Aula 4 - Carga Axial - Estruturas Estáticamente Indeterminadas

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Aula 4: Carga Axial e Princípio de Saint-Venant
Prof. MSc. LUIS ALEJANDRO PÉREZ PEÑA
TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULA
Em aulas anteriores desenvolvemos o método para determinar a tensão normal em elementos carregados axialmente. 
Agora, discutiremos como determinar a deformação desses elementos e desenvolveremos um método para determinar as reações nos apoios quando tais reações não puderem ser determinadas estritamente pelas equações de equilíbrio.
Princípio de Saint-Venant
Em essência, esse principio afirma que os efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo serão dissipados ou atenuados em regiões suficientemente afastadas do ponto de aplicação da carga.
Portanto, o princípio afirma que a tensão e deformação localizadas que ocorrem no interior das regiões de aplicação da carga ou nos apoios, tendem a “nivelar-se” a uma distancia suficientemente afastada dessas cargas.
Deformação Elástica de um Elemento Submetido a Carga Axial
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação, pode-se desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:
		
Deformação Elástica de um Elemento Submetido a Carga Axial
As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:
  
Portanto, na forma integral tem-se que:
onde:
δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro.
L = distância entre pontos.
P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade.
A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x.
E = módulo de elasticidade do material.
Carga Uniforme e Seção Transversal
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante.
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.
Barra com Diversas Forças Axiais
Barra com Diversas Forças Axiais
Convenção de Sinais
Considera-se força e deslocamento como positivos se provocarem, respectivamente tração e alongamento; ao passo que a força e deslocamento são negativos se provocarem compressão e contração respectivamente.
conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C?.
Supor que Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.
Exemplo 1
Solução Exemplo 1
Solução Exemplo 1
Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.
Exemplo 2
Solução Exemplo 2
Solução Exemplo 2
Solução Exemplo 2
Estruturas Estaticamente Indeterminadas
As estruturas vistas nas seções anteriores eram estaticamente determinadas ou isostáticas, porque suas reações de apoio e forças internas podiam ser determinadas a partir de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio, sem necessidade do conhecimento das propriedades dos materiais que as constituíam. 
 = 0
Agora há duas reações verticais, mas apenas uma equação de equilíbrio aplicável, a do somatório de forças na direção vertical. 
A estrutura, então, é classificada como estaticamente indeterminada. Isso significa que as equações de equilibrio não são suficientes para determinar as reações no elemento.
Para analisar tais estruturas, deve-se incluir equações adicionais de deslocamentos da estrutura.
A equação adicional necessária para resolver o problema vem da observação da figura (a), que mostra que o alongamento total da barra AB deve ser nulo, ou seja: δAB = 0 é a equação adicional, chamada de equação de compatibilidade.
Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Para resolver o sistema de duas equações acima, deve-se expressar a equação de compatibilidade em termos das forças RA e RB usando as relações força-deslocamento.
Usando a fórmula conhecida , pode-se escrever:
 , 
As equações anteriores são as relações força-deslocamento. Resolvendo esta equação simultaneamente com a equação de equilíbrio, resulta:
 , 
Estruturas Estaticamente Indeterminadas
As três barras de aço A-36 mostradas na figura estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm², e a barra CD tem área de seção transversal de 15 mm².
Exemplo 3