equação de transporte de reynolds

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1
Equações de Conservação
 Teorema de Transporte de Reynolds
 Equação de Massa (continuidade)
 Equação de Quantidade de Movimento Linear 
(2a Lei de Newton)
 Equação de Navier-Stokes
 Equação de Energia Mecânica
 Equação de Quantidade de Movimento Angular
 Equação de entropia
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Teorema de Transporte de Reynolds
Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo 
com o tempo de da grandeza grandeza específica
de uma grandeza específica no VC através da SC 
de um sistema
 f = grandeza específica ; r = massa específica ; 
 d  = volume infinitesimal 
 d m = massa infinitesimal ; d m = r d  ;
 d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d 
 permite transformar as equações para sistema 
(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)
dm = r d
sistema dm = r d
SC
VC
V2
V1
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d m=r dA L= =r dA Vn dt
quantidade da grandeza que cruza a superfície:
f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r
fluxo líquido de massa cruzando a SC
dA
dm = r d
SC
VC
V2
V1
 taxa de acumulação de uma grandeza específica
 rf


 f


VCVC
d
t
dm
t
 
SC
AdnV

rf
  



SCVCsistema
AdnVd
ttd
d 
rfrf
F
nV


V

V

Vn
Vn
Vn
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Equação de Conservação de Massa
 Sistema: 
00  
 td
md
d
td
d
sistema
r
dm = r d
sistema
 Volume de controle:
A B
Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa
da massa do volume de controle através da superfície de controle
  
SCVC
AdnVd
t
0

rr


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Aplicando o teorema de Leibnitz 



t
a t
b t
t
a t
b t
f x dx f x dx db
dt
f b da
dt
f a( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
    
 
ao termo A , temos 



r r
t
V C
t
V C
d d   
. .
 
 
Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos 
 
r r
  
V n d A div V d
VCSC
   ( ) 
 
Somando A com B 
 r

r
t
div V d
VC





  ( )

0 
 
Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d  e 
aplicando o limite d  tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial, 
válida para qualquer ponto 
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 r

r
t
div V ( )

0 ( I ) 
 
Variação da massa Fluxo líquido de massa 
com o tempo por por unidade de volume 
unidade de volume 
 
A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ( 

div 
como 
 r

r r
t
V V      
   
0 
Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva 
D A
D t
A
t
V A   


 
 
 variação local variação 
 temporal convectiva 
temos 
D
D t
V
r
r   
 
0 ( II ) 
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 Coordenadas cartesianas:
 Coordenadas curvilíneas:
 Coordenadas cilíndricas:
      0
















w
z
v
y
u
xt
rrr
r
      0
















zr u
z
u
r
ur
rrt
rr

r
r

Equação de Conservação de Massa ou 
Continuidade
0


)(div V
t

r
r
0 )(div V
Dt
D 
r
r
ou0




i
i
x
u
t
)(rr
Casos Particulares
1. Regime Permanente:
2. Incompressível:
0)(div V

r
0)(div V

i
j
ij
i
i
i
j
ij
i
j
jijj
i
i
x
e
eu
x
u
tx
e
eu
x
u
ee
t
ue
x
e
t 






















 )(
)(
)(
)(
)( r
rr
r
rr
r
r
0
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Equação de Quantidade de Movimento 
Linear (2a Lei de Newton)
tD
VD
ff
tD
VD
dfdamF cSextext




rr  
força de corpo: Cf

força volumétrica,ex: força gravitacional gf g

r
força de superfície: fff pS


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dydzxP )(
dy
dz
dydzdxxP )( ),,( zyx
- força de pressão: força normal compressivapf

dx









 k
z
P
j
y
P
i
x
P
f p

Pf p 

dFp,x= P dy dz - (P dy dz +  P/x dx dy dz) = -  P/x d
 fp,x = -  P/x logo fp,y = -  P/y e fp,z = -  P/z
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 Força de superfície viscosa resultante na direção x
yxdz
z
yxzxdy
y
zxzydx
x
zyF zxzxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx 








 




















,
zyx
zyx
F zx
yxxx
x 






 







