Material Complementar Administracao Financeira nas Organizacoes_Matematica Financeira

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Curitiba
2020
Material 
complementar
Administração financeira 
de organizações
Aldair Pereira da Silva
1
Introdução e conceitos 
Ao comprar um produto ou um bem a prazo, como um celu-
lar, um veículo ou um imóvel, o vendedor está realizando uma 
operação de empréstimo ao comprador, correspondente ao valor 
desse produto. O comprador pagará o valor total mais uma quan-
tia adicional, como uma espécie de aluguel do dinheiro empres-
tado, chamado juro.
Como calcular quanto será pago de juro? E o valor de cada 
parcela do empréstimo? É a Matemática presente no dia a dia das 
pessoas. Quem conhece os fundamentos da Matemática Finan-
ceira pode adotar uma postura consciente em seu papel de con-
sumidor, evitando o endividamento e o pagamento de juros altos. 
Utilizar o dinheiro de forma adequada, sabendo gastar mensal-
mente uma quantia menor do que a que ganha, e poupar uma 
parte da remuneração é essencial para uma vida financeira equi-
librada. Portanto, estudar porcentagem, capitalização, desconto e 
juro, que são alguns dos elementos que compõem a Matemática 
Financeira, é fundamental.
Administração financeira de organizações
– 4 –
A Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro no tempo, nas 
aplicações e nos pagamentos de empréstimos e financiamentos. Ele-
mentos como prazo e taxa de juros serão fundamentais na aplicação da 
Matemática Financeira. As taxas de juros serão expressas em porcenta-
gens, que corresponderão à parte da remuneração do capital aplicado. 
O prazo será utilizado para definir o número de prestações e a capitali-
zação dos juros.
1.1 Porcentagem
As frações com denominador 100 são muito usadas como base de 
cálculo em muitas situações. Na verdade, em quase todas as referências 
que se fazem sobre valores, tanto na área financeira como nas demais 
áreas das ciências, expressa-se a comparação em porcentagem. Exemplos:
 2 João receberá 10% de aumento salarial;
 2 90% dos alunos daquela turma foram muito bem nas avaliações;
 2 15% da amostra do medicamento analisado está comprometida;
 2 80% de probabilidade de chuva para hoje.
Esses são alguns exemplos para as inúmeras aplicações da porcenta-
gem. Assim, faz-se necessária essa introdução e revisão da porcentagem, 
que são fundamentais para o estudo da Matemática Financeira.
Se observar isoladamente a porcentagem, sem saber a qual universo 
ela se refere, não há sentido. Veja no exemplo anterior: João receberá 10% 
de aumento salarial. Isso significa quanto aumentará em valores monetá-
rios, em dinheiro, sabendo que o salário dele é de R$ 2.000,00.
A porcentagem, como dito anteriormente, refere-se à fração com deno-
minador 100. Observe essa representação do salário de João, na Matemática:
 2 R$ 2.000,00 representa todo o salário dele, ou seja, 100%.
 2 Ele receberá 10% de aumento salarial.
 2 Isso significa que, dividindo-se o salário dele em 100 partes 
iguais, ele teria 10 partes desta divisão como aumento de salário.
– 5 –
Introdução e conceitos 
 2
2 000
100
20
.
= , então, 20 representa 1% do salário.
 2 Como o aumento foi de 10%, então, 20 X 10 = R$ 200,00 de 
aumento.
 2 O novo salário de João será de 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00.
Quando as frações apresentam como denominador o valor 100, rece-
bem um nome especial: taxa de porcentagem, cujo símbolo é %. Esse 
símbolo é representado pela barra transversal, que simboliza a divisão, e 
pelos dois zeros, que simbolizam os zeros do valor cem. Veja o exemplo 
do mesmo valor expresso em porcentagem, fração e número decimal:
 2
� % � ,10
10
100
0 1 = =
 2
75
75
100
0 75% � , = =
 2
120
120
100
1 2% � , = =
 2
2
2
100
0 02% � , = =
 2
30
30
100
0 3% � , = =
 2
100
100
100
1% � = =
Exercícios resolvidos
1. Uma loja oferece 30% de desconto em todos os seus produtos, 
como forma de promoção, para atrair mais clientes. Um deter-
minado celular, que apresentava um preço de mercado de R$ 
Administração financeira de organizações
– 6 –
1.600,00, será adquirido nessa promoção. Qual o valor do des-
conto? Quanto será o valor pago pelo aparelho?
Valor do celular = 1.600,00.
Desconto = 30
30
100
0 3% � ,= =
1.600,00 X 0,3 = 480,00 é o valor do desconto.
1.600,00 – 480,00 = 1.120,00 é o valor que será pago.
2. Ao final de uma apresentação teatral, 300 pessoas responderam a 
uma pesquisa a respeito da qualidade do espetáculo. Os resultados 
estão dispostos na tabela. Qual a porcentagem para cada opinião?
Tabela 1.1 – Opinião da Qualidade
Opinião Quantidade
Ótimo 90
Bom 120
Regular 60
Ruim 30
Total 300
Fonte: elaborada pelo autor.
Representando em porcentagem:
Ótimo = � , � %
90
300
0 3
30
100
30= = =
Bom = � , � %
120
300
0 4
40
100
40= = =
Regular = � , � %
60
300
0 2
20
100
20= = =
Ruim = � , � %
30
300
0 1
10
100
10= = =
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Introdução e conceitos 
1.2 Potenciação
A multiplicação de fatores iguais é representada pela potenciação. 
A seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 pode ser representada pela potência, 
em que 2 é a base e 3 o expoente. Leia-se dois elevado ao cubo ou dois 
elevado à terceira potência.
Em Matemática Financeira, a potenciação é muito utilizada para 
a capitalização da taxa de juros, na capitalização composta. Portanto, é 
importante a compreensão básica de potenciação para o estudo da Mate-
mática Financeira. Com a aplicação da potenciação na taxa de juros, ela se 
capitaliza, ou seja, ocorre uma aplicação de juros sobre juros. A capitaliza-
ção será estudada nos próximos capítulos, com mais detalhes.
As potências são, em essência, uma maneira prática e simples de 
representar uma multiplicação de fatores iguais:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
4 x 4 x 2 = 25
16 x 2 = 25
32 = 25 – Realizando a multiplicação linear, o 25 representa o valor 32.
Produto de potências de mesma base:
Para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e 
somar os expoentes.
32 x 33 = (3 . 3) x (3 . 3 . 3) = 35 = 243
Exemplos:
(0,333…)5 x (0,333…)4 = (0,333…)9 = 0,00005
1,256 x 1,2512 = 1,2518 = 55,51
Divisão de potências de mesma base:
Para dividir potências de mesma base, basta conservar a base e sub-
trair os expoentes.
