Colégio Naval - 2020/2021

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Capítulo
1
ColégioNaval - 2020
1.1 Questões
Questão 1.
Observe a figura a seguir:
D
O
B
R
A
S
PADRÃO
DE
CORTE
ETAPA 1
dobra
8 cm
S
ETAPA 2
ETAPA 3 ETAPA 4
dobra
dobra
vértice
8 cm
8 cm
8 cm 8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
16 cm 16 cm
16 cm
2 cm2 cm
Figura 1.1
A figura apresenta o passo a passo de uma folha retangular, 24 cm × 16 cm, que será dobrada e depois cortada. Tanto
as etapas das dobras como amaneira que a folha será cortada após essas dobras, visto de cima, o aspecto do papel é um
quadrado 8 cm × 8 cm. Dois vértices desse quadrado são escolhidos para serem retirados; visto de cima, cada corte é
um arco de circunferência de 90◦, que tem centro nesse vértice e raio 2 cm. Considere π = 3 e determine a área da folha
desdobrada que sobrou após os cortes.
348a) 354b) 360c) 366d) 372e)
Questão 2.
Uma prova de língua estrangeira foi aplicada aos 7/8 dos alunos matriculados numa turma em um dia em que não houve
presença total dos matriculados. Nesse dia o número de alunos na turma que falava fluentemente inglês era 12 a menos
do que o número daqueles que não falavam fluentemente inglês . Após a correção da prova foi constatado o seguinte:
1
2 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
a média aritmética de todas as notas dos alunos presentes foi 7, 2. Todos os alunos que falavam fluentemente inglês
obtiveram nota 9, 2 e todos os alunos que não falavam fluentemente inglês obtiveram nota 6, 4. É correto afirmar que o
total de alunos matriculados nessa turma é um número cuja soma dos algarismos vale:
5.a) 8.b) 11.c) 12.d) 13.e)
Questão 3.
Quantos são os valores distintos den, para os quais 102 ≤ n ≤ 202, en é a quantidade de lados de um polígono convexo
cuja soma dos ângulos internos resulta num quadrado perfeito?
2a) 4b) 6c) 8d) 9e)
Questão 4.
Considere o conjunto A =
{
x : x =
1
n + 1
, n ∈ N
}
um subconjunto da reta. É correto afirmar que:
a) existe umúnico elementodeAcujadistância aqualquer outro elemento, tambémdeA, é inferior a qualquernúmero
real positivo.
b) zero é um elemento do conjunto A.
c) fixado qualquer valor real positivo p, sempre existirão dois elementos do conjunto A cuja distância na reta real é
menor do que p.
d) existe um elemento do conjunto A que não é racional.
e) existem dois elementos do conjunto A, de tal modo que a diferença entre eles não é um número racional.
Questão 5.
Sejama, b e c números reais positivos coma+b > c, considere tambémquea2−b2−c2+2bc+a+b−c = 21 e que
simultaneamente a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc = 9. Um estudante fatorou os primeiros membros das igualdades
e encontrou uma relação sempre verdadeira entre a, b e c. Assinale a opção que apresenta essa relação.
a + b = c + 1a) b − a = c − 6b) a − c = 4 − bc) c − a = b − 2d) b − c = a + 4e)
Questão 6.
A soma e o produto das raízes x1 e x2 de uma equação do 2◦ grau são iguais. Se s é a soma das raízes da equação, é correto
afirmar que a expressão x21 + x
2
2 +
s2
x21
+
s2
x22
é igual a:
s2 − 4s.a) s2 − 8s.b) 4s2 − 16s.c) 2s2 + 8s.d) 2s2 − 4s.e)
1.1. QUESTÕES 3
Questão 7.
Observe a figura a seguir.
A
B
C
D
x
y
Figura 1.2
Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função y = −x2 + 14x − 33. Sabe-se, sobre o
losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC paralelo ao eixo de x e BD paralelo ao eixo de y, que o produto das
abscissas dos vérticesA e C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto afirmar
que a área do losango em unidades de área é igual a:
72.a) 64.b) 60.c) 54.d) 48.e)
Questão 8.
Observe a figura a seguir.
