Lista de Exercícios - Análise Combinatória - Enem e Vestibulares

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA -ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
 
1. (Enem 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha 
composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou 
minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe 
que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula 
em uma senha. 
 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
a) 2 210 26 
b) 2 210 52 
c) 
2 2 4!10 52
2!
  
d) 2 2
4!
10 26
2! 2!
 

 
e) 2 2
4!
10 52
2! 2!
 

 
 
2. (Enem 2019) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem 
realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do 
torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. 
 
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas? 
a) 69 
b) 70 
c) 90 
d) 104 
e) 105 
 
3. (Enem digital 2020) Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela 
usando um padrão de toques como senha. 
 
 
 
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Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário 
pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo. 
 
Qual expressão representa o número total de códigos existentes? 
a) 5 4 34 4 4− − 
b) 5 4 34 4 4+ + 
c) 5 4 34 4 4  
d) 5(4!) 
e) 54 
 
4. (Enem PPL 2020) Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é 
disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os 
demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros 
times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um vencedor. 
 
Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em que 
houve ganhador é igual a 
a) 64. 
b) 74. 
c) 254. 
d) 274. 
e) 634. 
 
5. (Uemg 2010) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: 
 
 
 
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A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”. 
 
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e 
que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o 
número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a 
a) 60. 
b) 150. 
c) 600. 
d) 120. 
 
6. (Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 
120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato 
um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar 
os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
e) 89. 
 
7. (Enem 2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade 
de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. 
Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o 
prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, 
pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. 
 
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. 
 
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais 
interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela 
dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis 
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com 
nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao 
primeiro é, aproximadamente, 
a) 
1
1
2
 vez menor. 
 
 
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b) 
1
2
2
vezes menor. 
c) 4 vezes menor. 
d) 9 vezes menor. 
e) 14 vezes menor. 
 
8. (Espcex (Aman) 2017) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se 
dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres 
ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. 
 
 
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições? 
a) 56 
b) 456 
c) 40.320 
d) 72.072 
e) 8.648.640 
 
9. (Enem 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. 
Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a 
videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de 
drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. 
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem 
as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos 
os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. 
 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? 
a) 220 8! (3!) + 
b) 8! 5! 3!  
c) 
8
8! 5! 3!
2
 
 
d) 
2
8! 5! 3!
2
 
 
e) 
8
16!
2
 
 
10. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
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Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 
sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre 
uma de cada sabor. 
 
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a 
a) 20. 
b) 41. 
c) 120. 
d) 35. 
 
11. (Enem 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado 
de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, 
delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão 
localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. 
 
 
 
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de 
Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a 
direita ( )→ ou para cima ( ), segundo o esquema da figura. 
 
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas 
condições propostas é 
a) 4. 
b) 14. 
c) 17. 
d) 35. 
e) 48. 
 
 
 
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12. (Enem 2ª aplicação 2010) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido 
recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir 
sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. 
 
Museus nacionais Museus internacionais 
Masp — São Paulo Louvre — Paris 
MAM — São Paulo Prado — Madri 
Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres 
Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York 
 
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode 
escolher os 5 museus para visitar? 
a) 6 
b) 8 
c) 20 
d) 24 
e) 36 
 
13. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo 
seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A 
porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é 
a) menor que 7%. 
b) maior que 7%, mas menor que 10%. 
c) maior que 10%, mas menor que 13%. 
d) maior que 13%, mas menor que 16%. 
e) maior que 16%. 
 
14. (Enem 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas 
conforme a tabela a seguir.grupos taxonômicos número de espécies 
Artiodáctilos 4 
Carnívoros 18 
Cetáceos 2 
Quirópteros 103 
Lagomorfos 1 
Marsupiais 16 
Perissodáctilos 1 
Primatas 20 
Roedores 33 
Sirênios 1 
Edentados 10 
Total 209 
T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003. 
 
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do 
grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse 
estudo é igual a 
a) 1.320. 
b) 2.090. 
c) 5.845. 
 
 
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d) 6.600. 
e) 7.245. 
 
