aula 1- método de resolução da função 2 grau

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IFRJ- Campus Paracambi 
Nathan Nascimento da Rocha 
 
 Métodos de resolução da equação do 2º grau 
 
Introdução a função do 2º grau 
Chama-se função quadrática, ou função do 2º grau, qualquer função f: ℝ→ℝ, dada pela 
lei de forma f(x) = ax² + bx + c onde a, b, c, com a ≠ 0, sejam números reais. 
 
 
 Ao observar a expressão da função quadrática, o termo “2º grau” tem tudo a ver com o 
grau do polinômio ax² + bx + c, sendo entendido como o maior expoente da variável x. 
Logo podemos entender o que a definição nos informa quando diz que o coeficiente a 
que acompanha o termo x², deve ser necessariamente diferente de zero (a ≠ 0). Com a = 0 o 
termo ax² deixará de existir, restando apenas a expressão “bx + c” na qual representa a 
função do 1º grau. 
Agora que você já tem algumas informações teóricas, vamos ver na prática? Nessa 
primeira parte, iremos encontrar quem são os coeficientes a, b e c em algumas funções do 2º 
grau. 
a) f(x) = 2x² + 10x +12 
a = 2; b = 10; c = 12 
 
b) f(x) = x² – 5x 
a = 1; b = -5; c = 0 
 Analisando os exemplos dados, a primeira função foi rápida e fácil para acharmos os 
coeficientes, já na questão b, podemos observar que o coeficiente a não está tão visível e nos 
desperta pra mais um detalhe importante: sempre que os termos x² e x estiverem “sozinhos”, 
significa que os seus coeficientes valem “1”. Nesse segundo caso, também podemos ver que 
todos os termos são acompanhados pela variável x, então não há termo independente nesta 
função e o coeficiente c vale zero. 
Gráfico da função 
 O gráfico de uma função quadrática f (x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada 
parábola. 
 
A curva de uma função quadrática passa pelo eixo “x” nas raízes ou então nos zeros da 
função. Isso se dá em até dois pontos, sendo dependente do valor do discriminante (Δ). Dessa 
forma, podemos dizer que: 
 Se Δ > 0, o gráfico irá cortar o eixo “x” em dois pontos. 
Se Δ = 0, temos que a parábola somente tocará o eixo x em um ponto. 
Construindo o gráfico da função do 2º grau 
 Neste exemplo, vamos construir o gráfico da função y= x² + 1: 
O primeiro passo é atribuímos a x alguns valores e aplica-los à função por modo de 
substituição, e em seguida calcularmos o valor correspondente de y. Feito isso, é só montar uma 
tabelinha com todos os pares ordenados (x, y) encontrados, e realizar a sua representação gráfica 
no plano cartesiano. 
 Adotaremos como valores para x os números -2, -1, 0, 1 e 2. 
 
Agora que já sabemos alguns pontos dessa função, vamos representa-los em nosso plano 
cartesiano. 
 
No exemplo da imagem acima, após identificar os pares ordenados encontrados na 
tabela, decidi ligar os pontos marcados em nosso plano cartesiano, e assim podemos ver 
nitidamente a parábola que a função quadrática cria com os seus valores. Logo observaremos 
também a prática de um exemplo pautado anteriormente, onde a > 0, sendo a parábola da função 
y= x² + 1 com sua concavidade para cima. 
Não é sempre que precisaremos fazer essa incrível representação gráfica, geralmente, 
pelo menos dois ou três pontos são suficientes para definir a forma da função do segundo grau. 
Mas não é tão fácil assim, afinal, nem sempre conseguiremos acertar essas duas ou três 
coordenadas (x, y) que nos permitirá construir um gráfico facilmente. Por essa razão, 
precisaremos adotar métodos que nos permita calcular os pontos certos para obtermos uma 
representação mais rápida e simples. 
Método de Resolução 
 A fórmula de Bháskara é um dos métodos mais conhecidos para encontrar as raízes de 
uma equação do segundo grau. Nessa fórmula, basta substituir os valores dos coeficientes dessa 
equação e realizar os cálculos que forem formados. 
 É de grande importância compreendermos que resolver uma equação é encontrar os 
valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira, ou seja, encontrar as raízes ou 
encontrar os zeros da equação. 
 O primeiro passo a ser dado para resolver uma equação do segundo grau é calcular o 
valor de seu discriminante. Para tanto, utilizaremos a fórmula: 
 Δ = b² - 4.a.c 
 