36 : 32 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3) : (3 . 3) = 34 = 81
Administração financeira de organizações
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Exemplos:
(0,333…)8 x (0,333…)6 = (0,333…)2 = 0,111
1,2518 x 1,2512 = 1,256 = 3,81
Potência de base 10:
Na potência de base 10, o número do expoente representa o número 
de zeros que constará após o número 1. Observe:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10.000
105 = 100.000
106 = 1.000.000
107 = 10.000.000
108 = 100.000.000
109 = 1.000.000.000
1010 = 10.000.000.000
Exercícios resolvidos
1. Uma taxa de juros de 3% ao mês está representada em forma de 
índice, que é igual a 1,03 ao mês. O gerente do banco deve capi-
talizar essa taxa pelo prazo de dois anos para atualizar a dívida 
de um cliente com os juros. Qual o novo índice obtido?
Índice de 1,03 deve ser capitalizado por 2 anos, que é igual a 
24 meses.
1,0324 = 1,03 x 1,03 x 1,03 .......... Ou seja, multiplicar o fator 
1,03, um pelo outro, por 24 vezes.
1,0324 = 2,032 é o índice que o gerente deverá aplicar para cobrar 
a dívida do cliente.
– 9 –
Introdução e conceitos 
2. Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bac-
térias, somente em seu trato digestivo. Represente esse número 
de bactérias em forma de potência.
Como o número em questão é 100 bilhões, resolve-se aplicando 
a potência na base 10. Conforme já relatado, a quantidade de 
zeros no valor representa o expoente e a base.
100 bilhões = 100.000.000.000 = 1011
1.3 Conceitos
Entre as inúmeras aplicações da Matemática Financeira está a de 
auxiliar na resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo 
do montante, do valor da prestação, dos juros, pagamento de impostos, 
rendimentos de poupança, remuneração de investimentos, financiamentos 
e outros. Para essa variedade de aplicações e utilidades da Matemática 
Financeira, faz-se necessário conhecer os elementos principais para area-
lização das operações financeiras.
1.3.1 Capital
O capital é o valor inicial em uma operação de tomada de recursos, 
como empréstimos e financiamentos, isto é, de aplicação de recursos em 
investimentos ou ofertas de empréstimos e financiamentos. O capital é 
também conhecido como Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor 
Aplicado. Em inglês, usa-se Present Value, indicado pela tecla PV, nas 
calculadoras financeiras. O capital refere-se a qualquer valor monetário 
emprestado por uma pessoa física ou jurídica para outra, durante um 
período de tempo. Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar 
o valor emprestado e, ainda, em função da perda de poder aquisitivo, ou 
seja, de compra, do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, 
surge o conceito de juro, que pode ser definido como custo do dinheiro 
emprestado, para o tomador, ou remuneração pelo uso do capital, para 
o emprestador.
Administração financeira de organizações
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1.3.2 Montante
O montante é conhecido como valor futuro ou como valor acumu-
lado. O montante, em Matemática Financeira, representa o valor do capi-
tal acrescido de juros. Em inglês, usa-se Future Value, indicado pela tecla 
FV, nas calculadoras financeiras.
M = C + J, em que M = Montante; C = Capital e J = Juros
1.3.3 Prazo ou período
Para aplicar a taxa de juros sobre o capital e obter o montante é neces-
sário definir por quanto tempo esse capital ficará aplicado ou emprestado. 
Quando se fala em taxa de juros de 1% ao mês, significa que cada mês 
transcorrido será cobrado com taxa de juros de 1% sobre o capital. Então, 
define-se por quanto tempo será necessário manter esse capital tomado 
para a aplicação da taxa de juros correspondente ao período. Quanto maior 
o prazo da operação, maior será a incidência de juros. Por isso é impor-
tante, na tomada de um empréstimo, contraí-lo pelo menor período pos-
sível. O raciocínio é inverso quando há uma aplicação financeira: quanto 
maior o prazo ou período que se possa manter o capital aplicado, maior 
será o seu rendimento, ou seja, os juros recebidos. Quanto maior o prazo, 
maior será o montante em uma operação.
1.3.4 Taxa de juros e juro
É comum fazer confusão entre taxa de juros e juro. A taxa de juros é 
representada por um valor em percentual, que é aplicado sobre o capital. O 
juro é o valor obtido na aplicação da taxa de juros. Por exemplo:
Maria emprestou R$ 500,00 a uma amiga, por um mês, e cobrou 5% 
ao mês de juros.
R$ 500,00 é o capital.
A taxa de juros é 5% ao mês.
O valor dos juros é R$ 500,00 x 5%, conforme visto anteriormente 
em porcentagem:
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Introdução e conceitos 
�% �5
5
100
= = 0,05 x 500,00 = 25,00 é o valor dos juros cobrados por Maria.
O Montante:
M = C + J
M = 500,00 + 25,00
M = R$ 525,00
Aqui, no exemplo, fica bem claro que a taxa de juros é de 5% ao mês 
e o valor dos juros é de R$ 25,00.
1.3.5 Taxas proporcionas e equivalentes
1.3.5.1 Taxas proporcionais
No sistema de capitalização simples ou de juros simples, aplica-se 
as taxas de juros proporcionais para a obtenção da taxa para períodos 
diferentes. Basta efetuar a multiplicação ou a divisão linear pelo período 
desejado, de acordo com a necessidade, para a obtenção da taxa de juros 
proporcional. Exemplo:
Taxa de juros simples de 0,5 % ao mês para obtenção da taxa anual. 
Multiplica-se por 12.
0,5% x 12 = 6% ao ano.
Taxa de juros de 12% ao ano para obtenção da taxa mensal. Divide-se 
por 12.
12% : 12 = 1% ao mês.
1.3.5.2 Taxas equivalentes
No sistema de capitalização composta ou de juros compostos, 
aplica-se a taxa equivalente para a obtenção da taxa de juros para 
períodos diferentes. A taxa deve ser capitalizada para o novo período, 
quando este aumenta, ou deve ser descapitalizada, quando o período 
diminui. Exemplo:
Administração financeira de organizações
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Taxa de juros composto de 2% ao mês para obtenção da taxa de 
juros anual.
Para capitalizar a taxa, deve-se transformá-la em índice.
�% �2
2
100
= = 0,02 valor decimal da taxa de juros.
Para transformar em índice, soma-se o valor decimal da taxa mais 1.
1 + 0,02 = 1,02 é o índice para 2%.
Agora, deve-se capitalizar o índice, conforme visto anteriormente, 
em potenciação.
Pede-se a taxa anual. Um ano é igual a 12 meses. Capitaliza-se 1,02 
por 12.
1,0212 = 1,02 x 1,02 x 1,02... Repete-se o termo doze vezes e multi-
plica-se um pelo outro.
1,0212 = 1,2682.
Na HP 12C:
1,02 enter 12 yx = 1,2682.
1.3.5.3 Taxa de Juro Exato e Taxa de Juro Comercial
Observa-se operações que ocorrem em prazos pequenos, como por 
alguns dias. É necessário utilizar a taxa diária para esses casos. Daí surge 
a dúvida se deve-se converter uma taxa anual em diária, também a taxa 
mensal em diária, visto que há meses com duração de 30 dias, outros com 
31 dias e fevereiro, com 28 ou 29 dias. Então, como proceder?