15. (Enem 2017) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu 
fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única 
vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior 
número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de 
jogadores, como mostra o quadro: 
 
Quantidade de 
jogadores 
2 3 4 5 6 7 
Número de 
partidas 
1 3 6 10 15 21 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas? 
a) 64 
b) 56 
c) 49 
d) 36 
e) 28 
 
16. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de 
abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para 
realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante. 
 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos 
times do jogo de abertura podem ser calculadas através de 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
d) duas combinações. 
e) dois arranjos. 
 
17. (Epcar (Afa) 2018) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, 
sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. 
 
Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos 
carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a 
a) 12.600 
b) 16.200 
c) 21.600 
d) 26.100 
 
18. (Enem 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez 
carrinhos nela transportados, conforme a figura. 
 
 
 
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No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os 
carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores 
amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-
cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver 
pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos 
carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. 
 
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-
cegonha que essa empresa poderá produzir? 
a) 6, 4C 
b) 9, 3C 
c) 10, 4C 
d) 46 
e) 64 
 
19. (Enem 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de 
seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela 
internet. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do 
banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova 
senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos 
de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão 
minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de 
melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. 
 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 
a) 
6
6
62
10
 
b) 
62!
10!
 
c) 
62! 4!
10! 56!
 
d) 62! 10!− 
e) 6 662 10− 
 
20. (Famerp 2018) Lucas possui 6 livros diferentes e Milton possui 8 revistas diferentes. Os 
dois pretendem fazer uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possibilidades distintas 
para que essa troca possa ser feita é igual a 
a) 1.040. 
b) 684. 
 
 
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c) 980. 
d) 1.120. 
e) 364. 
 
21. (Enem 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma 
locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 
1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 
na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados 
crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que 
podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por 
a) 4 3 3 212 12 12 12C C C C   
b) 4 3 3 212 8 5 2C C C C+ + + 
c) 4 3 212 8 5C 2 C C   
d) 4 3 212 12 12C 2 C C+  + 
e) 4 3 3 212 8 5 2C C C C   
 
22. (Ufjf-pism 3 2017) Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 8 
candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-
diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa 
escola? 
a) 15 
b) 27 
c) 34 
d) 56 
e) 65 
 
23. (Enem 2013) Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: 
vermelhas, azuis e verdes. 
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato 
de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices 
consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. 
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem 
às posições ocupadas pelas pedras. 
 
 
 
 
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Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão 
poderá obter? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 36 
 
24. (Enem 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em 
cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 
7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as 
cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado 
entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de 
deslocamento entre cada uma das cidades. 
 
 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar 
os cinco clientes. 
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os 
trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma 
sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. 
 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é 
de 
a) 60 min. 
b) 90 min. 
c) 120 min. 
d) 180 min. 
e) 360 min. 
 
25. (Unicamp 2021) O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam 
com a sequência FLORES é 
a) 9!. 
b) 9! 2!. 
c) 9! (2!2!). 
d) 9! (2!2!2!). 
 
26. (Fuvest 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que 
três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura. 
 
 
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O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nospontos 
assinalados é 
a) 200. 
b) 204. 
c) 208. 
d) 212. 
e) 220. 
 
27. (Enem 2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM 
MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. 
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma 
que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o 
espaçamento entre as letras. 
 
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por 
a) 9! 
b) 4!5! 
c) 2 4!5! 
d) 
9!
2
 
e) 
4!5!
2
 
 
28. (Enem 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de 
sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data 
escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão 
marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 
a) 
9!
2!
 
 
 
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b) 
9!
7! 2!
 
c) 7! 
d) 
5!
4!
2!
 
e) 
5! 4!
4! 3!
 
 
29. (Enem 2013) Considere o seguinte jogo de apostas: 
 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre 
os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 
números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números 
escolhidos. 
 
Quantidade de números 
escolhidos em uma cartela 
Preço da cartela (R$) 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
9 125,00 
10 250,00 
 
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: 
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são 
a) Caio e Eduardo. 
b) Arthur e Eduardo. 
c) Bruno e Caio. 
d) Arthur e Bruno. 
e) Douglas e Eduardo. 
 
