Questões de Matemática Aplicada à Administração

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Questões de Matemática Aplicada à Administração
1) Um fabricante de máquinas de cortar grama tem um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por máquina produzida.
 (a) Encontre o custo para produzir 500 máquinas. (Gabarito: R$ 55.000,00)
 Solução:
 CT = CF + CV
CT = 5000 + 100.q
CT = 5000 + 100 . (500)
CT = 5000 + 50000
CT = 55000
 (b) Calcule o custo adicional quando a produção for elevada de 500 para 800 máquinas. (Gabarito: R$ 30.000,00)
 Solução:
 CT = CF + CV
CT = 5000 + 100.q
CT = 5000 + 100 . (800)
CT = 5000 + 80000
CT = 85000
 Logo…
 85000 – 55000 = 30000
 (c) Quantas máquinas poderão ser produzidas a um custo de R$ 80.000,00? (Gabarito: 750)
 Solução:
 CT = CF + CV
CT = 5000 + 100.q
80000 = 5000 + 100.q
80000 – 5000 = 100.q
75000 = 100.q
q = 75000 : 100
q = 750
2) Para o problema anterior, sabe-se que cada máquina é vendida por R$ 150,00.
 (a) Determine a função receita total. (Gabarito: R = 150.q)
 Solução:
 RT = Pv.q
RT = 150.q
 (b) Qual é o faturamento gerado por 200 máquinas? (Gabarito: R$ 30.000,00)
 Solução:
 RT = Pv.q
RT = 150.q
RT = 150 . 200
RT = 30000
 (c) Determine a função lucro. (Gabarito: L = 50.q – 5000)
 Solução:
 LT = RT – CT
LT = 150.q – (5000 + 100.q)
LT = 150.q – 5000 – 100.q
LT = 50.q – 5000
 (d) Qual é o lucro resultante da venda de 800 máquinas? (Gabarito: R$ 35.000,00)
 Solução:
 LT = 50.q – 5000
LT = 50 . (800) – 5000
LT = 40000 – 5000
LT = 35000
 3) Uma empresa estima que o faturamento total obtido com a venda de x máquinas fotográficas por ano é dado pela função
 R(x) = 2x2+ 50x + 200.
(a) Represente graficamente a função R(x);
 (b) Qual deve ser o nível de venda para que o faturamento seja de R$ 100.000,00? (Gabarito: Aproximadamente 211)
 Solução:
 R(x) = 2x2 + 50x + 200
100000 = 2x2 + 50x + 200
2x2 + 50x + 200 – 100000 = 0
2x2 + 50x – 99800 = 0 (dividimos toda a equação por 2)
x2 + 25x – 49900 = 0
 Coeficientes:  a = 1; b = 25; c = – 49900
 Daí, temos:
 ∆ = b2 – 4.a.c
 ∆ = (25)2 – 4 . (1) . (– 49900)
 ∆ = 625 + 199600
 ∆ = 200225
 x =  [– b ± √∆] : 2.a
 x =  [– 25 ± √200225] : 2 . (1)
 x =  [– 25 ± 447,465] : 2
 x=  [422,465] : 2
 x = 211,2325
 x = 211
 (c) Qual será o faturamento obtido com a venda de 2.000 máquinas fotográficas? (Gabarito: R$ 8.100.200,00)
 Solução:
 R(x) = 2x2 + 50x + 200
 R(2000) = 2.(2000)2 + 50.(2000) + 200
 R(2000) = 2.(2000)2 + 50.(2000) + 200
 R(2000) = 2.(4000000) + 100000 + 200
 R(2000) = 8000000 + 100000 + 200
 R(2000) = 8100200
 4) Num modelo quadrático de oferta e demanda, essas funções são dadas, respectivamente, por p(x) = 0,5x2 + 2 e p(x) = -0,25x2 + 5, onde p = preço e x = quantidade.
 (a) Determine algebricamente o ponto de equilíbrio;
 (b) Represente graficamente as duas funções, identificando o ponto de  equilíbrio.
