com a antiderivada encontraremos a 
função originária f. Por exemplo, se temos a função derivada 
, 
uma função originária, ou seja, uma função antes de derivar, para 
esta função derivada pode ser 
. 
Perceba se escrevemos uma função originária pode ser, isto é, a antiderivada 
não é única, por exemplo, no caso anterior, para qualquer constante C, a função 
 
é uma antiderivada. Chamamos o processo de encontrar a família das 
antiderivadas de antidiferenciação ou também de integração, e é definido pelo 
símbolo que assemelha um “S esticado”, por exemplo, no caso anterior 
 
onde é o símbolo de integração, é o integrando, é o diferencial que 
identificar a variável de integração e é a antiderivada. 
Exemplo 4.2 - Se F(x) = 4x3 + x2 + 5, então, F’(x) = 12x2 + 2x . Assim, se 
f é a função definida por f(x) = 12x2 + 2x, então, F é uma antiderivada de f . De 
modo geral, se C uma constante arbitrária, então, 4x3 + x2 + C é uma 
antiderivada de 12x2 + 2x, pois: 
 
d (4x3 + x2 + C)
dx
= 12𝑥2 + 2𝑥 = 𝑓(𝑥). 
A notação: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪, 
onde F’(x) = f(x) e C é uma constante arbitrária, denota a família de todas as 
antiderivadas de f(x) em um intervalo I. 
 
 
 
 
 
1.2- Propriedades da Integral de Riemann 
Estas propriedades/regras facilitam a resolução dos exercícios, pois 
muitas vezes simplificam as integrais. As primeiras três propriedades valem 
tanto para Integrais Definidas como para Indefinidas. 
1.2.1 Regra da multiplicação por uma constante 
Seja integrável e uma constante. Esta constante pode ser inserida ou 
extraída do integrando, ou seja, 
 
Observação: Para integrais definidas, se integrável no 
intervalo temos 
 
Exemplo: Integre as seguintes funções: 
a) ∫ dx 
∫dx= ∫1dx= 1∫ dx= x+ C ; 
b) ∫ 2xdx 
∫2xdx=2 ∫xdx= 2 
1.2.2 Regra da Soma 
Sejam e integráveis. A integral da soma é igual à soma das integrais, 
ou seja, 
. 
Para integrais definidas, se e integráveis no intervalo temos 
. 
Exemplo: 
a) ∫ (3x+ 5) dx ; 
∫ (3x+ 5)dx= ∫ 3xdx + ∫ 5dx 
= 3 ∫ xdx +5∫ dx 
=3/2 x² + 5x + C 
1.2.3 Regra da Diferença 
Sejam e integráveis. A integral da diferença é igual a diferença das 
integrais, ou seja, 
. 
Para integrais definidas, se e integráveis no intervalo temos 
. 
Exemplo: 
1.2.4 Regra da Potência 
 
Exemplo: a) 2∫ x² dx 
Solução: ∫x²dx=x³/3 + C 
1.2.5 Regra da Constante 
 ∫ Kdx= kx + C , para K qualquer constante real. 
De fato , logo, Kx + C representa uma família antiderivadas de 
f(x)= K. 
Exemplo: ∫ 5dx 
Solução: ∫5 dx= 5x+ C= 5x+C 
 
1.2.6 Regra do Logaritmo 
 
Observe que esse é um caso particular da regra da potência para n = -1, logo, 
podemos escrever: 
 
Exemplo: Integre a função: 
 
Solução 
 
1.2.7 Regra da Exponencial 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A 
Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications.