Aula 05 - Esperanca e variancia de vas discretas

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Probabilidade
Esperança e Variância de VAs Discretas
Probabilidade
Esperança
Inicialmente, vamos considerar uma v.a. discreta X cujos
possíveis valores são x1, x2, . . . xn. Suponha que possamos
observar a realização dessa v.a. um certo número m de vezes.
Seja mi o número de vezes, dentre as m realizações, em que
ocorre o valor xi, i = 1, . . . , n. Obviamente, m =
∑n
i mi.
Se quiséssemos calcular a média dos valores observados nas m
realizações, faríamos
m1 vezes︷ ︸︸ ︷
x1 + x1 + . . .+ x1 +
m2 vezes︷ ︸︸ ︷
x2 + x2 + . . .+ x2 + . . .+
mn vezes︷ ︸︸ ︷
xn + xn + . . .+ xn
m
Probabilidade
Esperança
Inicialmente, vamos considerar uma v.a. discreta X cujos
possíveis valores são x1, x2, . . . xn. Suponha que possamos
observar a realização dessa v.a. um certo número m de vezes.
Seja mi o número de vezes, dentre as m realizações, em que
ocorre o valor xi, i = 1, . . . , n. Obviamente, m =
∑n
i mi.
Se quiséssemos calcular a média dos valores observados nas m
realizações, faríamos
m1 vezes︷ ︸︸ ︷
x1 + x1 + . . .+ x1 +
m2 vezes︷ ︸︸ ︷
x2 + x2 + . . .+ x2 + . . .+
mn vezes︷ ︸︸ ︷
xn + xn + . . .+ xn
m
Probabilidade
Esperança
Inicialmente, vamos considerar uma v.a. discreta X cujos
possíveis valores são x1, x2, . . . xn. Suponha que possamos
observar a realização dessa v.a. um certo número m de vezes.
Seja mi o número de vezes, dentre as m realizações, em que
ocorre o valor xi, i = 1, . . . , n. Obviamente, m =
∑n
i mi.
Se quiséssemos calcular a média dos valores observados nas m
realizações, faríamos
m1 vezes︷ ︸︸ ︷
x1 + x1 + . . .+ x1 +
m2 vezes︷ ︸︸ ︷
x2 + x2 + . . .+ x2 + . . .+
mn vezes︷ ︸︸ ︷
xn + xn + . . .+ xn
m
Probabilidade
Esperança
m1 vezes︷ ︸︸ ︷
x1 + x1 + . . .+ x1 +
m2 vezes︷ ︸︸ ︷
x2 + x2 + . . .+ x2 + . . .+
mn vezes︷ ︸︸ ︷
xn + xn + . . .+ xn
m
m1x1 + m2x2 + . . .+ mnxn
m
m1
m
x1 +
m2
m
x2 + . . .+
mn
m
xn
limm→∞ (L.G.N)
⇒ P(X = x1)x1 + P(X = x2)x2 + . . .+ P(X = xn)xn
Probabilidade
Esperança
m1 vezes︷ ︸︸ ︷
x1 + x1 + . . .+ x1 +
m2 vezes︷ ︸︸ ︷
x2 + x2 + . . .+ x2 + . . .+
mn vezes︷ ︸︸ ︷
xn + xn + . . .+ xn
m
m1x1 + m2x2 + . . .+ mnxn
m
m1
m
x1 +
m2
m
x2 + . . .+
mn
m
xn
limm→∞ (L.G.N)
⇒ P(X = x1)x1 + P(X = x2)x2 + . . .+ P(X = xn)xn
Probabilidade
Esperança
Def: Seja X uma v.a. discreta cujos possíveis valores são
x1, x2, x3, . . .. A esperança (ou média, valor esperado,
expectância) de X, denotada por E(X) é definida como
E(X) =
∑
i
xiP(X = xi)
Probabilidade
Esperança
Ex. Considere X a v.a. que representa o número de caras em
três lançamentos de uma moeda equilibrada. Calcule E(X).
