APOSTILA DE RADICIAÇÃO - RESUMO

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Radiciação
 
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Apresentar o conceito de radiciação e suas 
propriedades.
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. realizar operações que envolvam radiciação.
Para melhor compreensão desta aula, 
você precisa ter em mente o conceito de 
potenciação e o de números naturais, inteiros, 
racionais e reais.
META
OBJETIVO
PRÉ-REQUISITOS
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Esta aula foi escrita com base em trechos do livro ARNAUT, 
Roberto Geraldo Tavares. Matemática Básica: volume único. 5 ed.
Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2008.
INTRODUÇÃO
Os relatos mais antigos sobre operações utilizando potências remontam 
aos egípcios, cerca de 2000 a.C. (antes de Cristo). Os babilônios também 
possuíam conhecimento sobre o tema, o que pode ser conferido em uma 
antiga tábua de argila conhecida como tabuinha de Larsa. O início do 
uso do termo “potência” em matemática é atribuído ao filósofo grego 
Hipócrates. Ele chamou o quadrado de um segmento de dynamis, palavra 
grega que em português significa potência. 
Por que estamos falando de potência na aula de radiciação? Conforme você 
perceberá adiante, a radiciação é a operação inversa da potenciação. 
Por que estudar esse tema em Estatística? Isso acontecerá? Você verá 
com mais detalhes uma medida de dispersão chamada desvio padrão, 
que é a raiz quadrada da variância, outra medida que você estudará em 
Estatística. Daí a importância de saber realizar operações que envolvam 
radiciação.
Embora a raiz quadrada seja o conteúdo mais importante, nesta aula, 
para você seguir com a disciplina de Estatística, fica difícil introduzir o 
assunto sem conhecermos um pouco mais sobre o tema.
Estudaremos aqui o conceito de radiciação, as várias possibilidades 
que se enquadram nele, bem como as propriedades 
necessárias para fazermos cálculos que envolvam o 
uso de raízes. Então, vamos lá?
DEFININDO RADICIAÇÃO
Para entender a radiciação, 
você precisa ter compreendido o 
conceito de potenciação, porque 
a radiciação nada mais é do que a 
operação inversa da potenciação. Veja 
o seguinte exemplo:
4 4 4 16 16 42 2= × = ⇔ =
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Ou seja, quatro elevado ao quadrado é igual a dezesseis, porque 
quatro vezes quatro (quatro multiplicado por ele mesmo duas vezes) é 
igual a dezesseis. Quando queremos descobrir a raiz quadrada de dezesseis 
162( ) , queremos saber qual número multiplicado por ele mesmo (o dois 
significa que o número tem que ser multiplicado duas vezes) é igual a 
dezesseis.
Vamos ver outro exemplo:
 
Quer dizer, três elevado ao cubo (elevado a três) é igual a vinte 
e sete, porque três multiplicado por ele mesmo três vezes é igual 
a vinte e sete. Então, a raiz cúbica de vinte e sete 273( )é igual a três, porque 
três é o número que multiplicado por ele mesmo três vezes tem como resultado 
o número vinte e sete.
Seja a um número real e n um número natural. O número x é 
chamado de RAIZ ENÉSIMA DE A se, e somente se, xn = a. 
Perceba que xn = a é o mesmo que a xn = , ou seja, 
a radiciação é a operação inversa da potenciação.
ATENÇÃOATENÇÃO
 