Se considerar o ano civil, que contém 365 ou 366 dias, cada mês com 
seu número real de dias e realizar a conversão das taxas por esses números 
de dias, obtém-se a taxa de juro exata.
 2 Se considerar o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial, 
com 30 dias, e realizar a conversão das taxas por esses números 
de dias, obtém-se a taxa de juro comercial.
– 13 –
Introdução e conceitos 
 2 Por convenção, a taxa de juro comercial é a mais adotada. Para 
efeito didático e seguindo uma tendência mundial, será abor-
dado em nossos estudos o padrão comercial de taxa.
Exercícios resolvidos
1. Um inquilino quitou seu aluguel, que estava atrasado por 15 
dias, pelo valor total de R$ 1.050,00. O dono do imóvel infor-
mou que estava cobrando R$ 150,00 de juros pelo atraso. Nessa 
operação de pagamento de aluguel com juros, qual é o valor do 
capital, do montante e dos juros?
Montante = Capital + Juros logo Capital = Montante – Juros
R$ 1.050,00 é o valor do montante, pois os juros estão embuti-
dos nesse valor.
Capital = Montante - Juros
Capital = 1.050,00 – 150,00
Capital = 900,00
Resposta: Capital = R$ 900,00; montante = R$ 1.050,00 e juros 
= R$ 150,00
2. Um investidor conseguiu uma taxa de juros composto para a 
aplicação de 3% ao mês. Ele está decidido a deixar seu capital 
aplicado por 12 meses. Quanto será essa taxa anual?
Busca-se a taxa equivalente, pois os juros são compostos.
Para capitalizar essa taxa, é necessário transformá-la em índice.
�% � ,3
3
100
0 03= =
Para transformar em índice, soma-se o valor decimal da taxa 
mais 1.
1 + 0,03 = 1,03
Para capitalizar por 12 meses, utiliza-se a potenciação.
Administração financeira de organizações
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Taxa de juros composto anual = 1,0312 = 1,03 x 1,03 x 1,03 ... Mul-
tiplica-se os fatores por 12 vezes, um pelo outro = 1,0312 = 1,4257.
Na HP 12C:
1,03 enter 12 yx= 1,4257
1.4 Juros Simples
Houve uma época em que as pessoas preferiam guardar o dinheiro 
em casa, em cofres, armários ou até embaixo do colchão. No entanto, 
atualmente, poucas pessoas estão dispostas a agir dessa maneira. Pelo 
contrário, quem tem dinheiro disponível procura alguma forma de 
empregá-lo para obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, no mer-
cado financeiro ou simplesmente emprestando-o a terceiros. Essa é uma 
forma de capitalizar o dinheiro, por meio do recebimento de juro.
Figura 1.1
Fonte: Shutterstock.com/granata68
Juro é a quantia que se recebe (quando se empresta ou que se paga) 
quando se toma emprestado, como compensação pelo uso do dinheiro. A 
operação em que o capital é remunerado pelo juro chama-se capitalização. 
Quando o capital é aplicado por vários períodos, por uma certa taxa de 
juro, o montante aumentará de acordo com duas convenções, denomina-
– 15 –
Introdução e conceitos 
das regimes de capitalização. Existe o regime de capitalização simples, ou 
juros simples, e o regime de capitalização composto, ou juros compostos.
As instituições financeiras operam no mercado, basicamente, traba-
lhando com os juros. Geralmente, intermediam as operações de captação 
de dinheiro e empréstimos. A captação é realizada com uma taxamenor do 
que a taxa de empréstimo; essa diferença é o lucro das instituições finan-
ceiras. A diferença entre a taxa de captação e a de empréstimo é chamada 
de spread, que é apropriada pelo intermediário financeiro. As opções para 
investimentos ou aplicações são várias: caderneta de poupança, CDB, 
RDB, fundos de investimentos e outros. Da mesma forma, na busca de 
empréstimo, encontra-se várias modalidades: empréstimo consignado, 
empréstimo pessoal, financiamento imobiliário, financiamento de veículo, 
financiamento agrícola, financiamento empresarial e outros, cujas taxas 
variam de acordo com os valores e as garantias apresentadas.
O governo utiliza a influência na determinação da taxa de juros para 
manter um equilíbrio na oferta e na procura de crédito, no mercado finan-
ceiro. A taxa básica de juros no Brasil, conhecida como a taxa Selic (Sistema 
Especial de Liquidação e Custódia), influencia o comportamento das taxas 
de juros de todo o mercado financeiro e da economia brasileira, em geral. A 
taxa Selic é definida pelo Copom (Comitê de Política Monetária do Banco 
Central), após análises e estudos do comportamento do mercado.
1.4.1 Aplicação dos Juros Simples
No regime de capitalização simples, o juro gerado em cada período é 
constante e igual ao produto do capital pela taxa e os juros são pagos ape-
nas ao final da operação. Ou seja, o valor dos juros simples não se soma ao 
capital para o cálculo de novos juros, em certo período de tempo.
O prazo deve ser expresso na mesma unidade de tempo da taxa de 
juros, isto é, se a operação se dá em cinco meses, a taxa de juros expressa 
na operação deve ser a taxa mensal. Se estiver em outro período de tempo, 
deve ser convertida, podendo ainda converter o prazo para a mesma uni-
dade de tempo da taxa. Ao desenvolver os cálculos e praticá-los durante 
os estudos nesse livro, o leitor se habituará com a conversão e ajuste das 
taxas e prazos.
Administração financeira de organizações
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A taxa de juros, geralmente, é fornecida em percentual. Por exem-
plo: 10% ao ano, 0,5% ao mês, 2% ao trimestre e assim por diante. No 
entanto, para facilitar os cálculos financeiros, essa taxa pode ser expressa 
em número decimal. Por exemplo: 10% é igual a 0,1; 0,5% é igual a 0,005; 
2% é igual a 0,02. Essa forma de expressar a taxa de juros é importante 
para facilitar os cálculos da taxa em períodos maiores de sua aplicação.
Exemplo 1 – Taxa percentual e decimal
� % � ,10
10
100
0 1= =
2
2
100
0 02% � ,= =
0 5
0 5
100
0 005, % �
,
,= =
Observação: Duas maneiras de realizar o mesmo cálculo:
 2 Se realizar o cálculo de 2.000 x 0,5% em uma calculadora, utili-
zando a tecla %, obterá o valor 10.
 2 Se realizar o cálculo de 2.000 x 0,005, como multiplicação 
direta, também obterá o valor 10.
Exemplo 2 – Juros Simples
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado durante dois anos, com a 
taxa de 12% a.a., em regime de juros simples.
 2 Durante o primeiro ano, o juro gerado foi de R$ 10.000,00 x 
0,12 = 1.200,00.
 2 Durante o segundo ano, o juro gerado foi de R$ 10.000,00 x 0,12 
= 1.200,00.
