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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Instantânea em 𝑥 = 2. 
 
4) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Instantânea em 𝑥 = 5. 
 
5) Considere uma partícula sob movimento 
uniformemente variado de equação da 
velocidade dada por 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. 
a) Determine a taxa de Variação Média da 
velocidade desta partícula em [0, ∆𝑡]. 
 
 
b) Determine a taxa de Variação Instantânea no 
ponto de abscissa 0. 
 
c) Determine a taxa de Variação Média da 
velocidade desta partícula em [1, 1 + ∆𝑡]. 
 
 
d) Determine a taxa de Variação Instantânea no 
ponto de abscissa 1. 
 
6) Calcule a derivada das funções pela definição 
nos pontos indicados: 
 
 
 
7) Determine a equação da reta que passa pelos 
pontos dados: 
a) (1,3) e (4,7) 
Primeiro, determinamos o coeficiente angular 
 
 
Sendo (𝑥0, 𝑦0) = (1,3), temos 
. Logo, a equação da 
reta é 
b) (−3, −1) e (−7, −4) 
 
Sendo (𝑥0, 𝑦0) = (−3, −1), temos 
. Logo, a 
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equação da reta é 
 
Exercícios da Aula 19: 
 
 
 
 
Exercícios da Aula 20: 
 
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REGRA DE L’HOSPITAL 
Nesta aula temos como objetivo 
apresentar as Regras de L´Hospital. Estas regras 
são de extrema importância para analisar 
indeterminações como 
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49 
 
, 
• Indeterminações do tipo 
Consideremos 𝑓 e 𝑔 deriváveis em (𝑎, 𝑏). 
Suponhamos 𝑔(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ≠ 𝑥0. 
Se 
 
Exemplo 1: Determine . 
Substituindo 𝑥 por 1 na fração encontramos uma 
indeterminação do tipo . 
Pela regra de L´Hospital, derivamos o numerador 
e o denominador e calculamos o limite. 
Assim, 
 
Observação Importante: um erro comum consiste 
em aplicar incorretamente a 
Regra de L´Hospital. Devem-se considerar 
separadamente os limites e 
Depois devemos derivar, também 
separadamente, as funções 𝑓 e 𝑔. 
• Indeterminações do tipo 
Consideremos 𝑓 e 𝑔 deriváveis em (𝑎, 𝑏). 
Suponhamos que 𝑔(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ≠ 𝑥0. Se 
 
Exemplo 2: Determine . 
Substituindo 𝑥 por +∞ chegaremos a uma 
expressão da forma . Por L´Hospital, 
que 
também será uma expressão da forma . 
Aplicando novamente L’Hospital, temos que 
 . 
• Indeterminações do tipo 0. ∞ 
Consideremos as funções 𝑓 e 𝑔 
deriváveis em (𝑎, 𝑏). Suponhamos que 𝑔(𝑥) ≠ 0 
∀𝑥 ≠ 𝑥0. Se 
então o limite é uma 
indeterminação do tipo 0. ∞. Destacamos que 
não necessariamente este limite vale zero. 
Dependendo da velocidade com que a função 𝑓 
converge a zero comparada com a velocidade 
com que 𝑔 tende ao infinito este limite pode ser 
infinito, zero ou qualquer outro número real. 
Se escrevermos o limite 
teremos uma 
indeterminação do tipo . Se escrevermos o 
limite teremos 
uma indeterminação do tipo ∞/∞. 
Exemplo 3: Determine 
Neste caso 
, ou 
seja, um caso 0. ∞. Reescrevemos o limite, 
Temos agora um limite da forma . Aplicando 
L´Hospital, 
 . 
• Indeterminações do tipo ∞ − ∞ 
Consideremos as funções 𝑓 e 𝑔 
deriváveis em (𝑎, 𝑏). Suponhamos que 
 
Para calcularmos 
reescrevemos a expressão 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) de modo a 
obter um limite da forma e então podermos 
aplicar a Regra de L’Hospital. 
Exemplo 4: Determine 
Fazendo 
 
vemos que o limite acima é da forma 
.Aplicando L´Hospital, 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
50 
 
 
 . Derivando o numerador e o denominador, 
chegamos em 
 . Como o 
numerador tende a um número real não nulo e 
denominador tendendo a zero por valores 
negativos, temos que 
 
• Indeterminações do tipo 𝟏∞, 𝟎𝟎 e ∞𝟎 
Apresentamos três exemplos destas 
indeterminações. Elas ocorrem em limites do tipo 
. Para este tipo de indeterminação 
aplicamos uma propriedade dos logaritmos. 
Assim, . Então, 
podemos escrever: 
 
a) Limites do tipo 𝟏∞ 
São limites da forma 
 
Exemplo 5: 
Determine . 
Como então 
O limite
 é do tipo 0. ∞. Aplicando 
L´Hospital, 
 
