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Prefeitura Municipal de Limeira/SP Auxiliar de Serviços Gerais Matemática Sequências Lógicas envolvendo números, letras e figuras. .......................................................................................... 1 Geometria básica. ................................................................................................................................................................. 1 Conjuntos numéricos. ....................................................................................................................................................... 15 Equações do 1º e 2º graus. .............................................................................................................................................. 15 Sistemas de equações. ...................................................................................................................................................... 18 Criptografia......................................................................................................................................................................... 21 Conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença. ............................................................................................................................................................................ 30 Comparações. ..................................................................................................................................................................... 34 Numeração. ........................................................................................................................................................................ 47 Números e grandezas proporcionais, razões e proporções ...................................................................................... 60 Regra de três simples e composta; ................................................................................................................................. 62 Porcentagem; Juros simples - juros, capital, tempo, taxas e montante; .................................................................. 67 Média Aritmética simples e ponderada;........................................................................................................................ 70 Conjunto de Números Reais e Conjunto de Números Racionais; ............................................................................. 73 Problemas envolvendo os itens do programa; ............................................................................................................. 77 Porcentagem e juros simples. ......................................................................................................................................... 77 Língua Portuguesa Leitura e Interpretação de texto. ...................................................................................................................................... 1 Concordância Verbal. Concordância Nominal. ............................................................................................................... 3 Regência Verbal. .................................................................................................................................................................. 6 Orações Coordenadas. Orações Subordinadas. .............................................................................................................. 6 Colocação Pronominal: Próclise, Ênclise e Mesóclise. ............................................................................................... 11 Locuções verbais. ............................................................................................................................................................. 12 Crase. .................................................................................................................................................................................. 12 Verbos. ................................................................................................................................................................................ 14 Pontuação. ......................................................................................................................................................................... 14 Sintaxe de Regência. ......................................................................................................................................................... 19 Figuras de Linguagem....................................................................................................................................................... 34 Classes de Palavras. ......................................................................................................................................................... 27 Termos da Oração. ........................................................................................................................................................... 48 Ortografia. .......................................................................................................................................................................... 55 Processos de formação de palavras. ............................................................................................................................. 63 Encontros Vocálicos, Consonantais e dígrafos. ............................................................................................................ 65 Acentuação Gráfica. .......................................................................................................................................................... 66 Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Atualidades Questões relacionadas a fatos políticos, econômicos, sociais e culturais relacionados ao município e do estado, ocorridos a partir do primeiro semestre de 2019, divulgados na mídia local. ......................................................... 1 Conhecimentos Específicos Normas de segurança individual, coletiva e de instalação; .......................................................................................... 1 Conhecimentos de cidadania e consciência ecológica; ............................................................................................... 21 Primeiros socorros e higiene do trabalho; ................................................................................................................... 28 Uso adequado de ferramentas e equipamentos; ......................................................................................................... 37 Organização do ambiente de trabalho; .......................................................................................................................... 