Como vimos, a distribuição de probabilidade da v.a. X é dada
por
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
⇒ E(X) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3)
E(X) = 0× 1/8 + 1× 3/8 + 2× 3/8 + 3× 1/8 = 1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Considere X a v.a. que representa o número de caras em
três lançamentos de uma moeda equilibrada. Calcule E(X).
Como vimos, a distribuição de probabilidade da v.a. X é dada
por
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
⇒ E(X) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3)
E(X) = 0× 1/8 + 1× 3/8 + 2× 3/8 + 3× 1/8 = 1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Um jogo consiste em lançar três moedas equilibradas. Para
jogar, o jogador paga R$3, ao passo que ele ganha R$2 para
cada cara e paga R$1 para cada coroa. Qual é o lucro esperado
pelo jogador?
Vamos considerar X a v.a. que representa o número de caras nos
três lançamentos e L a que representa o lucro do jogador, dada
por
L = −3 + 2X − (3− X) = 3X − 6
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
li -6 -3 0 3
E(L) = −6× 1/8− 3× 3/8 + 0× 3/8 + 3× 1/8 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Um jogo consiste em lançar três moedas equilibradas. Para
jogar, o jogador paga R$3, ao passo que ele ganha R$2 para
cada cara e paga R$1 para cada coroa. Qual é o lucro esperado
pelo jogador?
Vamos considerar X a v.a. que representa o número de caras nos
três lançamentos e L a que representa o lucro do jogador, dada
por
L = −3 + 2X − (3− X) = 3X − 6
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
li -6 -3 0 3
E(L) = −6× 1/8− 3× 3/8 + 0× 3/8 + 3× 1/8 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Um jogo consiste em lançar três moedas equilibradas. Para
jogar, o jogador paga R$3, ao passo que ele ganha R$2 para
cada cara e paga R$1 para cada coroa. Qual é o lucro esperado
pelo jogador?
Vamos considerar X a v.a. que representa o número de caras nos
três lançamentos e L a que representa o lucro do jogador, dada
por
L = −3 + 2X − (3− X) = 3X − 6
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
li -6 -3 0 3
E(L) = −6× 1/8− 3× 3/8 + 0× 3/8 + 3× 1/8 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Um jogo consiste em lançar três moedas equilibradas. Para
jogar, o jogador paga R$3, ao passo que ele ganha R$2 para
cada cara e paga R$1 para cada coroa. Qual é o lucro esperado
pelo jogador?
Vamos considerar X a v.a. que representa o número de caras nos
três lançamentos e L a que representa o lucro do jogador, dada
por
L = −3 + 2X − (3− X) = 3X − 6
xi 0 1 2 3
P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
li -6 -3 0 3
E(L) = −6× 1/8− 3× 3/8 + 0× 3/8 + 3× 1/8 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Propriedades da Esperança Sejam a, b e c constantes, g uma
função e X e Y v.a’s. Então
1 Se X = c, então E(X) = c
2 E(X + Y) = E(X) + E(Y)
3 E(g(X)) =
∑
i g(xi)P(X = xi)
4 E(aX + b) = aE(X) + b
Probabilidade
Esperança
1. E(c) = c
Dem.
Se X = c é constante, então P(X = c) = 1 e, portanto,
E(X) = 1× c = c �
Probabilidade
Esperança
2. E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Dem. pendente.
Probabilidade
Esperança
3. E(g(X)) =
∑
i g(xi)P(X = xi)
Dem. Sejam yj os diferentes valores assumidos por g(xi).
Vamos agrupar os g(xi) que têm os mesmos valores:∑
i
g(xi)P(X = xi) =
∑
j
∑
i:g(xi)=yj
g(xi)P(X = xi)
=
∑
j
∑
i:g(xi)=yj
yjP(X = xi)
=
∑
j
yj
∑
i:g(xi)=yj
P(X = xi)
=
∑
j
yjP(g(X) = yj)
= E(g(X))
Probabilidade
Esperança
4. E(aX + b) = aE(X) + b
Dem.
