Aula 01 - Experimento aleatorio espaco amostral e eventos

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Probabilidade
André L. F. Cançado
André L. F. Cançado Probabilidade
Modelos probabilísticos
Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas
hipóteses a respeito do problema e constituem-se de duas partes
essenciais:
Os possíveis resultados
Uma lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou
grupo de resultados)
André L. F. Cançado Probabilidade
Modelos probabilísticos
Ex: Considere o experimento lançar uma moeda e observar a
face voltada para cima após o repouso.
Os possíveis resultados são cara e coroa.
Supondo que a moeda é equilibrada e o lançamento
imparcial, as chances de ocorrência de cara e coroa são
iguais.
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Experimento aleatório
Um experimento aleatório é uma experiência ou situação em
que deve ocorrer um dentre vários resultados, sendo que o
resultado não pode ser previsto a priori, mesmo o experimento
sendo realizado repetidas vezes sob as mesmas condições.
André L. F. Cançado Probabilidade
Experimento aleatório
Ex: São exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Lançar um dado e observar a face voltada para cima
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C)
Outros?
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Experimento aleatório
Ex: São exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Lançar um dado e observar a face voltada para cima
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C)
Outros?
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Experimento aleatório
Ex: São exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Lançar um dado e observar a face voltada para cima
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C)
Outros?
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Experimento aleatório
Ex: São exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Lançar um dado e observar a face voltada para cima
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C)
Outros?
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Experimento aleatório
Ex: São exemplos de experimentos aleatórios
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Lançar um dado e observar a face voltada para cima
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C)
Outros?
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
André L. F. Cançado Probabilidade
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
André L. F. Cançado Probabilidade
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
André L. F. Cançado Probabilidade
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50}
(?)
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Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
númerode lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (?)
André L. F. Cançado Probabilidade
Espaço amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω
(ômega maiúsculo).
Ex:
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {cara, coroa}
Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o
número de lançamentos realizados.
Ω = {1, 2, 3, . . .}
Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em
◦C).
Ω = R
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Espaço amostral
Um espaço amostral é discreto quando o conjunto de possíveis
resultados formam um conjunto enumerável, e contínuo
quando o conjunto de possíveis resultados é um conjunto
não-enumerável.
Ex.
Ω = {cara, coroa} (discreto)
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto)
Ω = {1, 2, 3, . . .} (discreto)
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (contínuo)
André L. F. Cançado Probabilidade
Espaço amostral
Um espaço amostral é discreto quando o conjunto de possíveis
resultados formam um conjunto enumerável, e contínuo
quando o conjunto de possíveis resultados é um conjunto
não-enumerável. Ex.
Ω = {cara, coroa} (discreto)
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto)
Ω = {1, 2, 3, . . .} (discreto)
Ω = {x ∈ R, 30 ≤ x ≤ 50} (contínuo)
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Eventos
Evento é um possível resultado ou conjunto de resultados do
experimento. Em outras palavras, qualquer subconjunto de Ω é
um evento.
Ex: No lançamento de um dado, podemos estar interessados
nos seguintes eventos:
A=ocorre um número par={2, 4, 6}
B=ocorre um número menor que três={1, 2}
C=ocorre o número seis={6}
D=ocorre um número maior que seis={} (evento
impossível)
Em geral, utilizam-se letras maiúsculas para denotar eventos.
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Eventos
Evento é um possível resultado ou conjunto de resultados do
experimento. Em outras palavras, qualquer subconjunto de Ω é
um evento.
Ex: No lançamento de um dado, podemos estar interessados
nos seguintes eventos:
A=ocorre um número par={2, 4, 6}
B=ocorre um número menor que três={1, 2}
C=ocorre o número seis={6}
D=ocorre um número maior que seis={} (evento
impossível)
Em geral, utilizam-se letras maiúsculas para denotar eventos.
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Eventos
Evento é um possível resultado ou conjunto de resultados do
experimento. Em outras palavras, qualquer subconjunto de Ω é
um evento.
Ex: No lançamento de um dado, podemos estar interessados
nos seguintes eventos:
A=ocorre um número par={2, 4, 6}
B=ocorre um número menor que três={1, 2}
C=ocorre o número seis={6}
D=ocorre um número maior que seis={} (evento
impossível)
Em geral, utilizam-se letras maiúsculas para denotar eventos.
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O evento A = Ω é chamado “evento certo” e o evento B = ∅ é
chamado “evento impossível”.
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Operações com eventos
A união de dois eventos A e B, denotada por A∪ B, representa a
ocorrência de, pelo menos, um dos eventos A ou B. Isto é,
ocorre o evento A, ou ocorre o evento B, ou ocorrem ambos.
A interseção do evento A com o evento B, denotada por A ∩ B,
é a ocorrência simultânea de A e B. Ou seja, para que ocorra o
evento A ∩ B, A e B devem ocorrer.
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos,
se não têm elementos em comum, isto é, se A ∩ B = ∅.
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Operações com eventos
Dois eventos A e B são complementares se sua união é o
próprio espaço amostral e sua interseção é vazia.
O complementar de um evento A é geralmente denotado por Ac,
e temos
A ∪ Ac = Ω
A ∩ Ac = ∅
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Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B
D = A ∩ B
Ac
Bc
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
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Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B
D = A ∩ B
Ac
Bc
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
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Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B (C = {1, 2, 3, 4, 6})
D = A ∩ B
Ac
Bc
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
André L. F. Cançado Probabilidade
Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B (C = {1, 2, 3, 4, 6})
D = A ∩ B (D = {2})
Ac
Bc
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
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Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B (C = {1, 2, 3, 4, 6})
D = A ∩ B (D = {2})
Ac (Ac = {1, 3, 5})
Bc
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
André L. F. Cançado Probabilidade
Exemplo
Ex: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos:
A=ocorre um número par
B=ocorre um número menor que 4
Descreva os eventos:
C = A ∪ B (C = {1, 2, 3, 4, 6})
D = A ∩ B (D = {2})
Ac (Ac = {1, 3, 5})
Bc (Bc = {4, 5, 6})
Primeiramente, notemos que
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
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