A
B
C
D
P
Figura 1.3
Ela apresenta um trapézio retângulo com basesAB eCD. Sabe-se também que as bissetrizes internas com vértices em
A e emD e o lado BC, se intersectam em P. Sendo assim, analise a afirmações a seguir:
(i) ∠APD = 90◦.
(ii) BP = CP.
(iii) AD2 = BP2 + CP2.
(iv) AD = AB + CD.
São verdadeiras:
a) i, ii e iii apenas.
4 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
b) i, ii e iv apenas.
c) i, iii e iv apenas.
d) ii, iii e iv apenas.
e) i, ii, iii e iv.
Questão 9.
Observe a figura a seguir.
Figura 1.4
Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para isso toma como referência os
pontosA e B das ilhas comomostra a figura. Na praia ele marca dois pontosC eD distantes 70mum do outro. Usando
ummedidor de ângulos (teodolito), os ângulos∠ACB = 38◦,∠BCD = 37◦ ,∠ADC = 60◦ e∠ADB = 53◦. É correto
afirmar que a distância entre os pontosA e B é:
Dados: sen 37◦ = 3/5, sen 75◦ = 19/20, cos 53◦ = 3/5 e
√
2 = 7/5.
a) maior do que 70m emenor do que 75m.
b) maior do que 75m emenor do que 80m.
c) maior do que 80m emenor do que 85m.
d) maior do que 85m emenor do que 90m.
e) maior do que 90m emenor do que 95m.
To do (??)
Questão 10.
Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 4n − 72020 variando n ,número natural diferente de zero e usando um
moderno computador, um estudante encontrou diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico
é possível estabelecer quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao efetuar a
multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para o módulo deK obtém-se produto igual a:
15.a) 36.b) 84.c) 105.d) 135.e)
Questão 11.
Umapizza de 40 cmde diâmetro foi dividida corretamente em 16 fatias iguais. Uma segunda pizza de 30 cmde diâmetro
foi dividida corretamente em 25 fatias iguais. Umamenina comeu 3 fatias da primeira pizza ingerindo o seu quinhão
(o que cabe ou deveria caber em uma pessoa ou coisa) x enquanto um homem adulto comeu 12 fatias da segunda pizza
ingerindo o seu quinhão y. Quantas fatias da segunda pizza uma mulher adulta deverá comer para que o quinhão
ingerido por ela seja igual a média geométrica entre x e y considerando π = 3 e a variação das espessuras das pizzas
desprezível?
1.1. QUESTÕES 5
5a) 6b) 9c) 10d) 11e)
Questão 12.
Considere o triângulo∆ABC acutângulo e não equilátero, ondeO é o seu circuncentro eH o seu ortocentro. A reta que
passa porO eH intersecta o ladoAB no ponto P, e a reta que passa porC eH intersecta o mesmo ladoAB no pontoQ.
Se a reta suporte deHP é a bissetriz do ângulo∠AHQ e o segmentoHP = 4 cm, é correto afirmar que a medida em cm
do perímetro do triângulo∆AHP é igual a:
4 + 2
√
3.a) 4 + 3
√
2.b) 4 + 6
√
3.c) 8 + 4
√
2.d) 8 + 4
√
3.e)
Questão 13.
Considerando os resultados das expressõesA e B até a 4a casa decimal sem fazer aproximações e sabendo-se que:
A =
(11% de 25) + 36% de (75× 3% de 50)
(24% de 35) − (8% de 40)
= 8, a1b3
B =
(75% de 36× 50% de 3) + (25% de 11)
(35% de 24) − (40% de 8)
= c, 3d7e
determine o resto da divisão deN por 11 sendo o númeroN = (a + b)c+d+e.
0a) 1b) 4c) 7d) 9e)
Questão 14.
Seja A o conjunto de todos os valores reais de x, tais que
√
(x − 2)2 > x − 2. É correto a afirmar que:
a) A é todo o conjunto dos Reais.
b) A = ]2, +∞[.
c) A = ] −∞, 2[.
d) A = ] − 2, +∞[.
e) A = ] − 2, 2[.
Questão 15.
Seja A = {(x, y) ∈ R∗ × R∗ | 17(x2 + y2) = 30xy}, é correto afirmar que:
a) A é todo o conjunto dos Reais.
b) existem 7 elementos distintos no conjunto A.
c) A é um conjunto infinito.
d) A é um conjunto unitário.
e) existem 8 subconjuntos próprios de A.