E(aX + b) =
∑
i(axi + b)P(X = xi)
=
∑
i axiP(X = xi) +
∑
i bP(X = xi)
= a
∑
i xiP(X = xi) + b
∑
i P(X = xi)
= aE(X) + b
Probabilidade
Esperança
Ex. Voltando ao exemplo em que X representa o número de
caras em três lançamentos de uma moeda equilibrada e
L = 3X − 6.
Vimos que E(X) = 1, 5. Então
E(L) = E(3X − 6) = E(3X)− E(6) = 3E(X)− 6 =
3× 1, 5− 6 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Voltando ao exemplo em que X representa o número de
caras em três lançamentos de uma moeda equilibrada e
L = 3X − 6.
Vimos que E(X) = 1, 5. Então
E(L) = E(3X − 6) = E(3X)− E(6) = 3E(X)− 6 =
3× 1, 5− 6 = −1, 5
Probabilidade
Esperança
Ex. Se X é a v.a. que representa o número de caras em três
lançamentos de uma moeda equilibrada, calcule E(X2).
Vamos considerar g(X) = X2. Então
E(X2) = E(g(X)) =
∑
i g(xi)P(X = xi) =
∑
i x
2
i P(X = xi)
em que xi = 0, 1, 2, 3. Ou seja,
E(X2) = 02P(X = 0) + 12P(X = 1) + 22P(X = 2) + 32P(X = 3)
= 3/8 + 12/8 + 9/8 = 24/8 = 3
Note que, em geral, E(X2) 6= [E(X)]2.
Probabilidade
Esperança
Ex. Se X é a v.a. que representa o número de caras em três
lançamentos de uma moeda equilibrada, calcule E(X2).
Vamos considerar g(X) = X2. Então
E(X2) = E(g(X)) =
∑
i g(xi)P(X = xi) =
∑
i x
2
i P(X = xi)
em que xi = 0, 1, 2, 3. Ou seja,
E(X2) = 02P(X = 0) + 12P(X = 1) + 22P(X = 2) + 32P(X = 3)
= 3/8 + 12/8 + 9/8 = 24/8 = 3
Note que, em geral, E(X2) 6= [E(X)]2.
Probabilidade
Esperança
Ex. Se X é a v.a. que representa o número de caras em três
lançamentos de uma moeda equilibrada, calcule E(X2).
Vamos considerar g(X) = X2. Então
E(X2) = E(g(X)) =
∑
i g(xi)P(X = xi) =
∑
i x
2
i P(X = xi)
em que xi = 0, 1, 2, 3. Ou seja,
E(X2) = 02P(X = 0) + 12P(X = 1) + 22P(X = 2) + 32P(X = 3)
= 3/8 + 12/8 + 9/8 = 24/8 = 3
Note que, em geral, E(X2) 6= [E(X)]2.
Probabilidade
Variância
A esperança de uma variável aleatória é uma medida de
centralidade, isto é, ela é um valor em torno do qual a variável
aleatória ocorre.
Porém, a esperança por si só pode ser uma informação
relativamente pobre. Para se ter uma ideia melhor sobre o
comportamento probabilísticoda v.a., seria interessante ter
alguma informação sobre a variabilidade dos valores admitidos
pela v.a.
Probabilidade
Variância
Por exemplo, suponha que na turma A todos os alunos
obtiveram nota 5 na prova, enquanto na turma B metade dos
alunos tiraram 10 e a outra metade 0.
É fácil constatar que a nota média em ambas as turmas é igual
(5). Porém, as notas da turma A não apresentam variabilidade
nenhuma, ao passo que cada nota da turma B está a uma
distância razoável da média.