 2 O total de juros, nos dois anos, foi de R$ 2.400,00.
 2 Somente o capital aplicado rende juros.
 2 O montante, então, é de R$ 12.400,00. 
– 17 –
Introdução e conceitos 
Figura 1.2 – Esquema de Juros Simples
10.000
1.200 1.200
1 2
12.400
Fonte: elaborada pelo autor.
Tabela 1.2 – Juros Simples
Período Capital Taxa de Juros Valor dos Juros
1º ano
R$ 10.000,00
12% R$ 1.200,00
2º ano 12% R$ 1.200,00
Total R$ 10.000,00 + R$ 2.400,00 
Montante R$ 12.400,00
Fonte: elaborada pelo autor.
Então, observa-se que, na capitalização simples, os juros são iguais em 
todos os períodos, aplicando-se o produto do capital pela taxa, naquele período.
Considerando um capital C, aplicando a juros simples, à taxa i por 
período, durante n períodos de tempo, deduz-se a fórmula dos juros simples:
J = C.i.n
Em que:
J = Juros
C = Capital
i = taxa
n = período de tempo
Exercícios resolvidos
Calcular os juros simples, produzidos por R$ 15.000,00, durante qua-
tro anos, a uma taxa de juros de 6% ao ano.
Administração financeira de organizações
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j = ? J = C.i.n
c = 15.000 J = 15.000 x 0,06 x 4
i = 6% a.a. J = 15.000 x 0,24
n = 4 J = 3.600,00
Resposta: Os juros simples são de R$ 3,600,00.
Observação:
Qual é o valor de resgate dessa operação? Qual é o montante?
O montante é o resultado da soma do capital com os juros apurados.
Então, montante = 15.000 + 3.600 = 18.600.
Resposta: O valor de resgate é de R$ 18.600,00.
1. Determinar montante: Rita realizou um empréstimo em seu 
banco, pelo prazo de três meses, no valor de R$ 1.700,00. A taxa 
de juro simples para a operação foi de 3% ao mês. Qual o valor 
do montante que Rita pagará ao final do empréstimo?
J = ?
C = 1.700,00
i = 3% a.m. ou 0,03
n = 3 meses
M =
Resposta: O valor do montante que deverá ser pago por Rita é 
de R$ 1.853,00.
Primeiro determinar o valor dos juros:
J = C.i.n
J = 1.700 x 0,03 x 3
J = 153,00
Segundo determinar o valor do Montante:
M = C + J
– 19 –
Introdução e conceitos 
M = 1.700 + 153
M = 1.853,00
2. Determinando o capital, a partir do montante: Paulo pagou R$ 
1.950,00 por um empréstimo, ao final de cinco meses. A taxa 
de juros simples dessa operação foi de 6% ao mês, o que cor-
respondeu a R$ 90,00 de juros mensais. Qual o valor do capital 
emprestado por Paulo?
J =?
C =?
M = 1.950
i = 6% a.m.
n = 5
Resposta: O valor do capital tomado por Paulo foi de R$ 
1.500,00.
O primeiro passo é determinar o valor dos juros pagos:
Valor de juros mensal = R$ 90,00 x 5 meses
Juros = R$ 450,00
O segundo passo é aplicar a fórmula do capital:
C = M – J
C = 1.950 – 450
C = 1.500
3. Determinando a taxa de juros aplicada: Um capital de R$ 
7.000,00, aplicado por sete meses, produziu um montante de 
R$ 9.450,00. Qual é a taxa de juros simples mensal, utilizada 
nesta operação?
J = ?
C = 7.000
M = 9.450
Administração financeira de organizações
– 20 –
i = ?
n = 7
Resposta: A taxa de juros da operação é de 5% ao mês.
O primeiro passo é determinar o valor dos juros:
J = M – C
J = 9.450 – 7.000
J = 2.450
O segundo passo é aplicar a fórmula da taxa de juros simples:
i J
C n
=
.
i
x
= = =
2 450
7 000 7
2 450
49 000
0 05
.
.
.
.
,
1.5 Juros Compostos
O Sistema Financeiro Brasileiro utiliza-se de juros compostos em 
praticamente todas as operações financeiras. As instituições bancárias 
captam recursos oferecendo as mais variadas operações de investimentos 
e aplicações de recursos financeiros. Nessas operações, a taxa de juros, 
oferecida pelo banco, remunera o capital e o valor do juro é incorporado 
a esse capital, produzindo, assim, um sistema de capitalização composto. 
A oferta de empréstimos e financiamentos pelas instituições financeiras 
também são operacionalizadas pelos juros compostos. O banco cobra uma 
taxa de juros pelo capital que o cliente toma emprestado, resultando no 
valor do juro, que é incorporado ao capital. 
No prosseguimento da operação, a taxa de juros incidirá sobre esse 
valor do capital, adicionado ao juro. Não há uma fixação da taxa de juros 
pelos órgãos reguladores da economia, no entanto, essa taxa de juros 
baseia-se no índice da taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Cus-
tódia). Essa taxa é fornecida pelo Banco Central – BACEN. O COPOM – 
– 21 –
Introdução e conceitos 
Comitê de Política Monetária – estabelece as regras e diretrizes da política 
monetária e define a taxa básica de juros, a taxa Selic. Essa taxa é consi-
derada a taxa básica de juros do país e as instituições financeiras orbitam 
com suas taxas de juros em torno dela. É possível acompanhar as datas de 
reunião do COPOM e o valor da taxa Selic pelo site do Banco Central do 
Brasil: https://www.bcb.gov.br/.
A forma que se calcula os juros em uma operação financeira, seja 
ela de tomada de empréstimo ou de concessão de financiamento, é muito 
importante para a definição do resultado final. Quando se fala de juroscompostos, essa importância é ainda maior, pois, nesse sistema de capi-
talização, os juros recompõem o capital, constantemente. Os ganhos das 
instituições financeiras são resultados das estratégias utilizadas na opera-
cionalização das taxas de juros. A instituição financeira sempre cobra uma 
taxa de juros maior do que a taxa que ela paga; isso se chama spread, que 
se refere à diferença entre a taxa de juros cobrada e a taxa de juros paga.
No regime de capitalização composta, os juros gerados em cada perí-
odo agregam-se ao montante do período anterior, sendo que esse novo 
montante passa a produzir juros no período seguinte. O valor soma-se ao 
capital para o cálculo de novos juros. Capitalização composta ou juros 
compostos consiste no valor do juro do primeiro período, ou seja, o capital 
vezes a taxa, que se agrega ao capital, resultando no montante M. O juro 
do segundo período, que é igual ao produto M, pela taxa, agrega-se a M1, 
resultando no montante M2, e assim por diante.
Tabela 1.3 – Capitalização Composta
Período Capital Taxa de juros
Valor dos 
juros Montante
1 R$ 1.000,00 3,5% R$ 35,00 R$ 1.035,00
2 R$ 1.035,00 3,5% R$ 36,23 R$ 1.071,23
3 R$ 1.071,23 3,5% R$ 37,49 R$ 1.108,72
4 R$ 1.108,72 3,5% R$ 38,81 R$ 1.147,52
Total de Juros R$ 147,52
Fonte: elaborada pelo autor.