,
convenção
n



n










zyx
f zx
yxxx
x






,
dx
dz
f

força viscosa: força definida por um 
tensor, em cada face possui 3 componentes, dois 
tangenciais e um normal













zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx



 xx
yx
yy
y
x
z
yz
zz
xz
xy
zx
zy
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 Procedendo de forma análoga para as outras direções









zyx
f zx
yxxx
x






 ,









zyx
f
zyyyxy
y






 ,









zyx
f zz
yzxz
z






 ,
 f



























zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyx
f














zyxzyxzyx
f zz
yzxzzyyyxyzxyxxx



















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12
Equação diferencial de quantidade de 
movimento na forma vetorial
 coordenadas cartesianas
 Pgρ
tD
VD
ρ


z
τ
y
τ
x
τ
z
P
gρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
y
P
gρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
x
P
gρwvuρ
zzyzxz
zz
w
y
w
x
w
t
w
zyyyxy
yz
v
y
v
x
v
t
v
zxyxxx
xz
u
y
u
x
u
t
u
















 
















 
















 
























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Pgρ
tD
VD
ρ grad


Pgρ grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso) 
•Equação da Hidrostática: 
Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação
adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de
deformação do elemento de fluido
Casos Particulares:
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14
pode-se demonstrar pelo uso
da equação conservação de
quantidade de movimento
angular que o tensor é
simétrico














zzzyzx
zyyyyx
zxyxxx




Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos
 
V
x
u
x
v
y
u
xxyxxy







 








3
2
2,
V
y
v
x
w
z
u
yyzxxz







 








3
2
2,
V
z
w
y
w
z
v
zzzyyz







 








3
2
2,






 IVVVf T



div
3
2
gradgraddivdivdiv=  ])([
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15
Equação de Navier-Stokes: Equação de 
conservação de quantidade de movimento linear para 
fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)























































x
w
zx
v
yx
u
xz
u
zy
u
yx
u
x
z
w
y
v
x
u
xxz
u
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu












































rr
3
2























































y
w
zy
v
yy
u
xz
v
zy
v
yx
v
x
z
w
y
v
x
u
yyz
v
y
v
x
v
t
v
y
p
gwvu












































rr
3
2
























































z
w
zz
v
yz
u
xz
w
zy
w
yx
w
x
z
w
y
v
x
u
zzz
w
y
w
x
w
t
w
z
p
gwvu












































rr
3
2
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16
 A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa 
específica e a viscosidade foram constante
 A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos 
incompressíveis 
 A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante
0 V

















 
















 
















 










































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
zz
w
y
w
x
w
t
w
z
v
y
v
x
v
yz
v
y
v
x
v
t
v
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
t
u
μ
z
P
gρwvuρ
μ
y
P
gρwvuρ
μ
x
P
gρwvuρ
Navier-Stokes (propriedades constantes) VμPgρ
tD
VD
ρ 2



coordenadas cartesianas
Vμf 2


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17
Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas






























































































































2
z
2
22
z
2
zzzz
2
θ
2
22
θ
2
θθθθ
2
r
2
22
r
2
rrrr
z
u
θr
uz
zz
u
zθr
u
θr
u
rt
u
r
2z
u
θr
u
2
θθ
θ
θr
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
θ
2z
u
θr
u
2
rr
r
2
θ
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
r
u
r
rr
1
μ
z
P
gρuuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
u
r
rr
1
μ
θr
P
gρ
r
uu
uuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
u
r
rr
1
μ
r
P
gρ
r
u
uuuρ
Direção 
radial
Direção 
angular
Direção 
axial
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21
Equação de Quantidade de Movimento 
Angular
 Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor 
posição r com a equação de conservação de quantidade de 
movimento linear
   τPgrVV
t
V
r 















rr
r
  ]:[ε][I][][][ rrr 


rPrgrVrV
t
Vr 

 e é o tensor de 3ª. ordem com componentes eijk (símbolo de 
permutação)
diferentes
foremíndicesdoisquaisquerse
ijkse
ijkseijk
0
213ou1323211
312ou2311231



,
,e
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22
kjiijk wvee wv
 Produto vetorial de dois vetores:
 Produto vetorial de um vetor e tensor:
321
321
321
www
vvv
eee
detwv 
jkiijlklkjkjii rrr e eeeee 

 Se  é simétrico:
 não existe conversão de momentum angular macroscópico em 
momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se 
conservam separadamente. 
0]:[ε 
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23
Equação de Energia Mecânica
 A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta 
equação é muito útil em diversas situações.
 Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com 
a equação de conservação de quantidade de movimento linear
 τPgV
tD
VD
V 












rr
ii VVVVouVVVV 

22
  








































 VVV
t
VV
t
V
V
tD
VD
V





22
2
1
2
1
rrr
r
r
  VPVPPV

   VVV

 :
 VV
t
V
V
t
VVV
t
V
tD
VD
decontinuida
zero


  


r
r
r
r
rr 

















 ])([
 Obs: (1)
(2)
 Então, operando o produto escalar
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24
jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee   :τ:σ
 Produto escalar de dois tensores (produto duplo):
VVVVV T