30. (Enem (Libras) 2017) O Código de Endereçamento Postal (CEP) código numérico 
constituído por oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o 
tratamento e a distribuição de objetos postados nos Correios. Ele está estruturado segundo o 
sistema métrico decimal, sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica região, 
sub-região, setor, subsetor, divisor de subsetor e identificadores de distribuição conforme 
apresenta a ilustração. 
 
 
 
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O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para fins de codificação. Cada região foi 
dividida em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores. Cada 
setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez divisores de 
subsetor. Além disso, sabe-se que os três últimos algarismos após o hífen são denominados 
de sufixos e destinam-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos 
especiais e unidades 
dos Correios. 
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros brasileiros inicia em 000 e 
termina em 899. 
 
Disponível em: www.correios.com.br Acesso em: 22 ago. 2017 (adaptado). 
 
 
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de logradouros no Brasil? 
a) 25 0 9 10 +  
b) 5 210 9 10+  
c) 72 9 10  
d) 29 10 
e) 79 10 
 
31. (Enem digital 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama 
exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ . 
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam 
sempre juntas e exatamente nessa ordem. 
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro 
agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. 
 
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado? 
a) 59 
b) 60 
c) 118 
d) 119 
e) 120 
 
32. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, 
entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico 
do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não 
poderão ser ambos canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 
 
 
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a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
b) 
10! 4!
8! 2!
− 
c) 
10!
2
2! 8!
−

 
d) 
6!
4 4
4!
+  
e) 
6!
6 4
4!
+  
 
33. (Ueg 2017) Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco 
candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o 
segundo mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. 
 
Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa comissão poderá ser formada? 
a) 120 
b) 60 
c) 40 
d) 20 
e) 10 
 
34. (Eear 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o 
campeonato, esses militares podem formar _____ duplas diferentes. 
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45 
 
35. (Enem 2018) O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes 
expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações 
em design e tecnologia. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado). 
 
 
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na 
região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. 
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de 
modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que 
serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante. 
 
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser 
compostos é 
a) 410A 
b) 410C 
c) 2 24 6C C 2 2   
d) 2 24 6A A 2 2   
e) 2 24 6C C 
 
 
 
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36. (Enem 2017) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, 
composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem 
formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da 
bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que 
regiões vizinhas tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com 
as cores citadas? 
a) 15 
b) 30 
c) 108 
d) 360 
e) 972 
 
37. (Enem PPL 2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a 
partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves 
seletoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas 
chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão. 
 
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por 
a) 6. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 24. 
 
38. (Enem PPL 2009) Perfumista é o profissional que desenvolve novas essências para a 
indústria de cosméticos. Considere que um perfumista constatou que a combinação de 
quaisquer três extratos entre os de Andiroba, Cupuaçu, Pitanga e Buriti produzem fragrâncias 
especiais para a fabricação de perfumes. 
 
Simbolizando-se a essência de Andiroba por A, a de Buriti por B, a de Cupuaçu por C e a de 
Pitanga por P, quais são as possíveis combinaçõesdessas essências para a fabricação de 
perfumes, constatadas pelo perfumista? 
a) ABC, BCP 
b) ACB, BCP, PCA 
 
 
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c) ABC, BCP, CBP 
d) ABC, ABP, ACP, BCP 
e) ACB, BAP, CPA, PAB 
 
39. (Enem PPL 2017) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros 
particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres 
alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, 
sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os 
quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um 
cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou 
significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas 
em que todos os algarismos sejam iguais a zero. 
 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado). 
 
 
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a 
a) 3 426 9+ 
b) 3 426 9 
c) 3 426 (10 1)− 
d) 3 4(26 10 ) 1+ − 
e) 3 4(26 10 ) 1 − 
 
40. (Enem 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de 
aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma 
senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas 
pelo programador, descritas no quadro, em que "L" e "D" representam, respectivamente, letra 
maiúscula e dígito. 
 
Opção Formato 
I LDDDDD 
II DDDDDD 
III LLDDDD 
IV DDDDD 
V LLLDD 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, 
podem se repetir em qualquer das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis 
seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao 
dobro do número esperado de clientes. 
 
