Colégio Naval - 2019/2020

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Capítulo
1
ColégioNaval - 2019
1.1 Questões
Questão 1.
Uma jovem lê todos os dias, pela manhâ, à tarde ou à noite, mas como é atarefada nunca consegue ler por três turnos
consecutivos. Como émuito dedicada, também cuida para nunca ficar três turnos consecutivos sem suas leitura habitual.
Seguindo essas regras, ela observou que o último livro que terminou foi lido de tal forma que:
• Foram necessários 28 turnos de leitura para finalizar esse livro;
• Em 12manhãs, 7 tarde e 10 noite, ela não leu qualquer parte desse livro.
Com base somente nesses dados, quantos dias essa jovem gastou com a leitura desse livro?
19a) 17b) 15c) 13d) 11e)
Questão 2.
Seja y = mx2 + (m− 1)x− 16 um trinômio do 2◦ grau na variável ‘x’ e com ‘m’ pertencente aos conjuntos dos números
reais. Sabendo-se que as raízes r1 e r2 de y são tais que r1 < 1 < r2, a soma dos possíveis valores inteiros e distintos de
‘m’ é:
36.a) 42.b) 49.c) 53.d) 64.e)
Questão 3.
Sabe-se que os números distintos p,q e r são raízes do polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx e que
(x − 2p)(x2 − px − rx + pr)
3x2 − 9px + 6p2
=
x − 2
3
com x 6= 2p, x 6= p e p + q = r − q. Nessas condições, é correto afirmar que 3a—2b + c é igual a:
15.a) 13.b) 11.c) 10.d) 9.e)
Questão 4.
Seja�ABCD um quadrado de lado 1 e centro em ‘O’. Considere a circunferência de centro em ‘O’ e raio 3/7. A área ‘S’
da região externa ao círculo considerado e interna ao quadrado é tal que:
0 ≤ S < 0, 4.a) 0, 4 ≤ S < 0, 8.b) 0, 8 ≤ S < 0, 9.c) 0, 9 ≤ S < 1.d) 1 ≤ S < 0, 8.e)
1
2 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
Questão 5.
Observe a figura a seguir.
A
B
C D
E
F
A
B
C D
E
F
Figura 1.1
Ela apresenta o triângulo equilátero∆ABC e o retângulo�CDEF. Sabe-se queA,C eD estão namesma reta,AC = CF
e CD = 2DE. Com centro em C e raio CD traça-se o arco de circunferência que intersecta EF emG. Por F traça-se a
reta FH ‖ CG, de modo tal queD,G eH estejam sobre a mesma reta. Dado que a área do triângulo∆CDG é 36, o valor
da soma das medidas das áreas dos triângulos∆CBF e∆FGH é:
22.a) 27.b) 31.c) 36.d) 40.e)
Questão 6.
A triste e irreparável tragédia ocorrida com oMuseu Nacional, situado na Quinta da Boa Vista em São Cristóvão, RJ, em
02/09/2018, incentivou uma pesquisa com um grupo de estudantes, com o intuito de saber quais museus cariocas já
visitaram. O resultado aparece a seguir:
• Apenas quatromuseus forammencionados: MuseuNacional (MN),MuseudoAmanhã (MA),CentroCultural Banco
do Brasil (CCBB) e Museu Histórico Nacional (MHN);
• Todos os consultados afirmaram já terem ido aoMA, sendo que 32 nunca estiveram emqualquer outro dosmuseus
mencionados;
• Dentre 50 dos estudantes que também já foram no CCBB, 30 nunca foram aos outros dois museus mencionados;
• Dentre 40 estudantes que também já foram noMN, 22 nunca foram aos outros dois museus mencionados;
• Dentre 30 estudantes que também já foram noMHN, 18 nunca foram aos outros dois museus mencionados.
• 10 dos estudantes afirmaram já terem ido a todos os museus mencionados.
Com base nessas informações, quantos estudantes ao total responderam a essa pesquisa?
148a) 136b) 122c) 117d) 105e)
Questão 7.
Observe as figuras a seguir.
A B
CD
E F
G
H
I
J K
L
MN
O
I II III
Figura 1.2
1.1. QUESTÕES 3
Na figura observam-se as rosáceas de perímetro x, y e z, respectivamente. A rosácea I está inscrita num quadrado
�ABCD de lado 8, 5 cm; A rosácea II está inscrita num pentágono regular EFGHI de lado 5 cm; e a rosácea III está
inscrita num hexágono regular JKLMNO de lado 4 cm. Sabendo-se que o perímetro de uma rosácea é a soma de todos
os arcos dos setores circulares apresentados na sua construção, é correto afirmar que:
y > x > z.a) x > y > z.b) x > z > y.c) z > y > x.d) z > x > y.e)
Questão 8.
Analise as afirmações a seguir sobre os números racionais ‘a’ e ‘b’.
I. Para a 6= b, existem infinitos números reais x tais que a ≤ x ≤ b.
II. Sempre existirá uma solução para a equação na variável x dada por ax = b.
III. Se a3 + b3 = 0, então a = b = 0 é a única solução.
IV. Se a < b, então a2 < b2.
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
b) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
c) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
d) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Questão 9.
Coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, em relação aos números naturais, assinalando a seguir a opção
correta.
( ) Se dois números não primos são primos entre si então, ao menos um deles é ímpar.
( ) O produto de três números naturais consecutivos é ummúltiplo de 6.
( ) A soma de três números naturais consecutivos é ummúltiplo de 3.
( ) O número primo 13 divide a expressão 201913 − 2019.
