Ondas: Tipos e Propriedades

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ONDAS
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS
DISCIPLINA: FÍSICA II
Prof. Bruno Farias
Uma onda surge quando um sistema é deslocado de sua
posição de equilíbrio e a perturbação pode se propagar de
uma região para outra do sistema.
Exemplos: o som, a luz, as ondas do mar, a transmissão de
rádio e de televisão e os terremotos.
Ondas
Ondas
Quanto à natureza, as ondas podem ser de três tipos:
• Ondas mecânicas: Perturbação que se desloca através de
um material chamado de meio no qual a onda se propaga.
• Ondas eletromagnéticas: Combinação de campos elétrico e
magnético variáveis, perpendiculares entre si, que forma uma
perturbação autosustentável que se propaga tanto no vácuo
quanto em meios materiais.
Exemplos: a luz, as ondas de rádio, a radiação infravermelha,
a radiação ultravioleta, os raios X e os raios gama.
Ondas
• Ondas de matéria: Segundo o princípio da dualidade onda-
partícula, a matéria possui duas naturezas que se manifestam
em situações diferentes: a natureza corpuscular e a natureza
ondulatória. Uma onda de matéria representa o estado da
matéria quando sua natureza ondulatória se manifesta.
Neste módulo vamos estudar apenas as ondas mecânicas.
Ondas
Podemos classificar as ondas quanto à direção de oscilação
em:
• Ondas transversais: são ondas nas quais as partículas do
meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação da
onda.
• Ondas longitudinais: são ondas em que as partículas do
meio oscilam na direção de propagação da onda.
Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são
chamadas de ondas progressivas quando se propagam de um
lugar a outro, como no caso das ondas na corda.
Função de Onda 
Para descrever perfeitamente uma onda em um meio,
precisamos de uma função que forneça a forma da onda, ou
seja, de uma relação da forma y = h(x,t).
Consideraremos o meio como sendo uma corda e tomaremos
h como uma função seno. Assim, em um certo instante t o
deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é
dado por
A amplitude da onda ym é o módulo do deslocamento máximo
dos elementos a partir da posição de equilíbrio quando a onda
passa por eles.
A fase da onda é o argumento kx – ωt do seno.
O parâmetro k é chamado de número de onda.
O parâmetro ω é a frequência angular da onda.
Comprimento de Onda e Número de Onda
O comprimento de onda λ de uma onda é a distância (paralela
à direção de propagação da onda) entre repetições da forma
de onda.
O número de onda k está relacionada com o comprimento de
onda λ através da relação
A unidade de k no SI é o radiano por metro, ou m-1.
Período, Frequência Angular e Frequência
O período de oscilação T de uma onda é o tempo que um
elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa.
A frequência f de uma onda é definida como o número de
oscilações por unidade de tempo e é calculada através da
expressão
O período e frequência estão relacionadas com a frequência
angular da onda através da equações
Podemos generalizar a função de onda senoidal y = ym sen(kx-
ωt) introduzindo uma constante de fase φ no seu argumento
Constante de Fase
Para t = 0 e φ = 0 temos que em x = 0,
y = 0.
Para t = 0 e φ ≠ 0 temos que em x = 0,
y ≠ 0.
A velocidade de uma Onda Progressiva 
A velocidade v de uma onda é definida como
É importante observar que uma função de onda na forma y =
ym sen(kx – ωt) descreve uma onda que se propaga no sentido
positivo de x. Enquanto que, y = ym sen(kx + ωt) descreve uma
onda que se propaga no sentido negativo de x.
Generalizando, qualquer função na forma
Pode representar uma onda progressiva com uma velocidade
dada por v = ω/k e uma forma de onda dada pela forma
matemática da função h.
Exemplo
Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
A velocidade de uma onda também pode ser determinada pelas
propriedades de massa (energia cinética) e elasticidade (energia
potencial) do meio onde ela se propaga. No caso de uma corda
esticada
onde é força de tensão na corda e μ = Δm/Δl é a massa
específica linear da corda.

Quando uma onda se propaga numa corda transporta energia
(energia cinética e energia potencial elástica)
Energia e Potência de uma Onda Progressiva 
em uma Corda
A potência média, que é a taxa média com a qual as duas
formas de energia são transmitidas, é, dada por
Os fatores μ e v depende do material e da tensão na corda. Os
fatores ω e ym dependem do processo usado para produzir a
onda.
Exemplo
A Equação de Onda
Quando uma onda passa por um elemento de uma corda
esticada o elemento se move perpendicularmente à direção de
propagação da onda. Aplicando a segunda lei de Newton ao
movimento do elemento podemos obter uma equação
diferencial geral, chamada equação de onda, que governa a
propagação de ondas qualquer tipo, a qual é dada por
Onde v é a velocidade de propagação da onda.