Administração financeira de organizações
– 22 –
Observe:
 2 A taxa de juros é de 3,5% por período.
 2 A operação origina-se com o valor do capital de R$ 1.000,00.
 2 No primeiro período, aplica-se a taxa sobre o capital: R$ 
1.000,00 X 3,5% = R$ 35,00. Há a obtenção dos juros.
 2 Soma-se os juros ao capital, o que resulta no valor do montante: 
R$ 1.035,00.
 2 O capital para o segundo período é o montante do primeiro perí-
odo: R$ 1.035,00.
 2 Cálculo dos juros: R$ 1.035,00 X 3,5% = R$ 36,22, que se refere 
aos juros do segundo período.
 2 Soma-se o capital aos juros: R$ 1.035,00 + R$ 36,22 = R$ 
1.071,22 é o montante do segundo período.
 2 O capital para o terceiro período é o montante do segundo perí-
odo, no valor de R$ 1.071,22.
 2 Cálculo dos juros: R$ 1.071,22 X 3,5% = R$ 37,49 são os juros 
do terceiro período.
 2 Soma-se o capital aos juros: R$ 1.071,22 + R$ 37,49 = R$ 
1.108,71 é o montante do terceiro período.
 2 O capital para o quarto período é o montante do período ante-
rior: R$ 1.108,71.
 2 Cálculo dos juros: R$ 1.108,71 X 3,5% = R$ 38,80 são os juros 
do quarto período.
 2 Soma-se o capital aos juros R$ 1.108,71 + R$ 38,80 = R$ 
1.147,51 é o montante do quarto período.
A Tabela 1.3 foi elaborada em uma planilha do Excel. Esse recurso é 
muito útil na Matemática Financeira, visto que é possível reproduzir cál-
culos complexos, assim como elaborar planilhas completas para as mais 
diversas situações financeiras. A dica é utilizar planilhas no desenvolvi-
mento de cálculos financeiros e estatísticos. Esse recurso deve ser empre-
– 23 –
Introdução e conceitos 
gado não apenas na Matemática Financeira, mas em todas as disciplinas 
que envolvem Matemática e suas tecnologias.
A seguir, uma planilha do Excel que demonstra as fórmulas utilizadas 
na Tabela 1.3. Para melhor aproveitamento do conteúdo e dos estudos da 
Matemática Financeira, sugere-se a reprodução e o emprego desta tabela, 
nesse capítulo.
Tabela 1.4 – Demonstração das fórmulas utilizadas na Tabela 1.3
Período Capital Taxa de juros
Valor dos 
juros Montante
1 100 0,035 =C3*D3 =C3+E3
2 =F3 0,035 =C4*D4 =C4+E4
3 =F4 0,035 =C5*D5 =C5+E5
4 =F5 0,035 =C6*D6 =C6+E6
Total de Juros =SOMA/E3-E6
Fonte: elaborada pelo autor.
Utilizando a planilha Excel, com as respectivas fórmulas, pode-se 
alterar a taxa de juros para simular as variações dos valores dos juros e 
montantes, conforme a taxa empregada. Essa simulação é importante para 
compreender como uma pequena variação na taxa pode corresponder a 
valores altos de juros.
Tabela 1.5 – Capitalização Composta: Alteração na Taxa
Período Capital Taxa de juros
Valor dos 
juros Montante
1 R$ 1.000,00 3,8% R$ 38,00 R$ 1.038,00
2 R$ 1.038,00 3,8% R$ 39,44 R$ 1.077,44
3 R$ 1.077,44 3,8% R$ 40,94 R$ 1.118,39
4 R$ 1.118,39 3,8% R$ 42,50 R$ 1.160,89
Total de Juros R$ 160,89
Fonte: elaborada pelo autor.
Administração financeira de organizações
– 24 –
Observe que uma alteração pequena na taxa de juros, de 3,5% para 
3,8%, ou seja, um incremento de 0,3%, resultou em um aumento de R$ 
13,37 nos juros totais.
Observe esse outro exemplo:
Tabela 1.6 – Capitalização Composta: Alteração na Taxa
Período Capital Taxa de juros
Valor dos 
juros Montante
1 R$ 1.000,00 5,2% R$ 52,00 R$ 1.052,00
2 R$ 1.052,00 5,2% R$ 54,70 R$ 1.106,70
3 R$ 1.106,70 5,2% R$ 57,55 R$ 1.164,25
4 R$ 1.164,25 5,2% R$ 60,54 R$ 1.224,79
Total de Juros R$ 224,79
Fonte: elaborada pelo autor.
Nessa nova tabela, a variação da taxa foi de 3,5% para 5,2%, com 
aumento de 1,7% na taxa, o que representa um acréscimo de R$ 77.27 nos 
juros totais.
Foi utilizado como exemplo um prazo curto de quatro meses. 
Quanto mais longo o prazo, maior é o efeito da taxa de juros sobre o 
capital, visto que os valores dos juros incorporam a esse capital, mês 
a mês. A taxa de juros utilizada e o prazo refletem muito no valor final 
da operação. Quanto maior a taxa e o prazo, maior será o montante e os 
juros pagos.
1.5.1 Aplicação das fórmulas dos juros compostos
Foi definido o que é juro composto, que se refere aos juros gerados 
em cada período e que se integram ao montante do período anterior. Este 
novo montante passa a produzir juros no período seguinte.
A fórmula do montante para juros compostos é a seguinte:
M = C . (1 + i)n
Em que:
– 25 –
Introdução e conceitos 
M = Montante
C = Capital
1 = representa o índice do capital (soma do capital + juros)
i = taxa de juros
n = prazo ou período
Observações:
 2 O fator (1 + i)n, chamado de fator de acumulação de capital, 
pode ser calculado diretamente, por meio de uma calculadora 
financeira ou científica.
 2 A taxa deve ser representada em número decimal. Ex.: 3% é 
igual a 0,03.
 2 As calculadoras financeiras permitem calcular diretamente qual-
quer variável da fórmula.
 2 Informados os valores de três variáveis, a calculadora apresenta 
como resultado a quarta variável.
A terminologia utilizada nas calculadoras financeiras é a seguinte:
FV do inglês Future Value. Representa o montante.
PV do inglês Present Value. Representa o capital.
i do inglês interest rate. Representa a taxa de juros.
n – Representa o número de períodos.
Na maioria das calculadoras financeiras, os valores de FV e PV apa-
recem com valor positivo e valor negativo. Isso ocorre porque, nas teclas 
financeiras, uma entrada é representada por um número positivo e uma 
saída é representada por um número negativo.
