tcm1_capitulo3

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3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
 
A equação da condução de calor nos casos mais genéricos foi deduzida no capítulo 2. No caso 
unidimensional em regime permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada direção, 
independente do tempo. 
 
3.1 Paredes Planas 
 
Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em 
y e z, com temperaturas especificadas, 0T em x = 0 e LT em x = L, Figura 3.1. Suponha que o 
material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na 
parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de 
equações: 
2
2 0
d T
dx
= (3.1) 
0T T= em 0x = (3.2) 
LT T= em x L= (3.3) 
 
 
Figura 3.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica. 
 
A solução da Eq. (3.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (3.1), obtendo-se o 
resultado: 1 2T c x c= + . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (2.2) e 
(2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma: 
( )0 0L
xT T T T
L
= + − (3.4) 
 44
A partir da Eq. (3.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é 
independente de x , devido à variação linear da temperatura, ( )0LdT / dx T T / L= − , e, 
portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como 
( )0 L
dT kq k T T
dx L
′′ = − = − (3.5) 
A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela 
área da superfície A , assim, 
( )o L
kAq q A T T
L
′′= = − (3.6) 
 
3.1.1 Resistência Térmica 
 
O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto, 
define-se: 
t
LR
kA
= (3.7) 
Combinado as Eqs. (3.7) e (3.6) resulta 
o L
t
T Tq
R
−
= (3.8) 
Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (3.8) é completamente análoga à 
corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma 
diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 3.1 
 
3.1.2 Paredes Compostas 
 
Se a parede for constituída de várias camadas de espessura iL e condutividade térmica 
ik , a resistência térmica de cada camada será 
i
t ,i
i
LR
k A
= (3.9) 
A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja, 
i
t
i i
LR
k A
= ∑ (3.10) 
 45
Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de 
materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 3.2. Neste caso, a taxa de calor 
pode ser calculada como 
1 1 2 2 3 3
o LT Tq
L / k A L / k A L / k A
−
=
+ +
 (3.11) 
 
 
Figura 3.2 Parede composta e sua resistência térmica. 
 
3.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor 
 
No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos 
de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na 
outra face; Figura 3.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede 
para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva 
definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja hT com um 
coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a 
temperatura seja cT com um coeficiente ch caracterizando a troca de calor da parede para o 
fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações: 
0h
h
qT T
h
′′
− = (3.12) 
0 L
LT T q
k
′′− = (3.13) 
L c
c
qT T
h
′′
− = (3.14) 
 46
 
Figura 3.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor. 
 
Somando as Eqs. (3.12) – (3.14) obtém-se 
1 1
h c
h c
LT T q
h k h
⎛ ⎞
′′− = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.15) 
Numa forma mais compacta a Eq. (3.15) pode ser reescrita como 
h c
qT T
U
′′
− = (3.16a) 
Ou na forma 
( )h cq U T T′′ = − (3.16b) 
Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por 
1 1 1
h c
L
U h k h
= + + (3.17) 
 
Exercício 3.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de 
vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a 
temperatura é 10ocT C= e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é 
25ch W / m K= . Do lado interno, a temperatura é 40
o
hT C= e devido um ventilador forçar o 
ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é 220hh W / m K= . Calcule o 
fluxo de calor através da parede do incubador. 
 
 47
3.2 Cascas Cilíndricas 
 
Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do 
trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva 
como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial. 
Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da 
termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ir e cuja 
superfície interna esteja a iT . O raio externo é or e a temperatura da superfície externa é oT . O 
fluxo de calor do lado interno é iq′′ e do lado externo será oq′′ ; Figura 3.4. 
 
 
Figura 3.4 Condução radial numa casca cilíndrica. 
 