 :])([: 
3
2
 Para fluido Newtoniano
j
i
ij
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u
x
u
V


























 F
3
2
:

































x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
k
k
j
i
i
j
j
i
j
i
3
2
F
F é sempre positivo, é a
função dissipação



































22
3
2
2
1
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u
F
Para fluidos Não-newtonianos pode ser negativoV

:
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25
Equação de Energia Cinética
 










  

  
interna
energia
asível
irrever
conversão
detaxa
viscosas
forças
adevido
trabalho
detaxa
interna
energia
a
reversível
conversão
detaxa
pressão
adevido
trabalho
detaxa
cional
gravita
força
adevido
trabalho
detaxa
cinética
energia
delíquido
fluxo
cinética
energia
deaumento
detaxa
VVVPVPgVVVV
t
















:)( rrr 22
2
1
2
1
 pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está 
sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura 
podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de 
ondas de choque.
VP


V

:
 é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode 
ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de 
velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida 
e vôos de alta velocidade.
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26
Equação de Energia Mecânica
 Trabalhando o termo podemos reescrever a equação para 
a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de 
energia mecânica
 Introduzindo a definição de energia potencial por unidade de massa 
Y, definida com , temos que 
gV

r
t
V
t
V
VVVgV







)(
)()(
)()(
Yr
Yr
r
YYr
rYYrYrr


Yg

  VVVPVPVVV
t
















:)())( YrrYrr 22
2
1
2
1
Angela Nieckele – PUC-Rio
convenção
27
Equação de Energia
inQ

outW

outin WQE  
outin WQ
t
E  


  



SCVC
outin Adnuede
t
WQ
 rr
A B
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28
 Aplicando o teorema de Leibnitz



t
a t
b t
t
a t
b t
f x dx f x dx db
dt
f b da
dt
f a( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
   
  
CV
t
CV
t
dede rr




ao termo A , temos
 Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos 
  
SC VC
deuAdnue )(div

rr
 Somando A com B
 
outin
VC
WQdeu
t
e   





 )(div r

r
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29
Queremos que esta equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d  e 
aplicando o limite d  tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial, 
válida para qualquer ponto 
 
 




arredoresnos
sistemapelo
feitotrabalho
detaxa
out
calor
deadição
detaxa
in
energiade
saindoliquido
fluxo
energiade
acumulação
detaxa
d
W
d
Q
eu
t
e



 )(div
)(
r

r
 (****) 
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30
O calor pode entrar no volume de controle de duas formas: por difusão relativo ao movimento 
de mistura do escoamento devido a movimento molecular aleatório e por conversão de energia 
química, eletromagnética, atômica, etc em energiatérmica como fonte de calor. Portanto 
 
  dqAdnqQ
VCSC
in 

 ; 
onde q

 é o fluxo difusivo de calor e q é a taxa que energia térmica é liberada por unidade de 
volume. 
 
Aplicando novamente o teorema de divergência de Gauss, 
  
VC
in dqqQ

 div  qq
d
Qin 

div

 
 
Angela Nieckele – PUC-Rio
31
Trabalho feito pelo elemento de fluido nos arredores 
 
rdFdW

  potência: uFdW
  (
td
rd
u


 ) 
 
sc FdFdFd

 onde cFd

é força de corpo e sFd

 é força de superfície 
 
trabalho entrando é negativo, trabalho realizado contra o elemento de fluido é negativo 
força de corpo, força volumétrica, igual a força gravitacional  dgFdFd gc

r 
potência devido ao trabalho realizado contra a força gravitacional: 
uFdW gg
   dugWg
 r 
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32
Força de superfície, possui contribuição de pressão e viscosa: FdFdFd ps

 
 
potência contra a força de pressão:   unAdpuFdW pp
  
 
potência contra a força viscosa: uAdnuAdtuFdW n
    
Combinando todos os termos: 
    dugAdnuAdnupW
VCSCSC
out
 r 
Aplicando o teorema de divergência de Gauss, 
     