37 Relacionamento Interpessoal; ........................................................................................................................................ 38 Práticas de limpeza e conservação de prédios e espaços públicos; ......................................................................... 42 Ética e disciplina no funcionalismo público; ................................................................................................................ 46 Atendimento ao público interno e externo. .................................................................................................................. 50 Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802- Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br A Apostilas Opção não está vinculada as organizadoras de Concurso Público. A aquisição do material não garante sua inscrição ou ingresso na carreira pública. Sua Apostila aborda os tópicos do Edital de forma prática e esquematizada. Alterações e Retificações após a divulgação do Edital estarão disponíveis em Nosso Site na Versão Digital. Dúvidas sobre matérias podem ser enviadas através do site: https://www.apostilasopcao.com.br/contatos.php, com retorno do Professor no prazo de até 05 dias úteis. PIRATARIA É CRIME: É proibida a reprodução total ou parcial desta apostila, de acordo com o Artigo 184 do Código Penal. Apostilas Opção, a Opção certa para a sua realização. AVISO IMPORTANTE Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Aqui você vai saber tudo sobre o Conteúdo Extra Online Para acessar o Conteúdo Extra Online (vídeoaulas, testes e dicas) digite em seu navegador: www.apostilasopcao.com.br/extra O Conteúdo Extra Online é apenas um material de apoio complementar aos seus estudos. O Conteúdo Extra Online não é elaborado de acordo com Edital da sua Apostila. O Conteúdo Extra Online foi tirado de diversas fontes da internet e não foi revisado. A Apostilas Opção não se responsabiliza pelo Conteúdo Extra Online. CONTEÚDO EXTRA Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br MATEMÁTICA Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 1 Caro(a) Candidato(a) este tópico será estudado em “Numeração.” PONTO – RETA E PLANO Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não têm definição e nem dimensão (tamanho). Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. Exemplo: . A (ponto A). Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto ou dois pontos por onde esta reta passa. Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,....). Exemplo: Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de semiplano. Observe a figura: Partes de uma reta Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: - Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. - Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS - Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. - Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. - Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum. - Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos de 90º ou seja ângulos retos. Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. Vamos observar a figura abaixo: Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) Sequências Lógicas envolvendo números, letras e figuras. Geometria básica. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 2 A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° Ângulos colaterais externos: A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) Ângulos alternos externos: Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na região interna e o outro na região externa. Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) Questões 01. Na figura abaixo, o valor de x é: (A) 10° (B) 20° (C) 30° (D) 40° (E) 50° 02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: (A) 32° (B) 32° 30’ (C) 33° (D) 33° 30’ (E) 34° Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 3 03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: (A) 20° (B) 30° (C) 40° (D) 50° (E) 60° Respostas 01. Resposta: E. Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. x + 2x + 30° = 180° 3x = 180°- 30° 3x = 150° x = 150° : 3 x = 50° 02. Resposta: B. Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, então: 2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 x = 32° 30’ 03. Resposta: C. Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° ÂNGULOS Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. Elementos de um ângulo: - LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . -VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. Ângulo Central: - Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes a ela.Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. Ângulo Raso: - É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semirretas opostas. Ângulo Reto: - É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90 0 . Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 4 Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360 0 . Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. Então, se x e y são dois ângulos, temos: - se x + y = 90° → x e y são Complementares. - se x + y = 180° → e y são Suplementares. - se x + y = 360° → x e y são Replementares. Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. - Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. - Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. Unidades de medida de ângulos: Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado. Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau. - o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). Questões 01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: a) b) 02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: a) b) c) d) Respostas 01. Respostas: a) 55˚ b) 74˚ Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 5 02. Resposta: 130. Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. Logo, î = 80° + 50° = 130°. 03. Respostas: a) 160° - 3x = x + 100° 160° - 100° = x + 3x → 60° = 4x x = 60°/4 → x = 15° Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 6x + 2x = 180° -15° - 5° → 8x = 160° → x = 160°/8 x = 20° Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° c) Sabemos que a figura tem 90°. Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 4x + 50° = 90° → 4x = 40° → x = 40°/4 → x = 10° d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. Então, 138° + x = 180° → x = 180° - 138° → x = 42° Logo, o ângulo x mede 42°. PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. Exemplo: Perímetros de algumas das figuras planas: Área: é a medida da superfície de uma figura plana. A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um quadrado que tem 1 m de lado. Fórmulas de área das principais figuras planas: 1. Retângulo Sendo b a base e h a altura: 2. Paralelogramo Sendo b a base e h a altura: 3. Trapézio Sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 4. Losango Sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 5. Quadrado Sendo l o lado: 6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. I) sendo dados a base b e a altura h: II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 6 IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): V) circunferência inscrita: Onde p é o semiperímetro e r é o raio. VI) circunferência circunscrita: Questões 01. (Pref. de Itapevi/SP – Sepultador – VUNESP/2019) Ricardo irá instalar cerca elétrica em toda a volta do condomínio Boa Vida, que possui as seguintes medidas: A cerca elétrica que será instalada possui três fios. O comprimento total de fios, em metros, que Ricardo utilizará no condomínio Boa Vida é de, pelo menos, (A) 800. (B) 1000. (C) 1100. (D) 1200. (E) 1500. 02. (UNICAMP – Pedagogo – VUNESP/2019) Na figura ABCD e AQBP são quadrados. O ponto P é o centro do quadrado ABCD. O perímetro do quadrado ABCD é de 40 cm. Nesse caso, o perímetro do triângulo AQB, em cm, é: (A) 75 (B) 25√2 (C) 50 (D) 10 + 5√2 (E) 10 + 10√2 03. Câm. De Piracicaba/SP – Agente Legislativo – VUNESP/2019) Um centro de reciclagem de produtos eletrônicos está procurando um local para armazenamento e separação desse material. Os responsáveis por esse centro encontraram quatro possíveis locais para servir de depósito, cujas áreas úteis estão representadas a seguir, com as dimensões dadas em metros. Após alguns estudos, esses responsáveis decidiram optar por um espaço que tenha área útil maior do que 1000 m2. Nesse caso, eles poderão ficar com os locais (A) I ou II. (B) I ou IV. (C) II ou III. (D) II ou IV. (E) III ou IV. 04. (Pref. de Sapucaia do Sul/RS – Professor – FUNDATEC/2019) Considere o quadrado ABCD de centro O representado na figura a seguir: Se OB = 3√2, então a área do quadrado ABCD será: (A) 10. (B) 12. (C) 24. (D) 30. (E) 36. 05. Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: (A) o arame é cortado em duas partes iguais. (B) uma parte é o dobro da outra. (C) uma parte é o triplo da outra. (D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 06. Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 7 Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-se que a área total desse terreno é, em m², igual a: (A) 2 400. (B) 2 600. (C) 2 800. (D) 3000. (E) 3 200. Comentários 01. Resposta: D Ele quer 3 voltas de fios no terreno todo, sendo assim, devemos encontrar o perímetro do retângulo e multiplicar por 3 para obter a metragem de fios necessárias. P = 110 + 90 + 110 + 90 = 400m Como são 3 voltas: 3x400= 1200m 02. Resposta: E Para descobrir o perímetro do triângulo AQB, devemos encontrar os valores de seus lados. Como o perímetro do quadrado ABCD é 40cm, podemos encontrar o valor de cada um de seus lados, que será 10cm, pois os 4 lados são iguais, desta forma já encontramos um dos lados do triângulo AQB, temos o valor de AB = 10cm. Observe que AQBP é um quadrado, então se descobrir um dos lados, consequentemente teremos todos, mas AP é metade da diagonal do quadrado ABCD, logo AC = 10√2, então AP = 5√2, sendo assim AP = 5√2 = 𝐴𝑄 = 𝑄𝐵. O Perímetro do triângulo AQB é 10 + 10√2 03. Resposta: D Vamos encontrar a área de cada uma das figuras. Figura I É um retângulo, logo A = 25x35 = 875m², portanto não serve. Figura II Vou dividir a figura em duas partes para poder encontrar sua área. Temos um retângulo menor de lados 5x10 e um maior de lados 35x30, calculando a Área de cada um teremos: 5x10 = 50 35x30 = 1050 No total a figura terá 1100m² de área, então serve. Figura III Temos um trapézio onde base maior = 50, base menor = 20, altura = 25. Sendo assim, vamos calcular a área. 𝐴 = (𝐵+𝑏)ℎ 2 = (50+20)25 2 = 70.25 2 = 1750 2 = 875m² Não serve. Figura IV. Nem precisaria, pois se I e III não pode ser, só resta a II e IV, mas vou mostrar como se revolve a área desta figura IV. Irei dividir em duas figuras: Temos um retângulo de dimensões 30x20, cuja área será 600m² e um trapézio de dimensões B = 30, b = 20, h = 20, cuja área será 𝐴 = (𝐵+𝑏)ℎ 2 = (30+20)20 2 = 50.20 2 = 1000 2 = 500m² Logo a área total da figura será 500 + 600 = 1100m² que supera os 1000m², sendo assim a resposta seria a figura II e IV 04. Resposta: E Se OB = 3√2, observando a figura, este valor representa metade da diagonal do quadrado, cujo valor é 𝑑 = 𝑙√2. d = 2.3√2=6√2 𝑑 = 𝑙√2 = 6√2 Logo l = 6. Para encontrar a área do quadrado basta multiplicar o valor do seu lado por ele mesmo, ou seja, A = l² = 6² = 6x6 = 36m² 05. Resposta: A - um quadrado terá perímetro x o lado será l = x 4 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x o lado será l1 = 30−x 4 , sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: S = S1 + S2 S=l²+l1² S = ( x 4 ) 2 + ( 30−x 4 ) 2 S = x2 16 + (30−x)2 16 , como temos o mesmo denominador 16: S = x2 + 302 − 2.30. x + x2 16 S = x2 + 900 − 60x + x2 16 S = 2x2 16 − 60x 16 + 900 16 , sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice que e dado pela fórmula: x = −b 2a , então: xv = − ( −60 16 ) 2. 2 16 = 60 16 4 16 xv = 60 16 . 16 4 = 60 4 = 15, Logo, l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 06. Resposta: D Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: Perímetro = x + 285 8.0,8x + 6x = x + 285 6,4x + 6x – x = 285 11,4x = 285 x = 285:11,4 x = 25 Sendo S a área do retângulo: S= b.h S= 0,8x.x S = 0,8x2 Sendo St a área total da figura: St = 6.0,8x2 St = 4,8.(25)2 St = 4,8.625 St = 3000 Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 8 ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES I- Círculo: Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 = 2𝜇𝑟 2 . 𝑟, então temos: II- Coroa circular: É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: III- Setor circular: É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: IV- Segmento circular: É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de um triângulo da área de um setor circular, então temos: Questões 01. A figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 cm de raio, tangentes entre si. Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: (A) 320. (B) 330. (C) 340. (D) 350. (E) 360. 02. (Pref. de Aracruz/ES – Instrutor de Libras – IBADE/2019) Sabe-se que a figura foi feita levando em consideração que o raio da circunferência é R e que os catetos do triângulo retângulo valem R. Marque a alternativa que apresenta o valor da área hachurada, em função de R. (A) 𝑅2 4 (𝜋 − 2) (B) 𝑅2 4 (𝜋 − 4) (C) 𝑅2 2 (𝜋 + 2) (D) 𝑅2 2 (𝜋 − 4) (E) 𝑅 4 (𝜋 − 2) 03. (Pref. de Juazeiro do Norte/CE – Jornalista – CETREDE/2019) Na figura a seguir, o quadrado tem lado igual a 4cm. Qual é o valor da área destacada em cinza? (A) 2π cm². (B) 4 cm². (C) 4π cm². (D) 8π cm². (E) 8 cm². 04. (Pref. de Teresina/PI – Professor – NUCEPE/2019) A figura a seguir mostra um retângulo circunscrito em dois círculos tangentes. Se a área cinza formada pelos dois círculos é igual a 72π cm², qual o perímetro do retângulo? (A) 24 cm. (B) 36 cm. (C) 72 cm. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 9 (D) 36√2cm. (E) 72√2cm. 05. A área de um círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: (A) 100𝜋 cm2. (B) 80 𝜋 cm2. (C) 160 𝜋 cm2. (D) 400 𝜋 cm2. 06. Quatro tanques de armazenamento de óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m de largura, como representados na figura abaixo. Se as bases dos quatro tanques ocupam 2 5 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base de cada tanque? Dado: use 𝜋=3,1 (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. (E) 16. Comentários 01. Resposta: B. Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r, ou seja, l = 2.10 = 20 cm. Então a área a ser calculada será: 𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 + 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 2 𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 2 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 𝐴 = 𝜋𝑟2 2 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 𝐴 = 𝜋𝑟2 2 + 𝑙2√3 4 𝐴 = (3,14 ∙ 102) 2 + 202 ∙ 1,73 4 𝐴 = 1,57 ∙ 100 + 400 ∙ 1,73 4 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 02. Resposta: A Para calcular a área da região pintada basta fazer a área do setor circular e subtrair a área a triângulo retângulo. Área do Setor: Como o enunciado diz que temos um triângulo retângulo, o ângulo será igual a 90° e o raio = R, logo: 𝐴 = 𝑎𝜋𝑟2 360° = 90𝜋𝑅2 360° = 𝑅²𝜋 4 Área do Retângulo: 𝐴 = 𝑏. ℎ 2 = 𝑅. 𝑅 2 = 𝑅2 2 Desta forma a área total da figura pintada será: A = 𝑅²𝜋 4 − 𝑅2 2 Colocando em evidência: A = 𝑅2 2 ( 𝜋 2 − 1) Mas não temos este valor, logo devemos colocar em evidência 𝑅2 4 e não 𝑅2 2 , mas daí ficaria: A = 𝑅2 4 (𝜋 − 2) 03. Resposta: C Para descobrir a área da parte pintada, devemos fazer a área do círculo maior menos a área do círculo menor, para isso, precisamos encontraro valor do raio de cada um dos círculos, utilizaremos a informação dada sobre o quadrado para encontrar esses raios. Círculo menor: Observando a figura, o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, logo 4 = d, sendo assim o raio será r = 2 cm, portanto a área do círculo menor será: 𝐴 = 𝜋𝑟2 = π22 = 4π Círculo Maior: Observando a figura, o diâmetro do círculo maior é igual a diagonal do quadrado. Diagonal do quadrado: 𝑙√2 = 4√2 Então o diâmetro será: 4√2, consequentemente o raio será 2√2. Calculando a área do círculo maior: 𝐴 = 𝜋(2√2. ) 2 = π4.2 = 8π Assim a área pintada da figura será: 8π − 4π = 4π cm² 04. Resposta: C Para encontrar o perímetro do retângulo, precisamos encontrar o valor do raio do círculo. O enunciado deu 72π cm² de área de dois círculos, logo a área de apenas um círculo será 36 π cm². A = 𝜋𝑟2 = 36π 𝜋𝑟2 = 36π 𝑟2 = 36 𝑟 = √36 𝑟 = 6𝑐𝑚 Se o raio é igual a 6 cm, então a largura do retângulo é 12 cm, pois possui 2 raios de tamanho, já o comprimento do retângulo tem 4 raios de tamanho, logo 4x6 = 24 cm. Agora, para encontrar o perímetro do retângulo, basta somar os 4 lados: P = 12 + 24 + 12 + 24 = 72 cm 05. Resposta: A. A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: C = 20π 2π.r = 20π r = 20π 2π r = 10 cm A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 06. Resposta: D. Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) Aret = 24,8.20 Aret = 496 m2 4.Acirc = 2 5 .Aret 4.πr2 = 2 5 .496 4.3,1.r2 = 992 5 12,4.r2 = 198,4 r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 10 d = 2r =2.4 = 8 TEOREMA DE PITÁGORAS Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os catetos. - “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. a2 = b2 + c2 Questões 01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. “Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – Trinta Anos de Mim Mesmo). A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: (A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” (D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” (E) Nenhuma das anteriores. 02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida? (A) 3 milhas a sudoeste. (B) 3 milhas a sudeste. (C) 4 milhas ao sul. (D) 5 milhas ao norte. (E) 5 milhas a nordeste. 03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida do outro cateto? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 Respostas 01. Resposta: D. 02. Resposta: E. x2 = 32 + 42 x2 = 9 + 16 x2 = 25 x = √25 = 5 03. Resposta: C. 132 = x2 + 52 169 = x2 + 25 169 – 25 = x2 x2 = 144 x = √144 = 12 cm TEOREMA DE TALES - Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. - Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. - Teorema de Tales: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes da outra. r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos correspondentes são proporcionais. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ = ⋯. Teorema da bissetriz interna: “Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. Referências SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 http://www.jcpaiva.net/ Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 11 Questões 01. Na figura abaixo, o valor de x é: (A) 1,2 (B) 1,4 (C) 1,6 (D) 1,8 (E) 2,0 02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 03. Calcular o valor de x na figura abaixo. Respostas 01. Resposta: C. 2 5 = 𝑥 4 5x = 2.4 5x = 8 x = 8 : 5 = 1,6 02. Resposta: B. 2𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 5 6 6.(2x – 3) = 5(x + 2) 12x – 18 = 5x + 10 12x – 5x = 10 + 18 7x = 28 x = 28 : 7 = 4 03. Resposta: 06. 10 30 = 𝑥 18 30x = 10.18 30x = 180 x = 180 : 30 = 6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera. - Sólidos geométricos I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. Elementos de um prisma: a) Base: pode ser qualquer polígono. b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. f) Altura: distância entre as duas bases. Classificação: Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto à base: - Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. - Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. - Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. - Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. E, assim por diante. 2- Quanta à inclinação: - Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). - Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. Fórmulas: - Área da Base Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. - Área Lateral: Soma das áreas das faces laterais - Área Total: At=Al+2Ab - Volume: V = Abh Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃOMatemática 12 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, que são: a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. Fórmulas: - Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) - Volume: V = a.b.c - Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. As três dimensões de um cubo comprimento, largura e altura são iguais. Fórmulas: - Área Total: At = 6.a2 - Volume: V = a3 - Diagonal: D = a√3 II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. Elementos de uma pirâmide: A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. Classificação: Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto à base: - Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. - Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. - Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. - Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. E, assim por diante. 