A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno, 
por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como 
( )2 i iq rl qπ ′′= (3.18) 
O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma: 
i
i
r r
dTq k
dr =
⎛ ⎞′′= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.19) 
 48
O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação 
governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e 
simetria da temperatura é 
1 0d dTr
r dr dr
⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.20) 
sujeita às condições de contorno 
iT T= em ir r= (3.21) 
e 
oT T= em or r= (3.22) 
A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (3.20): 
0d dTr
dr dr
⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.23) 
1
dTr C
dr
= (3.24) 
1dT C
dr r
= (3.25) 
( )1 2T C ln r C= + (3.26) 
A Eq. (3.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (3.21) e (3.22), o que leva 
aos resultados: 
( )1 2i iT C ln r C= + (3.27) 
( )1 2o oT C ln r C= + (3.28) 
Após a eliminação de 2C das Eqs. (3.27) e (3.28) obtém-se 
( )1
i o
i o
T TC
ln r / r
−
= (3.29) 
Finalmente, subtraindo (3.27) de (3.26) resulta 
1i
i
rT T C ln
r
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.30) 
e pelo uso de (3.29) obtém-se 
( ) ( )( )
i
i i o
o i
ln r / r
T T T T
ln r / r
= − − (3.31) 
 49
O gradiente de temperatura pode ser obtido como 
( )
1 i o
i o
T TdT
dr r ln r / r
−
= . Combinando as 
equações (3.18) e (3.19) obtém-se a taxa de calor na forma 
( ) ( )0
2
i
o i
klq T T
ln r / r
π
= − (3.32) 
Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é 
( )
2
o i
t
ln r / r
R
klπ
= (3.33) 
Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que 
( ) ( )2 2i iq rl q rl qπ π′′ ′′= = (3.34) 
E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será 
i
i
rq q
r
′′ ′′= (3.35) 
No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 3.5, cujos raios 
das interfaces sejam 1r e 2r respectivamente com 0 2 1 ir r r r> > > , e as temperaturas do fluido 
interno seja hT com ih e do lado seja cT com oh ; a taxa de calor pode ser calculada como 
( ) ( ) h ci i h c o o h c
t
T Tq U A T T U A T T
R
−
= − = − = (3.36) 
Na qual a resistência térmica pode ser calculada como 
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 3
1 1
2 2 2
i o
t
i i o o
ln r / r ln r / r ln r / r
R
h A k l k l k l h Aπ π π
= + + + + (3.37a) 
 
 
Figura 3.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados. 
 50
Pela combinação das Eqs. (3.36) e (3.37) pode-se demonstrar que 
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 3
1 1 1i i i i o i
i i o o
r ln r / r r ln r / r r ln r / r r
U h k k k h r
= + + + + (3.37b) 
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 3
1 1 1o i o o oo
o i i o
r ln r / r r ln r / r r ln r / rr
U h r k k k h
= + + + + (3.37c) 
As áreasdas superfícies interna e externa da casca são definidas por 
2i iA rlπ= ; 2o oA r lπ= (3.38) 
3.3 Cascas Esféricas 
 
A geometria esférica, Figura 3.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar que 
quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas ( )i oT ,T , a temperatura 
dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o problema, 
com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro, fica na forma: 
2
2
1 0d dTr
r dr dr
⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.39) 
sujeita às condições de contorno 
iT T= em ir r= (3.40) 
e 
oT T= em or r= (3.41) 
 
Figura 3.6 Condução radial através de uma casca esférica. 
 51
Multiplicando a Eq. (3.39) por 2r dr e integrando uma vez resulta 
2
1
dTr C
dr
= ou 12
dT C
dr r
= (3.42) 
Agora, multiplicando a Eq. (3.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se 
1
2
CT C
r
= − + (3.43) 
A restrição das condições de contorno levam ao sistema 
1
2i
i
CT C
r
= − + (3.44) 
1
2o
o
CT C
r
= − + (3.45) 
A eliminação de 2C das Eqs. (3.44) de (3.45) leva ao valor de 1C na forma 
( )
1
i o i o
i o
r r T T
C
r r
−
=
−
 (3.46) 
Subtraindo a eq. (3.44)de (3.43) e pelo uso de (3.46) obtém-se 
( ) o ii i o
i o
r r rT T T T
r r r
⎛ ⎞−
− = − ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 (3.47) 
da qual se se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor iq′′ definidos 
respectivamente por 
( )
2
i oi o
i o
T TrrdT
dr r r r
−
=
−
 (3.48) 
i
o i o
i
r r i o i
r T TdTq k k
dr r r r=
−⎛ ⎞′′ = − =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
 (3.49) 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de 
uma esfera, 24i iA rπ= , resultando 
4 i oo i
o i
T Tq kr r
r r
π −=
−
 (3.50) 
Pela observação da Eq. (3.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é 
1 1 1
4t i o
R
k r rπ
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.51) 
No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com 
convecção interna e externa, a resistência térmica total será 
 52
1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4t i i i o o o
R
h A k r r k r r h Aπ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (3.52) 
 
3.4 Raio Crítico de Isolação 
 
Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular 
que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura 
conhecida iT . A função da camada isolante colocada entre o raio ir e or é reduzir a taxa total 
de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de 
troca convectiva. A Figura 3.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico. 
A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica, 
porque ( )i tq T T / R∞= − . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como 
( )
( )
1
2 2
o i
t
o
ln r / r
R
kl h r lπ π
= + (3.53) 
Para h e k constantes, tR será uma função do raio externo or . E quando a resistência térmica 
alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando tR da Eq. (3.53) em 
relação a or resulta 
21 2 1 2t o o oR / r / klr / lhrπ π∂ ∂ = − . Para se obter o ponto de mínimo ou 
máximo faz-se 0t oR / r∂ ∂ = o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento 
o,c
kr
h
= (3.54) 
A resistência mínima será, portanto, 
( ) 1
2
i
t ,min
ln k / hr
R
klπ
+
= (3.55) 
Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que, 
quando, o cilindro for espesso, de tal forma que 
i o ,cr r> ou 1
i
k
hr
< ; (3.56) 
a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de tR e, portanto 
redução de q como desejado. No caso oposto, quando, 
i o ,cr r< ou 1
i
k
hr
> ; (3.57) 
 53
o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial 
será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido 
adicionado de modo que or exceda o,cr , a espessura de isolamento aumentará o valor de tR e 
redução de q . 
No caso de isolação de um objeto esférico de raio ir , o raio critico de isolação será 
estimado pela relação: 
2o,c
kr
h
= (3.58) 
 
 
Figura 3.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada cilíndrica 
isolante. 
 