VC
out duupugW
 r divdiv 
 
   uupug
d
Wout 



r divdiv 
Substituindo todos os termos na equação (****) 
Força de superfície, possui contribuição de pressão e viscosa: FdFdFd ps

 
 
potência contra a força de pressão:   unAdpuFdW pp
  
 
potência contra a força viscosa: uAdnuAdtuFdW n
    
Combinando todos os termos: 
    dugAdnuAdnupW
VCSCSC
out
 r 
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Equação de energia
33
 




/
/
//
div)(div
)(
p
condução
porenergia
deentrada
detaxa
p
energia
de
geração
p
energiade
saindo
líquido
fluxo
p
energiade
variação
detaxa
qqeu
t
e 




r

r
   







r
///
divdiv
p
viscosas
forças
ascontra
trabalho
detaxa
p
pressãode
forças
ascontra
trabalho
detaxa
p
naisgravitacio
forças
ascontra
trabalho
detaxa
uupug
Angela Nieckele – PUC-Rio
34
   uupugqq
tD
eD 
  rr divdivdiv
A equação da energia pode ser rescrita com o auxílio da 
equação da continuidade como
2
2
1
Vie 
q
• Iremos considerar que a energia e é formada de
interna e energia cinética .
• outras formas de energia, como nuclear, radiativa e
eletromagnética, podem ser consideradas no termo de
geração de energia,
Angela Nieckele – PUC-Rio
35
• Energia interna, i, é a energia associada com o
movimento aleatório de translação e interno das
moléculas, além da energia de interação entre
moléculas. A energia interna depende da temperatura
e massa específica do fluidos.
• Energia cinética, ½ V2 é a energia associada com o
movimento observável do fluido.
   uupugqqVi
tD
D 
 





 rr divdivdiv2
2
1
• Substituindo a definição da energia como a soma da 
energia interna e cinética na equação de conservação, 
temos que a equação de conservação de energia 
interna e cinética é
Angela Nieckele – PUC-Rio
36
• A energia potencial não será considerada
explicitamente na equação acima. A energia
potencial devido a localização no campo de força de
corpo é considerada como o resultado do trabalho
realizado pela força de corpo.
• Considere a energia potencial como Y. A força externa
pode ser expressa em termos do gradiente de um escalar
g

Yg

 
ttD
D
ugu



Y
r
Y
rYrr

então
Se Y independe do tempo, o último termo desaparece, e 
tD
D
gu
Y
rr 

Angela Nieckele – PUC-Rio
37
• Pode-se agora escrever a equação
de conservação de energia total Y 2
2
1
Vie
   uupqqVi
tD
D 
 





 Yr divdivdiv2
2
1
    uuupupguV
tD
D 






:divdivdiv rrr 2
2
1
Combinando esta equação de conservação de energia interna
e cinética com a equação de conservação de energia
mecânica, derivada anteriormente, e repetida aqui
uupqq
tD
iD 
  :divdiv r
obtém-se a equação de conservação de energia térmica
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38
   





internaenergia
em
mecânicotrabalho
deconversão
condução
porenergia
deentrada
detaxageração
internaenergia
deaumento
detaxa
uupqq
tD
iD
 :divdiv r
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39
A equação da energia térmica apresentada em termo de energia interna,
apresenta do lado esquerdo termos na forma de energia térmica e do lado
direito na forma de energia mecânica. É conveniente, reescrever a equação
somente em função de termos de energia térmica. Para isso, utilizaremos a
entalpia, cuja definição é
r
p
ih 
tD
Dp
tD
pD
tD
hD
tD
iD r
rr 2
1

u
tD
D 
divr
r

u
tD
pD
qq
tD
hD 
  :div r
então 
substituindo a equação acima na equação de conservação de energia térmica e
utilizando a equação da continuidade
temos
Angela Nieckele – PUC-Rio
40
Para a maioria das aplicações de engenharia, é mais conveniente trabalhar com 
a equação de energia térmica em função da temperatura e calor específico do 
que da energia interna ou entalpia.
Sabemos que para uma substância pura, na ausência de movimento, tensão 
superficial e efeitos eletromagnéticos, o estado termodinâmico fica determinado 
com somente duas propriedades independentes.
Considerando
u

u

O termo Dp/Dt é mais simples que o termo p div
porque é mais comum um fluido escoar em um processo a pressão quase
constante (i.e., Dp/Dt 0) do que em um processo com volume quase
constante (div  0).
 vTii ,
r
1
v Td
T
i
vd
v
i
id
T 











vdpsdTid 
pT
v
s
v
i
TT










Porém sabemos que
logo
Angela Nieckele – PUC-Rio
41







T
i
cv
Tdcvd
T
p
Tpid
v















e utilizando a definição de calor específico a
volume constante
tem-se
pT
T
v
p
s










