Calculo integral I

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R: 1/5
R: -3
Um pesquisador tendo em posso a taxa de crescimento de uma nova espécie de fungos, usa os dados para prever o crescimento durante um certo tempo. A função que representa a taxa de variação está representada abaixo:
Logo, pode-se afirmar que função que determina a taxa de variação é dada por:
R:
 
Considerando uma função de duas variáveis z = f (x, y), tem-se como objetivo encontrar pontos onde o gráfico da função tenha:
R: um plano tangente horizontal;
Determine os pontos críticos (aproximadamente) da função ƒ(x,y) = x2 + 12xy + 3y3 - 6y
R: (-48,49; 8,08) e (0,49; -0,08)
A alternativa que representa a integral ∫(x + )dx
R: - x2/2 + 3x + c
R: 1,2
Sempre que encontramos o valor do limite igual em dois ou mais caminhos, devemos usar a definição de limites ou o:
R: Teorema do Confronto;
Uma função F é chamada de antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x)=f(x), em outras palavras, dizemos que uma função é antiderivada se, ao derivar a função F(x) chegamos na função f(x). 
De acordo com os conceitos de integral, avalie as afirmativas com relação a função e sua antiderivada:
É correto o que se afirma em:
R: Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Para qual valor de b à função f (x, y, z) = x³ + 3x²y + 7y²b + 5b é contínua:
R: qualquer valor real
Nem todas as funções possuem limite, para exibir esse fato nos casos unidimensionais basta mostrarmos que os limites laterais são diferentes. Porém, para os casos bidimensionais, ou seja, com duas variáveis utilizamos:
R: Curvas
Uma empresa tecnológica adquira um sistema de computação gráfico, utilizando tecnologia de ponta. A desvalorização do sistema ocorre com passar do tempo, devido aos novos lançamentos e os custos de manutenção. Buscando determinar qual a melhor data para a substituição do sistema adquirido, foi determinada uma função que indica o tempo ótimo para a substituição, a função é dada por:
Onde t é dado em anos.
Para A(t) > 10, o uso do sistema deve ser trocado.
Nessas condições, assinale a alternativa que representa a solução correta em relação ao 3 ano de uso do sistema.
R:  A(t) é dada por: 
John Napier foi quem descobriu os logaritmos, embora não tenha introduzido o conceito de logaritmo natural, muitos chamam de logaritmo neperiano. A palavra logaritmo é desenvolvida através de uma combinação das palavras gregas logos e aritmos.
Aplicando o conceito de integrais, assinale a alternativa que representa a solução da integral:
R: 
R: e²
As regras gerais de integração de produto e quociente não são apresentadas , isto ocorre porque elas não existem. Muitas vezes podendo exprimir um produto ou quociente de uma forma integral, com o auxilio das regras de integração, pode-se efetuar os Cálculos.
Considere a integral:
Pode-se afirmar que a solução da integral é dada por:
R: 9
Determine os pontos críticos da função  f (x,y) = - 2x² – 4x – y² + 4y – 5:
R: (-1, 2)
A integração é a operação inversa da derivada. Podendo ser formulada várias regras de integração partindo das correspondentes, no sentido inverso. Uma das primeiras regras a serem utilizadas é a regra da potência.
Seja a integral
Utilizando a regra da potência, assinale a alternativa que representa corretamente que representa a solução da integral.
R: 
R: 6,33
Dada a função f(x, y, z) = x² + 5y – 3xz , encontre o seu domínio D  e  f (1, -1, 2), f (0, 3, 5)  e  f (4, 2, -3):
R:  D = R³ ; -10 ; 15 ; 62
Calcule a integral ∫(x3 + 3x4 - cos(2x))dx.
R: 
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Um agricultor deseja plantar grama em toda a área do seu terreno que tem a forma de um triângulo retângulo de altura igual a 5 m e base de 9 m, sabe-se que a medição pode ter erro máximo de 0,1 m e 0,2 m, respectivamente, para a base e a altura, devido à localidade do triângulo. Utilize diferencial para aproximar a maior variação na área (A) deste terreno, para o agricultor saber se deve comprar uma maior quantidade de grama.
R: dA = 1,15 m²
Seja f (x,y) = - 2x²y³ + x³y. Calcule o diferencial dz e determine o incremento  Δz da função quando x varia de 2 para 2,05 e y varia de -5 para -5,34.