Exercício 3.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de 
1q W / m′ = . O fio cilíndrico de raio 0 5ir , mm= está 30 
oC acima da temperatura ambiente. É 
proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será 1or mm= . A 
condutividade térmica do material plástico 0 35k , W / mK= . O plástico isolante aumentará o 
contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para 
verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio 
estiver encapado pelo plástico. 
 54
3.5 Geração Interna de Calor 
 
Há casos que ocorre geração interna de energia dentro do objeto, como por exemplo, 
por efeito Joule em fio condutores de eletricidade, ou por efeito de aquecimento devido ao 
campo de radiação. Estes casos, Figura 3.8, serão considerados neste item. 
 
3.5.1 Aquecimento Uniforme à Taxa q′′′ 
 
A incógnita aqui não a taxa total de transferência de calor, pois ela pode ser 
determinada multiplicando a taxa de geração pelo volume do corpo. Note que em regime 
permanente todo o calor gerado dentro da parede deve ser removido para o reservatório 
fluido. A questão é quão aquecido deve se tornar o interior para transferir esta taxa de calor 
para os lados. Desde que a incógnita é o campo de temperatura ( )T x , ela pode ser obtida da 
equação: 
2
2 0
d T q
dx k
′′′
+ = (3.59) 
As condições de contorno, para a parede imersa num reservatório fluido à temperatura T∞ e 
coeficiente h , serão do tipo 
( )q h T T∞′′− = − em 2x L /= − (3.60) 
( )q h T T∞′′ = − em 2x L /= (3.61) 
O sinal negativo é necessário no lado esquerdo da Eq. (3.60) por que (a) q′′é considerado 
positivo quando apontando na direção do eixo x , e (b) na definição de h q′′ é assumido 
positivo quando apontando para dentro do fluido. Usando a Lei de Fourier para os fluxos de 
calor em ambas as Eqs. (3.60) e (3.61), as condições de contorno de tornam 
( )dTk h T T
dx ∞
= − em 2x L /= − (3.62) 
( )dTk h T T
dx ∞
− = − em 2x L /= (3.63) 
A solução da Eq. (3.59) tem a forma geral ( )( )2 22 iT q / k x / C x C′′′= + + . Diferente do 
caso sem geração que leva a uma variação linear da temperatura, neste caso o perfil resultante 
é parabólico. As constantes de integração podem ser determinadas pelas condições de 
contorno (3.62) e (3.63). O resultado da distribuição de temperatura é da forma: 
 55
( )
22
1
8 2 2
q L x q LT x T
k L / h∞
⎡ ⎤′′′ ′′′⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 (3.64) 
A temperatura máxima ocorrerá no centro da parede, ou seja, em 0x = , e será da 
forma 
2 41
8max
q LT T
k Bi∞
′′′ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
 (3.65) 
na qual a quantidade adimensional Bi é denominada de número de Biot e é definida como 
hLBi
k
= (3.66) 
As temperaturas das faces da parede serão calculadas por 
( )
2
2
2 2
q L q L / kT L / T T
h Bi∞ ∞
′′′ ′′′
± = + = + (3.67) 
Pode se ver que quando 1Bi , a temperatura das faces se aproxima da temperatura do 
fluido, neste caso, diz que o contato térmico entre a parede sólida e o fluido é bom. No caso 
em que 1Bi , o contato entre parede e fluido é pobre e a temperatura das faces se aproxima 
da temperatura do plano médio, ou seja, o perfil de temperatura na parede se torna achatado. 
 
 
Figura 3.8 Distribuição de temperatura em regime permanente devido à geração interna 
uniforme em uma placa (a) em um cilindro ou esfera (b). 
 56
No caso de um corpo cilíndrico sólido; lado direito da Figura 3.8, a distribuição de 
temperatura pode ser obtida da equação: 
1 0d dT qr
r dr dr k
′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.68) 
sujeita às seguintes condições de contorno 
0dT
dr
= em 0r = (3.69) 
( )dTk h T T
dr ∞
− = − em or r=(3.70) 
A solução de (3.68) com as restrições (3.69) e (3.70) é do tipo (demonstre) 
( )
22
1
4 2
o o
o
q r q rrT r T
k r h∞
⎡ ⎤⎛ ⎞′′′ ′′′
⎢ ⎥= + − +⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (3.71) 
No caso de um corpo esférico sólido, a distribuição de temperatura pode ser obtida da 
equação: 
2
2
1 0d dT qr
r dr dr k
′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.72) 
sujeita às seguintes condições de contorno 
0dT
dr
= em 0r = (3.73) 
( )dTk h T T
dr ∞
− = − em or r= (3.74) 
A solução de (3.72) com as restrições (3.73) e (3.74) é do tipo (demonstre) 
( )
22
1
6 3
o o
o
q r q rrT r T
k r h∞
⎡ ⎤⎛ ⎞′′′ ′′′
⎢ ⎥= + − +⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (3.75) 
3.5.1 Aquecimento Não Uniforme Dependente da Temperatura 
 