6 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
Questão 16.
Observe a figura a seguir:
Figura 1.5
Ela esboça o percurso de um atleta amador.que partiu do pontoA e fez um trajeto que tem uma subida e uma descida.
Ele chegou ao ponto B e retornou pelo mesmo caminho, seguindo o sentido oposto, onde o que era descida passou a
ser subida e o que era subida passou a ser descida, finalizando no ponto de partidaA. Sabendo que ele desenvolve uma
velocidademédia de 8 km/h na subida e uma velocidademédia de 12 km/h na descida e que gastou 1 h e 30mna ida e
1 h e 45 textm na volta, é correto afirmar que o percurso total corrido por ele em quilômetros é igual a:
30, 8.a) 31, 2.b) 32, 6.c) 34, 4.d) 35, 2.e)
To do (??)
Questão 17.
Observe a figura a seguir.
A B
C
G
I
Figura 1.6
Na figura temos um triângulo equilátero∆ABC de baricentroGe o triângulo∆ABG cujo incentro é I. É correto afirmar
que o suplemento do ângulo∠GAI em radianos é igual a:
7π
9
.a)
5π
6
.b)
8π
9
.c)
9π
10
.d)
11π
12
.e)
Questão 18.
Observe a figura a seguir.
B
A
CD
EF G
H
Figura 1.7
1.1. QUESTÕES 7
Na figura,∆ABC é um triângulo retângulo de catetos p eq e hipotenusa s,�ADEF é um quadrado de lado unitário com
vértice E externo ao triângulo∆ABC. Utilizando p,q e s para representar a soma FG +DH obtém-se:
q + s −
p2
q2
.a) q + s +
p2
4sq
.b) q + s −
p2
sq
.c) q − s +
p2
2sq
.d) q − s −
p
sq
.e)
Questão 19.
Observe a figura a seguir.
A B
CD
F
G
H
E
Figura 1.8
Ela apresenta um quadrado �ABCD com lado medindo 2 unidades de comprimento (u.c). Sabe-se que G é o centro
desse quadrado e que CE = 1 u.c. é o prolongamento do lado BC. Se s1 é a área do triângulo ∆FHG e s2 é a área do
triângulo∆FHG, é correto afirmar que a razão s1/s2 é igual a:
7/8.a) 8/9.b) 9/10.c) 1.d) 6/5.e)
Questão 20.
Suponha que durante a pandemia uma distribuidora de medicamentos tivesse estoque de álcool gel com distribuições
diárias iguais, suficiente para atender 18 farmácias durante 64 dias. Após 16 dias, 6 farmácias fecharam e, passadosmais
17 dias, a distribuidora aceitou um pedido do governo para que atendesse a mais 10 farmácias. As farmácias fechadas
não irão abrirmais. É correto afirmar que a partir do dia emque aceitou o pedido do governo a distribuidora terá estoque
suficiente para atender a todas as farmácias durante:
26 dias.a) 28 dias.b) 30 dias.c) 32 dias.d) 34 dias.e)
8 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
1.2 Resoluções
Solução 1.
Gabarito: A
i. Denota-se ST de área total, Sr de área retirada e Ss de área que sobrou. Perceba que, como estamos trabalhando com
um resultado de área com a folha aberta, ao observar o processo, a folha foi dobrada na horizontal três vezes e uma vez
na vertical. Assim, é como se ela fosse dividida em seis pedaços 8 cm × 8 cm sobrepostos, ou seja, se fossemos abrir a
parte retirada de um vértice, ficaria 6 · Sc, sendo Sc a área do quarto de circunferência da figura. Lembrando o processo
foi feito em dois vértices, ou seja, Sr = 12 · Sc.
ii. Observe que a área restante é dada por Ss = ST − Sr. A área total é dada pela área da folha retangular:
ST = 24× 16 = 384cm2.
Fazendo a área retirada: Sc =
πr2
4
, lembrando que r = 2cm:
Sr = 12 ·
3 · 4
4
= 36cm2.
iii. Agora, fazendo o que foi dito em ii:
ST − Sr = Ss =⇒ Ss = 384 − 36 ∴ Ss = 348.
