PENDULO FISICO

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Universid
Físic
RE
Vanessa 
Yago d
Laís d
 
 
iversidade de Brasília – UnB
Física 2 – Experimental 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO Nº 3.2 
 
 
 
 
 
 
 
PENDULO FÍSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
anessa L. Borges Viana – 110021096 
Yago de Melo Honda – 110042841 
Laís de Souza Alves – 110055616 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brasília 
2011 
 
UnB 
Introdução Teórica: 
 
Pêndulo Físico 
 
Fig. 1 – pêndulo físico com duas massas. 
 
O√� √� pêndulo físico consiste de um corpo rígido qualquer de massa M, suspenso por um eixo 
horizontal que o atravessa, em torno do qual o corpo pode girar. Na posição de equilíbrio, o eixo 
que o suspende, e o centro de massa do corpo estão na mesma linha vertical. A distância entre o 
eixo e o CM é ‘d’. Quando o corpo é levemente afastado de sua posição de equilíbrio na vertical, 
por um pequeno desvio angular, e liberado, passa a executar um movimento oscilatório em torno 
dessa posição, dirigido pelo torque restaurador exercido pela força peso do próprio corpo: 
 
Onde � é o ângulo entre a reta que passa através do eixo e do CM do corpo, e a linha vertical de 
equilíbrio. O sinal negativo indica que o torque é sempre contrário ao desvio angular, isto é: se � > 
0 (sentido anti-horário), então, torque < 0 (sentido horário); e se � < 0 (sentido horário), então, 
torque > 0 (sentido anti-horário). Daí, portanto, o nome de torque restaurador, aquele que age no 
sentido de restaurar o estado de equilíbrio estável original. Nesse caso, a equação de movimento 
para o corpo é, na ausência de forças dissipativas, dada pela equação diferencial: 
 
Onde I é o momento de inércia do corpo, com relação ao eixo que o suspende. Note que a derivada 
da variável (deslocamento angular) não é proporcional à variável, mas ao seno da variável. Isto 
significa que a solução dessa equação não é a mesma do MHS, e o movimento oscilatório do corpo 
em torno do eixo, portanto, não é MHS. Entretanto, quando a amplitude angular do movimento for 
pequena o suficiente para que seja válida a aproximação: sen � = �, onde � é dado em radianos, o 
torque restaurador será proporcional ao deslocamento angular, isto é, , e a equação 
de movimento assume a forma: 
 
Na prática, a aproximação é válida somente quando � ≤ 0,5 rad (entre 0° e 28º). Para ângulos neste 
intervalo, os erros introduzidos pela aproximação serão, no máximo, da ordem de 5%. Então, 
podemos reescrever a terceira equação no mesmo formato da equação diferencial para o movimento 
harmônico simples, ou seja, 
 
cuja solução é do tipo: , onde é a frequência angular da 
oscilação, � 0 é a amplitude angular da oscilação, e a constante de fase δ depende das condições 
iniciais do movimento. A solução apresentada é válida no limite da aproximação citada, isto é, 
pequenas amplitudes angulares de oscilação (� 0). A frequência angular ω está relacionada com a 
frequência f e o período T da oscilação através das relações: 
 
Para amplitudes maiores, quando a aproximação não é valida, o período depende da amplitude 
angular da oscilação � 0, sendo a equação de movimento dada pela segunda equação, cuja solução 
leva à seguinte expressão para o período: 
 
Essa expressão é quase idêntica àquela apresentada na quinta equação, no limite de pequenos � 0. O 
pêndulo físico pode ser usado como relógio, pois seu período é praticamente independente da 
amplitude (para pequenas oscilações). Além disso, pode ser usado para medir o valor local da 
aceleração da gravidade. 
 
Objetivos: 
 
Caracterizar o movimento oscilatório de um pêndulo. Descrever matematicamente as 
variáveis relevantes de um sistema oscilante por meio de uma análise dos dados coletados. 
 
Materiais Utilizados: 
 
• Pêndulo físico com duas massas acoplado a sensor de ângulo; 
• Placa de aquisição de dados DrDaq (Pico Technology) ; 
• Software de aquisição de dados DrDaq ; 
• Computador; 
• Balança de precisão (0.1g); 
• Régua milimétrica. 
 
 
Procedimentos: 
 
Primeiramente fixamos o peso m2 na extremidade da haste de aço, com um parafuso. Em 
seguida foi medida a distancia L2, do cento de massa do peso até o ponto de sustentação do 
pêndulo. O peso m1 então foi preso do mesmo modo, mas na posição mais próxima do ponto de 
sustentação possível. 
 