Suponha o caso em que o aquecimento ou taxa de geração não seja uniforme e 
dependa da temperatura local. No caso de um condutor elétrico a taxa de geração pode ser 
expressa como 
2
eq Jρ′′′ = (3.76) 
na qual J é densidade de corrente elétrica em (amperes/m2) e eρ é a resistividade do material 
que pode ser expressa em função da temperatura na forma 
 57
( )1e e,o oT Tρ ρ α⎡ ⎤≅ + −⎣ ⎦ (3.77) 
Em (3.77) e,oρ é a resistividade na temperatura oT e 
1
o
e
T Te,o
d
dT
ρα
ρ =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 é o coeficiente de 
temperatura da resistividade. 
Considere o caso de um condutor cilíndrico com condutividade térmica constante e 
perfeito contato com o ambiente a temperatura oT de modo que a temperatura da superfície 
seja a própria temperatura ambiente. Neste caso tem-se as equações: 
1 0d dT qr
r dr dr k
′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.78) 
sujeita às seguintes condições de contorno 
0dT
dr
= em 0r = (3.79) 
oT T= em or r= (3.80) 
Em vista das equações (3.76) e (3.77) a Eq. (3.78) pode ser reescrita como 
1 2
1 0d dTr C C T
r dr dr
⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.81) 
na qual 1C e 2C são duas constantes empíricas do condutor 
2
1
o
e
e,o o
T T
dJC T
k dT
ρρ
=
⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2
2
o
e
T T
dJC
k dT
ρ
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.82) 
O interesse neste tipo de problema é determinar a temperatura máxima de tal forma 
que o condutor não se torne instável termicamente. Desta forma, uma solução aproximada da 
Eq. (3.81) pode ser suficiente para determinação da temperatura máxima. Um perfil de 
temperatura da forma 
( )
2
1o max o
o
rT T T T
r
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥= + − − ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (3.83) 
Satisfaz as duas condições de contorno (3.79) e (3.80). 
Aplicando o operador ( )20 0
or rdrπ∫ ∫ à Eq. (3.81) resulta 
0
2
1 2 0
0
2
oro
r r
rdTr C C Trdr
dr =
⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ (3.84) 
O primeiro termo da equação (3.84) por (3.83) será ( ) ( )2
o
max or r
rdT / dr T T
=
− − . A integral 
pode ser também avaliada substituindo (3.83) no terceiro termo de (3.84) e o resultado será 
 58
( )20 2 2
or
o o max oTrdr r / T T T /⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∫ . Substituindo estes resultados em (3.84) e resolvendo 
para max oT T− , obtém-se 
( )
( )
1 2
2
2
2
8
o
max o
o
C C T
T T
/ r C
+
− =
−
 (3.85) 
Analisando o denominador de (3.85), pode-se ver que maxT permanecerá finita apenas 
se 22 8 oC / r< . Esta desigualdade deve ser satisfeita se uma distribuição de temperatura em 
regime permanente deve existir. Assim uma condição de instabilidade térmica será evitada se 
1 23 22
//
o e
kJ
r ρ
⎛ ⎞
< ⎜ ⎟′⎝ ⎠
 (3.86) 
Se for obtida uma solução exata da Eq. (3.81) a solução será em termos de funções de 
Bessel. Neste caso, o fator 3 22 / será substituído por 2,405, valor cerca de 15% menor. 
 
3.6 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins) 
 
No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a 
eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de 
conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de 
tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas 
que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas tem as mais variadas 
formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 3.9. 
 
 
Figura 3.9 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas. 
 
 59
3.6.1 Melhoria da Transferência de Calor 
 
A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície 
sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender 
como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de 
área 0A banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é bT e 
temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por 
( )0 0 bq hA T T∞= − (3.87) 
O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda 
área é definido como 0 0q / A . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q . 
O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que 0q q> . Isto poder alcançado com aletas 
que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta 
seja comparável à temperatura da base bT . Uma maneira de medir a melhoria da troca de 
calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como 
( )0 0 0 b
q q
q hA T T
ε
∞
= =
−
 (3.88) 
No caso da superfície aletada a área 0A será a soma das áreas sem aletas mais a 
projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por 0 ,uA e a área projetada 
da aleta por 0 , fA ; então, tem-se 
0 0 0, f ,uA A A= + (3.89) 
A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como 
( )0 0b , f ,u bq q A hA T T∞′′= + − (3.90) 
na qual bq′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo. 
 