R: dz = 248,28 e  Δz  ≈ 273,85
A Regra da Cadeia em integrais pode ser considerada como uma técnica capaz de simplificar a integração.  Em outras palavras, transforma-se a integral em uma forma mais simples. 
Aplicando os conceitos de integrais, avalie as afirmativas:
É correto o que se afirma em:
R: Apenas a afirmativa I e III é verdadeira
Algumas integrais à primeira vista parecem serem complicadas de resolver, porém olhando cuidadosamente, nota-se que aplicando o método de mudança de variável ou integração por substituição, obtém-se facilmente a solução.
Considere a integral:
Nessas condições, assinale a alternativa que representa corretamente a solução da integral
R:. 
A voltagem de instalações elétricas domésticas pode ser representada com uma função seno, por exemplo. Suponha que a integral da função descrita abaixo corresponda a voltagem de uma instalação elétrica de uma certa residência.
 Considere a função:
Onde V é a voltagem dada em volts, P é uma constante da voltagem de pico e t é dado em segundos. 
Nessas condições, pode-se afirmar que a voltagem é representada por
R: 
R: z = 20x + 10y – 20
R: 
R: dz = 12 . [x + 2] – 13 . [y - 1]
O principal objetivo de aplicar a técnica de integrais por partes é passar de uma integral  da qual não sabemos calcular para a integral  que é possível ser calculada.
R: (x, y, z) = (2,-1,6) + λ (3/2, - 3/2, -1)
Se f (x,y) = - 3x² + 2yx, encontre o vetor gradiente e o valor da função no ponto (1,2). 
R: ∇ f (1,2) = (-2,2) e f (1,2) = 1
O processo inverso da regra da cadeia para a derivação, em integrais é chamada como integral por substituição. 
Considerando a integral
é correto afirmar que:
R: 
Quando verificado em uma integral há uma função composta, a técnica utilizada é a integração por partes. Tal método consiste em me substituir f(x) por u e g(x) por v, fazendo f’(x) = du e g’(x) = dv.
Dada a integral
Assinale a alternativa que representa a solução da integral.
R
Considerando um caixa retangular de base igual 4 cm e altura igual a 10 cm, calcule a variação aproximada da área deste retângulo, quando a altura varia para 9,83 cm e a base varia para 4,8 cm.
R: dA = 7,32 cm²
Após t segundos, um objeto, partindo do repouso se move a velocidade de 
Após 3 segundos, o objeto percorre um caminho. 
Assinale a alternativa que representa o deslocamento realizado pelo objeto nesse intervalo de tempo.
R: 0,999 m
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Considerando um sólido retangular limitada por 0 ≤ x ≤ - 3, - 4 ≤ y ≤ 1 e - 2 ≤ z ≤ 0, calcule a integral tripla da função ƒ(x,y,z) = xyz - yz.
R:45/2
Considerando uma caixa retangular limitada por 0 ≤ x ≤ 4 , 1≤ y ≤ 6 e -2 ≤ z ≤ 4. Calcule a integral tripla da função ƒ(x,y,z) = xy + 2z - 3.
R: 720
R: 
R: -96√6
R: 7/30
R: 
Calcule a integral de ƒ (x, y, z) = sen (x + y + z), sabendo que a função é limitada por
0 ≤ x ≤ π   ,          0 ≤ y ≤ π        e           0 ≤ z ≤ π.
R: -8
R: E - 2/3
R:61/90
Calcule a área delimitada pela função ƒ(x,y) = -4x3 + 6xy2 + 8y + sobre a regão R = { (x,y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 2}
R:-68
R:60
R: 64/3
Calcule a Integral ∫ sen2 (x) cos3 (x)dx
R: 
Calcule a áea da superfície z = 2x - y acima da região triangular R = {1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x - 1}
R: 2√6 u.α
Calculo e classifique, se existem, os pontos críticos da função ƒ(x,y) = 3x2 - 4xy - 3y2 + 8x - 17y + 30.
R: (1, 7/2), ponto de mínimo
Encontre o volume do sólido limitado inferiormente pelo eixo x e pelas retas y = 2x + 3 e x = 4, no plano xy, e superiormente por z = x + 4y.
R: 12221/24 u.v
Calcule e classifique, se existirem, os pontos críticos da função ƒ(x,y) = x4 + y + 32x - 9y.
R: (-2, √3) e (-2, -√3) , ponto de mínimo e ponto de sela, respectivamente
Dada a equação x² + yx = y², definida implicitamente,calcule y'(1,3):
R: y' (1,3) = 1