Relembrando as relações de Maxwell
vT
T
p
v
s










vs
s
p
v
T










ps
s
v
p
T










Td
T
i
vd
v
i
id
T 











vTT
T
p
TppT
v
s
v
i















então
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42
uupqq
tD
iD 
  :divdiv r
tD
TD
c
tD
vD
T
p
Tp
tD
iD
v
rrr 














u
tD
D
tD
D
tD
vD 

r
r
r
rr
11/
então
mas
Então a equação da energia
uu
T
p
Tqq
tD
TD
c
v
v

 




 :divdiv r
pode ser escrita em função da temperatura como
Angela Nieckele – PUC-Rio
43
A equação da energia pode agora ser simplificada com as
equações constitutivas vistas.
Utilizando a lei de Fourier para avaliar o fluxo da calor de
condução
  Fr 




 u
T
p
TTkq
tD
TD
c
v
v

 divgraddiv
considerando um fluido Newtoniano, temos
j
i
ij
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u
x
u
u


























F 
3
2
:

Tkq 

Angela Nieckele – PUC-Rio
44
u
tD
pD
qq
tD
hD 
  :div r
Uma outra forma conveniente da equação da energia em
função da temperatura pode ser a partir da equação de energia
em função da entalpia.
Com a definição de calor
específico a pressão constante p
p
T
h
c 





pd
p
h
Tdchd
T
p 





 pThh , pd
p
h
Td
T
h
hd
Tp










Considerando
Angela Nieckele – PUC-Rio
45
vdpidsdT 
vph
p
hi 
r
pdvvdphdid 
pdvhdsdT  pdvsdThd 
Para reescrever a variação da entalpia com a pressão de forma
mais conveniente, vamosutilizar novamente a 1ª. Lei da
termodinâmica:
mas 
então
v
p
s
T
p
h
TT










diferenciando a entalpia com relação a p
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46
pT
T
v
p
s










ppp
TTT
v














 r
r
r
2
11/
p
T 






r
r

1

r
v
p
s
T




 1
vTv
p
h
T





 
r
T
p
h
T





1
1
onde
Utilizando a definição de coeficiente de
expansão térmica
Tem-se logo

Utilizando a relação de Maxwell
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47
h
JT
p
T





coeficiente de Joule Thompson
De forma alternativa, a variação da entalpia com a pressão pode
ser escrita utilizando o coeficiente de Joule Thompson
Sendo h=h(p,T) em um processo isoentalpico, tem-se
0









 dp
p
h
dT
T
h
dh
Tp hpT
p
T
T
h
p
h














logo
 
p
JT
c
T
r




1
JTp
T
c
p
h





Note que para um fluido incompressível, o coeficiente de Joule
Thompson é sempre negativo
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 
pd
T
Tdchd p
r


1
Reescrevendo a entalpia em função de temperatura e pressão
tem-se
pdcTdchd JTpp 







tD
pD
tD
TD
c
tD
hD
JTp rr
 
tD
pD
T
tD
TD
c
tD
hD
p rr  1
ou
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49
u
tD
pD
qq
tD
hD 
  :div r
substituindo 
na equação da energia
 
tD
pD
T
tD
TD
c
tD
hD
p rr  1
u
tD
pD
Tqq
tD
TD
cp

  :div r
  Fr 
tD
pD
TTkq
tD
TD
cp graddiv
Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano
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50
u
tD
pD
qq
tD
hD 
  :div r
substituindo 
na equação da energia







tD
pD
tD
TD
c
tD
hD
JTp rr
u
tD
pD
cqq
tD
TD
c JTpp

  :)1(div rr
  F rr
tD
pD
cTkq
tD
TD
c JTpp )1(graddiv
Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano
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51
Vamos analisar agora quatro casos particulares que são muito 
utilizadas. Desprezaremos a dissipação viscosa, fontes e 
consideraremos a condutividade térmica k constante.
1 - Para gases ideais
v
TR
TRp  r
T
p
T
p
v





upTk
tD
TD
cv

 2r
tD
pD
Tk
tD
TD
cp 
2r
TT
p
11






r
r

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52
2 - Fluido a pressão constante
3 - Fluidos com massa específica r independente de T ( = 0)
4 - Sólidos: A massa específica é em geral constante e 0u