A opção que mais se adéqua às condições da empresa é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Existem 210 10 10 = maneiras de escolher os dois algarismos e 252 52 52 = maneiras de 
escolher as letras. Definidos os caracteres da senha, podemos dispô-los de (2, 2)4
4!
P
2! 2!
=

 
modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 2 2
4!
10 52 .
2! 2!
 

 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Grupo 



6 destros
2 canhotos
 
 
Imposição: 4 duplas, sendo que não haverá dupla com 2 canhotos. 
 
Neste caso, teremos: 
Todas as duplas: 
  
= =
8,2 6,2 4,2 2,2C C C C
TD 105
4!
 
 
Duplas com uma dupla de canhotos: 
 
= =
6,2 4,2 2,2
2,2
C C C
TC C . 15
3!
 
 
Total: T TD TC 105 15 90.= − = − = 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
O número de códigos possíveis é dado por: 
Para 3 toques: 
34 4 4 4  = 
 
Para 4 toques: 
44 4 4 4 4   = 
 
Para 5 toques: 
54 4 4 4 4 4    = 
 
Portanto, a expressão representa o número total de códigos existentes é: 
3 4 54 4 4+ + 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
O número total de partidas é dado por 
 
 
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20, 2
20!
A 380.
18!
= = 
 
Portanto, se ocorreram 126 empates, então houve ganhador em 380 126 254− = jogos. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Cinco crianças para cinco posições. 
5P 5! 120.= = 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Começando com 1: 4! = 24 
Começando com 3: 4! = 24 
Começando com 5: 4! = 24 
Começando com 71: 3! = 6 
Começando com 73: 3! = 6 
Começando com 751: 2! = 2 
Começando com 753: 2! = 2 
O próximo será 75913 
 
Logo, 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição). 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Número de possibilidades de 84 apostas de seis dezenas diferentes. 84.C6,5 = 84. 6 = 504 
Número de possibilidades de se obter a quina com uma única aposta de 9 dezenas. C9,5 = 126 
126 é a quarta parte de 504 logo a alternativa correta é a letra c. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
 
 
Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos: 
5P 5! 120= = 
 
Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, 
temos: 
8 7 6 336.  = 
 
Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas 
restrições são: 
P 120 336 40.320=  = 
 
Resposta da questão 9: 
 
 
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 [B] 
 
Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições de ordem ímpar serão 
ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras posições de ordem par serão ocupadas 
pelos filmes de comédia, e as 3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes 
de drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de 8P 8!= modos, os de comédia de 
5P 5!= maneiras e os de drama de 3P 3!= possibilidades. Portanto, pelo Princípio 
Multiplicativo, segue-se que o resultado é 8! 5! 3!.  
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se 
que o resultado pedido é dado por 
 
6 6 6 6! 6!
6
1 2 3 2! 4! 3! 3!
6 15 20
41.
     
+ + = + +                 
= + +
=
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
O número de maneiras de ir de A até B, passando ou não por C, é dado por 
(4, 3)
7
7!
P 35.
4! 3!
= =

 
 
O número de maneiras de ir de A até C é igual a 
(2, 2)
4
4!
P 6,
2! 2!
= =

 
 
enquanto que o número de maneiras de ir de C até B é 
(2)
3
3!
P 3.
2!
= = 
 
Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, é possível ir de A até B, passando por C, de 
6 3 18 = maneiras. 
A resposta é 35 18 17.− = 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
O professor pode escolher 3 museus no Brasil de 
 
= 
 
4
4
3
 modos distintos e pode escolher 2 
museus no exterior de 
 
= = 
 
4 4!
6
2 2!2!
 maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher 
os 5 museus para visitar de  =4 6 24 maneiras diferentes. 
 
