Questões resolvidas sobre Testes de Hipóteses

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TESTES DE HIPÓTESES 
Questão 07: No decurso de um ano, determinada firma teve 50 acidentes. Um dos 
aspectos de uma investigação levada a efeito pelo engenheiro de segurança diz 
respeito ao dia de ocorrência do acidente. Pelos dados que seguem abaixo, pode-
se dizer que o dia da semana tenha alguma influência? Teste a hipótese nula, de 
que os dias são igualmente prováveis, ao nível de 10% de probabilidade. 
 
1º passo: 
𝐻𝑂 : os dias são igualmente prováveis, ou seja, proporção 𝑠𝑒𝑔: 𝑡𝑒𝑟: 𝑞𝑢𝑎: 𝑞𝑢𝑖: 𝑠𝑒𝑥 =
 1: 1: 1: 1: 1 
𝐻1: os dias não são igualmente prováveis, ou seja, proporção 𝑠𝑒𝑔: 𝑡𝑒𝑟: 𝑞𝑢𝑎: 𝑞𝑢𝑖: 𝑠𝑒𝑥 ≠
1: 1: 1: 1: 1 
2º passo: 
𝛼 = 10%. Verifica-se que existem 5 categorias (𝑠𝑒𝑔, 𝑡𝑒𝑟, 𝑞𝑢𝑎, 𝑞𝑢𝑖, 𝑠𝑒𝑥). Então, 𝑘 = 5. 
Nenhum parâmetro foi calculado, então 𝑟 = 0. Logo, 
𝜐 = 5 − 1 − 0 = 4 
3º passo: 
𝜒𝑡𝑎𝑏
2 = 7,78. 
4º passo: 
Dia 
Valor observado 
(𝒐) 
Valor 
esperado 
(𝒆 =
𝟏
𝟓
 . 𝟓𝟎) 
 
(𝒐 − 𝒆) (𝒐 − 𝒆)𝟐 
(𝒐 − 𝒆)𝟐
 𝒆
 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 15 10 +5 25 2,5 
𝑇𝑒𝑟ç𝑎 6 10 −4 16 1,6 
𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 4 10 −6 36 3,6 
𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎 9 10 −1 1 0,1 
𝑆𝑒𝑥𝑡𝑎 16 10 +6 36 3,6 
Total 𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟏, 𝟒 
 
Logo, 𝜒𝑐𝑎𝑙𝑐
2 = 11,4. 
5º passo: 
Como 𝜒𝑐𝑎𝑙𝑐
2 > 𝜒𝑡𝑎𝑏
2 ↔ 11,4 > 7,78, rejeita-se 𝐻𝑂 . 
6º passo: 
Conclui-se que o dia da semana tem influência em relação ao número de acidentes. 
Questão 10: Uma máquina automática enche latas com base no peso líquido, com 
variabilidade praticamente constante e independente dos ajustes, dada por um 
desvio padrão de 5 g. Duas amostras retiradas em dois períodos de trabalho 
consecutivos, de 10 e de 20 latas, forneceram pesos líquidos médios de, 
respectivamente, 184,6 e 188,9 gramas. Desconfia- se que a regulagem da 
máquina quanto ao peso médio fornecido possa ter sido modificada no período 
entre a coleta das duas amostras. Qual a conclusão? 
a) ao nível de 5% de significância? 
 
1º passo: determinar o parâmetro de interesse 
O parâmetro de interesse (∆) é a diferença do peso médio fornecido no período entre a 
coleta das duas amostras. 
 
2º passo: definir 𝐻𝑂 
𝐻𝑂: 𝜇1 − 𝜇2 = 0 
Ou seja, ∆= 0. 
 
3º passo: definir 𝐻1 
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 
Ou seja, Δ ≠ 0. 
 