Tk
tD
TD
cp
2r
Tk
tD
TD
cp
2r
Tk
tD
TD
c 2r
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53
Equação de Conservação para uma Mistura
A equação de conservação de massa utiliza valores médios em massa, não
fornecendo informações sobre como uma espécie se difunde na outra.
Definições: 
mi = massa da espécie i 
m = massa total da mistura = 

n
i
imm
1
 
ri = concentração em massa  



r ii
m
 = massa da espécie i por unidade de volume 
r = massa específica total da mistura  



r
m
  

n
i
i
1
rr 
ci = concentração molar  
i
i
i
M
c
r
 = número de moles da espécie i por unidade de volume 
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54
  massa molecular da espécie i 
i = fração em massa  
r
r
 ii  = concentração em massa da espécie i dividida pela 
densidade de massa total da solução 
xi = fração em moles  
c
c
x ii  concentração molar da espécie i dividida pela densidade de 
molar total da solução 
iu

= velocidade da espécie i em relação a um eixo estacionário 
u

= velocidade média em massa  

n
i
ii uu
1 r
r


 
uui

  velocidade de difusão da espécie i em relação a u

 
ij = fluxo de massa da espécie i em relação a velocidade média em massa   uuj iii

 r , sendo que 
0
1


n
i
ij

 
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55
Equação da continuidade para a espécie i: iii
i ru
t


 
r
r
div 
t
i

 r
 = taxa de acumulação de massa da espécie i por unidade de volume 
ii u

rdiv = fluxo líquido saindo da espécie i por unidade de volume 
ri = taxa de criação ou destruição de massa da espécie i, por unidade de volume. As 
espécies podem ser criadas, por exemplo, por reação química. 
 
Cada componente do fluido possui uma equação análoga 
Somando estas equações 
 
  


i ii ii
i i ru
t

r
r
div 
a massa específica da mistura e o fluxo de massa da mistura são definidos como 
 
 i irr ;   i ii uu rr

 
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56
Logo a velocidade média da mistura é 
 
r
r
 i
ii u
u

 
 
0i ir pois quando uma espécie é criada, outra é destruída 
 
0


u
t

r
r
div equação da continuidade da mistura 
 
Usando a definição de fluxo de massa específico 
 
iii
i jru
t

divdiv 


r
r
 
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57
0


u
t

r
r
div
iii
i jru
t

divdiv 


r
r
 Equação da continuidade da mistura 
 n – 1 equações da continuidade das espécies 
Para analisar uma mistura precisa-se satisfazer:
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58
Utilizando agora a definição de fração em massa 
r
r
 ii  , tem-se 
  iii
i jru
t

divdiv 


r
r
 
 
ou com o auxílio da equação da continuidade da mistura 
ii
i jr
tD
D 
div

r 
 
Para uma mistura binária, vimos que a lei de Fick relaciona o fluxo de massa difusivo da 
espécie 1 em relação a mistura com a fração em massa como 
 
1121 r  Dj

 
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59
 1121
1 r

r  Dr
tD
D
div
  rrrr 112 1   12
2 1 
r
r

Finalmente, a equação de difusão de massa para uma mistura 
binária é 
Para uma mistura binária, não é necessário escrever uma 
equação para o segundo componente, uma vez que a 
ou 
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60
Equação de Entropia (2ª lei da Termodinâmica)
QST 
T
Q
t
S
sistema










entropia
degeração
atemperatursob
totalcalor
detaxa
s
T
Q
t
S
 


Para sistema temos 
= corresponde a um processo reversível 
> corresponde a um processo irreversível 
convertendo a equação acima para um volume de controle e aplicando em 
um volume infinitesimal 
onde S é a entropia e Q é a calor transferido. 
A variação com o tempo nos fornece 
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61
 







volumedeunidade
porentropia
degeração
volumedeunidade
atemperatura
sobrecalorde
líquidofluxo
volumedeunidade
porentropia
desaindo
líquidofluxo
volumedeunidade
porentropia
deacumulação
detaxa
s
T
q
su
t
s









divdiv r
r
s
T
q
tD
sD








 divr
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62
Vamos quantificar a geração de entropia
Considere a 1ª lei da termodinâmica  T ds = di + p dv 
tD
vD
p
tD
iD
tD
sD
T 
r
r
r
r u
tD
D
tD
D
tD
vD

div/

2
11






 u
p
tD
iD
TtD
sD 
div
r
1
uupqq
tD
iD 
  :divdiv r
T
u
T
q
T
q
tD
sD

 