RAIZ ENÉSIMA DE A 
Raiz de a com 
índice n, sendo n a 
representação de um 
número qualquer.
 Em matemática, é muito comum usarmos letras representando números. Isso 
simplifica a comunicação; se fôssemos escrever por extenso todas as fórmulas ma-
temáticas, os livros seriam enormes. Assim, as letras a, n, x, m e p que você verá nesta 
aula estão sendo usadas para representar um número qualquer. Por exemplo, xn = a
significa que você pode pensar nessa equação para qualquer número no lugar de x 
e qualquer número no lugar de n, gerando um resultado que é a letra a. O valor de a pode 
ser qualquer número; no entanto, ele vai depender dos valores de x e n. Veja a seguir:
Para xn = a, temos 23 = 8; 42 = 16; 124 = 20736 e assim por diante.
3 3 3 3 27 27 33 3= × × = ⇔ =
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A REPRESENTAÇÃO DE RADICIAÇÃO
Usaremos a NOTAÇÃO an para representar raízes enésimas do 
número a. No caso em que n = 2 e a > 0 (a é maior que zero), em vez 
de a2 , escreveremos simplesmente a e lemos “raiz quadrada de a”. 
Nesta situação, − a é o simétrico de a e −− a a( ) =2 . 
Você entendeu por que −− a a( ) =2 .? É simples, quando você 
multiplicar números com o mesmo sinal, o resultado será sempre positivo. Se 
−− −− −−a a a( ) = ×2 , então o resultado desta operação será positivo. Mas 
por que o resultado é igual a a? Fácil! Quando você multiplica duas raízes 
iguais, o resultado é sempre o número dentro da raiz, ou seja, 2 2 2× =
, 9 9 9× = , e assim por diante. Posteriormente, vamos definir melhor 
a representação an .
Figura 4.1: Uma das primeiras referências à potenciação foi encontrada em papiros 
egípcios do final do Império Médio.
Fonte: www.sxc.hu 
Kr
is
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Sz
ku
rla
to
w
sk
i
NOTAÇÃO 
Conjunto de sinais que 
se usa para representar 
ou designar algo.
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Obs.: No símbolo an dizemos que:
√ é o radical;
a é o radicando;
n é o índice da raiz.
Figura 4.2: Encontramos o uso de potenciação no cálculo do volume de pirâmides de base 
quadrangular. 
Ta
tia
na
 B
ol
sh
ak
ov
a
Fonte: www.sxc.hu 
ATENÇÃOATENÇÃO
 Números simétricos, também chamados de opostos, são 
números que possuem o mesmo valor, mas com sinais 
contrários. Quer dizer, 7 é simétrico ou oposto de –7; 16 é 
simétrico ou oposto de –16; 6 é simétrica ou oposta a −− 6 .
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AS POSSIBILIDADES DA EQUAÇÃO xn = a 
Da definição de radiciação, conclui-se que determinar as raízes 
enésimas de a é o mesmo que determinar todas as soluções da equação 
xn = a. Vamos examinar os seguintes casos:
Primeiro caso: O número a é igual a zero e o número n pertence 
ao conjunto dos números naturais, sendo que n 
é maior ou igual a 2
A única raiz enésima de zero é o próprio zero, ou seja, 0 0n = ,
para qualquer valor de n.
Segundo caso: o número a é maior que zero e o número n 
pertence ao conjunto dos números naturais, sendo que n é um 
número par
O número a possui duas raízes enésimas. Essas duas raízes são 
simétricas. A raiz enésima positiva de a é representada pelo símbolo an . 
A raiz enésima negativa de a, por ser simétrica da primeira, é representada 
pelo símbolo – an .
Portanto, cuidado! Quando escrevemos, por exemplo, 34 ,
 56 , 3, estamos representando números positivos.
Exemplo:
O número 16 tem duas raízes quartas ( 4 ). A raiz quarta 
positiva de 16 é 2 (porque 24 = 16). A raiz quarta negativa de 
16 é –2. Assim,
 
 
As raízes quartas de 16 são 2 e –2.
16 24 =
−− −−16 24 =
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 A Fórmula de Bháskara e o cálculo dos macacos
Entre os matemáticos hindus da Índia Antiga era muito comum a realização de competições 
que desafiavam os competidores com quebra-cabeças. Os passatempos matemáticos 
dessa época eram apresentados por meio de ditos populares em forma de prosa. Veja 
este exemplo: “...alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao 
quadrado no bosque brincava. Com alegres gritos, doze gritando no campo estão. Sabe 
quantos macacos há no grupo no total?” Podemos montar o problema assim:
...alegravam-se os macacos divididos em dois bandos ⇒ x 
sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava ⇒ 
Com alegres gritos, doze gritando no campo estão ⇒ 12 
Sabe quantos macacos há no grupo no total?⇒ ⇒ 



+X x−−
8
12
2
 
Observe que, no final, temos uma equação para calcular a pergunta. Toda equação 
que apresenta o termo X2 é chamada de equação do segundo grau. Sempre que se quer 
resolver esse tipo de equação, utiliza-se uma fórmula chamada de Fórmula de Bháskara: 
x
b b ac
a
= ±−− −−
2 4
2
 . Mais adiante nesta aula, você entenderá por que a raiz quadrada 
da Fórmula de Bháskara pode ser positiva (+) ou negativa (–), e isso faz com que o X, 
nessa fórmula, tenha dois resultados possíveis (no caso do problema, 16 ou 48 macacos 
no grupo).
Fonte: Adaptado de: ROPELATO; RAMOS (2006).
⇒ 