4º passo: estatística de teste 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(𝑋1̅̅ ̅ − 𝑋2̅̅ ̅ ) − 0
√
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
 
 
5º passo: delimitar a região de rejeição 
Rejeitar 𝐻𝑂 se 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 < −𝑍𝛼
2
 ou 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑍𝛼
2
 
𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑍0,025 = 1,96 
 
6º passo: valores 
𝑋1̅̅ ̅ = 184,6 
 
𝑋2̅̅ ̅ = 188,9 
𝜎1
2 =
25
10
 𝜎2
2 =
25
20
 
𝑛1 = 10 𝑛2 = 20 
 
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(184,6 − 188,9) − 0
√25
10 +
25
20
= −
4,3
1,94
= −2,22 
 
7º passo: rejeitar ou não 
Como −2,22 < −1,96, rejeitamos 𝐻𝑂 . 
 
8º passo: conclusão 
Ao nível de confiança de 95%, podemos afirmar que houve modificação no peso médio 
fornecido no período entre a coleta das duas amostras. 
 
b) ao nível de 1% de significância? 
 
𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑍0,005 = 2,57 
Como −2,22 > −2,57, não rejeitamos 𝐻𝑂 . 
Ao nível de confiança de 99%, podemos afirmar que não houve modificação no peso 
médio fornecido no período entre a coleta das duas amostras. 
 
Questão 11: Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário 
inicial de recém formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de 
liberais em geral e outro de formados em Administração de empresas. Com os 
resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões 
ao nível de 5% de significância? 
 
Primeiramente, iremos analisar as variâncias dos dois grupos populacionais. 
𝐻𝑂 : 𝜎𝐴
2 = 𝜎𝐿
2 
𝐻1: 𝜎𝐴
2 < 𝜎𝐿
2 
 
𝐹𝑐 =
𝑆𝐿
2
𝑆𝐴
2 
Rejeitaremos 𝐻𝑂 se 𝐹5%(6, 8) < 𝐹𝑐. 
 
𝑋𝐿̅̅ ̅ = 
∑ 𝑋𝐿𝑖
7
𝑖=1
7
=
69,1
7
= 9,87 
𝑋𝐴̅̅ ̅ =
∑ 𝑋𝐴𝑖
9
𝑖=1
9
=
84,6
9
= 9,40 
 
𝑆𝐿
2 =
∑ (𝑋𝐿𝑖 − 9,87)
27
𝑖=1
7 − 1
=
35,51
6
= 5,919 
 
𝑆𝐴
2 =
∑ (𝑋𝐴𝑖 − 9,40)
29
𝑖=1
9 − 1
=
7,72
8
= 0,965 
 
𝐹𝑐 =
𝑆𝐿
2
𝑆𝐴
2 =
5,919
0,965
= 6,13 
 
𝐹5%(6, 8) = 3,58 
Como 3,58 < 6,13, rejeita-se 𝐻𝑂 . 
Conclui-se que ao nível de significância de 5% a variância dos salários mínimos do 
grupo de liberais é maior que a variância dos salários mínimos do grupo de 
administradores. 
Agora, faremos um teste de comparação de duas médias supondo que as variâncias 
são diferentes e desconhecidas. 
𝐻𝑂: 𝜇𝐿 = 𝜇𝐴 
𝐻1: 𝜇𝐿 ≠ 𝜇𝐴 
 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(𝑋𝐿̅̅ ̅ − 𝑋𝐴̅̅ ̅) − 0
√
𝑆𝐿
2
𝑛𝐿
+
𝑆𝐴
2
𝑛𝐴
=
(9,87 − 9,40)
√5,919
7 +
0,965
9
=
0,47
0,9776
= 0,481 
 
Graus de liberdade (gl): o menor dos valores entre 6 e 8. 
𝑔𝑙 = 7 
𝑡5%(7) = 2,36 
 
Como 0,481 < 2,36, não se rejeita 𝐻𝑂 . 
Conclui-se que ao nível de significância de 5% a média salarial mínima do grupo de 
liberais e do grupo de administradores são iguais. 
 