3.6.2 Aletas de Seção Transversal Constante 
 
O caso mais simples de aletas é de aletas de seção transversal constante; Figura 3.10. 
Num modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado 
como 
0
b
x
dTq k
dx =
⎛ ⎞′′ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.91) 
 60
Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura 
( )T x na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial p xΔ . Um 
balanço de energia neste volume leva a equação 
( ) ( ) 0x c x x cq A q A p x h T T+Δ ∞′′ ′′− − Δ − = (3.92) 
 
Figura 3.10 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante. 
 
O fluxo de calor em x x+ Δ pode ser expresso como xx x x
dqq q x
dx+Δ
′′
′′ ′′= + Δ + que 
substituído em (3.92) leva à equação 
( ) ( ) 0x c
dq xA p x h T T
dx ∞
′′
− Δ − Δ − = (3.93) 
Usando a Lei de Fourier para expressar xq′′ em função da temperatura resulta 
( )
2
2 0c
d TkA hp T T
dx ∞
− − = (3.94) 
A Eq. (3.94) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que sai 
por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (3.94) é uma EDO de segunda ordem e 
requer portanto duas condições de contorno para sua solução. 
 61
Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa de forma que na sua ponta tem –se 
a seguinte condição de contorno: 
T T∞→ quando x →∞ (3.95) 
A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura 
da parede base, ou seja, 
bT T= em 0x = (3.96) 
Definido o excesso de temperatura como 
( ) ( )x T x Tθ ∞= − (3.97) 
a Eq. (3.94) pode ser reescrita como 
2
2
2 0
d m
dx
θ θ− = (3.98) 
sujeita às condições de contorno 
bθ θ= em 0x = ( b bT Tθ ∞= − ) (3.99) 
0θ → quando x →∞ (3.100) 
m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como 
1 2/
c
hpm
kA
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.101) 
A solução Eq. (3.98) é do tipo 
( ) ( ) ( )1 2x c exp mx c exp mxθ = − + (3.102) 
O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes 1c e 2c : 
2 10 bc c θ= = (3.103) 
A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como 
( ) ( )bx exp mxθ θ= − (3.104) 
A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo 
convectivo ( )hT T hθ∞− = decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a 
seguinte restrição é satisfeita 
1mL (3.105) 
A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como 
( )1 2/b b c b cq q A kA hpθ′′= = (3.106) 
que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor. 
 
 62
Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o 
critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste 
caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de 
calor na ponta da aleta será 
( )tip cq hA T L T∞⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (3.107) 
Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta 
isolada, caso em que se tem 
0dT
dx
= ou 0d
dx
θ
= em x L= (3.108) 
Este caso limite é uma boa aproximação para o caso 
b tipq q> (3.109) 
A solução geral para este caso tem a forma: 
( ) ( ) ( )1 2* *x c senh mx c cosh mxθ = + (3.110) 
As condições de contorno (3.99) e (3.108) levam aos valores das constantes 
2
*
bc θ= e ( )1* bc tanh mLθ= − (3.111) 
Este caso é ilustrado na Figura 3.11. A forma final da solução, após algumas 
manipulações, é: 
( )
( )b
cosh m L x
cosh mL
θ θ
⎡ ⎤−⎣ ⎦= (3.112) 
 
 
Figura 3.11 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de calor 
na ponta ((lado direito) 
 63
A temperatura na ponta das aleta será 
( ) ( )
bL
cosh mL
θθ = (3.113) 
A taxa de calor através da base da aleta será 
( ) ( )
0
1 2
b c
x
/
b c
dTq A k
dx
kA hp tanh mLθ
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
 (3.114) 
Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando 
( )
1 2
1 1
/
tip c
b
q hA
q senh mL kp
⎛ ⎞
= <<⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.115) 
 
Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura 
3.11, a condição de contorno é da forma 
c c
dkA hA
dx
θ θ− = em x L= (3.116) 
A solução da Eq. (3.98) com as condições de contorno (3.99) e (3.116) é da forma 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )b
cosh m L x h / mk s en h m L x
cosh mL h / mk s en h mL
θ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
+
 (3.117) 
A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da 
ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que 
( ) ( )
0
1 2
b c
x
/
b c c
dTq A k
dx
kA hp tanh mLθ
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
 (3.118) 
na qual, o comprimento corrigido, Figura 3.12, é expresso como 
c
c
AL L
p
= + (3.119) 
Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t e largura W , cA tW= e 
( )2 2p W t W= + ≅ . Neste caso, pode-se mostrar que 
2c
tL L= + (aleta plana) (3.119) 
Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se 
4c
DL L= + (pino ou aleta cilíndrica) (3.119) 
 64
 
Figura 3.12 Conceito de comprimento corrigido. 
 