2- Quanta à inclinação: - Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. - Pirâmide Obliqua: o vértice superior está deslocado em relação ao centro da base. Fórmulas: - Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. - Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 - Área Total: At = Al + Ab - Volume: 𝑉 = 1 3 . 𝐴𝑏 . ℎ - TRONCO DE PIRÂMIDE O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura: O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. → Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. A área total do tronco de pirâmide é dada por: St = Sl + SB + Sb Onde: St → é a área total Sl → é a área da superfície lateral SB → é a área da base maior Sb → é a área da base menor Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 13 → Cálculo do volume do tronco de pirâmide. A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é: Onde, V → é o volume do tronco h → é a altura do tronco SB → é a área da base maior Sb → é a área da base menor III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. Elementos de um cilindro: a) Base: é sempre um círculo. b) Raio c) Altura: distância entre as duas bases. d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas geratrizes. Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com a inclinação: - Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). - Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. Fórmulas: - Área da Base: Ab = π.r2 - Área Lateral: Al = 2.π.r.h - Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab - Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um quadrado, para isto temos que: h = 2r. IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. Elementos de um cone: a) Base: é sempre um círculo. b) Raio c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas geratrizes. Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. - Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. - Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. Fórmulas: - Área da base: Ab = π.r2 - Área Lateral: Al = π.r.g - Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab - Volume: 𝑉 = 1 3 . 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 = 1 3 . 𝐴𝑏 . ℎ - Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = r.h. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 14 Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, para isto temos que: g = 2r. - TRONCO DE CONE Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. Elementos - A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; - A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone. Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. Onde: h = altura g = geratriz Área da Superfície e Volume V) ESFERA Elementos da esfera - Eixo: é um eixoimaginário, passando pelo centro da esfera. - Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. - Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. - Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. Fórmulas - na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: R2 = r2 + d2. - Área: A = 4.π.R2 - Volume: V = 4 3 . π. R3 Fuso Esférico: Fórmula da área do fuso: 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 = 𝛼. 𝜋. 𝑅2 90° Cunha Esférica: Fórmula do volume da cunha: 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 = 𝛼. 𝜋. 𝑅3 270° Referências IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único DOLCE, Osvalo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual Editora www.brasilescola.com.br Questões 01. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em cm2, é: (A) 90π (B) 100π (C) 80π Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 15 (D) 110π (E) 120π 02. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. 03. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse prisma é: (A) 288√3 cm3 (B) 144√3 cm3 (C) 200√3 cm3 (D) 100√3 cm3 (E) 300√3 cm3 Comentários 01. Resposta: B. Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. h = 2r → h = 2.5 = 10 cm Al = 2.π.r.h Al = 2.π.5.10 Al = 100π 02. Respostas: Al = 12π cm2, At = 20π cm2 e V = 12π cm3 Aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm. Al = 2.π.r.h At = 2π.r(h + r) V = π.r2.h Al = 2.π.2.3 At = 2π.2(3 + 2) V = π.22.3 Al = 12π cm2 At = 4π.5 V = π.4.3 At = 20π cm2 V = 12π cm2 03. Resposta: A. O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a = 4 cm e a altura h = 12 cm. A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 𝐴𝑏 = 6.𝑎2√3 4 𝐴𝑏 = 6.42√3 4 ➔ 𝐴𝑏 = 6.16√3 4 ➔ 𝐴𝑏 = 6.4√3 ➔ 𝐴𝑏 = 24√3 cm2 V = 24√3.12 V = 288√3 cm3 Caro(a) Candidato(a) este tópico já foi abordado no decorrer da apostila. EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido, chamada de incógnita. Exemplos 2x + 8 = 0 5x – 4 = 6x + 8 Não são equações 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x – 5 < 3 (Não é igualdade) 5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) Termo Geral da equação do 1º grau Onde a e b são números conhecidos e “a” diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados obtemos (adiante apresentaremos uma outra forma de resolução, mais simples): ax + b = 0 ax + b - b = 0 – b ax = - b x = - − 𝒃 𝒂 Termos da equação do 1º grau 3x + 2 = x - 4 Nesta equação cada membro possui dois termos: 1º membro composto por 3x e 2 2º membro composto pelo termo x e -4 Resolução da equação do 1º grau O método que usamos para resolver a equação de 1º grau (encontrar sua raiz) é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isto é invertermos as operações. Vejamos: Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, devemos “passar” os termos que tem x para um lado e os números para o outro invertendo as operações. 2x – x = 750 – 600, com isso podemos resolver a equação e encontrar x = 150. Exemplo Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18: 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). Registro: 3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x = 3 18 x = 6 Resumindo: Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade. - Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade. Exemplos 01. O triplo de um número menos 21 é igual a 6, quem é esse número? Como não sabemos quem é este número, chamaremos ele de “x”, assim, o triplo de um número é 3x, menos 21 é – 21, ficará então: 3x – 21 = 6 3x = 6 + 21 3x = 27 x = 27 3 x = 9 Conjuntos numéricos. Equações do 1º e 2º graus. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 16 02. A soma de três números consecutivos é 126. Quais são esses números? Como não sabemos quem são estes números e eles são consecutivos, vamos enumerá-los a partir do primeiro, chamando ele de “x”, o consecutivo será “x + 1”, e o consecutivo de “x + 1” será “x + 2”, equacionando, teremos: x + x + 1 + x + 2 = 126 3x + 3 = 126 3x = 126 – 3 3x = 123 x = 123 3 x = 41 Assim os números serão 41, 42 e 43. 03. Encontre a solução para a equação: 2.(9x – 4) – 7 + (6 – 5x).3 = 18 Temos a equação, mas para iniciar devemos aplicar a propriedade distributiva. 2.(9x – 4) – 7 + (6 – 5x).3 = 18 18x – 8 – 7 + 18 – 15x = 18 Agora é deixar letra para um lado e número para o outro, lembre-se de inverter a operação. 18x – 15x = 18 + 8 + 7 – 18 3x = 15 x = 15 3 x = 5 Questões 01. (UFG/GO - Técnico de Tecnologia da Informação - UFG/2018) Um feirante vende pamonhas na feira e tem um custo inicial de R$ 250,00, além de um custo médio para produzir cada pamonha de R$ 3,20. Em um dia de feira, o seu custo total foi de R$ 973,20. Nessas condições, nesse dia, ele produziu quantas pamonhas? (A) 196 (B) 218 (C) 226 (D) 244 02. (AFAP - Assistente Administrativo de Fomento - FCC/2019) A soma de três números pares, positivos e consecutivos é 330. O maior número dessa sequência é o número (A) 116. (B) 108. (C) 100. (D) 112. (E) 110. 03. (IFES - Assistente em Administração - IFES/2019) Dois amigos alugaram dois carros (um carro cada um), da mesma categoria, em duas locadoras diferentes. A Locadora A cobra uma diária de R$ 100,00, acrescida de um valor de R$ 0,50 por km rodado; enquanto a Locadora B cobra uma diária de R$ 70,00, acrescida de R$ 0,80 por km rodado. Sabe-se que os dois entregaram os carros no final do dia e que pagaram o mesmo valor pela locação dos veículos. Pode-se afirmar que o valor pago e a quilometragem percorrida por cada um foram, respectivamente, iguais a: (A) R$ 100,00 e 150 km (B) R$ 150,00 e 100 km (C) R$ 160,00 e 180 km (D) R$ 180,00 e 160 km (E) R$ 200,00 e 200 km 04. (PM/SP - Oficial Administrativo - VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos em que foram marcados 2 gols é: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. 05. (PRODAM/AM - Auxiliar de Motorista - FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco para suas famílias. Na semanado evento, seis deles desistiram de participar. Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: (A) R$ 570,00 (B) R$ 980,50 (C) R$ 1.350,00 (D) R$ 1.480,00 (E) R$ 1.520,00 Comentários 01. Resposta: C Custo inicial: 250 Custo por pamonha: 3,20 Custo total: 973,20 Como não sabemos a quantidade de pamonhas vendidas, chamaremos de x. Assim a fórmula será: 3,20x + 250 = 973,20 3,20x = 973,20 – 250 3,20x = 723,20 x = 723,20 3,20 = 226 pamonhas 02. Resposta: D Como não sabemos quem são esses valores chamaremos o primeiro de x, o consecutivo de x + 2 e o próximo x + 4, pois são consecutivos e pares, assim: x + x + 2 + x + 4 = 330 3x = 330 – 6 3x = 324 x = 324 3 = 108. Assim os números são 108, 110 e 112 03. Resposta: B Vamos aos dados: Locadora A: 100 + 0,50x. Locadora B: 70 + 0,80x. Como eles pagaram o mesmo valor podemos igualar A = B. 100 + 0,50x = 70 + 0,80x 100 – 70 = 0,80x – 0,50x 30 = 0,30x x = 30 0,30 = 100km, assim o valor pago será: A: 100 + 0,50.100 = 100 + 50 = 150 reais (Poderíamos ter feito em B, daria o mesmo resultado). R$150,00 e 100km. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 17 04. Resposta: E Devemos multiplicar o número de jogos pelo número de gols e somar e igualando a 28. 0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 x = 7 05. Resposta: E Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 16 . x = Total Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) Combinando as duas equações, temos: 16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. EQUAÇÃO DO 2º GRAU Equação é toda sentença matemática que possui incógnitas (letras), coeficientes (números) e um sinal de igualdade (=). As equações do 2° grau1 ou equações quadráticas, são aquelas onde temos uma variável cujo maior grau deverá ser 2, pode ser escrita da seguinte forma: Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. Nas equações de 2° grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação. Equação completa e incompleta: Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. Exemplos x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). -3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. Raízes de uma equação do 2º grau Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto Universo. 1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √𝑦 ou x=-√𝑦 1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. x2 – 9x = 0 colocamos x em evidência x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x = 0 ou x – 9 = 0 x = 9 Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 1somatematica.com.br x2 – 16 = 0 x2 = 16 x2 = ±√16 x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). Logo, S = {–4, 4}. Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três casos a estudar. 1º caso Δ > 0 (Positivo) Duas raízes reais distintas. a b x .2 ' +−= a b x .2 '' −−= 2º caso Δ = 0 (Nulo) Duas raízes reais iguais. x’ = x” = a b 2 − 3º caso Δ < 0 (Negativo) Não temos raízes reais. A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. Exemplo 1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 𝑥 = −7 ± √−59 6 Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Então: S = ᴓ Relação entre os coeficientes e as raízes As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒃 𝒂 2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝒄 𝒂 Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 18 Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: x2 – Sx + P=0 Exemplo Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. Resolução: Pela relação acima temos: S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 Questões 01. Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 0. (E) 9. 02. (SEDUC/SP - Agente de Organização Escolar - VUNESP/2018) As quantidades de vagas de carros e motos na garagem de uma casa são dadas pelas raízes da equação -x² + 6x = 5. Sabendo que há mais vagas de carros do que de motos, a quantidade de vagas de moto nesta garagem é de: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5. 03. (Pref. de Quixeré/CE - Professor PEB II - CETREDE/2018) Sejam x1 e x2 as raízes da equação x² – 7x +12 = 0. Então a raiz quadrada do número x1² + x2² é: (A) 10. (B) 5. (C) 15. (D) –25. (E) 125. 04. O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 Comentários 01. Resposta: C Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 3m - 9 ≠ 0, resolvendo: letra para um lado e número para o outro. 