Questão 12: Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação, uma 
amostra aleatória, de 50 homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial, 
produziu os seguintes resultados: 
 
Que conclusões você poderia tirar para a população de homens e mulheres desta 
indústria, ao nível de 5% de significância? 
Devemos supor que: 
• o tempo de adaptação tem Distribuição Normal 
• as amostras foram colhidas de maneira independente. 
Testando as hipóteses: 
𝐻𝑂 : 𝜎𝐻
2 = 𝜎𝑀
2 
𝐻1: 𝜎𝐻
2 < 𝜎𝑀
2 
A estatística de teste: 
𝐹𝑐 =
𝑆𝑀
2
𝑆𝐻
2 
Rejeitaremos 𝐻𝑂 se 𝐹5%(49, 49) < 𝐹𝑐. 
 
𝑋𝐻̅̅ ̅̅ = 
∑ 𝑋𝐻𝑖
50
𝑖=1
50
= 3,2 
𝑋𝑀̅̅ ̅̅ =
∑ 𝑋𝑀𝑖
50
𝑖=1
50
= 3,7 
 
𝑆𝐻
2 = (0,8)2 = 0,64 
 
𝑆𝑀
2 = (0,9)2 = 0,81 
 
𝐹𝑐 =
𝑆𝑀
2
𝑆𝐻
2 =
0,81
0,64
= 1,266 
 
𝐹5%(60, 60) < 𝐹5%(49, 49) < 𝐹(5%)(40, 40) 
1,53 < 𝐹5%(49,49) < 1,69 
Como 𝐹5%(49,49) > 1,266, não se rejeita 𝐻𝑂 . 
Conclui-se que ao nível de significância de 5% a variância populacional do grupo de 
homens é igual a variância populacional do grupo de mulheres. 
Queremos também testar as seguintes hipóteses: 
𝐻𝑂 : 𝜇𝑀 = 𝜇𝐻 
𝐻1: 𝜇𝑀 ≠ 𝜇𝐻 
Estatística de teste: 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(𝑋𝑀̅̅ ̅̅ − 𝑋𝐻̅̅ ̅̅ ) − (𝜇𝑀 − 𝜇𝐻)
√
𝑆𝑝
2
𝑛𝑀
+
𝑆𝑝
2
𝑛𝐻
 
Em que 
𝑆𝑝
2 =
(𝑛𝑀 − 1)𝑆𝑀
2 + (𝑛𝐻 − 1)𝑆𝐻
2
(𝑛𝑀 − 1) + (𝑛𝐻 − 1)
 
 
𝑆𝑝
2 =
(50 − 1)(0,64) + (50 − 1)(0,81)
(50 − 1) + (50 − 1)
=
31,36 + 39,69
98
=
71,05
98
= 0,725 
 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(3,7 − 3,2) − 0
√0,725
50 +
0,725
50
=
0,50
√1,45
50
=
0,50
0,1703
= 2,936 
 
Distribuição de student com graus de liberdade (gl): 𝑛𝑀 + 𝑛𝐻 − 2 
𝑔𝑙 = 98 
𝑡5%(120) < 𝑡5%(98) < 𝑡5%(60) 
1,98 < 𝑡5%(98) < 2,0 
 
Como 2,936 > 𝑡5%(98), rejeita-se 𝐻𝑂 . 
Conclui-se que ao nível de significância de 5% há evidência em favor da diferença entre 
o tempo médio de adaptação dos homens e das mulheres. 
 