Para um tomador de empréstimo:
 2 PV é representado por um valor positivo.
Administração financeira de organizações
– 26 –
 2 FV é representado por um valor negativo.
Tomador de empréstimo
FV
PV
Para um emprestador:
 2 PV é representado por um valor negativo.
 2 FV é representado por um valor positivo.
Emprestador
FV
PV
Geralmente, nas calculadoras financeiras, assim como na HP 12C, 
ao inserir os valores de PV, FV ou PMT, um desses valores é inserido 
com seu valor negativo. Digita-se o valor absoluto, seguido da tecla CHS 
Change Sign ou, dependendo da calculadora, a tecla +/-
Exercícios resolvidos com 
fórmula e calculadora HP
1. Calcular Montante: Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a 
juros compostos, durante quatro meses, com a taxa de 2,5% a.m.
a) Qual o montante?
b) Qual o total de juros auferidos?
– 27 –
Introdução e conceitos 
Resolução:
a) C = 12.000 i = 2,5% a.m. ou 0,025 n = 4 meses
Aplicando a fórmula: M = C.
M = 12.000.
M = 12.000.
M = 12.000 x 1,1038
+-M = R$ 13.245,60
b) Sabe-se que os juros são iguais ao valor do montante, menos o 
valor do capital.
J = M – C
J = 13.245,60 – 12.000,00
J = R$ 1.245,60
Resposta: O montante foi de R$ 13.245,60 e os juros correspon-
dem a R$ 1.245,60.
Resolução na HP 12C (Antesdo uso das teclas financeiras, deve-
-se limpar os registros):
f CLEAR FIN
4 n
2,5 i
12.000 CHS PV
→ FV FV
R$ 13.245,60
J = 13.245,60 – 12.000,00
J = R$ 1.245,60
Administração financeira de organizações
– 28 –
Resposta: O montante foi de R$ 13.245,60 e os juros são de R$ 
1.245,60.
2. Calcular taxa de juros: Um capital de R$ 10.000,00 foi apli-
cado durante cinco meses, a juros compostos, produzindo um 
capital de R$ 14.693,28. Qual é a taxa de juros mensal dessa 
operação?
C = 10.000 M = 14.693,28 n = 5 meses i =?
Resolução:
Aplicando a fórmula: M = C.(1+i)n
14.693,28 = 10.000.(1+i)5
14 693 28
10 000
1
5. ,
.
� �� �i
1 469328 1
5
, � �� �i
1 469328 15 , � � i
1,08 = 1 + i
1,08 – 1 = i
i = 0,08 – Passando para percentual = 8% ao mês.
Resolução na HP 12C (Antes do uso das teclas financeiras, lim-
par registros):
10.000 CHS PV
14.693,28 FV
5 n 
 i FV
→ 8
– 29 –
Introdução e conceitos 
Resposta: A taxa de juros da operação é de 8% ao mês.
3. Calcular o Capital: Qual é o capital que, aplicado a juros com-
postos, durante onze meses, com a taxa de juros de 3% a.m., 
produz um montante de R$ 48.448,19?
M = R$ 48.448,19 n= 11 meses j = 3% ao mês C=?
Resolução:
Aplicando a fórmula: M = C.(1+i)n
48.448,19 = C.(1+0,03)11
48.448,19 = C.(1,03)11
48.448,19 = C. (1,354233871)
48 448 19
1 354233871
. ,
.
 = C
C = 35.000,00
Resposta: O capital aplicado é de R$ 35.000,00.
Resolução na HP 12C (Antes do uso das teclas financeiras, lim-
par registros):
48.448,19 CHS FV
11 n 
3 i FV
 PV
→ 35.000,00
Resposta: O capital aplicado é de R$ 35.000,00.
1.6 Descontos Comerciais ou Bancários
A ideia de desconto está associada à redução de um valor monetá-
rio em determinadas condições. Por exemplo: Quando uma compra ou 
Administração financeira de organizações
– 30 –
negociação é realizada em grande quantidade, é comum que o vendedor 
conceda algum desconto no preço unitário ou no preço final. É também 
habitual, no comércio, a concessão de prazo para pagamento das com-
pras ou descontos para pagamento à vista. Nessas situações, o desconto é 
representado por um percentual aplicado sobre o preço.
Como exemplo, considere que determinado produto é vendido por 
R$ 30,00 a unidade. Caso o comprador adquira mais de 200 unidades, 
obterá um desconto de 5% no total das compras. Em tais condições, o 
desconto é:
30,00 X 5% = 1,50 – O desconto é de R$ 1,50 por unidade.
30,00 – 1,50 = 28,50 – Preço para compras acima de 200 unidades.
Outra condição é quando a empresa vende um produto a prazo. 
Nessa situação, o vendedor emite uma duplicata, com direito de receber 
do comprador o valor acordado na venda, na data futura. Caso a empresa/
vendedor necessite de dinheiro, ela poderá ir a um banco e realizar um 
desconto de duplicata. Em síntese, a empresa cede ao banco o direito do 
recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. 
O banco cobra da empresa uma taxa de juros por antecipar o recebimento.
Exemplo: Considere uma venda de R$ 12.000,00. A empresa emi-
tiu uma duplicata desse valor para vencimento em três meses. A empresa 
necessita do dinheiro agora, então, seu representante vai ao banco e soli-
cita uma operação de desconto de duplicata. O banco oferece o adianta-
mento do valor da duplicata, mediante o pagamento de uma taxa de des-
conto de 2% ao mês. A operação se dá da seguinte forma:
D = N.d.n
D = Desconto comercial ou bancário
N = Valor nominal da duplicata
d = Taxa de juros do desconto
n = Prazo de vencimento
Aplicando a fórmula:
D = 12.000 x 2% x 3
– 31 –
Introdução e conceitos 
D = R$ 720,00 - Valor de desconto cobrado pelo banco, pela anteci-
pação do dinheiro.
V = N – D
V = Valor líquido
N = Valor nominal
D = Desconto comercial ou bancário
Aplicando a fórmula:
V = 12.000 – 720
V = R$ 11.280,00 – Valor líquido recebido pela empresa, na operação 
de desconto de duplicata, realizada com o banco.
1.7 Valor atual, valor nominal e 
equivalência de capitais
É muito comum instituições apresentarem valores de dívidas para 
seus consumidores e, logo em seguida, oferecerem descontos generosos. 
No entanto, esses descontos nada mais são do que o valor atual da dívida. 
Quando o cliente contrata uma operação de financiamento ou empréstimo, é 
aplicado, ao valor inicial, uma taxa de juros por todo o período do contrato. 
Quando o cliente assina o contrato da operação, assume toda a dívida, ou seja, 
o montante. Quando a instituição busca uma negociação para a quitação dessa 
dívida e oferece desconto para quitá-la, traz o valor nominal da dívida para o 
valor atual. Trata-se apenas da habilidade das instituições financeiras em usar 
a Matemática Financeira como ferramenta de negociação.
Considere que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 2.800,00 a ser 
paga daqui a seis meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros 
simples, com a taxa de 3% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar 
a dívida no seu vencimento?
Em casos como esse, chama-se o valor da dívida, na data de seu ven-
cimento, de valor nominal. Já o valor aplicado a juros simples, em uma 
data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante 
igual ao valor nominal, chama-se valor atual.