A partir da Eq. (3.117) pode-se obter a derivada da temperatura na forma 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )b
m s en h m L x h / k cosh m L xd
dx cosh mL h / mk s en h mL
θ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −
+
 (3.120) 
A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em 0x = seria da forma 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
1 2
b c
x
/
b c
dTq A k
dx
senh mL h / mk cosh mL
kA hp
cosh mL h / mk sen h mL
θ
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
=
+
 (3.121) 
 
Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve 
quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da 
aleta η ( )0 1η< < : 
b
c b
qtaxa real de transferencia de calor
maxima taxa de transferencia de calor hpL
quando toda aleta esta na temperatura
da base
η
θ
= = (3.122) 
Usando a Eq. (3.118) obtém-se a eficiência da aleta na forma 
( )c
c
tanh mL
mL
η = (3.123) 
Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de cmL , o parâmetro: 
 65
1 22 /
c
hL
kt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.124) 
Alternativamente, se usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance. 
A efetividade fε é definida como 
b
f
c b
qtaxa total de transferencia de calor
taxa de transferencia de calor que deveria hA
ocorrer atraves da area da base
na ausencia da aleta
ε
θ
= = (3.125) 
 
 
Figura 3.13 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e parabólico. 
 
Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor 
apropriadamente, então, fε deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade 
maior do sua eficiência. A relação entre elas será 
f c
c
pL area total de contato com o fluido
A area da seçao transversal
ε
η
= = (3.126) 
 66
A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial 
projetada. A relação entre 0ε e fε é obtida pela combinação de (3.88), (3.90) e (3.125): 
0 0
0
0 0
, f ,u
f
A A
A A
ε ε= + (3.127) 
 
3.6.3 Aletas de Seção Transversal Variável 
 
No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta 
retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal 
da aleta diminui da base para sua ponta;Figura 3.14. O balanço de energia neste caso leva à 
equação: 
( ) ( ) 0x x xq q p x h T T+Δ ∞− − Δ − = (3.128) 
Após simplificações resultará 
( ) 0xdq hp T T
dx ∞
− − − = (3.129) 
Pelo uso da Lei de Fourier, ( )x cq kA x dT / dx= − chega-se a 
( ) 0c
d dTkA hp T T
dx dx ∞
⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.130) 
 
 
Figura 3.14 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável. 
 
 67
Para dadas variações de ( )cA x e ( )p x , o objetivo é determinar a taxa de transferência 
de calor que passa através da base da aleta: 
0
b c
x
dTq kA ( x )
dx =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.131) 
O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma: 
( )
b
exp b
q
hA T T
η
∞
=
−
 (3.132) 
na qual expA é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso 
de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o 
perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 3.15, ambos cA e p variam. 
 
 
Figura 3.15 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante. 
 
 
 
 
 68
3.7 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor 
 
3.7.1 Equação Geral de Condução 
 
O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no 
caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha 
movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num 
reservatório fluido; Figura 3.16. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de 
energia neste caso leva à equação: 
( ) ( ) 0x x x x x x cq q p x h T T mi mi q A x+Δ ∞ +Δ ′′′− − Δ − + − + Δ = (3.133) 
na qual xi é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como 
incompressível, tem-se 
1
xdi cdT dPρ
= + (3.134) 
Para pressão constante, xdi cdT= e, portanto, 
( ) xx x x
di dTm i i m x mc x
dx dx+Δ
− = − Δ = − Δ 
Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção 
transversal para outra: 
cm A Uρ= (3.135) 
 
 
Figura 3.16 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração 
interna 
 
 69
A equação final de balanço de energia fica na forma: 
( ) 0c c c
d dT dTkA hp T T cA U q A
dx dx dx
ρ∞
⎛ ⎞ ′′′− − − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.136) 
 
3.7.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação 
 
Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam 
como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 3.17. Nestes processos pode-se 
desprezar a geração interna, e supondo cA e U constantes, resulta para o excesso de 
temperatura, a equação: 
2
2
2 0
d U d m
dx dx
θ θ θ
α
− − = (3.137) 
As condições de contorno para este caso são: 
bθ θ= em 0x = (3.138) 
0θ → quando x →∞ (3.139) 
 
 
Figura 3.17 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de 
extrusão;. 
 
A soluçãopara este problema é imediata e da forma: 
( ) b
xx exp
l
θ θ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.140) 
 
 70
na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da 
temperatura do fluido circundante: 
12
2
2 2
U Ul m
α α
−
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
 (3.141) 
Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, 2U / mα >> , o 
comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica: 
2
UU
mα
≅ 1
2
U
mα
⎛ ⎞>>⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.142) 
No caso oposto, 2U / mα << , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante: 
1l
m
≅ 1
2
U
mα
⎛ ⎞<<⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.143) 
Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante. 
 