 (c) Para quais valores de x o preço de oferta é superior ao preço de demanda? (Gabarito: x > 2)
 Solução:
 Oferta = Demanda
 O = D
 0,5x2 + 2 = – 0,25x2 + 5
 0,5x2 + 0,25x2 = 5 – 2
 0,75x2 = 3
 x2 = 0,75 : 3
 x2 = 4
 x = √4
 x = ± 2
 x = + 2 (adotando o valor positivo)
 Logo…
 X > 2
 5) Uma indústria metalúrgica fabrica torneiras tendo um custo fixo de R$ 8.000,00 por mês. Se cada torneira fabricada tem um custo de R$ 10,00 e o preço de venda é de R$ 18,00 por torneira, quantas torneiras a indústria deverá produzir para ter um lucro de R4 16.000,00 por mês? (Gabarito: 3.000)
 Solução:
 CT = CF + CV
CT = CF + CVM . q
CT = 8000 + 10.q
  RT = Pv . q
RT = 18.q
 LT = RT – CT
LT = 18.q – (8000 + 10.q)
LT = 18.q – 8000 – 10.q
LT = 8.q – 8000
 Daí, temos:
 LT = 8.q – 8000
16000 = 8.q – 8000
16000 + 8000 = 8.q
24000 = 8.q
q = 24000 : 8
q = 3000
 6) O custo unitário das máquinas de lavar louça de certa Companhia é R$ 250,00, sendo o custo fixo associado à produção igual a R$ 20.000,00. Sendo o preço de venda de cada máquina igual a R$ 400,00, determine:
 (a) a função custo total; (Gabarito: CT = 20000 + 250.q)
 Solução:
 CT = CF + CV
CT = CF + Cup . q
CT = 20000 + 250.q
 () a função receita total; (Gabarito: RT = 400.q)
 Solução:
 RT = Pv . q
RT = 400.q
 (c) a função lucro total; (Gabarito: LT = 150.q – 20000)
 Solução:
 LT = RT – CT
LT = 400.q – (20000 + 250.q)
LT = 400.q – 20000 – 250.q
LT = 150.q – 20000
 (d) o ponto de break-even; (Gabarito: 440/3, 160000/3)
 Solução:
 RT = CT
400.q = 20000 + 250.q
400.q – 250.q = 20000
150.q = 20000
q = 20000 : 150
q = 133,33
 (e) a produção necessária para a obtenção de um lucro de R$ 55.000,00. (Gabarito: 500)
 Solução:
 LT = 150.q – 20000
55000 = 150.q – 20000
55000 + 20000= 150.q
75000 = 150.q
q = 75000 : 150
q = 500
 7) Uma indústria produz 2000 unidades de um bem de consumo, sendo o lucro bruto obtido pela venda da produção igual a R$ 20.000,00. Sabe-se que o custo fixo de produção é R$ 2.000,00 e que o preço de venda de cada unidade do bem é R$ 15,00.
 Calcular:
 (a) o custo unitário de produção; (Gabarito: R$ 4,00)
 Solução:
 RT = Pv. Q
RT = 15.q
 CT = CF + CV
CT = 2000 + Cup . (2000)
 LT = RT – CT
20000 = 15.q – (2000 + Cup . (2000)
20000 = 15.(2000) – 2000 – Cup . (2000)
20000 = 30000 – 2000 – Cup . (2000)
20000 = 28000 – Cup. (2000)
20000 – 28000 = – Cup. (2000)
– 8000 = – Cup. (2000)
Cup = 8000 : 2000
Cup = 4
 (b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (182; 2730)
 Solução:
 RT = CT
15.q = 2000 + 4 .q
15.q – 4.q = 2000
11.q = 2000
q = 2000 : 11
q = 181,81
q = 182
  (c) a produção necessária para um lucro de R$ 24.000,00. (Gabarito: aproximadamente 2.364)
 Solução:
 LT = RT – CT
24000 = 15.q – (2000 + 4.q)
24000 = 15.q – 2000 – 4.q
24000 = 11.q – 2000
24000 + 2000 = 11.q
26000 = 11.q
q = 26000 : 11
q = 2363,64
q = 2364
 8) Sabe-se que a equação da demanda de um bem é dada por x = 200 – 4p, sendo o custo associado C = 4p – 12. Determinar:
 (a) a função receita total, traçando o gráfico correspondente; (Gabarito: RT = 200p – 4p2)
 Solução:
 x = 200 – 4.p
 A função receita total é dada por:
 Isolando p, temos:
 RT = p. q  ou RT = p . x
 RT = P . (200 – 4.p)
 RT = 200.p – 4p2
  (b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (49, 184))
 Solução:
 RT = CT
 200.p – 4p2 = 4.p – 12
 200.p – 4p2  – 4.p + 12 = 0
  – 4p2  + 196.p + 12 = 0 . (– 1)
 4p2  –  196.p – 12 = 0 ( : 4)
 p2  –  49.p – 3  = 0
 Coeficientes:  a = 1; b = – 49; c = – 3
 Daí, temos:
 ∆ = b2 – 4.a.c
 ∆ = (– 49)2 – 4 . (1) . (– 3)
 ∆ = 2401 + 12
 ∆ = 2413
 x =  [– b ± √∆] : 2.a
 x =  [49 ± √2413] : 2 . (1)
 x =  [49 ± 49,12] : 2
 x =  [98,12] : 2
 x = 49,06
 x = 49
 (c) a função lucro, traçando o gráfico correspondente. (Gabarito: LT =  –  4p2 + 196p + 12).
 Solução:
 LT = RT – CT
LT = 200.p – 4p2 – (4.p – 12)
LT = 200.p – 4p2 – 4.p + 12
LT = 200.p – 4p2 – 4.p + 12
LT = – 4p2 + 196.p + 12