3m ≠ 9 m ≠ 3 02. Resposta: A Precisamos resolver a equação do 2° grau -x² + 6x = 5, para isso vamos igualar a 0. -x² + 6x – 5 = 0. a = - 1, b = + 6, c = - 5 ∆= (6)2 − 4. (−1). (−5) ⇒ 36 − 20 = 16 𝑥 = −(+6) ± √16 2. (−1) ⇒ 𝑥 = −6 ± 4 −2 𝑥1 = −6+4 −2 = −2 −2 = 1 𝑥2 = −6−4 −2 = −10 −2 = 5 Como há mais vagas de carros do que de motos temos que carros = 5 e motos = 1 03. Resposta: B Vamos encontrar as raízes da equação do 2° grau x² – 7x +12 = 0. x² – 7x +12 = 0 a = 1, b = - 7, c = 12 ∆= (−7)2 − 4. (1). (12) ⇒ 49 − 48 = 1 𝑥 = −(−7) ± √1 2.1 ⇒ 𝑥 = 7 ± 1 2 𝑥1 = 7+1 2 = 8 2 = 4 𝑥2 = 7−1 2 = 6 2 = 3 Como ele quer saber a raiz quadrada de x1² + x2², 4²+3³ = 16 + 9 = 25. √25 = 5 04. Resposta: B x²-6x+8=0 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 𝑥 = −(−6)±√4 2.1 ⇒ 𝑥 = 6±2 2 𝑥1 = 6+2 2 = 4 𝑥2 = 6−2 2 = 2 Dobro da menor raiz: 22=4 SISTEMA DO 1º GRAU Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. - Observações gerais Já estudamos sobre equações do primeiro grau comduas incógnitas, como exemplo: x + y = 7; x – y = 30; x + 2y = 9 x – 3y = 15 Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: x + y = 6 x – y = 7 Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução para as duas equações. Assim, é possível dizer que as equações x + y = 6 x – y = 7 Sistemas de equações. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 19 { Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um sistema. - Resolução de sistemas Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema. Exemplo: O par (4,3) pode ser a solução do sistema x – y = 2 x + y = 6 Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: x - y = 2; x + y = 6 4 – 3 = 1; 4 + 3 = 7 1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. - Métodos para solução de sistemas do 1º grau. Método de substituição Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. Observe: x – y = 2 x + y = 4 Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: x – y = 2 → x = 2 + y Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: x + y = 4 (2 + y) + y = 4 2 + 2y = 4 → 2y = 4 – 2 → 2y = 2 → y = 1 Temos que: x = 2 + y, então x = 2 + 1 x = 3 Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. Método da adição Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas. Observe: x – y = - 2 3x + y = 5 Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: x – y = -2 3x + y = 5 + 4x = 3 x = 3/4 Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “x”. Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita? Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. Ex.: 3x + 2y = 4 2x + 3y = 1 Ao somarmos os termos acima, temos: 5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: » multiplica-se a 1ª equação por +2 » multiplica-se a 2ª equação por – 3 Vamos calcular então: 3x + 2y = 4 (x +2) 2x + 3y = 1 (x -3) 6x +4y = 8 -6x - 9y = -3 + -5y = 5 y = -1 Substituindo: 2x + 3y = 1 2x + 3.(-1) = 1 2x = 1 + 3 x = 2 Verificando: 3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 - Gráfico de um sistema do 1º grau Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura formada por esses pontos é uma reta. Exemplo: Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para acharmos os pontos no gráfico. Unindo os pontos traçamos a reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o nome de reta suporte. Questões 01. Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a (A) 310 (B) 320 (C) 330 (D) 350 (E) 370 02. Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pagou indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 20 Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. (A) 20 (B) 25 (C) 22 (D) 24 (E) 18 03. A razão entre a idade de Cláudio e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é (A) 12. (B) 13. (C) 14. (D) 15. (E) 16. Respostas 01. Resposta: E. Amarela: x Vermelha: y Branca: z x = y + 50 y = z - 30 z = y + 30 { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040 𝑥 = 𝑦 + 50 𝑧 = 𝑦 + 30 Substituindo a II e a III equação na I: 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 3𝑦 = 1040 − 80 y = 320 Substituindo na equação II x = 320 + 50 = 370 z=320+30=350 A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 02. Resposta: A. Armas de R$150,00: x Armas de R$450,00: y { 150𝑥 + 450𝑦 = 7500 𝑥 + 𝑦 = 30 x = 30 – y Substituindo na 1ª equação: 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 300𝑦 = 3000 𝑦 = 10 𝑥 = 30 − 10 = 20 O total de indenizações foi de 20. 03. Resposta: C. Cláudio :x Otávio: y 𝑥 𝑦 = 3 { 𝑥 = 3𝑦 𝑥 + 𝑦 = 28 𝑥 + 𝑦 = 28 3y + y = 28 4y = 28 y = 7 x = 21 Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 SISTEMA DO 2º GRAU Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc. A diferença é que teremos como solução um sistema de pares ordenados. Uma sequência prática para acharmos sua solução é: - Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; - Resolver o sistema de equações; - Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. Exemplo: Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as medidas dos lados desse retângulo? Temos: Comprimento: x Largura: y Deduzimos acima que seu perímetro é 10 → x + y + x + y = 10 ou 2x + 2y = 10 → x + y = 5 (dividindo todos os termos por 2). E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: x.y = 4 Montando o sistema temos: { 𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥. 𝑦 = 4 → ( isolando x na 1ª equação ) x = 5 – y,→ (substituindo na 2ª equação) (5 – y).y = 4 Resolvendo: 5y – y2 = 4 → - y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) → y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau) a = 1 ; b= -5 e c= 4 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 → 𝑥 = −(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4) 2.1 → 𝑥 = 5 ± √25 − 16 2 𝑥 = 5 ± √9 2 ∴ 𝑥1 = 5 − 3 2 = 2 2 = 1 𝑒 𝑥2 = 5 + 3 2 = 8 2 = 4 Logo : Se x = 1 → y=5-1 → y=4 Se x= 4 → y = 5 -4 → y = 1 Observando temos os valores 1 e 4 ,tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4 , podendo x ou y assumirem os mesmos. Fazendo a conferência temos: x + y = 5 ∴ x.y = 4 4 + 1 = 5 4.1 = 4 5 = 5 4 = 4 O par ordenado (1,4) ou (4,1) satisfaz o sistema de equações. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 21 Questões 01. A soma entre dois números positivos é 37. Se o produtoentre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor número é: (A) 7. (B) 23. (C) 61. (D) 17. (E) 49. 02. Marque, dentre as alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. (A) (-2, 1) e (-1,3). (B) (-2, 0) e (-1,3). (C) (2,0) e (1,3). (D) (-2,0) e (1,3). 03. Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? (A) 40. (B) 55. (C) 65. (D) 50. (E) 45. Respostas 01. Resposta: A. Sendo x e y os dois números procurados: x + y = 37 (I) x.y = 330 (II) isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): x.(37 – x) = 330 37x – x2 = 330 x2 – 37x + 330 = 0 , a = 1; b = - 37 e c = 330 ∆ = b2 – 4.a.c ∆ = (- 37)2 – 4.1.330 ∆ = 1369 – 1320 ∆ = 49 𝑥 = −𝑏±√∆ 2.