Solução 2.
Gabarito: A
i. Primeiramente, denota-se T como total de alunos, fp como o número de alunos fluentes presentes enp como o número
de alunos não fluentes presentes. Foi nos dado que fp = np − 12. Temos, também, que
9, 2fp + 6, 4np
fp + np
= 7, 2. Assim,
caímos em um sistema: 
9, 2fp + 6, 4np
fp + np
= 7, 2
fp = np − 12
⇐⇒ {fp = 0, 4np
fp = np − 12
∴
{
fp = 8
np = 20
.
ii. Observe que o número de alunos presentes nesse dia é fp + np e que no enunciado foi nos dado que havia
7
8
do total
da turma, ou seja,
7T
8
, assim:
7T
8
= fp + np ⇐⇒ 7T
8
= 28 ∴ T = 32.
iii. Foi pedida a soma dos algarismos do total de alunos, esta é: 3 + 2 = 5.
Solução 3.
Gabarito: A
i. A soma S dos ângulos de um polígono convexo é dada por S = 180 · (n − 2), sendo n o número de lados. Como S é
um quadrado perfeito, se S = 9 · 4 · 5 · (n − 2), podemos chegar à conclusão de quen − 2 = 5k, sendo k um quadrado
perfeito.
ii. Pela desigualdade 102 ≤ n ≤ 202, temos:
102 ≤ n ≤ 202,
102 ≤ 5k + 2 ≤ 202,
100 ≤ 5k ≤ 200,
1.2. RESOLUÇÕES 9
20 ≤ k ≤ 40.
Sendo k um quadrado perfeito que obedece a desigualdade, temos como possibilidade k = 25 e k = 36, ou seja, duas
possibilidades.
Solução 4.
Gabarito: C
i. Trata-se de uma questão teórica, precisa-se analisar cada alternativa.
a) Sabe-se que noConjunto dosNúmerosReais positivos não existe umvalormínimo, assim, sempre existirá umvalor
menor que o tomado inicialmente. Partindo disso, não existe um valor que é sempre inferior a todos os números
reais positivos.
b) Perceba que, comn ∈ N, transforma 1
n + 1
em um número sempre racional e não nulo.
c) Esse conceito já foi abordado na alternativa a. Demonstrar essa propriedade não cabe no escopo do concurso, logo,
é tomado como definição conhecida previamente.
d) Por definição, o número no formato 1/k, com k ∈ N∗ e assumindo que 0 ∈ N, é um número racional, assim, não
existe elemento irracional. Lembre-se que: n ∈ N =⇒ n + 1 ∈ N.
e) Como já foi visto, os elementos de A são racionais. Por definição,
p, q ∈ Q =⇒ p − q ∈ Q.
Solução 5.
Gabarito: B
i. Trata-se de uma questão de fatoração. Vamos começar nomeando:{
a2 − b2 − c2 + 2bc + a + b − c = 21 (I)
a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc = 9 (II)
.
ii. Observe o seguinte produto notável:
(a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc.
Perceba que é justamente (II), o que implica em (a + b − c)2 = 9 ∴ a + b − c = 3, sendo necessariamente positivo,
uma vez que no enunciado foi dado a + b > c.
iii. Substituindo em (I):
a2 − b2 − c2 + 2bc = 18
⇐⇒ a2 − (b − c)2 = 18
⇐⇒ (a + b − c)(a − b + c) = 18
⇐⇒ a − b + c = 6
∴ b − a = c − 6.
10 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
Solução 6.
Gabarito: E
i. Sabe-se que x1 + x2 = x1 · x2 = s. Observe que, se s = x1 + x2 =⇒ x21 + x22 = s2 − 2x1x2 = s2 − 2s. E, além,
que x21 =
s2
x22
e x22 =
s2
x21
.
ii. Substituindo:
s2 − 2s +
��s
2
�s2
x2
2
+
��s
2
�s2
x2
1⇐⇒ s2 − 2s + x21 + x22
∴ 2s2 − 4s.
Solução 7.