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir
uma onda resultante ou onda total.
O Princípio da Superposição de Ondas
Por exemplo, supondo que duas ondas,
representadas pelas funções de ondas
y1(x,t) e y2(x,t), se propagam
simultaneamente na mesma corda temos
que o deslocamento da corda é então a
soma algébrica
Interferência de Ondas
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento
de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda, elas
sofrem interferência, somando-se ou cancelando-se de acordo
com o princípio da superposição, para produzir uma onda
resultante senoidal que se propaga nesse sentido.
A forma da onda resultante depende da fase relativa das duas
ondas. Supondo que uma das ondas que se propagam em uma
corda é dada por
e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por
Segundo o princípio da superposição, a onda resultante é a
soma algébrica das duas ondas e tem um deslocamento
Se φ = 0, as ondas têm fases iguais e a interferência é
totalmente construtiva; se φ = π rad, as ondas têm fases
opostas e a interferência é totalmente destrutiva.
Quando uma interferência não é nem totalmente construtiva
nem totalmente destrutiva é chamada de interferência
intermediária.
Exemplo
Fasores
Uma onda y1(x,t) pode ser representada por um fasor, um vetor
de módulo igual à amplitude ym1 da onda que gira em torno da
origem com uma velocidade angular igual à frequência angular
ω da onda. A projeção do fasor em um eixo vertical fornece o
deslocamento y de um ponto situado no trajeto da onda.
Quando duas ondas, y1 = ym1 sen(kx - ωt) e y2 = ym2 sen(kx – ωt
+ φ), se propagam na mesma corda podemos representar as
duas ondas e a onda resultante em um diagrama fasorial.
Fasores
Se φ é um número positivo, fasor da onda 2 está atrasado em relação ao
fasor da onda 1. Se φ é número negativo, o fasor da onda 2 está adiantado
em relação ao fasor da onda 1.
Como as ondas y1 e y2 têm o mesmo número de onda k e a
mesma frequência angular ω, sabemos que a resultante é da
forma
Para obtermos a onda resultante acima em um diagrama
fasorial, somamos vetorialmente os dois fasores em qualquer
instante da rotação como na figura abaixo
Fasores
Exemplo
Duas ondas senoidais de mesma frequência se propagam no
mesmo sentido em uma corda. Se ym1 = 3 cm, ym2 = 4 cm, φ1 = 0
e φ2 = π/2 rad, quais são a amplitude y’m e constante de fase β
da onda resultante? Escreva a onda resultante na forma de uma
função de onda.
Ondas Estacionárias
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo
comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em
uma corda, a interferência mútua produz uma onda estacionária.
Quando uma onda é estacionária sua forma de onda não se
move ao longo da corda.
As ondas estacionárias possuem pontos em que o
deslocamento transversal é nulo, chamados nós, e pontos em
que o deslocamento é máximo chamados antinós.
Para obtermos a função de onda de uma onda estacionária,
representamos as duas ondas progressivas pelas equações
Usando o princípio da superposição temosque a onda
estacionária (resultante) é expressa na forma
Na onda estacionária do slide anterior amplitude é zero (um nó)
para valores de kx tais que sen kx = 0, ou seja, quando
Lembrando que k = 2π/λ, obtemos que
para as posições dos nós (amplitude zero) da onda estacionária.
A amplitude da onda estacionária tem um valor máximo que
ocorre para valores de kx tais que |sen kx |= 1, ou seja, quando
Lembrando que k = 2π/λ, obtemos que
para as posições dos antinós (máxima amplitude) da onda
estacionária. Os antinós estão situados no ponto médio de nós
vizinhos.
Ondas Estacionárias e Ressonância
Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma corda
através da reflexão de ondas progressivas nas
extremidades da corda.
Consideremos, por exemplo, uma
corda de violão, que está esticada
entre duas presilhas. Suponha que
produzimos uma onda senoidal
contínua que se propaga para a
direita. Para certas frequências a
interferência das ondas refletidas
produz uma onda estacionária (ou
modo de oscilação)
Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é gerada
quando existe ressonância, e que a corda ressoa nessas
frequências, conhecidas como frequências de ressonância.
Para uma corda esticada de comprimento L uma onda
estacionária pode ser excitada por uma onda cujo comprimento
de onda satisfaz condição.
As frequências de ressonância que correspondem aos
comprimentos de onda anteriores podem ser determinadas a
partir de
O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de
modo fundamental ou primeiro harmônico; o modo
correspondente a n = 2 é o segundo harmônico, e assim por
diante.
Exemplo