x
8
2
CURIOSIDADECURIOSIDADE
Fonte: www.sxc.hu 
Bi
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 A
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xa
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Terceiro caso: o número a é menor que zero e o número n pertence ao 
conjunto dos números naturais, sendo que n é par.
Neste caso, não existe raiz. O que queremos dizer com isso? 
Simplesmente que no conjunto dos números reais não faz sentido uma 
expressão como −−2 ou −−68 . 
Exemplo:
Não existe raiz quadrada de −4. Ou, dito de outro modo, não 
existe nenhum número real x tal que x2 = −4. Isso vale para qualquer 
potência de número par.
Figura 4.3: A probabilidade de usarmos a radiciação no nosso dia-a-dia é pequena, mas é 
possível que você precise dela no seu futuro emprego.
Fonte: www.sxc.hu 
G
 &
 A
 S
ch
ol
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rs
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Quarto caso: O número a é diferente de zero e o número n 
pertence ao conjunto dos números naturais, sendo que n 
é ímpar
O número a possui exatamente uma única raiz enésima no conjunto 
dos números reais. Essa raiz tem o mesmo sinal de a e é representada 
pelo símbolo an . 
Exemplos: 
a) O número 8 tem uma única raiz cúbica (3 ), que é representada 
com o símbolo 83 e vale 2, isto é, 8 23 = (porque 23 = 8). Isso vale para 
qualquer potência de número ímpar.
b) O número −64 tem uma única raiz cúbica no conjunto dos 
números reais que é representada pelo símbolo −−643 e vale −4, isto 
é, −− −−64 43 = (porque −43 = −64). Isso vale para qualquer potência de 
número ímpar.
Obs.: Conforme já observado, por convenção, na raiz quadrada, 
omite-se o índice (n). Escreve-se, por exemplo, 6 e −− 6 para 
representar 62 .
Exemplos:
a) O número 8 é uma raiz quadrada de 64, pois 82 = 64.
b) O número −8 é uma raiz quadrada de 64, pois (−8)2 = 64.
c) 0 03 = ⇔ 03 = 0 
d) ⇔ 42 = 0 
e) 
f) 
g) −−4 não tem sentido em R.
h) 33 = 27 
i) (−3)3 = −27 
j) (−1)3 = −1
k) 74 = 2401 
16 4=
−− −−16 4= −− −−4 162( ) =
± = ±16 4 ± ( ) = ±4 162⇔
⇔27 33 =
−− −−27 33 = ⇔
⇔
⇔
−− −−1 13 =
2401 74 =
⇔
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Atende ao Objetivo 1
Vamos verificar se você entendeu os casos apresentados até aqui? Então, calcule os radicais 
a seguir:
a. 
b. 
c. 
d. 
Figura 4.4: É possível extrair raízes usando calculadoras, mas você vai precisar de 
um modelo de calculadora científica ou financeira.
Fonte: www.sxc.hu
Jo
ha
nn
al
g
ATIVIDADE 1
−−54
814
325
05
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PROPRIEDADE DAS RAÍZES
Sejam a e b números reais e m e n números inteiros. Suponha 
que as raízes enésimas que escreveremos nas propriedades de 
1 até 4, a seguir, são bem definidas. Então, valem as seguintes 
propriedades:
Propriedade 1: para cálculo com radicais de mesmo índice
Para multiplicar, mantém-se o índice e multiplicam-se os radicandos, 
isto é, 
Para dividir, mantém-se o índice e dividem-se os radicandos, isto 
é, b ≠ 0, 
Exemplos: 
a) 3 9 27 33 3 3× = = (porque 33 = 27)
b) 2 5 10× = 
c) 32 8 43 3 3= × (operação inversa)
d) 8 2 4 2 2 2 2= × = × = ( 4 2 2 42= ⇔ = )
a b abn n n× = .
a
b
a
b
b
n
n
n= ≠, 0
O templo e a raiz quadrada de dois
 
Fonte: www.sxc.hu 
Ko
ns
ta
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 D
af
al
ia
s
CURIOSIDADECURIOSIDADE
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Você já ouviu falar no Pathernon? O Pathernon é um templo grego localizado na cidade de 
Atenas. Ele foi erguido em homenagem à deusa Atena Pathernos, considerada a protetora 
da cidade. Sua construção data de 447 a 438 a.C. Em um livro chamado Os segredos da 
antiga geometria, Tom Brunes faz uma análise geométrica do templo. Ele afirma que o 
lado e a diagonal de uma série de quadrados regem a arquitetura do edifício. Cada um dos 
quadrados está em relação com o quadrado maior que o contém na proporção de 1 para 
1,25. Essa relação funcional é chamada de Função da Raiz Quadrada de Dois 2( ). 
Fonte: Adaptado de http://www.psico-pictografia.blogspot.com/
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Atende ao Objetivo 1
Com base na primeira propriedade das raízes, faça os seguintes cálculos:
a. 16 43 3× 
b. 30
6
 