Gabarito: D
i. Denota-seA(xA, yA); B(xB, yB); C(xC, yC) eD(xD, yD). Assim, é correto dizer que xA · xC = 40.
ii. Perceba queA eC são pontos pertencentes à parábola e que xA = xC, poisAC é paralelo ao eixo x. Assim:
−x2A + 14xA − 33 = −x
2
C + 14xC − 33
⇐⇒ x2A − x2C − 14 · (xA − xC) = 0
∴ (xA − xC) · (xA + xC − 14) = 0,
sabe-se que xA 6= xC, então
xA + xc = 14.
iii. Monta-se e resolve-se o sistema:{
xA + xC = 14
xA · xC = 40
⇐⇒ x2A − 14xA + 40 = 0 ⇐⇒ xA = 14± 6
2
,
têm-se, partindo do gráfico, que xC > xA, então xA = 4 e xC = 10. Ao aplicar na lei de formação da parábola:
yA = yC = −4
2 + 14 · 4 − 33 = 7.
iv. Sabe-se que B é vértice da parábola, assim:
xB = −
b
2a
yB = −
∆
4a
⇐⇒

xB = −
14
2 · (−1)
yB = −
142 − 4 · 33
4 · (−1)
∴
{
xB = 7
yB = 16
.
v. Como se sabe, as diagonais de um losango intersectam-se nomeio e sua área é dada pelametade de seu produto. Assim,
denotando P como seu ponto de encontro,BP = PD eAP = PC. Além disso, sabe-se queBP = xB − xA = 16− 7 = 9,
então, sendo S a área de tal quadrilátero:
S =
BD ·AC
2
=
18 · 6
2
= 54.
1.2. RESOLUÇÕES 11
Solução 8.
Gabarito: B
i. Observe a seguinte figura:
A
B
C
D
P
α
α
ββ
α
β
Figura 1.9
ii. Temos que fazer afirmativa a afirmativa:
(i) Perceba que, por paralelismo,
2α + 2β = 180◦ ⇐⇒ 2β = 180◦ − 2α ∴ β = 90 − α,
ou seja, são complementares. Assim, observa-se o ∆DPA e nota-se que ∠ADP = α e ∠PAD = β, então, conclui-se
que∠DPA = 90◦.
(ii) Veja a figura abaixo:
A
B
C
D
P
α
α
ββ
α
β
P ′
α
2α
Figura 1.10
Foi traçada a mediana do triângulo retângulo∆DPA, cuja medida é a metade da hipotenusa. Pelo teorema do ângulo
externo, perceba que ∠PP ′D = ∠ADC = 2α, então,DC ‖ P ′P. Dessa forma, P ′P é base média do trapézio, assim,
divide BC ao meio, então,CP = PB.
(iii) Veja a figura abaixo:
12 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
A
B
C
D
P
α
α
ββ
α
βC ′
Figura 1.11
Traça-seAC ′ ⊥ DC. Como∆APB ∼ ∆DCP:
CP · PB = DC ·AB ⇐⇒ AB ·DC = CP2.
Assim, noteAD2 = (DC − BA)2 + BC2, desenvolvendo:
AD2 = DC2 + BA2 − 2 ·DC · BA + (2 · CP)2
⇐⇒ AD2 = DC2 + BA2 − 2 · CP2 + 4 · CP2⇐⇒ AD2 = DC2 + BA2 + 2 · CP2⇐⇒ AD2 = DC2 + BA2 + 2 ·DC · BA⇐⇒ AD2 = (DC + BA)2 ∴ AD = DC + BA.
SeAD = DC + BA,AD2 = DC2 + BA2 ⇐⇒ 2 · DC · BA = 0, o que é um absurdo pois trata-se de medidas de
segmentos não degenerados.
(iv) Foi demonstrado em (iii) que é verdade.
Solução 9.