Questão 14: Uma pesquisa sobre a qualidade de certo produto foi realizada 
enviando-se questionários a donas-de-casa através do correio. Suspeitando-se 
que os respondentes voluntários tenham um particular vício de respostas, 
fizeram-se mais duas tentativas com os não respondentes. Os resultados estão 
indicados abaixo. Você acha que existe relação entre a opinião e o número de 
tentativas? (Utilize o nível de significância de 5 %) 
 
 
𝐻𝑂 : a opinião dos respondentes e o número de tentativas são independentes 
𝐻1: a opinião dos respondentes e o número de tentativas não são independentes. 
 1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 
Excelente 62 36 12 𝟏𝟏𝟎 
Satisfatório 84 42 14 𝟏𝟒𝟎 
Insatisfatório 24 22 24 𝟕𝟎 
 𝟏𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟎 
 
𝐸11 =
170 . 110
320
= 58,438 𝐸12 =
100 . 110
320
= 34,375 𝐸13 =
50 . 110
320
= 17,188 
𝐸21 =
170 . 140
320
= 74,375 𝐸22 =
100 . 140
320
= 43,750 𝐸23 =
50 . 140
320
= 21,875 
𝐸31 =
170 . 70
320
= 37,186 𝐸32 =
100 . 70
320
= 21,875 𝐸33 =
50 . 70
320
= 10,938 
 
 1ª tentativa 2ª tentativa 3ª tentativa 
Excelente 58,438 34,375 17,188 𝟏𝟏𝟎 
Satisfatório 74,375 43,750 21,875 𝟏𝟒𝟎 
Insatisfatório37,186 21,875 10,938 𝟕𝟎 
 𝟏𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟎 
 
𝜒𝑐𝑎𝑙
2 =
(62 − 58,438)2
58,438
+ ⋯ +
(24 − 10,938)2
10,938
= 26,288 
 
No teste de independência, temos (𝑟 − 1)(𝑠 − 1) graus de liberdade, onde 𝑟 e 𝑠 são o 
número de linhas e de colunas respectivamente. 
𝑔𝑙 = (3 − 1). (3 − 1) = 4 
𝜒5%
2 (4) = 9,488 
 
Como 26,288 > 9,488, rejeita-se 𝐻𝑂 a um nível de significância 5%, então temos 
evidências de que a opinião dos respondentes e o número de tentativas não são 
independentes. 
Questão 16: Dez cobaias adultas foram submetidas ao tratamento com certa ração 
durante uma semana. Os animais foram perfeitamente identificados e mantidos 
em gaiolas individuais. Os pesos, em gramas, antes e após uma semana, 
designados respectivamente, por xi e yi são dados a seguir. O uso da ração 
contribuiu para o aumento do peso médio dos animais? (𝛼 = 1%) 
 
𝐻𝑂 : peso médio dos animais não foi alterado 
𝐻1: peso médio dos animais foi alterado 
Cobaia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑿𝒊 635 704 662 560 603 745 698 575 633 669 
𝒀𝒊 640 712 681 558 610 740 707 585 635 682 
𝒅 = 𝑿𝒊 − 𝒀𝒊 −𝟓 −𝟖 −𝟏𝟗 𝟐 −𝟕 𝟓 −𝟗 −𝟏𝟎 −𝟐 −𝟏𝟑 
 
Estatística de teste: 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
�̅� − 𝜇𝑑
𝑆𝑑
√𝑛
 
 
�̅� =
∑ 𝑑
𝑛
=
−5 + (−8) + ⋯ + (−13)
10
= −6,6 
 
𝑆𝑑 =
√
∑(𝑑 − �̅�)
2
𝑛 − 1
= √
(−5 − (−6,6))
2
+ ⋯ + (−13 − (−6,6))
2
10 − 1
 
𝑆𝑑 =
√446,4
3
=
21,128
3
 
𝑆𝑑 = 7,043 
 
|𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐| = |
6,6
7,043
√10
| = |
6,6
7,043
3,162
| = |
6,6
2,227
| = 2,96 
 
𝑔𝑙 = 10 − 1 = 9 
𝑡1%(9) = 2,821 
Como 2,96 > 2,821, rejeita-se 𝐻𝑂 a um nível de significância de 1%, o uso da ração 
contribuiu para o aumento do peso médio dos animais. 
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