Assim o pendulo foi posto em oscilação, e quando sua amplitude estava próxima dos 15°, 
começamos a aquisição de dados, que durou em média 10s. Esse passo foi repetido mais 4 vezes e 
então obtemos o período para a distancia L1, após calcularmos a média e o desvio padrão. Assim 
esse dado foi anotado em uma tabela. 
 
Esse procedimento foi repetido para distancias L1+5 cm, L1+10 cm, etc., até que a distancia 
entre o peso m1e m2 era zero. 
 
Desta forma a tabela foi preenchida com os valores do comprimento do fio, e respectivos 
períodos. 
 
Nesta etapa calculamos os períodos das medições já feitas, ponto a ponto com o intuito de 
ter dos dados para a comparação. A tabela foi preenchida assim por: comprimento do fio L1, que foi 
gradualmente aumentado, período medido e período calculado ponto a ponto. 
Um gráfico do período medido e do calculado em função de L1 foi então construído e os 
resultados obtidos foram comparados. 
 
 
 
 
Dados experimentais: 
• Comprimento do fio medido do ‘CM’ do peso m2 ao ponto de sustentação: 
L2 = 88,5 ± 0,05 (cm) 
 
• Pesos: 
 
M1 = 344,3 ± 0,1 (g) 
 
 M2 = 344,4 ± 0,1 (g) 
 
 
• Tabela 1 - Medida do comprimento do fio, período em função do comprimento e período 
calculado. 
 
L1 (cm) T medido (s) T calculado (s) 
4,0 ± 0,05 1,863 +/- 0,0200 1,883 
9,0 ± 0,05 1,820 +/- 0,0005 1,877 
14,0 ± 0,05 1,785 +/- 0,0127 1,872 
19,0 ± 0,05 1,761 +/- 0,0063 1,867 
24,0 ± 0,05 1,750 +/- 0,0062 1,862 
29,0 ± 0,05 1,731 +/- 0,0037 1,858 
34,0 ± 0,05 1,724 +/- 0,0051 1,853 
39,0 ± 0,05 1,709 +/- 0,0075 1,848 
44,0 ± 0,05 1,745 +/- 0,0063 1,844 
49,0 ± 0,05 1,750 +/- 0,0081 1,839 
54,0 ± 0,05 1,824 +/- 0,0124 1,835 
59,0 ± 0,05 1,849 +/- 0,0075 1,831 
62,0 ± 0,05 1,885 +/- 0,0167 1,829 
 
 
 
 
 
 
Análise dos dados: 
 
• Gráfico 1: Gráfico referente a tabela 1, trazendo o período em função do período (medido). 
 
 O período do pêndulo diminui à medida que a massa M1 se aproxima da M2, mas por volta 
do L1 = 39 cm, o período do pêndulo começa a aumentar. 
 
• Gráfico 2: Gráfico referente a tabela 2, trazendo o período em função do período (calculado). 
 
 
 À medida que a distância entre os pesos M1 e M2 diminui, o período de oscilação do 
pêndulo também diminui proporcionalmente. 
 
0 10 20 30 40 50 60 70
1,7
1,72
1,74
1,76
1,78
1,8
1,82
1,84
1,86
1,88
1,9
L1 (cm)
P
e
rí
o
d
o
 M
e
d
id
o
 (
s)
0 10 20 30 40 50 60 70
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
L1 (cm)
P
e
rí
o
d
o
 C
a
lc
u
la
d
o
 (
s)
 Existem discrepâncias entre os períodos medidos e calculados. A taxa de variação do 
período ficou mais acentuada para o valor medido e houve um comportamento anômalo com os 
valores. O período de oscilação do período medido, que diminuía à medida que M1 se aproximava 
de M2, começou a aumentar de forma inesperada, enquanto o período calculado se manteve 
decrescendo de forma proporcional e estável. 
 
 Conclusão: 
 
 O experimento permitiu avaliar de forma satisfatória como se comporta o movimento 
oscilatório de um pêndulo físico, que obedece a seguinte expressão matemática. 
 
 
 Usando o período calculado, podemos observar como o período varia em função da 
distância das massas. 
 
 Agora usando os dados medidos, obtivemos um resultado anômalo, que pode ter sido 
resultado de falta de acurácia na realização das medidas ou uma calibragem ruim dos aparelhos 
usados no experimento.