Administração financeira de organizações
– 32 –
Indica-se:
N = valor nominal
V = valor atual
i = taxa de juros
n = o prazo de aplicação
Figura 1.3 – Valor Nominal e Valor Atual
V
N
0 n
Fonte: elaborada pelo autor.
Então:
V + V.i.n = N
Assim, no exemplo citado:
V + V.i.n = N
V + V(0,03).6 = 2.800
V + 0,18V = 2.800
1,18V = 2.800
V = 
2 800
1 18
.
,
V = 2.372,88
Essa pessoa deverá aplicar, hoje, R$ 2.372,88 para saldar o compro-
misso de R$ 2.800,00 daqui a seis meses.
– 33 –
Introdução e conceitos 
1.7.1 Equivalência de Capitais
Podemos afirmar, no exemplo anterior, que o valor de R$ 2.800,00, 
daqui a seis meses, será equivalente a R$ 2.373,88, hoje. A essa situação 
chamamos EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.
Consideramos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo. 
São equivalentes quando submetidos à mesma taxa de juros e transporta-
dos para uma mesma data, produzindo, nessa data, valores iguais.
Exercício resolvido
1. Determinar valor atual: Um investidor vai adquirir um título de 
uma empresa, cujo valor nominal é de R$ 87.500,00. Seu prazo 
de vencimento é igual a dez meses. A taxa de juros simples da 
operação é de 2,5% ao mês. Quanto o investidor deverá pagar, 
como valor atual, pelo título?
N = 87.500
i = 2,5% ou 0,025
n = 10
V = ?
Resposta: O investidor deverá pagar R$ 70.000,00, como valor 
atual, pelo título.
Aplicando a fórmula do valor atual
V + V.i.n = N
V +V.(0,025).10 = 87.500
V + 0,25V = 87.500
1,25V = 87.500
V = 
87 500
1 25
.
,
V = 70.000
V = R$ 70.000,00
Administração financeira de organizações
– 34 –
1.8 Amortizações de Empréstimos
As operações de empréstimos de médio e longo prazo, por razões 
contábeis, são analisadas período por período, no que diz respeito ao paga-
mento dos juros e à devolução do principal.
Vamos definir alguns elementos para estudo:
 2 saldo devedor – é a diferença entre o valor financiado, reajus-
tado, e o valor que já foi pago (amortização) até o momento. É o 
valor que ainda resta a ser pago.
 2 amortização – é o processo de pagamentos que amortizam, 
periodicamente, parte do saldo devedor até sua extinção.
 2 valor de juros – é a remuneração paga pelo uso do dinheiro.
 2 taxa de juros – representada por número percentual, corres-
ponde ao índice aplicado para correção ou desconto em um capi-
tal ou principal.
 2 prestação – corresponde ao valor da amortização, acrescida do 
valor dos juros.
 2 prazo – corresponde ao período em que o capital é aplicado ou 
descontado.
1.8.1 Sistema 
de Amortização 
Constante (SAC)
Geralmente, o mais 
utilizado. Os juros e o 
capital são calculados 
uma única vez e dividi-
dos para o pagamento 
em várias parcelas, 
durante o período.
Figura 1.4 – Sistema de Amortização Constante(SAC)
Fonte: elaborada pelo autor.
– 35 –
Introdução e conceitos 
1.8.2 Sistema Price ou Francês
Geralmente, usados em financiamentos de bens de consumo. Todas 
as parcelas são iguais e com os juros já embutidos.
Figura 1.5 – Sistema Francês de Amortização (Price)
Fonte: elaborada pelo autor.
1.8.3 Sistema de 
Amortização Misto
Calcula-se o financia-
mento pelos métodos SAC 
e Price e faz-se uma média 
aritmética das prestações 
desses dois sistemas, che-
gando ao valor da presta-
ção do sistema misto.
Exercícios 
resolvidos
1. Com base no Sistema de Amortização Constante, correspon-
dente ao financiamento imobiliário de R$ 135.000,00, com taxa 
Figura 1.6 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Fonte: elaborada pelo autor.
Administração financeira de organizações
– 36 –
de juros de 1,2% ao mês, a ser liquidado em 180 prestação men-
sais, determine o valor das três primeiras prestações.
Conforme conceituado, Prestação é a soma da Amortização e 
dos Juros. Necessita-se, então, determinar o valor da Amortiza-
ção e dos Juros para definir a Prestação.
A Amortização é definida com a divisão do valor do Saldo Deve-
dor pelo prazo:
A SaldoDevedor
n
=
135 000
180
. A = 750,00
Os Juros são definidos pela aplicação da taxa de juros mensal 
sobre o Saldo Devedor:
J = SD. i J = 135.000 x 1,2% J = 1.620,00
A Prestação é a soma da Amortização e dos Juros: P = A + J
Primeira Prestação 
P = A + J P = 750 + 1.620 P = 2.370,00
Tabela 1.7 – Financiamento do SAC
Número da 
Parcela Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 135.000,00
1 750,00 1.620,00 2.370,00 134.250,00
2 750,00 1.611,00 2.361,00 133.500,00
3 750,00 1.602,00 2.352,00 132.750,00
Fonte: elaborada pelo autor.
 2 Observe que a Amortização vai ter o mesmo valor até o final do 
financiamento. Por esse motivo, o nome da modalidade é Amor-
tização Constante.
 2 A taxa de juros é aplicada sempre no Saldo Devedor atual.
– 37 –
Introdução e conceitos 
 2 Então, para a primeira prestação, o Saldo Devedor utilizado é o 
inicial de R$ 135.000,00.
 2 Para a segunda prestação, será o Saldo Devedor correspondente 
a 135.000,00 – 750,00 = 134.250,00.
 2 Consequentemente, para a terceira prestação, o Saldo Devedor 
correspondente será de 134.250,00 – 750,00 = 133.500,00 e 
assim por diante, para calcular as demais prestações.
Segunda Prestação:
J = SD. i J = 134.250 x 1,2% J = 1.611,00
P = A + J P = 750 + 1.611 P = 2.361,00
Terceira Prestação:
J = SD. i J = 133.500 x 1,2% J = 1.602,00
P = A + J P = 750 + 1.602 P = 2.352,00
Então, temos como as três primeiras prestações os valores: R$ 
2.370,00; R$ 2.361,00 e R$ 2.352,00, conforme indica a Tabela 1.7.
2. Vamos usar os mesmos valores do exercício anterior. Com base 
no Sistema Francês de Amortização, correspondente ao finan-
ciamento imobiliário de R$ 135.000,00, com a taxa de juros de 
1,2% ao mês, a ser liquidada em 180 prestação mensais, deter-
mine o valor das três primeiras prestações.
Fórmula para calcular a prestação no Sistema Francês:
P SD
i i
i
n
n�
�� �
�� � �
.
.1
1 1
P �
�� �
�� � �
135 000
1 0 012 0 012
1 0 012 1
180
180
. .
, . ,
,
P � � �
� � �
135 000
1 012 0 012
0 012 1
180
180
. .