Gabarito: C
i. Redesenha-se a imagem de forma prática:
A
B
DC 70m
38◦
37◦ 60
◦ 53
◦
45◦ 30◦
Figura 1.12
ii. Faz-se Lei dos Senos em∆ACD:
CD
sen 45◦
=
AD
sen 75◦
⇐⇒ 70√
2
2
⇐⇒ 70
7
5·2
=
AD
19
20
1.2. RESOLUÇÕES 13
∴ AD = 95.
iii.Faz-se Lei dos Senos em∆BCD:
CD
sen 30◦
=
BD
sen 37◦
⇐⇒ 70
1
2
=
BD
3
5
∴ BD = 84.
iv. Faz-se Lei dos Cossenos em∆ADB:
AB2 = AD2 +DB2 − 2 ·AD ·DB · cos 53◦
⇐⇒ AB2 = 952 + 842 − 2 · 95 · 84 · 3
5⇐⇒ AB2 = 95(95 − 100, 8) + 842
⇐⇒ AB2 = −95 · 5, 8 + 842
∴ AB =
√
842 − 551,
para efeitos comparativos, faz-se 842 − 802 = 656 > 551, assim, garante-se queAB > 80. Como 842 > 842 − 551,
AB < 84 < 85, então:
80 < AB < 85.
Solução 10.
Gabarito: D
i. Como é pedido somente o algarismo das unidades, basta que se trabalhe apenas com eles. Analisa-se a congruência de
módulo 10 para as potências de 4:
41 ≡ 4 (mod 10)
42 ≡ 6 (mod 10)
43 ≡ 4 (mod 10)
44 ≡ 6 (mod 10).
Perceba que há um padrão. 4n termina ou em 4 ou em 6.
ii. Como o expoente da potência de 7 foi determinado, basta encontrar seu algarismo das unidades. O processo é análogo:
70 ≡ 1 (mod 10)
71 ≡ 7 (mod 10)
72 ≡ 9 (mod 10)
73 ≡ 3 (mod 10)
74 ≡ 1 (mod 10).
E a partir daqui há a repetição. Como pode ver, o número de possibilidades para o algarismo das unidades é 4. Então, ao
fazer 2020÷ 4, tem-se resto 0 e descobre-se que o algarismo das unidades de 72020 é 1.
iii. Agora, basta estudar os casos:
• Quando 4n < 72020
14 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
Sabe-se que esse resultado fica negativo, assim, para ficar melhor a subtração, coloca-se o−1 em evidência:
|k| = | − (72020 − 4n)| = 72020 − 4n,
pode-se fazer assim pois a questão pedeK emmódulo. Perceba que quando subtrai-se um número terminado em 4 de
um número terminado em 1, dá-se um número terminado em 7. Analogamente, quando subtrai-se 6 de um mesmo
número terminado em 1, obtém-se um número terminado em 5.
• Quando 4n > 72020
Agora,K é positivo. Basta ver que é simplesmente subtrair um do algarismo das unidades, ou seja, seK termina em 4 e
é subtraído 1, fica-se 3 final do número. Por processo análogo, quandoK termina em 6, quando se subtrai um número
terminado em 1, gera um terceiro número terminado em 5.
iv. Veja que o 5 é uma possibilidade que se repete, então na multiplicação ele não aparece duas vezes, então:
3 · 5 · 7 = 105.
Solução 11.
Gabarito: D
i. Primeiramente, descobre-se o quinhão tanto da menina quanto do homem em função da área da pizza:
• Damenina:
Descobre-se a área da primeira pizza:
S1 = π · r21 = 3 · 202 ∴ S1 = 1200 cm2.
Sabe-se que a pizza foi divida em 16 partes, ou seja, cada uma tem
1
16
da área total, sendo 75 cm2. Já que a menina
comeu 3 fatias, pode-se concluir que
x = 225 cm2.
• Do homem:
Descobre-se a área da segunda pizza:
S2 = π · r22 = 3 · 152 ∴ S2 = 675 cm2.
Sabe-se que a pizza foi divida em 25 partes, ou seja, cada uma tem
1
25
da área total, sendo 27 cm2. Já que o homem
comeu 12 fatias, pode-se concluir que
y = 324 cm2.
ii. Calcula-se a Média Geométrica entre x e y:
√
x · y =
√
225 · 324 = 15 · 18 = 270 cm2.
Como se pede a quantidade de fatias da segunda pizza, basta fazer a divisão do quinhão pela área de fatia:
270
27
= 10.
1.2. RESOLUÇÕES 15
Solução 12.
Gabarito: E
i. Observe a imagem do enunciado:
B
A C
HO
P
Q
Figura 1.13
ii. Para essa solução, precisa-se conhecer os seguintes enunciados:
Círculo dos Nove Pontos: Em um triângulo, os pontos médios dos lados, os pés das alturas e os pontos médios dos
segmentos que ligam o ortocentro aos vértices pertencem a umamesma circunferência.