c. 81 84 4× 
d. 6750 23 3÷÷ 
ATIVIDADE 2
Propriedade 2: para calcular raiz de raiz
Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e 
multiplicam-se os índices, isto é, a amn mn= . 
Exemplos:
a) 729 729 729 33 2 3 6= = =× (porque 36 = 729)
b) 5 5 543 3 4 2 24= =× × 
Atende ao Objetivo 1
Com base na segunda propriedade das raízes, calcule as seguintes raízes:
a. 
b. 
ATIVIDADE 3
256
409634
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Propriedade 3: para calcular raiz de potência
Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a 
potência e em seguida a raiz, isto é, a an
m
mn( ) = , sendo que o número 
m pertence ao conjunto dos números inteiros.
Exemplos:
a) 4 4 2 325
5
5= ( ) = = ( 4 2 2 42= ⇔ = )
b) 16 16 2 424 4
2
2= ( ) = = ( 16 2 2 164 4= ⇔ = )
Figura 4.5: Uma das maneiras de calcular a área de um triângulo é por meio do Teorema de 
Heron. A fórmula é A S S a S b S c= ( )( )( )−− −− −− , onde A é a área do triângulo que se quer 
calcular; S é o valor do semiperímetro do triângulo; a, b e c são os comprimentos dos lados do 
triângulo.
Jonathan W
erner
Fonte: www.sxc.hu 
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Atende ao Objetivo 1
Com base no que você aprendeu sobre a terceira propriedade das raízes, calcule:
a. 
b. 
ATIVIDADE 4
Propriedade 4: sobre alteração do índice
Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número 
não altera o resultado, isto é, a amn mpnp= . 
Exemplos:
a) Dividindo por 3, temos: 2 2 236 3 36 3= =÷÷÷÷ 
b) Dividindo por 8, temos: 2 2 2816 8 816 8= =÷÷÷÷ 
c) Multiplicando por 3 no primeiro termo e por 2 no segundo, temos:
5 2 5 2 5 2 125 4 125 4 5003 1 32 3 1 23 2 36 26 6 6 6 6× = × = × = × = × =×× ×× 5 2 5 2 5 2 125 4 125 4 5003 1 32 3 1 23 2 36 26 6 6 6 6× = × = × = × = × =×× ××
(Lembre-se de que quando não há expoente é como se o número fosse 
elevado a 1.)
2723
24345
ATENÇÃOATENÇÃO
 Voltamos a enfatizar que as propriedades enunciadas são 
válidas sob a condição de que as potências e os radicais 
estejam bem definidos. Por exemplo, não faz sentido usar a pro-
priedade 3 para escrever −− −−2 234 4
3
( ) = ( ) , uma vez que não faz 
sentido −−24 , no conjunto dos números reais.
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Nosso próximo assunto tem como objetivo ampliar a utilização de 
potências e radicais para facilitar operações com números reais. Ou, de 
um outro ponto de vista, veja a definição apresentada após a próxima 
atividade. Trataremos a radiciação como um caso especial de potências 
de expoentes fracionários.
Figura 4.6: Para resolver equações de segundo grau, usamos a Fórmula de Bháskara: 
Atende ao Objetivo 1
Utilize a propriedade4 para realizar os seguintes cálculos:
a. 
b. 
c. 
ATIVIDADE 5
X
b
a
= ±−− ∆
2
368
2
3
3
5
2 3 54 3 6× ×
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POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Definição
a) Seja a um número real positivo, n um número natural não-nulo 
(diferente de zero) e um número racional na forma irredutível, a potência 
de base a e a expoente racional m
n
 definem-se por a a
m
n mn= . 
b) Seja a um número real, n um número natural ímpar e m
n
um número racional na forma irredutível, a potência de base a 
e o expoente racional m
n
 definem-se por a a
m
n mn= . 
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
ATENÇÃOATENÇÃO
 Valem para as potências de expoente racional as mesmas 
propriedades válidas para as potências de expoente inteiro.
3 3
3
5 35=
2 2 2
1
7 17 7= =
2 2 2 2 2
1
2
1
3
1
2
1
3
5
6 56× = = =
+
2 2
2
5 25
−−
=
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Figura 4.7: Para calcular a diagonal de um quadrado, você precisa saber radiciação. 
A fórmula é d l= 2 , onde d é o valor da diagonal que se quer achar, l é o comprimento 
de um dos lados do quadrado (são todos iguais).
Fonte: www.sxc.hu 
G
in
iM
in
iG
i
Atende ao Objetivo 1
Escreva as potências a seguir em forma de radicais:
a. 
b. 
c. 
d. 
ATIVIDADE 6
3
3
4
3
1
7
5
1
2
2
2
3
−−
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RESUMINDO...
 