, . ,
,
Administração financeira de organizações
– 38 –
P SD�
�
.
,
,
0 1027248
8 5604 1 
P =135 000 0 1027248
7 5604
. .
,
,
P = 135.000. 0,01358722 P = 1.834,27
Na HP 12C:
135.000 CHS PV
1,2 FV
180 n 
 PMTFV
1.834,27
Primeira Prestação = 1.834,27
 2 Para o Sistema Francês, o valor das prestações é constante, 
então, após determinar o valor da primeira prestação, as demais 
terão o mesmo valor até o término do financiamento.
 2 Vamos determinar o valor da Amortização e dos Juros para com-
por a tabela de financiamento.
Amortização:
A = P – j A = 1.834,27 – 1.620,00 A = 214,27
Juros:
J = SD. i J = 135.000 x 1,2% J = 1.620,00
Com esses valores, podemos determinar o Saldo Devedor.
SD = SDinicial – Amortização
SD = 135.000,00 – 214,27
SD = 134.785,73
– 39 –
Introdução e conceitos 
Segunda Prestação
P = 1.834,27
Terceira Prestação
P = 1.834,27
Tabela 1.8 – Financiamento Price/Francês
Número da 
Parcela Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 135.000,00
1 214,27 1.620,00 1.834,27 134.785,73
2 216,84 1.617,43 1.834,27 134.568,89
3 219,45 1.614,82 1.834,27 134.349,44
Fonte: elaborada pelo autor.
3. Para o sistema SAM, vamos também usar os mesmos valores 
dos exercícios anteriores.
Como determina a definição do Sistema de Amortização Mista, 
os valores para Prestação, Amortização, Juros e Saldo Devedor 
são médias entre a somatória dos respectivos valores do Sistema 
de Amortização Constante e o Sistema Francês.
Então, temos:
Primeira Prestação:
P P SAC P SAF� � �1 1
2 
P � �2 370 00 1 834 27
2
. , . ,
P = 4 204 27
2
. ,
 P = 2.102,13
Juros da primeira parcela:
Administração financeira de organizações
– 40 –
J J SAC J SAF� � �1 1
2 
J � �1 620 00 1 620 00
2
. , . ,
 
J = 1.620,00
Segunda Prestação:
P P SAC P SAF� � �1 1
2 
P � �2 361 00 1 834 27
2
. , . ,
P= 2.097,63
Terceira Prestação:
P P SAC P SAF� � �1 1
2 
P � �2 352 00 1 834 27
2
. , . ,
P = 2.093,13
Tabela 1.9 – Sistema de amortização misto
Número da 
Parcela Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 135.000,00
1 482,13 1.620,00 2.102,13 134.517,86
2 483,42 1.614,21 2.097,63 134.034,44
3 484,72 1.608,41 2.093,13 133.54,72
Fonte: elaborada pelo autor.
Atividades
1. Segundo especialistas, em média, 25% do consumo de energia 
elétrica de uma residência deve-se ao chuveiro elétrico. A última 
conta de energia elétrica da casa de Maria foi de R$ 250,40. 
Maria resolveu instalar equipamentos de captação de energia 
solar para alimentar o chuveiro. Com isso, não teria ônus com o 
– 41 –
Introdução e conceitos 
consumo de energia, apesar do custo de instalação das placas de 
energia solar. Qual a economia financeira que Maria vai ter na 
sua conta de energia elétrica?
2. Uma televisão é vendida à vista, por R$ 1.800,00, ou então, 
a prazo, com R$ 500,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 
1.456,00, após três meses. Qual é a taxa mensal de juros simples 
do financiamento?
3. João está pesquisando sobre as taxas de juros simples em três 
instituições financeiras, para um empréstimo. A instituição Alfa 
ofereceu uma taxa de juros simples de 24% ao semestre; a ins-
tituição Beta ofereceu uma taxa de juros de 15% ao trimestre e 
a instituição Gama ofereceu uma taxa de juros simples de 4,5% 
ao mês. Qual é a instituição que está oferecendo a taxa de juros 
simples mais baixa para João?
4. Um investidor decide comprar um título de uma dívida com ven-
cimento em 18 meses, cujo valor nominal é de R$ 98.600,00. 
Para aquisição desse título, está sendo ofertada uma taxa de 
juros simples de 2,5% a.m. Qual é o valor atual desse título?
Referências
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. Ed. 
Atlas, São Paulo, 2003.
BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira: com 
HP 12c e Excel. São Paulo: Atlas, 2002.
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada. São 
Paulo: Thompson Pioneira, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 
13. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
FRANCIS, J. C.; TAYLOR, R. W. Investimentos 2. Ed. New York: 
McGraw-Hill, 2000.
FRANCISCO, Walter de. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
Administração financeira de organizações
– 42 –
GITMAN, L. J.; JHOEHNK, M. D. Princípios de investimentos. 8. ed. 
São Paulo: Pearson, 2005.
HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
KUNHEM, Osmar Leonardo. Matemática Financeira Empresarial. Ed. 
Atlas. São Paulo, 2006.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira – Uma Abordagem 
Moderna – Lapponi Editora Ltda., 2. ed., 1994.
MATHIAS, Washington Franco & Gomes, José Maria. Matemática 
Financeira. Editora Atlas, 1996. SOUZA, Joamir Roberto de. Contato 
Matemática.1. ed. São Paulo: FTD, 2016.MATTOS, A. C. M. O modelo matemático dos juros. Petrópolis: Vozes, 1975.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São 
Paulo: Atlas, 2000.
Resolução
1. 
25
25
100
0 25% ,= =
0,25 x 250,40 = 62,60
Resposta: A economia de energia elétrica será de R$ 62,60.
2. Capital financiado = 1.800 – 500 = 1.300
Montante = 1.456
Juros = 1.456 – 1.300 = 156
i J
C n
�
�
i �
�
156
1 300 3.
– 43 –
Introdução e conceitos 
i = 156
3 900.
i = 0,04 ou 4% a.m.
Resposta: A taxa de juros mensal da operação é de 4% a.m.
3. Convertendo todas as taxas pelo mesmo período de tempo, 
pode-se analisar qual é a taxa de juros simples mais baixa.
O menor período de tempo das taxas de juros apresentadas é a 
taxa para um mês.L
Converte-se todas as taxas para mensais, para comparação.
24% ao semestre = 24% : 6 = 4% ao mês.
15% ao trimestre = 15% : 3 = 5% ao mês.
4,5% ao mês.
Resposta: A taxa de juros simples mais baixa é a da instituição 
Alfa, pois corresponde a 4% ao mês, que é mais baixa que as 
demais taxas de juros apresentadas.
4. 
N = 98.600
i = 2,5% a.m. ou 0,025
n = 18 meses
V = ?
V + V.i.n = N
V + V.(0,025).18 = 98.600
V + 0,45V = 98.600
1,45V = 98.600
V= 98 600
1 45
.
,
Administração financeira de organizações
– 44 –
V = 68.000
Resposta: O valor atual do título é de R$ 68.000,00.