Resposta da questão 13: 
 
 
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 [B] 
 
O nśmero total de jogos disputados é dado por 
 
20, 2
20!
A 20 19 380.
18!
= =  = 
 
Logo, como o nśmero de jogos nos quais os dois oponentes sćo paulistas é 
 
6, 2
6!
A 6 5 30,
4!
= =  = 
 
segue que a porcentagem pedida é igual a 
 
30
100% 7,9%.
380
  
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Há 
 
= 
 
2
2
1
 modos de escolher um espécime do grupo Cetáceos, 
 
= 
 
20
20
1
 modos de 
escolher um espécime do grupo Primatas e 
 
= 
 
33
33
1
 modos de escolher um espécime do 
grupo Roedores. 
Portanto, pelo PFC, podemos formar   =2 20 33 1320 conjuntos distintos. 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
O número de partidas pode ser calculado pelo número de combinações de jogadores, 2 a 2. 
Assim: 
8,2
8! 8 7 6!
C 28 partidas
2! 6! 2 6!
 
= = =
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa 
combinação. 
Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. 
Logo a alternativa A é a correta. 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Considerando que as quatro vagas desocupadas são objetos idênticos, segue que o resultado 
é dado por 
 
 
 
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@prof.aruadias 
(3, 2, 4)
10
10!
P
3! 2! 4!
10 9 8 7 6 5
3 2 2
12600.
=
 
    
=
 
=
 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 10 carros e que é preciso ao menos um 
carrinho de cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as cores podem ser permutadas. 
Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos brancos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 
já pintados (um de cada cor), tem-se: 
a b c d 6+ + + = 
 
A quantidade de soluçõesinteiras não negativas dessa equação de quatro variáveis será: 
9,3
6 4 1 9
C
4 1 3
+ −   
= =   
−   
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 26 10 62 + = 
possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
segue-se que existem 662 senhas possíveis de seis dígitos. 
 
Analogamente, no sistema antigo existiam 610 senhas possíveis de seis dígitos. 
 
Em consequência, a razão pedida é 
6
6
62
.
10
 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
Calculando o total de possibilidades: 
6,3 8,3
6,3
8,3
Total C C
6! 6 5 4
C 20
3! 3! 3 2
8! 8 7 6
C 56
3! 5! 3 2
Total 20 56 1120
= 
 
= = =
 
 
= = =
 
=  =
 
 
Resposta da questão 21: 
 [E] 
 
 
 
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@prof.aruadias 
Existem 
12
4
 
 
 
 modos de escolher os vagões pintados na cor vermelha, 
8
3
 
 
 
 maneiras de 
escolher os vagões pintados na cor azul, 
5
3
 
 
 
 modos de escolher os vagões que serão 
pintados na cor verde e 
2
2
 
 
 
 maneiras de escolher os vagões pintados na cor amarela. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
12 8 5 2
.
4 3 3 2
       
         
       
 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )8, 2
8! 8 7 6!
A 56
8 2 ! 6!
 
= = =
−
 
 
Perceba que a ordem (diretor e vice) é importante, por isso usa-se arranjo. 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A. Além disso, podem ocorrer dois 
casos em relação às pedras que ficarão nos vértices B e D: (i) as cores das pedras em B e 
D são iguais; (ii) as cores das pedras em B e D são distintas. 
 
Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D) (3,1, 2,1)= e (A, B, C, D) (3, 2,1,1),= o 
que corresponde a 3 1 2 1 3 2 1 1 12   +    = joias distintas. 
 
Resposta da questão 24: 
 [B] 
 
5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, 
termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos. 
 
Resposta da questão 25: 
 [C] 
 
Queremos calcular quantos são os anagramas que podem ser formados com as letras da 
palavra RETAMENTO. Logo, dispondo de 9 letras, com a letra E figurando 2 vezes e a letra 
T figurando 2 vezes, segue que a resposta é 
(2, 2)
9
9!
P .
2!2!
= 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
 
 
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@prof.aruadias 
Há 
12 12!
220
3 3! 9!
 