3.7.2 Cabos Elétricos 
 
Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule 
como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 3.18. A equação a 
ser resolvida neste caso é da forma: 
2
2
2 0
d qm
dx k
θ θ
′′′
− + = (3.144) 
sujeita às restrições: 
bθ θ= em 0x = (3.145) 
valor finitoθ → quando x →∞ (3.146) 
A solução para este problema é da forma 
( ) ( ) ( )2 1b
qx exp mx exp mx
m k
θ θ
′′′
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ (3.147) 
A interação por condução longitudinal com o suporte 0x = é sempre sentida no comprimento 
de fator de escala 1 / m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna 
independente de x , isto é, ( )2q / m kθ ′′′≅ . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez 
mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de 
como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da 
 71
raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo 
( )0bq < se 
1c
b
q A
hpθ
′′′
> (3.148) 
Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (3.148) for unitário, o cabo inteiro estará 
isotérmico. 
 
 
Figura 3.18 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico. 
 
3.8 Determinação experimental do perfil de temperatura em aletas: (Prática 3) 
 
Nesta parte do curso será realizada a segunda prática de laboratório, que trata da 
determinação de perfis de temperaturas em aletas (pinos) cilíndricas e cônicas, utilizando 
medidores de temperatura do tipo termopares confeccionados na Prática 1. A equação 
genérica da distribuição de temperatura em uma aleta pode ser escrita na forma: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dT x h x dS xd A x T x T
dx dx k dx ∞
⎡ ⎤
⎡ ⎤− − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
; b tx x x≤ ≤ (3.149) 
na qual ( ) ( ) ( )( )
1
A x
T x T x dA
A x
= ∫ ; ( )A x é a área da seção transversal da aleta; ( )dS x é um 
elemento de área superficial da aleta. Definindo as variáveis adimensionais seguintes: 
0
xX
l
= ; ( ) ( )
b
T x T
x
T T
θ ∞
∞
−
=
−
; ( ) ( )
0
A x
K X
A
= ; ( ) ( ) ( )
0
h x dS x
W X
p h dx
= ; 0
* lλ λ= (3.150) 
 72
com 
0A = uma área de referência, 
h = coeficiente médio de transferência de calor convectiva, 
0l = comprimento de referência, 
2 0
0
hp
kA
λ = 
0p = perímetro de referência; 
E sabendo que ( )dS x / dx p( x )= , obtém-se 
( ) ( ) ( ) ( )2 0*d Xd K X W X X
dX dX
θ
λ θ
⎡ ⎤
− =⎢ ⎥
⎣ ⎦
 (3.151) 
As condições de contorno consideradas são: 
( ) 1Xθ = em bX X= (3.152a) 
( ) 0d X
dX
θ
= em tX X= (3.152b) 
Existem várias técnicas para se obter a solução das Eqs. (3.151)-(3.152). Por exemplo, 
uma técnica de solução analítica conhecida como Técnica de Transformada Integral pode ser 
usada para solução. Se for admitida uma razão de áreas na forma: 
( ) ( ) 1 2
0
mA xK X X
A
−= = 
e 
( ) ( )2 2 2 2cW X c n X K X−= 
resultará a equação genérica 
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2
1 2 0* c
d X d Xm n c X X
dX X dX
θ θ
λ θ−−+ − = (3.153) 
A Eq. (3.153) é um caso especial da equação conhecida como equação generalizada de 
Bessel. No caso de pinos, ilustrado na Figura 3.19, a área da seção transversal e o perímetro 
serão: 
 73
( ) ( ) 2 20 bA x r x ; A rπ π⎡ ⎤= =⎣ ⎦ (3.154a) 
( ) ( ) 02 2 bp x r x ; p rπ π= = (3.154b) 
 
 
Figura 3.19 Pino de seção arbitrária. 
Neste caso definindo o raio adimensional e tomando 0l b= resultara 
( ) ( )
b
r x xR X , X
r b
= = (3.155a) 
 
Consequentemente, para origem na ponta do pino (spine) 
0 1t bX , X= = (3.155b) 
e 
1 2
2
/
*
b
h b
kr
λ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.156a) 
( ) ( ) ( ) ( )2K X R X , W X R X⎡ ⎤= =⎣ ⎦ (3.156b, c) 
 
A taxa de calor na base do pino será 
( )2 1b
b b
dT Tq k r
b dX
θ
π ∞−= (3.157a) 
 
E a máxima taxa de calor ocorreria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da 
base 
 74
( ) ( )102max b bq r b R X h T T dXπ ∞= −∫ (3.157b) 
A eficiência da aleta pode ser estimada como 
( )
( )
12
0
11b
*
max
dq
q dXR x dX
θ
η
λ
= =
∫
 (3.158) 
 
3.8.1 Pino cilíndrico 
 
No caso do pino cilíndrico, Figura 3.20, a seção transversal será constante e, portanto, 
pode-se mostrar que 
( ) br x r= ou ( ) 1R X = , (3.159a, b) 
 
( ) 1K X = , ( ) 1W X = (3.159c, d) 
 
 
Figura 3.20 Aleta ou barra ou pino cilíndrico. 
 
