EXERCICIOS DE MATEMATICA APLICADA ADMINISTRAÇÃO

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Exercicio de Matemática Aplicada à Administração
 
Aplicações das Funções
 
O uso de funções na resolução de problemas ligados à administração e a economia é muito comum, principalmente nos problemas que envolvem custos, lucros, demandas, ofertas, receitas, ponto de equilíbrio, ponto de break-even, etc.
Exemplo:
1. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C(x) = x3 + x2 + 2x + 100, sendo x a quantidade produzida, calcule:
 
(a) o custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria.
 
Solução:
 
Para x = 5, temos:
 
C(5) = 53 + 52 + 2.5 + 100 = 125 + 25 + 10 + 100 = 260
  
(b) o custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria.
 
Solução:
 
Para x = 10, temos:
 
C(10) = 103 + 102 + 2.10 + 100 = 1000 + 100 + 20 + 100 = 1220
 
(c) a função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria
 
Solução:
 
CMe(x) = C(x) : x
 
CMe(x) = [x3 + x2 + 2x + 100] : x
 
CMe(x) = x2 + x  + 2 + 100/x
 
Para x = 5, temos:
 CMe(x) = C(x) : x
CMe(x) = C(5) : 5
CMe(x) = 260 : 5
CMe(x) = 52
 
2. A função demanda para um produto de Certa Companhia é y = [200] : [2 + 0,5.x], sendo x a quantidade demandada e y o preço unitário.
 
(a) Determine a quantidade x como função do preço y.
 Solução:
 
y = [200] : [2 + 0,5.x]
 
y = 2 + 0,5.y = 200/y
 
0,5.x = 200/y – 2
 
x = 200/0,5.y – 2/0,5
 
x = 400/y – 4  ou
 
x = [400 – 4y] / y
 (b) Determine o número de unidades quando o preço for de R$ 10,00.
 
Solução:
 
Para y = 10, temos:
 
x =  [400 – 4y] : y
 
x = [400 – 4.10] : 10
 
x = [400 – 40] : 10
 
x = 360 : 10
 
x = 36.
 
3. A função receita é dada por R = x2 + 4x + 100 e a função custo por C = x + 80, sendo x a quantidade.
 
(a)  Determine a função lucro L.
 
Solução:
 
L = R – C
 
L = x2 + 4x + 100 – (x – 80)
 
L = x2 + 3x + 20
 
(b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10?
 
Para x = 10, temos:
 
L = x2 + 3x  + 20
 
L = 102 + 3.10 + 20
 
L = 100 + 30 + 20
 
L = 150.
 
4. As funções de oferta e demanda  de um produto  são, respectivamente , y = 2x + 80 e y =  – 4x + 200.
 
(a) Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.
 
Basta resolver o sistema:
 
I.  y = 2x + 80
 
II. y =  – 4 x + 200
 
Igualando, os termos temos:
 
2x + 80  =  – 4 x + 200
 
6x = 120
 
x = 120 : 6
 
x = 20
 
Substituindo a primeira equação, temos:
 
 y = 2x  + 80
 
y = 2.20 + 80
 
y = 40 + 80
 
y = 120
 
Portanto, o ponto de equilíbrio é  E(20,120).
 
(b) Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio.
 
Como as funções são lineares, e já determinamos o ponto de equilíbrio, basta determinar mais um ponto para cada  uma delas. Para a função oferta: y = 2x + 80,  temos: x = 0 e y = 80 e para a função demanda: y = - 4x + 200, temos: x = 0 e y = 200.
(c) Para que valores  de x o preço de oferta excede o preço de demanda?
 
Solução:
 
Observando o gráfico, nota-se que para valores de x > 20, o preço de oferta é superior ao preço de demanda.
 
5. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é de R$ 8.500,00 e que o custo variável é de R$ 10,00 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80,00 por relógio.
 
(a) Se x relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x? (Lembre-se que CT = CV + CF)
Onde:
CT = Custo Total;
CV = Custo Variável;
CF = Custo Fixo.
 
Solução:
 Custo total = custo variável  + custo fixo
 CT = CV + CF
 10x + 8500
(b) Qual o lucro no mês de julho se 500 relógios forem vendidos neste mês? (Lembre-se que L = R – C)
Onde:
L = Lucro;
R = Receita;
C = Custo.
Solução:
 
L = R – C, sendo R = 80x. Portanto, L = 80x – (10x + 8500)
 
L = 70x – 8500
 
L = 70 x 500 – 8500
 
L = 35000 – 8500
 
L = 26.500
 
(c) Quantos relógios devem ser vendidos em determinado mês, para que não haja lucro e nem prejuízo? (Considere L = 0)
Solução:
 
Fazendo L = 0 em L = 70x – 8500, temos:
 
0 = 70x – 8500
 
70x = 8500
 
x = 8500 : 70
 
x = 121 
 
6. Uma fábrica de bicicletas tem um custo fixo de R$ 200.000,00 por mês. Sabe-se que cada bicicleta produzida tem um custo de R$ 500,00 e o preço de venda é de R$ 800,00 por bicicleta. Quantas bicicletas deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 400.000,00 por mês? 
 