Teorema: O centro do círculo dos nove pontos é o ponto médio do segmento que liga o ortocentro ao circuncentro.
Lema:
a
b
a = b
θ
θ
Figura 1.14
iii. Agora, observe o redesenho:
B
A C
HO
P
Q
O ′
G
Figura 1.15
O ′ sendo o centro do círculo dos nove pontos,O ′ ∈ HP. Pelo lema, GH = HQ. Além disso, o ponto G é médio do
segmentoAH e∆QAH é retângulo, entãoQG = GH = HQ. ∆QGH é equilátero, então∠GHQ = 60◦.
16 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
iv. Finalmente, a imagem final:
B
A C
H
P
Q
30◦
30◦
30◦
120◦
Figura 1.16
∆PAH é isósceles, assim, como HP = 4 cm, AP = 4 cm. Sendo um triângulo notável, sabe-se que se um triângulo
isósceles tem ângulos congruentes iguais a 30◦ e os lados congruentes medindo `, o terceiro lado mede `
√
3. Então,
sendo 2p o perímetro de∆PAH:
2p = 4 + 4 + 4
√
3 = 8 + 4
√
3.
Solução 13.
Gabarito: B
i. Reescreve-seA e B:
A =
11·25
100
+ 36·75·3·50
1002
24·35
100
− 8·40
100
B =
36·75·3·50
1002
+ 11·25
100
24·35
100
− 8·40
100
∴ A = B.
Assim, basta ver que 8, a1b3 = c, 3d7e, então:
a = 3; b = 7; c = 8; d = 1; e = 3.
ii. Decobre-se o valor deN:
N = (3 + 7)8+1+3 ⇐⇒ N = 1012.
Basta verificar que:
100 ≡ 1 (mod 11)
101 ≡ 10 (mod 11)
102 ≡ 1 (mod 11)
103 ≡ 10 (mod 11).
Perceba que os expoentes pares sempre deixam resto 1.
1.2. RESOLUÇÕES 17
Solução 14.
Gabarito: C
i. Divide-se em casos:
√
(x − 2)2 > x − 2 ⇐⇒ {x − 2 > x − 2 (Absurdo)
2 − x > x − 2
⇐⇒ 2x < 2 ∴ x < 2
ii. Para encaixar em algum gabarito, basta escrever x < 2 em forma de intervalo numérico:
] −∞, 2[
Solução 15.
Gabarito: A
i. Primeiro, note que x2 > 0 e y2 > 0, então 17(x2 + y2) > 0. Assim, necessariamente pela igualdade do enunciado,
xy > 0.
ii. Manipula-se a equação:
17(x2 + y2) = 30xy
⇐⇒ 17(x2 + y2) = 34xy − 4xy
⇐⇒ 17(x2 + y2) − 34xy = −4xy
⇐⇒ 17(x2 − 2xy + y2) = −4xy
∴ 17(x − y)2 = −4xy.
Veja que 17(x − y)2 > 0. Isso torna a igualdade um absurdo, já que−4xy < 0.
∴ A = ∅.
Solução 16.
Gabarito: B
i. Pode-se tratar esse problema como um problema de cinemática. Como se sabe,Vm =
∆s
∆t
. Denotando o ponto mais
alto de pontoC, chama-seAC = a eCB = b.
ii. Agora, pode-se dividir em dois momentos:
• Ida:
Aplica-se em dois momentos, a subida e, depois a decida:
a
ti1
= 8
b
ti2
= 12
⇐⇒ {a = 8ti1
b = 12ti2
.
Sabe-se que ti1 + ti2 = 1, 5 h
• Volta
18 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
Aplica-se em dois momentos, a decida e, depois a subida:
a
tv1
= 12
b
tv2
= 8
⇐⇒ {a = 12tv1
b = 8tv2
.
Sabe-se que tv1 + tv2 = 1, 75 h
iii. Relaciona-se tanto a ida quanto a volta:
{
8ti1 = 12tv1
12ti2 = 8tv2
⇐⇒

ti1 =
12tv1
8
ti2 =
8tv2
12
.