:
r
relembrando a equação da energia 
substituindo na equação anterior, temos 
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63
2
div
T
Tq
T
q
T
q
T
q 















2T
Tq
T
q
T
q 









2
:
T
Tq
T
q
T
u
T
q
tD
sD 










 
r
s
T
q
tD
sD








r
2T
Tq
T
uq
s






:
mas 
comparando com a equação de 
conservação de entropia
Conclui-se que
então
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64
2T
Tq
T
uq
s






:
2
2
T
Tk
T
q
s




F

Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano, a 
geração de entropia é
Nota-se que o fluxo de calor, sempre causa geração de entropia, 
assim como o atrito viscoso de um fluido Newtoniano, já que a 
funçãodissipação F também é sempre positiva.
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65
Derivação das relações de Maxwell
1 - Função de Helmhots: a = i – T s
Variação TdssdTidad 
1ª lei da termodinâmica vdpsdTid 
Tdsvdpad 
Td
T
a
vd
v
a
ad
vT











T
v
a
p 





v
T
a
s 





;
Comparando com a 
regra da cadeia
concluimos
logo
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66
T
v
a
p 





v
T
a
s 

















vT
a
T
p
v
2












Tv
a
v
s
T
2
vT
T
p
v
s










.
Diferenciando novamente cada termo acima
;
E finalmente igualando, tem-se uma das relações de Maxwell
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67
Derivação das relações de Maxwell
2 - Função de Gibbs: g = h – T s ou g = i – p v – T s ou 
Variação
1ª lei da termodinâmica vdpsdTid 
Comparando com a 
regra da cadeia
concluimos
logo
TdssdTvdppdvidgd 
Tdspdvgd 
Td
T
g
pd
p
g
gd
pT











p
T
g
s 





T
p
g
v 





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68
.
Diferenciando novamente cada termo acima
;
E finalmente igualando, tem-se outra das relações de Maxwell












Tp
g
p
s
T
2











pT
g
T
v
P
2
p
T
g
s 





T
p
g
v 





pT
T
v
p
s










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69
CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Fronteiras livres
• Fronteiras limitadas (parede)
Balanços interfaciais
 
 
 
 
1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
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70
Balanços interfaciais
 Balanço de massa interfacial
 
 
 
 
1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
0
2
1
 
k
ikkk )u(unr
S
tS
kini



/
nuu
tinii uuu 
0
2
1

k
km
)u(un ikkkkm  r Fluxo de massa interfacial
(mudança de fase)
 ui velocidade da interface
 uni velocidade de deslocamento da
interface
 Posição da interface S(x, t)
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71
Balanços interfaciais
 Balanço de quantidade de 
movimento interfacial
 
 
 
 
1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
 Tensor de tensões:
 Fluxo de superfície interfacial:
 Parcela normal representa o efeito líquido da curvatura 
da interface, onde k é a curvatura média da superfície, 
 é tensão superficial. 
 Força tangencial devido ao gradiente da tensão 
superficial.
  0
2
1


i
k
kkkikkk Mnu)u(unr
k Fi tnM  2
kkk p τI 
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72
CONDIÇÕES DE CONTORNO
 Interface fluido-sólido:
 a velocidade do líquido é igual a velocidade do sólido
 condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais
 condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais
un=ûsólido n em S
(parede fixa impermeável, û=0)
 A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos 
Newtonianos (moléculas pequenas), e também em muitas 
situações dos fluidos complexos
tit2t1t uuuu  tu
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73
Condição de contorno
 Salto de quantidade de movimento:
 Tensão viscosa
 Tangencial
 Normal
F
k
tk tτ 

2
1
k
r
121
2
1
2
2 nτnn 









k
nkkk
k
k
k p
m
tknmktknkkk k
τ τnτττn 
 Interface plana líquido-líquido: as velocidades e tensões são contínuas 
através da interface
 Interface plana líquido-gás: a tensão cisalhante é nula na interface, uma vez 
que os gradientes do lado do gás são pequenos. Esta é uma boa aproximação 
porque gases << liquidos.
 Interface curvas líquido-gás ou líquido-gás: a tensão normal não é mais 
contínua através da interface, e a tensão superficial torna-se importante
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
74
Balanços interfaciais
 Balanço de energia
 