𝑎 → 𝑥 = −(−37)±√49 2.1 = 37±7 2 → 𝑥 = 37+7 2 = 44 2 = 22 ou 𝑥 = 37−7 2 = 30 2 = 15 Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 22 – 15 = 7 02. Resposta: D. Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então: x2 + 2x = x + 2 x2 + 2x – x – 2 = 0 x2 + x – 2 = 0, a = 1, b = 1 e c = - 2 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= 12 − 4.1. (−2) ∆ = 1 + 8 = 9 𝑥 = −𝑏±√∆ 2𝑎 𝑥 = −1±√9 2.1 𝑥 = −1±3 2 → 𝑥 = −1+3 2 = 1 ou 𝑥 = −1−3 2 = −2 Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 03. Resposta: E. Sendo Miguel M e Lucas L: M.L = 500 (I) M = L + 5 (II) substituindo II em I, temos: (L + 5).L = 500 L2 + 5L – 500 = 0, a = 1, b = 5 e c = - 500 ∆ = b2 – 4ac ∆ = 52 – 4.1.(- 500) ∆ = 25 + 2000 ∆ = 2025 𝐿 = −𝑏±√∆ 2𝑎 𝐿 = −5±√2025 2.1 = −5±45 2 → 𝐿 = −5+45 2 = 40 2 = 20 ou 𝐿 = −5−45 2 = −50 2 = −25 esta não convém pois L (idade) tem que ser positivo. Então L = 20 → M.20 = 500 → m = 500 : 20 = 25 M + L = 25 + 20 = 45 É considerada como a ciência e a arte de escrever mensagens em forma cifrada ou em código, é um dos principais mecanismos de segurança que você pode usar para se proteger dos riscos associados ao uso da Internet. A primeira vista ela até pode parecer complicada, mas para usufruir dos benefícios que proporciona você não precisa estudá-la profundamente e nem ser nenhum matemático experiente. Atualmente, a criptografia já está integrada ou pode ser facilmente adicionada à grande maioria dos sistemas operacionais e aplicativos e para usá-la, muitas vezes, basta a realização de algumas configurações ou cliques de mouse. Por meio do uso da criptografia você pode: - proteger os dados sigilosos armazenados em seu computador, como o seu arquivo de senhas e a sua declaração de Imposto de Renda; - criar uma área (partição) específica no seu computador, na qual todas as informações que forem lá gravadas serão automaticamente criptografadas; - proteger seus backups contra acesso indevido, principalmente aqueles enviados para áreas de armazenamento externo de mídias; - proteger as comunicações realizadas pela Internet, como os e-mails enviados/recebidos e as transações bancárias e comerciais realizadas. Nas próximas seções são apresentados alguns conceitos de criptografia. Antes, porém, é importante que você se familiarize com alguns termos geralmente usados e que são mostrados na tabela abaixo. Termo Significado Texto claro Informação legível (original) que será protegida, ou seja, que será codificada Texto codificado (cifrado) Texto ilegível, gerado pela codificação de um texto claro Codificar (cifrar) Ato de transformar um texto claro em um texto codificado Decodificar (decifrar) Ato de transformar um texto codificado em um texto claro Método criptográfico Conjunto de programas responsável por codificar e decodificar informações Criptografia. Apostila Digital Licenciada para Tatiana Rodrigues do Nascimento - CPF:431.554.558-96 (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br Pedido N.: 2834802 - Apostila Licenciada para taahrodrigues@live.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br APOSTILAS OPÇÃO Matemática 22 Chave Similar a uma senha, é utilizada como elemento secreto pelos métodos criptográficos. Seu tamanho é geralmente medido em quantidade de bits Canal de comunicação Meio utilizado para a troca de informações Remetente Pessoa ou serviço que envia a informação Destinatário Pessoa ou serviço que recebe a informação Criptografia de chave simétrica e de chaves assimétricas De acordo com o tipo de chave usada, os métodos criptográficos podem ser subdivididos em duas grandes categorias: criptografia de chave simétrica e criptografia de chaves assimétricas. Criptografia de chave simétrica: também chamada de criptografia de chave secreta ou única, utiliza uma mesma chave tanto para codificar como para decodificar informações, sendo usada principalmente para garantir a confidencialidade dos dados. Casos nos quais a informação é codificada e decodificada por uma mesma pessoa não há necessidade de compartilhamento da chave secreta. Entretanto, quando estas operações envolvem pessoas ou equipamentos diferentes, é necessário que a chave secreta seja previamente combinada por meio de um canal de comunicação seguro (para não comprometer a confidencialidade da chave). Exemplos de métodos criptográficos que usam chave simétrica são: AES, Blowfish, RC4, 3DES e IDEA. Criptografia de chaves assimétricas: também conhecida como criptografia de chave pública, utiliza duas chaves distintas: uma pública, que pode ser livremente divulgada, e uma privada, que deve ser mantida em segredo por seu dono. Quando uma informação é codificada com uma das chaves, somente a outra chave do par pode decodificá-la. Qual chave usar para codificar depende da proteção que se deseja, se confidencialidade ou autenticação, integridade e não-repúdio. A chave privada pode ser armazenada de diferentes maneiras, como um arquivo no computador, um smartcard ou um token. Exemplos de métodos criptográficos que usam chaves assimétricas são: RSA, DSA, ECC e Diffie-Hellman. A criptografia de chave simétrica, quando comparada com a de chaves assimétricas, é a mais indicada para garantir a confidencialidade de grandes volumes de dados, pois seu processamento é mais rápido. Todavia, quando usada para o compartilhamento de informações, se torna complexa e pouco escalável, em virtude da: - necessidade de um canal de comunicação seguro para promover o compartilhamento da chave secreta entre as partes (o que na Internet pode ser bastante complicado) e; - dificuldade de gerenciamento de grandes quantidades de chaves (imagine quantas chaves secretas seriam necessárias para você se comunicar com todos os seus amigos). A criptografia de chaves assimétricas, apesar de possuir um processamento mais lento que a de chave simétrica, resolve estes problemas visto que facilita o gerenciamento (pois não requer que se mantenha uma chave secreta com cada um que desejar se comunicar) e dispensa a necessidade de um canal de comunicação seguro para o compartilhamento de chaves. Para aproveitar as vantagens de cada um destes métodos, o ideal é o uso combinado de ambos, onde a criptografia de chave simétrica é usada para a codificação da informação e a criptografia de chaves assimétricas é utilizada para o compartilhamento da chave secreta (neste caso, também chamada de chave de sessão). Este uso combinado é o que é utilizado pelos navegadores Web e programas leitores de e- mails. Exemplos de uso deste método combinado são: SSL, PGP e S/MIME. Função de resumo (Hash) Uma função de resumo é um método criptográfico que, quando aplicado sobre uma informação, independente do tamanho que ela tenha, gera um resultado único e de tamanho fixo, chamado hash(O hash é gerado de tal forma que não é possível realizar o processamento inverso para se obter a informação original e que
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