A variância de uma v.a. expressa exatamente essa
variabilidade. A ideia é calcular a distância média dos valores
assumidos pela v.a, levando-se em conta suas probabilidades.
Probabilidade
Variância
Def: A variância de uma v.a. X é definida como
Var(X) = E[(X − E(X))2].
Def: O desvio-padrão de uma v.a. X é definido como
√
Var(X).
Nota: É comum o uso da letra grega σ para designar o
desvio-padrão, e de σ2 para a variância.
Probabilidade
Variância
Da definição de variância temos
Var(X) = E[(X − E(X))2]
= E[X2 − 2XE(X) + (E(X))2]
= E(X2)− E(2XE(X)) + E((E(X))2)
= E(X2)− 2(E(X))2 + (E(X))2
= E(X2)− (E(X))2
Probabilidade
Variância
Nota: E(Xk) é chamado de “k-ésimo momento” da v.a. X.
Assim, a variância é a diferença entre o segundo momento e o
quadrado do primeiro momento.
Var(X) = E(X2)− (E(X))2
Probabilidade
Variância
Ex. Para a v.a. X que representa o número de caras em três
lançamentos de uma moeda equilibrada, calcaule Var(X).
Já vimos que E(X) = 1, 5 e que E(X2) = 3. Assim,
Var(X) = 3− (1, 5)2 = 0, 75.
Logo, o desvio-padrão de X é dado por
√
0, 75 ≈ 0, 87.
Probabilidade
Variância
Ex. Para a v.a. X que representa o número de caras em três
lançamentos de uma moeda equilibrada, calcaule Var(X).
Já vimos que E(X) = 1, 5 e que E(X2) = 3. Assim,
Var(X) = 3− (1, 5)2 = 0, 75.
Logo, o desvio-padrão de X é dado por
√
0, 75 ≈ 0, 87.
Probabilidade
Variância
Propriedades da Variância
Sejam X uma v.a., e a e b constantes. Então:
1 Var(X) ≥ 0, sendo que Var(X) = 0 sse X é constante.
2 Var(aX) = a2Var(X)
3 Var(X + b) = Var(X)
Corolário: Var(aX + b) = a2Var(X)
Probabilidade
Variância
1. Var(X) ≥ 0, sendo que Var(X) = 0 sse X é constante.
Dem.
Da definição de variância, temos
Var(X) = E[(X − E(X))2] =
∑
i(xi − E(X))2P(X = xi).
Como (xi − E(X))2 ≥ 0 e P(X = xi) ≥ 0 para todo i, a
expressão não pode ser negativa, e só será igual a 0 se
xi = E(X) para todo i.
Probabilidade
Variância
2. Var(aX) = a2Var(X)
Dem.
Var(aX) = E((aX)2)− (E(aX))2
= E(a2X2)− (aE(X))2
= a2E(X2)− a2(E(X))2
= a2[E(X2)− (E(X))2] = a2Var(X)
Probabilidade
Variância
3. Var(X + b) = Var(X)
Dem.
Var(X + b) = E((X + b)2)− (E(X + b))2
= E(X2 + 2bX + b2)− (E(X) + b)2
= E(X2) + 2bE(X) + b2 − [(E(X))2 + 2bE(X) + b2]
= E(X2)− (E(X))2 = Var(X)
Probabilidade
Variância
Ex. Para o exemplo do jogo de três lançamentos de uma moeda
equilibrada, o lucro era dado por L = 3X − 6, em que X
representa o número de caras.
Assim, Var(L) = 9Var(X) = 9× 0, 75 = 6, 75.
De fato, já vimos que E(L) = −1, 5. Além disso,
E(L2) = (−6)2 × 18 + (−3)
2 × 38 + 0
2 × 38 + 3
2 × 18 =
72
8 = 9
Logo, Var(L) = 9− (−1, 5)2 = 6, 75.
Probabilidade