 
 
 
1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
 Energia interna por unidade de área interfacial: 

1
2
1 



diia
 
















2
1
2
2k
kkkk
k
kikkkiiisa
as uii
td
id
qun)u(unuMu r
taxa de 
variação da 
energia da 
superfície
trabalho 
realizado pela 
tensão 
superficial
transferência de energia do fluido de 
cada lado da interface
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
75
Condição de contorno
 Condição de contorno de equilíbrio térmico
iii TTT  21
 Interface fluido-sólido: solidosolidokk qnqn 
solsolsol TkTk nn 
 Interface com mudança de fase
l = calor latente 
llmTkTk  222111 nn
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76
Escoamento internos ×
Escoamentos externos
O escoamento e transferência de calor apresentam características 
diferentes dependendo se o escoamento é externo ou interno.
Escoamento externo: caracterizado pela região com gradiente 
acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica) e gradiente 
acentuado de temperatura (camada limite térmica)
Escoamento interno: 
Entrada: comportamento análogo à camada limite externa
Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento 
desenvolvido: 
• Hidrodinâmicamente desenvolvido: u/x=0 ; dp/dx=cte
•Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura 
não varia (/x=0)
 é temperatura adimensional   =(T-Tref)/ Tref
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
77
ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos 
determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e 
sustentação, e o calor trocado entre o corpo e fluido
Região afetada pela 
presença do corpo

CAMADA LIMITE
Fora da camada limite, o 
escoamento não é afetado 
pela presença do corpo 
forças viscosas não são 
importantes
Quando o escoamento na camada limite é 
desacelerado devido a uma diferença de 
pressão, pode ocorrer uma reversão do 
escoamento e a camada limite separa-se da 
superfície do corpo, formando a esteira
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
ESCOAMENTOS EXTERNOS
 A velocidade característica é a velocidade de 
aproximação do corpo U e temperatura da corrente 
livre T
 A dimensão característica é o comprimento do corpo 
na direção do escoamento, L
78

r LU
Re  O número de Reynolds que caracteriza a 
transição neste caso é
Re  5 x 105  laminar
Re > 5 x 105  turbulento
T
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79
Camada Limite Hidrodinâmica:
região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ U∞)
(x)

x
y


U U
u(y)
Fluidos
Newtonianos:
0

y
s
y
u



Espessura da camada limite, 
 Cresce com x
 Depende da viscosidade
u/yy=0 cai com x  s (Cf) cai com x
221 

U
x
xCf s
r

)/(
)(
)(
Coeficiente de atrito
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80
Camada Limite Térmica: 
região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura 
devido a presença da parede
t(x)
t
x
y
T0
U
T(y)
T0
Ts
 
 0
0
0
0
0
990
TT
y
T
k
h
TTh
y
T
kq
TT
TT
s
y
f
s
y
fs
s
s












"
,
• Coeficiente de transferência de calor h é função da distribuição de 
temperaturas
• t cresce com x  T/yy=0 cai com x  h cai com x
• Espessura da camada limite térmica depende de Prandtl =  cp/k
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 ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos buscar 
a relação entre vazão e queda de pressão, variação de 
temperatura entre entrada e saída e fluxo de calor trocado 
• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o 
escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia 
linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro
dinâmicamente desenvolvido.
• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo 
comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos 
externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a regiãode 
entrada de uma tubulação.
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82
ESCOAMENTOS INTERNOS
 Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente
desenvolvido.
 A velocidade característica é a velocidade média um
 A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
 dAuA
1
A
Q
u
TT
m
m
t
h
P
A4
D 
At é a área transversal do 
escoamento e Pm é o perímetro 
molhado, o fator 4 é introduzido por 
conveniência.

r hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re  2300  laminar 
Re > 2300  turbulento
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83
ESCOAMENTOS INTERNOS
 Considerando que o escoamento como termicamente 
desenvolvido.
 A temperatura característica é a temperatura de mistura Tm
tmp
p
pp
m
Auc
dATcu
dAuc
dAeu
cm
E
T
r
r
r
r 





Propriedades 
constantes
tm
m
Au
dATu
T


ref
ref
T
TT


 0


x