= = 
 
 maneiras de escolher três pontos quaisquer. Dentre essas 
possibilidades, devemos descontar aquelas em que não se pode formar um triângulo. Temos 
dois segmentos de reta que apresentam quatro pontos cada um, resultando, portanto, em 
4
2 2 4 8
3
 
 =  = 
 
 possibilidades. 
A resposta é 220 8 212.− = 
 
Resposta da questão 27: 
 [E] 
 
Como existem quatro vogais e cinco consoantes, a única configuração possível é 
1 1 2 2 3 3 4 4 5c v c v c v c v c , 
 
em que cada ic representa uma consoante e cada iv representa uma vogal. 
Desse modo, temos 
(2)
5
5!
P
2!
= maneiras de dispor as consoantes e 4P 4!= modos de intercalar 
as vogais. 
Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
5!
4!.
2
 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos tomados 7 a 7, 
isto é, 9, 7
9!
A .
2!
= 
 
Resposta da questão 29: 
 [A] 
 
Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas iguais, segue-se 
que Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes 
possibilidades de serem premiados: 
 
250; 
7
41 4 291;
6
 
 + = 
 
 
8
12 10 346;
6
 
 + = 
 
 
9
4 336
6
 
 = 
 
 e 
10
2 420.
6
 
 = 
 
 
 
Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para 
todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de 
serem premiados. 
 
Resposta da questão 30: 
 [E] 
 
Pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é 
 
710 10 10 10 10 900 9 10 .     =  
 
Resposta da questão 31: 
 
 
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@prof.aruadias 
 [D] 
 
O número de anagramas em que as letras “edu” estejam juntas e nessa ordem é dado pela 
permutação das 4 letras com o bloco composto pelas três letras que devem permanecer juntas. 
Ou seja: 
5! 120= 
 
Descontando a sequência “eduardo”, teremos: 
120 1 119− = 
 
Resposta da questão 32: 
 [A] 
 
Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
= 
 
 e o 
número de modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
= 
 
 tem-se que o resultado é 
dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
Resposta da questão 33: 
 [B] 
 
O resultado corresponde ao número de arranjos simples de 5 objetos tomados 3 a 3, ou seja, 
5, 3
5!
A 60.
2!
= = 
 
Resposta da questão 34: 
 [D] 
 
O resultado corresponde ao número de combinações simples de 10 militares tomados 2 a 2, 
ou seja, 
10 10!
45.
2 2! 8!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 35: 
 [C] 
 
Em relação aos carros que ficarão na entrada, existem 4 maneiras de escolher o compacto e 
6 modos de escolher a caminhonete. Já para o estande da região central, tem-se 3 escolhas 
para o compacto e 5 para a caminhonete. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o 
número de possibilidades para compor os estandes é igual a 
6 4
4 6 3 5 2 2
2 2
4 6
2 2.
2 2
   
   =      
   
   
=      
   
 
 
Resposta da questão 36: 
 [E] 
 
 
 
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@prof.aruadias 
Considerando as regiões a serem pintadas: 
 
 
 
Considerando que as cores podem se repetir e que não há obrigatoriedade de se usar as 4 
cores, pode-se calcular: 
D E F C B A
4 3 3 3 3 3 972 opções
    
     =
 
 
Resposta da questão 37: 
 [D] 
 
Como cada chave pode assumir apenas duas posições, pelo Princípio Multiplicativo, é imediato 
que a resposta é    =2 2 2 2 16. 
 
Resposta da questão 38: 
 [D] 
 
O número de possíveis combinações das quatro essências, tomadas três a três, é dado por 
4
4.
3
 
= 
 
 Desse modo, como BAP e PAB resultam no mesmo perfume, só pode ser a 
alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 39: 
 [C] 
 
Sendo 3 426 10 o número total de placas e 326 o número de placas em que os algarismos 
são todos iguais a zero, podemos afirmar que podem ser utilizadas 
3 4 3 3 426 10 26 26 (10 1) − = − placas. 
 
Resposta da questão 40: 
 [E] 
 
Calculando: 
 
 
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@prof.aruadias 
5
6
2 4
5
3 2
Opção I 26 10 2.600.000 opções
Opção II 10 1.000.000 opções
Opção III 26 10 6.760.000 opções
Opção IV 10 100.000 opções
Opção V 26 10 1.757.600 opções
  =
 =
  =
 =
  =
 
 
Sendo o número esperado de clientes igual a 1 milhão, o formato que resulta num número de 
senhas distintas possíveis superior a 1 milhão mas não superior a 2 milhões é o formato dado 
na opção V.