ATIVIDADE 1
a. Não existe raiz quadrada quando o radicando é negativo e o índice é par.
b. Como o radicando é maior que 0 e o índice é par, existem duas raízes simétricas 
nesta resposta. As raízes são + 3 e −3, porque 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
c. Como o radicando é ≠ 0 e o índice é ímpar, só há uma raiz. A resposta é 2, porque 
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
d. Se o radicando é zero, não importa o índice, a raiz será zero.
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
 
• O cálculo da radiciação é o inverso da potenciação.
• Na notação an , √ , a, n, são, respectivamente, raiz, radicando e índice.
• Não importa o valor do índice, se o radicando for zero, a raiz será zero.
• Quando a > 0 e n é par, a tem duas raízes simétricas, sendo uma positiva e outra 
negativa.
• Se n é par, não existe raiz para um radicando negativo.
• Quando a ≠ 0 e n é impar, a só possui uma raiz (não há uma simétrica).
• Na representação de raiz quadrada omite-se o índice.
• Para multiplicar ou dividir radicais com mesmo índice basta multiplicar ou dividir os 
radicandos e manter o índice.
• Para calcular raiz de raiz, multiplicamos os índices e mantemos o radicando.
• Quando o radicando tem um expoente, podemos escrever a raiz, sem alterar seu valor, 
deslocando o expoente para todo o radical.
• Podemos multiplicar ou dividir o índice e o expoente por um mesmo número sem que 
isso afete o resultado.
• Um número com expoente fracionário pode ser escrito como radical. A base será o radi-
cando, o numerador do expoente fracionário será o expoente do radicando e o denominador 
do expoente fracionário será o índice.
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ATIVIDADE 2
a. Quando os radicais têm índices iguais, basta multiplicar os radicandos. 16 4 64 64 43× = → = ,
pois 43 = 64.
b. Quando os radicais têm índices iguais, basta dividir os radicandos. 30 ÷ 6 = 5. 
O resultado é 5.
c. Quando os radicais têm índices iguais, basta multiplicar os radicandos. 81 8 648 648 64× = → =.
d. Quando os radicais têm índices iguais, basta dividir os radicandos. 
6750 2 3375 3375 153÷÷ = → = , pois 153 = 3375.
ATIVIDADE 3
a. Para calcular raiz de raiz, temos que multiplicar os índices e manter o radicando. Assim: 
a. 256 256 42 2 4× = = , pois 44 = 256.
b. 4096 4096 24 3 12× = = , pois 212 = 4096.
ATIVIDADE 4
a. Neste caso, podemos escrever, sem alterar o valor, como 27 27 33
2
3( ) → = , pois 33 = 27. 
Por fim, 32 = 9.
b. Baseando-se na terceira propriedade das raízes, podemos escrever da seguinte forma: 
243 35
4
4( ) = , pois 35 = 243 . Por fim, 34 = 81.
ATIVIDADE 5
a. Podemos dividir o índice e o expoente do radicando pelo mesmo número sem 
que isso altere o resultado. Assim, simplificamos o expoente 6 com o índice 8 
( 3 36 28 2 34÷÷ = ), pois ambos são divisíveis por 2. Temos, então, 3 2734 4= .
b. Com base na quarta propriedade das raízes, podemos igualar os índices de ambos os 
radicais, o que facilita a resolução do problema. Assim, multiplicamos por cinco o numerador 
e por 3 o denominador: 2
27
32
27
53 5
15
15
×
=
 .
c. Também com base na quarta propriedade, podemos multiplicar todos os termos da 
multiplicação a fim de igualarmos os índices. Multiplicamos o primeiro termo por 3, o segundo 
por 4 e o terceiro por 2. Assim, temos: 
2 3 5 8 81 25 8 81 25 162003
4 3 43 4 6 2 12 12 12 12 12× × ×× × = × × = × × = .
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ATIVIDADE 6
a. 3 2734 4=
b. 37
c. 5 512 = (quando o expoente é 1, não precisa ser representado)
d. 2
1
4
23
3
−− = (reveja, na aula de potenciação, a nota sobre expoentes negativos)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática Básica: volume 
único. 5 ed. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2008.
ROPELATO, Graziela; RAMOS, Paulo. Para que estudar a 
fórmula de bháskara? Revista de divulgação técnico-científica 
do ICPG, Indaial, v. 3, n. 9, jul./dez. 2006.