Substitui-se em ti1 + ti2 = 1, 5 e cai-se no seguinte sistema:
12tv1
8
+
8tv2
12
= 1, 5
tv1 + tv2 = 1, 75
⇐⇒ {36tv1 + 16tv2 = 36
16tv1 + 16tv2 = 28
⇐⇒ 20tv1 = 8 ∴ tv1 = 0, 4 h.
Somente substituir para achar tv2 = 1, 35 h, então:
a
0, 4
= 12
b
1, 35
= 8
⇐⇒ {a = 4, 8 km
b = 10, 8 km
.
iv. Repare que o atleta foi e voltou nesse percurso, então:
2 · (a + b) = 2 · 15, 6 = 31, 2.
Solução 17.
Gabarito: E
i. Sabe-se que, num triângulo equilátero, o baricentro, o incentro e outros pontos coincidem. Assim,G é incentro de
∆ABC.
ii. Como I é incentro de∆GAB,∠GAI = 15◦.
iii. Transforma-se 15◦ em radianos:
15 · π
180
=
pi
12
.
iv. Por fim, calcula-se sei suplementar:
π −
π
12
=
11π
12
.
Solução 18.
Gabarito: Anulada
i. Observe a figura a seguir:
1.2. RESOLUÇÕES 19
B
A
CD
EF G
H
q
p
q− 1
p− 1
Figura 1.17
ii. Note que∆BAC ∼ ∆BFG:
BF
FG
=
BA
AC
⇐⇒ q − 1
FG
=
q
p
∴ FG =
(q − 1)p
q
.
iii. Note que∆BAC ∼ ∆HDC:
DH
DC
=
BA
AC
⇐⇒ DH
p − 1
=
q
p
∴ DH =
(p − 1)q
p
.
iv. Faz-se a soma:
FG +DH =
(q − 1)p
q
+
(p − 1)q
p
⇐⇒ FG +DH = p − p
q
+ q −
q
p
⇐⇒ FG +DH = p + q − (p2 + q2
pq
)
,
Sabe-se, pelo Teorema de Pitágoras, que p2 + q2 = s2,
∴ FG +DH = p + q −
s2
pq
.
Não apresenta alternativa, por isso essa questão foi anulada.
Solução 19.
Gabarito: D
i. Observe a figura a seguir:
A B
CD
F
G
H
E
M
N
s1
s2
Figura 1.18
20 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2020
ii. Traça-seGM ‖ AB, entãoM é médio de BC eGM base média de∆ABC. Assim, também se tem queAM ‖ FC e,
então,MN é base média de∆FBC.
iii. Note que∆ABE ∼ ∆FCE de razão k = 1
3
. Assim, FC =
2
3
e, pelo teorema da base média,MN =
1
3
.
iv. ComoGM é basemédia,GM = 1. Com isso,GN = GM−MN = 2
3
. Com isso, sabendo queGN ‖ FC eGN = FC,
�GNCF é um paralelogramo.
v. Por teorema, as diagonais de um paralelogramo se intersectam em seu ponto médio. Lembrando que, quando se
traça uma ceviana num triângulo, a razão entre as áreas dos triângulos formados é igual a razão entre as bases. Como
CH = HG, então s1 = s2.
Solução 20.
Gabarito:C
i. Chama-se o estoque inicial de E.
• Após 16 dias.
Se E abastece 18 farmácias por 64 dias,mantendo o número de farmácias, tem-se:
E
x
=
64
16
⇐⇒ x = E
4
.
Então, restou
3E
4
no estoque. E então, 6 farmácias fecharam.
• Após 17 dias
Agora, apenas 12 farmácias foram abastecidas, trata-se de uma regra de três composta, assim, resolvendo:
E
y
=
64
17
· 18
12
⇐⇒ y = 17 · 12
64 · 18 ∴ y =
17E
96
.
Então, restou
3E
4
−
17E
96
=
55E
96
E então, 10 farmácias foram adicionadas às abastecidas.
ii. Simplesmente calcular quantos dias de estoque restam:
�E
55�E
96
=
64
d
· 18
22
⇐⇒ d = 55 · 64 · 18
96 · 22 ∴ d = 30 dias.