 Nessa fórmula, Δ é o discriminante e a, b e c são os coeficientes da equação do segundo 
grau. 
 Vamos por em prática? No exemplo a seguir, para calcularmos o Δ, utilizaremos a função 
y = 2x² + x -3, sendo a = 2; b = 1 e c = -3. 
 Agora que já sabemos quem é a, b e c da nossa função, faremos a substituição na fórmula: 
 Δ = b² - 4.a.c 
Δ = (1)² - 4(2) (-3) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
Aprendemos que para achar os pontos de uma função do 2º grau, é necessário 
encontrarmos 2 raízes. Mas pra isso, primeiro precisamos achar o valor de Δ. 
Se o valor for Δ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas; 
Se o valor for Δ < 0, a equação terá duas raízes reais iguais; 
Se o valor for Δ = 0, a equação não possui raízes reais, porém complexas. 
Agora que temos em mãos os coeficientes e o discriminante da equação do segundo grau, 
utilizaremos para encontrarmos as suas raízes a fórmula a seguir: 
 
Note que tem um sinal ± antes da raiz. Isso nos mostra que existirá dois resultados para 
essa equação: um para – √Δ e outro para + √Δ. Agora que já sabemos a fórmula para encontrar as 
raízes, continuaremos o nosso processo de substituição. 
 
Por esse exemplo, descobrimos então que as raízes da função y= 2x² + x -3 é S= {1; -1,5}. 
Outra maneira para a resolução das funções quadráticas, conhecida por ser mais rápida e 
prática, é o método da Soma e Produto. 
Esse é um método prático para encontrar as raízes de equações do tipo x² - Sx + P e é 
indicado quando as raízes são números inteiros. Se não for possível encontrar números inteiros 
que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, não será possível o uso dessa resolução e 
precisaremos buscar outro método para encontrar as raízes de determinada função. 
Para utilizarmos a Soma e Produto devemos ficar ligados as seguintes formas: 
 
 Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º 
grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na 
soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0. 
 Exemplo.: 
 Dada a função x² + 9x + 14 = 0, vamos fazer as substituições. 
 
 Tendo base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma 
seja -9 e o produto 14. Observe. 
7 e 2 
S = 7 + 2 = 9 Nesse caso, não encontramos o -9, então essa não é a soma correta. 
P = 7 x 2 = 14 O produto bateu com o 14, porém dependemos também da soma. 
–7 e –2 
S = –7 + (–2) = –9 Nesse caso, encontramos o valor das soma desejado. 
P = –7 * (–2) = 14 O produto encontrado também foi o desejado. 
Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). 
Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números 
–2 e –7. 
 
Agora que já aprendemos alguns métodos de resolução da função do 2º grau, vamos 
praticar. 
Exercícios: 
1) Resolva as equações do 2º grau abaixo utilizando os métodos aprendidos à cima (fórmula 
de Bháskara e Soma e produto): 
a) f(x)= 5x² + 6x + 1 
 
 
b) f(x)= x² - 6x + 10 
 
 
2) As seguintes funções são definidas em ℝ. Verifique quais delas são funções quadráticas e 
identifique em cada uma os valores de a, b e c: 
a) f(x) = 2(x + 1)² 
 
 
b) f(x) = -x +2x + 8 
 
 
 
 
 
“ Ninguém ignora tudo. Ninguém sabe tudo. Todos nós 
sabemos alguma coisa. Todos nós ignoramos alguma 
coisa. Por isso aprendemos sempre.” 
 
- Paulo Freire