Em tal caso a Eq. (3.151) ficará idêntica à equação da aleta retangular de seção constante, cuja 
solução com as condições de contorno (3.152) já foi obtida e é da forma 
( ) ( )( )
*
*
cosh X
X
cosh
λ
θ
λ
= (3.160) 
A eficiência da aleta será 
 75
( )*
*
tanh λ
η
λ
= (3.161) 
com 
1 2
2
/
*
b
h b
kr
λ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (3.156a) 
 
3.8.2 Pino cônico 
 
No caso do “espinho” (spine) cônico, Figura 3.21, o raio da seção transversal será da 
forma 
( ) b
xr x r
b
= ou ( ) ( )
b
r x
R X X
r
= = (3.162a) 
Consequentemente, 
( ) 2K X X= , ( )W X X= (3.162b, c) 
 
 
Figura 3.21 Pino (spine) cônico 
 
A Eq. (3.151) em tal caso ficará na forma 
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 0
*d X d X
X
dX X dX X
θ θ λ θ+ − = (3.163) 
 76
que quando comparada com a Eq. (3.153) podemos concluir que 
1
2
m = − , 1
2
c = , 2n = , 1m
c
= − (3.164) 
Em tal caso a solução da equação de Bessel (3.163) será da forma: 
( )
( )
( )
1
1
21
2
*
*
I X
X
X I
λ
θ
λ
= (3.165) 
Na qual 1I é a função de Bessel modificada de primeiro tipo e ordem 1. 
No caso quando 0X = , ponta do pino, aparece uma indeterminação do tipo 0
0
. Pela 
regra de L´Hôpital pode mostrar então que 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
0 1
0 2
1
21
2
2 2
2
*
*
X
*
* *
*
dI X / d X
I d X / d X
I X I X
I
lim
λ
λ
λ λ λ
λ
θ
→
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
=
 (3.166a) 
Na qual 0I e 2I são funções de Bessel modificadas de primeiro tipo de ordem 0 e 2 
respectivamente. ( )0 0 1I = e ( )2 0 0I = . Portanto, 
( ) ( )1
0
2
*
*I
λθ
λ
= (3.166b) 
A eficiência do pino cônico pode ser calculada na forma 
( )
( )
2
1
22
2
*
* *
I
I
λ
η
λ λ
= (3.167) 
 
3.8.3 Aparato experimental para medida de temperaturas em superfícies estendidas 
 
O aparato experimental no laboratório de Transferência de Calor é constituído por 
quatro barras de secção circular, três de alumínio de comprimentos e diâmetros diferentes e 
uma de aço inox, além de um pino cônico de alumínio. Estes dados são mostrados na Tabela 
3.1. Os pontos de leitura de temperaturas são indicados na Tabela 3.2. 
 
 77
Tabela 3.1 - Características das aletas do Lab. TCM, DEM, UNESP – Ilha Solteira. 
Barra Material Dimensões Condutividade 
Térmica 
k[W/mk] 
 L [mm] D[in] 
1 Alumínio 500 5/8 237 
2 Alumínio 1000 5/8 237 
3 Alumínio 1000 1 237 
4 Aço Inox 1000 1 15,1 
 
 
Tabela 3.2 – Posições ao longo da barra em que as temperaturas são medidas 
Barra Distância [mm] 
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
1 0 35 85 135 210 385 489 - - - 
2 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989 
3 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989 
4 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989 
 
Para se calcular a transferência de calor por convecção da barra par o ar ambiente 
pode-se se usar correlações para estimativa de h. No caso de convecção natural, pode-se usar 
a correlação de Churchill & Chu (1975),que é da forma: 
 
( )
2
1 6
8 279 16
0 3870 6
1 0 559
/
D
//
hD , Ra,
k , / Pr
⎧ ⎫
⎪ ⎪= +⎨ ⎬
⎡ ⎤⎪ ⎪+⎣ ⎦⎩ ⎭
 (3.168) 
 
 78
na qual o número de Rayleigh é definido como ( ) 3D s
gRa T T Dβ
αν ∞
= − ; com as propriedades 
do ar: Pr, k, α, β, ν avaliadas na temperatura de filme ( ) 2f sT T T /∞= + . A taxa de calor por 
convecção pode ser estimada como 
 
( )( )0
Lq h( x ) T x T Ddxπ∞= −∫ (3.169) 
 
Para facilitar os cálculos pode-se organizar os dados, para cada posição x, como na 
Tabela 3.3 a seguir. 
 
Tabela 3.3 – Organização dos dados para cálculo de h 
Barra Posição - x 
 Tf(x) k ν α β Pr gβ/αν RaD ( )h x q 
1 
2 
3 
4