Solução:
 
Custo total = custo variável + custo fixo
 
C = 50x  + 20000
 
Receita Total é igual a R = 80x
 
Lucro = Receita total – Custo total
 
L = R – C
 
L = 80x – (50x + 20000)
 
L = 30x – 20000
 
Para L = 40000, temos:
 
40000 = 30x – 20000
 
30x = 60000
 
x = 2000 bicicletas
 
Tente resolver as questões abaixo elencadas! Questões extraídas do livro matemática aplicada para os cursos de administração, economia e ciências contábeis do prof. Jair Mendes Marques (página 40, Editora Juruá).
 
Exercícios Propostos
 
1. Um fabricante de máquinas de cortar grama tem um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por máquina produzida.
(a) Encontre o custo para produzir 500 máquinas. (Gabarito: R$ 55.000,00)
(b) Calcule o custo adicional quando a produção for elevada de 500 para 800 máquinas. (Gabarito: R$ 30.000,00)
(c) Quantas máquinas poderão ser produzidas a um custo de R$ 80.000,00? (Gabarito: 750)
2. Para o problema anterior, sabe-se que cada máquina é vendida por R$ 150,00.
(a) Determine a função receita total. (Gabarito: R = 150x)
(b) Qual é o faturamento gerado por 200 máquinas? (Gabarito: R$ 30.000,00)
(c) Determine a função lucro. (Gabarito: L = 50x – 5000)
(d) Qual é o lucro resultante da venda de 800 máquinas? (Gabarito: R$ 35.000,00)
3. Uma empresa estima que o faturamento total obtido com a venda de x máquinas fotográficas por ano é dado pela função R(x) = 2x2 + 50x + 200.
 
(a) Represente graficamente a função R(x);
(b) Qual deve ser o nível de venda para que o faturamento seja de R$ 100.000,00? (Gabarito: Aproximadamente 211)
(c) Qual será o faturamento obtido com a venda de 2.000 máquinas fotográficas? (Gabarito: R$ 8.100.200,00)
 
4. Num modelo quadrático de oferta e demanda, essas funções são dadas, respectivamente, por p(x) = 0,5x2 + 2 e p(x) = -0,25x2 + 5, onde p = preço e x = quantidade.
(a) Determine algebricamente o ponto de equilíbrio; (Gabarito: E(2,4))
(b) Represente graficamente as duas funções, identificando o ponto de eq           uilíbrio.
(c) Para quais valores de x o preço de oferta é superior ao preço de demanda? (Gabarito: x > 2)
 
5. Uma indústria metalúrgica fabrica torneiras tendo um custo fixo de R$ 8.000,00 por mês. Se cada torneira fabricada tem um custo de R$ 10,00 e o preço de venda é de R$ 18,00 por torneira, quantas torneiras a indústria deverá produzir para ter um lucro de R4 16.000,00 por mês? (Gabarito: 3.000)
 
6. O custo unitário das máquinas de lavar louça de certa Companhia é R$ 250,00, sendo o custo fixo associado à produção igual a R$ 20.000,00. Sendo o preço de venda de cada máquina igual a R$ 400,00, determine:
(a) a função custo total; (Gabarito: C = 20.000 + 250x)
(b) a função receita total; (Gabarito: R = 400x)
(c) a função lucro total; (Gabarito: L = 150x – 20.000)
(d) o ponto de break-even; (Gabarito: 440/3, 160.000/3)
(e) a produção necessária para a obtenção de um lucro de R$ 55.000,00. (Gabarito: 500)
7. Uma indústria produz 2.000 unidades de um bem de consumo, sendo o lucro bruto obtido pela venda da produção igual a R$ 20.000,00. Sabe-se que o custo fixo de produção é R$ 2.000,00 e que o preço de venda de cada unidade do bem é R$ 15,00. Calcular:
(a) o custo unitário de produção; (Gabarito: R$ 4,00)
(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (182, 2730)
(c) a produção necessária para um lucro de R$ 24.000,00. (Gabarito: aproximadamente 2.364)
8. Sabe-se que a equação da demanda de um bem é dada por x = 200 – 4p, sendo o custo associado C = 4p – 12. Determinar:
(a) a função receita total, traçando o gráfico correspondente; (Gabarito: R = 200p - 4p2)
(b) o ponto de break-even; (Gabarito: aproximadamente (49, 184))
(c) a função lucro, traçando o gráfico correspondente. (Gabarito: L = 4p2 + 196p + 12).