Portanto . 
b) Limites do tipo 
São limites da forma onde 
 
Exemplo 6: Determine . 
Como então 
. O limite é do tipo . 
Consideremos o limite 
Escrevendo-o como temos um limite 
do tipo . Aplicando L´Hospital, 
 
c) Limites do tipo 
São limites da forma onde 
 . 
Exemplo 7: Determine . 
Como então 
. O limite 
 é da forma 
Aplicando L´Hospital, 
 . 
Portanto, 
 
Exercício Proposto: 
Determine limites a seguir utilizando a regra de 
L´Hospital. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
51 
 
 
DERIVADAS SUCESSIVAS E 
INTERVALOS DE CRESCIMENTO 
Consideremos uma função 𝑓 e sua 
derivada 𝑓′ definidas em um intervalo aberto (𝑎, 
𝑏). Suponhamos que 𝑓′ seja também derivável 
em (𝑎, 𝑏). Então a derivada da derivada de 𝑓 é 
denominada derivada segunda (ou segunda 
derivada) da função 𝑓 e será denotada por 
 . Por sua vez, caso 
a derivada segunda seja também derivável em 
(𝑎, 𝑏) podemos definir a terceira derivada de 𝑓 e 
denotá-la por ou e 
assim sucessivamente. 
Exemplo 1: 
• Intervalos de crescimento 
Veremos como a função derivada pode 
nos fornecer uma informação importante sobre 
uma determinada função. Consideremos uma 
função real 𝑓 e sua representação gráfica. 
 
Se tomarmos um ponto qualquer “antes” 
de 𝑎, ou seja, no intervalo (−∞, 𝑎), veremos que a 
derivada neste ponto é negativa. A reta 𝑟1 é um 
exemplo disso. 
Já no intervalo (𝑎, 𝑏) a derivada será 
sempre positiva, como fica exemplificado pela 
reta 𝑟2. Em (𝑏, 𝑐) temos novamente derivadas 
negativas. E, finalmente, em (𝑐, +∞), as derivadas 
são positivas. Em resumo, uma função 𝑓 cresce 
nos intervalos onde sua derivada 𝑓′ assume 
valores positivos e decresce nos intervalos onde 
𝑓′ assume valores negativos. 
Exemplo 2: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8, estude os 
intervalos de crescimento e decrescimento. 
Este exemplo é particularmente interessante 
porque podemos avaliar os intervalos de 
crescimento sem o uso das derivadas. 
Esboçando o gráfico e sabendo que o vértice da 
parábola é o ponto (3, −1) podemos concluir que 
𝑓 decresce no intervalo (−∞, 3) e cresce no 
intervalo (3, +∞). 
 
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Vejamos como faríamos isso usando a derivada 
da função. Já sabemos que o crescimento da 
função 𝑓 depende dos sinais de 𝑓′. Portanto, 
estudemos os sinais de 𝑓′. 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8, então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 6 que é 
uma função afim. O gráfico de 𝑓′ é: 
 
Vemos que 𝑓′ é negativa em (−∞, 3) e positiva em 
(3, +∞). Logo, estes são os intervalos onde 𝑓 
decresce e cresce, respectivamente. Como 3 é a 
raiz de 𝑓′, a função 𝑓 não está crescendo nem 
decrescendo em 𝑥 = 3. De fato, este é o vértice 
da parábola. 
Podemos ter uma melhor compreensão da 
relação entre sinal da derivada e crescimento da 
função, esboçando ambos os gráficos em um 
único sistema de coordenadas. 
 
 
Exemplo 2: Seja 𝑔(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥² − 9𝑥 + 10, estude 
os intervalos de crescimento e decrescimento. 
Derivando, obtemos 𝑔′(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥 − 9. Para 
estudar os sinais de 𝑔′, vamos determinar suas 
raízes e esboçar seu gráfico. 
 
 
Observando o gráfico de 𝑔′ e sabendo que suas 
raízes são −1 e 3, concluímos que: 
• No intervalo (−∞, −1) 𝑔´ assume valores 
positivos e 𝑔 é crescente. 
• No intervalo (−1,3) 𝑔´ assume valores 
negativos e 𝑔 é decrescente. 
• No intervalo (3, ∞) 𝑔´ assume valores 
positivos e 𝑔 é crescente 
Exercício Proposto: Determine as derivadas 
sucessivas: 
 
 
 
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APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 
 • Concavidade 
Assim como a função derivada nos indica 
os intervalos de crescimento e decrescimento de 
uma dada função, a segunda derivada também 
nos diz algo sobre o comportamento de uma 
função. Precisamente, a segunda derivada indica 
a concavidade da função. 
Nos intervalos onde a

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