SLIDES - AULA - Matemática básica - Múltiplos e Divisores - ENEM e Vestibulares - Prof Aruã

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Matemática
Básica:
Divisibilidade,
MMC e MDC
Múltiplos e Divisores
I. 𝐃 = 𝐪. 𝐝 + 𝐫
II. 𝟎 ≤ 𝐫 < 𝐝
III. 𝐑𝐦á𝐱 = 𝐝 − 𝟏
Dividendo (D) divisor (d)
quociente (q)resto (r)
➢Divisão Entre Números Naturais:
Múltiplos e Divisores
➢Múltiplos de um número natural:
São obtidos multiplicando-se o número em questão por todos os 
elementos do conjuntos dos números naturais.
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖,… }
❖ Exemplo: Múltiplos de 6
I. O conjunto dos múltiplos de um 
número é um conjunto infinito;
II. O zero é múltiplo de todos os 
números;
III. Todo número é múltiplo dele 
mesmo.
Múltiplos e Divisores
➢Múltiplos de um número natural:
Um número é múltiplo de outro quando, ao 
dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
❖ Exemplo:
𝐌(𝟔) = {𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐, 𝟏𝟖, 𝟐𝟒, 𝟑𝟎, 𝟑𝟔,… }
I. 18 é múltiplo de 6;
II. 18 é divisível por 6;
III. 6 é divisor de 18;
IV. 6 divide 18.
Múltiplos e Divisores
➢Divisores de um número natural:
São todos os números naturais, que ao dividirem o número em 
questão, resultarão em uma divisão exata (resto zero).
❖ Exemplo: Divisores de 30
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖,… } I. O conjunto dos divisores de um 
número é um conjunto finito;
II. O número 1 é divisor de todos 
os números;
III. Todo número é divisor de si 
mesmo.
Múltiplos e Divisores
➢Números Primos:
Um número é primo quando possui dois divisores 
naturais distintos: o um e ele mesmo.
𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗, 𝟐𝟑, 𝟐𝟗, 𝟑𝟏, 𝟑𝟕, 𝟒𝟏, 𝟒𝟑,… }
I. O um não é primo;
II. O 2 é o único primo par;
III. Número composto possui mais de dois divisores naturais 
distintos.
Múltiplos e Divisores
➢Divisores de um Número Natural:
I. Decomposição em fatores primos (Fatoração);
II. Processo prático para encontrar os divisores de um número;
III. Processo prático para encontrar a quantidade de divisores de um número.
Utilizando os processos práticos envolvendo divisores de um número, determine:
a) Os divisores de 50 e quantos são
b) Quantos divisores possui o número 100
D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
Exercício de sala 1:
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
a) Divisibilidade por 2: é feita em qualquer número par, ou seja, 
quaisquer números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8 são números 
divisíveis por 2. 
Exemplo: 64 ÷ 2 = 32 
b) Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a 
soma dos seus algarismo é um número divisível por 3.
Exemplo: O número 65283 é divisível por 3 pois, somando os seus 
algarismos 6 + 5 + 2 + 8 + 3 = 24. Como 24 é um número divisível 
por 3, então 65283 é divisível por 3.
Critérios de Divisibilidade
c) Divisibilidade por 4: Para um número ser divisível por 4 é necessário 
que seus dois últimos algarismos sejam 00 ou divisíveis por 4.
Exemplos:
(i) o número 49312 é divisível por 4, porque 12 é divisível por 4.
(ii) o número 49310 não é divisível por 4, pois 10 não é divisível por 4.
d) Divisibilidade por 5: Um número será divisível por 5 quando o 
algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.
Exemplos: 125 e 24560.
Critérios de Divisibilidade
e) Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2
e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplo: O número 43722 é divisível por 6 pois, é divisível por 2 e por 3.
f) Divisibilidade por 9: Para ser divisível por 9 é necessário que a soma dos
algarismos que formam o número seja divisível por 9.
Exemplo: 7425 é divisível por 9 pois, 7 + 4 + 2 + 5 = 18, como 18 é divisível
por 9, então o número 7425 também será.
g) Divisibilidade por 10: Todo número que o algarismo da unidade é igual a
zero é divisível por 10.
Exemplo: 1520.
Critérios de Divisibilidade
➢ Menor Múltiplo Comum (MMC):
Exemplo: MMC (12, 15)
➢ Máximo Divisor Comum (MDC):
Exemplo: MDC (12, 18)