(V)(V)(V)(V)a) (F)(F)(V)(V)b) (F)(V)(F)(V)c) (F)(V)(V)(V)d) (V)(F)(V)(F)e)
Questão 10.
A circunferência λ, inscrita no triângulo retângulo∆ABC, tangencia a hipotenusa BC, dividindo-a em dois segmentos
de reta de medidas ‘p’ e ‘q’ a partir desse ponto de tangência. A média geométrica dos catetos ‘b’ e ‘c’ desse triângulo é
igual a:
(pq)2.a) (2pq)2.b)
√
pq.c)
√
2pq.d)
√
pq
2
.e)
4 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
Questão 11.
Observe a figura a seguir.
A
M
B C
Figura 1.3
Nela, o arcoAC, de centro em B, mede 90◦. M é ponto médio do diâmetroAB do semicírculo em preto. Essa figura
representa o ponto de partida de um desenhista gráfico para a construção do logotipo de uma empresa. As áreas das
partes clara e escura somadas são iguais a 4π. Após análise, ele resolve escurecer 30% da área clara e apronta o logotipo.
Nessas novas condições é correto afirmar que a percentagem da área da parte clara sobre a área total será igual a:
25%.a) 30%.b) 32%.c) 35%.d) 40%.e)
Questão 12.
O perímetro do triângulo∆ABCmede x unidades. O triângulo∆DEF é semelhante ao triângulo∆ABC e sua área é 36
vezes a área do triângulo∆ABC. Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro do triângulo∆DEF é igual a:
2x.a) 3x.b) 6x.c) 9x.d) 10x.e)
Questão 13.
Observe a figura a seguir.
1030144
1015 9
2 1
Figura 1.4
Essa figura apresenta dez retângulos, sendo cinco deles com números inteiros não negativos explícitos, e cinco deles com
números inteiros não negativos ocultos. Sabe-se que cada retângulo dado está apoiado em dois outros, de modo que o
número que ele exibe é a diferença entre os quadrados dos números exibidos nos retângulos em que ele se apoia, exceto
a linha mais abaixo, com quatro retângulos, em que os números nesses retângulos foram previamente escolhidos. Para
exemplificar, perceba que 1030144 = 10152 − 92. Nessas condições, é correto afirmar que a soma dos números que
estão ocultos é igual a:
42.a) 79.b) 132.c) 168.d) 208.e)
1.1. QUESTÕES 5
Questão 14.
Estudando a estrada que deve seguir numa viagem, uma pessoa identificou que existe um posto de abastecimento a cada
20 km e um Café a cada 36 km do seu ponto de partida. Para otimizar a viagem ele pretende estabelecer paradas em
lugares que tenham tanto o Café quanto o posto de abastecimento. Do ponto de partida até o seu destino, que estava
1 km antes da sexta dessas paradas, quantos quilômetros essa pessoa percorreu em sua viagem?
1299a) 1259b) 1079c) 909d) 899e)
Questão 15.
Observe a figura a seguir.
Figura 1.5
Nela temos dois triângulos equiláteros de lado 2
√
3. Sabe-se que o círculo no interior do primeiro triângulo e o quadrado
no interior do segundo triângulo, tem as maiores áreas possíveis. É correto afirmar, que a razão entre os perímetros do
círculo e do quadrado é igual a:
π
√
6 · (
√
3 + 3)
12
.a)
π
√
6 · (
√
3 − 1)
12
.b)
(π + 3
√
3)
√
3
6
.c)
π
√
3 · (3 + 2
√
3)
36
.d)
π
√
3 · (
√
3 + 6)
36
.e)
Questão 16.
Seja “A” o conjunto das soluções reais da equação
√
(x2 − 5x + 6)4 =
1
16
. A quantidade de elementos do conjunto “A”
é:
0.a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e)
Questão 17.
Sejam a1; a2; a3; · · · ; an−2; an−1; an os divisores do número K =
3a3
(2b)2
×
[
3
√
9a4
4b2
]− 3
2
, organizados em ordem
crescente dos números naturais. Considerando quea =
√
108 eb=
√
3, determine o algarismo demaior valor absoluto
do número T = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an e marque a opção correta.
5a) 6b) 7c) 8d) 9e)
Questão 18.
Um ponto P, pertencente a uma circunferência de raio de 5 unidades, dista 4, 8 unidades de um diâmetro dessa circun-
ferência. Qual a soma das distâncias de P até os extremos desse diâmetro?
14a) 12b) 7c) 6d) 5e)
6 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
Questão 19.
O número E é obtido pela expressão formada pela soma de todas as potências naturais do número 2, desde 0 até 2019,
ou seja,E = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + · · · + 22018 + 22019. O resto da divisão de ‘E’ por 7 é:
5.a) 4.b) 3.c) 2.d) 1.e)
Questão 20.
Multiplicando os valores reais distintos que resolvem a equação (x3−6x2+12x−4)2−15(x3−6x2+12x−4)+36 = 0,
encontra-se, como resultado:
4.a) 6.b) 9.c) 12.d) 18.e)
1.2. RESOLUÇÕES 7
1.2 Resoluções
Solução 1.
Gabarito: A
i. Denota-se x para a quantidade de manhãs que ela leu, y para a quantidade de tardes que ela leu e z para a quantidade
de noites que ela leu. Então:
x + y + z = 28
ii. Assim, perceba que, no total de dias que ela demorou para terminar o livro, o número de manhãs, tardes e noites é o
mesmo. Note, também, que x + 12 é o número total de manhãs, y + 7 é o número total de tardes e z + 10 é o número
total de noite. Então:
x + 12 = y + 7 = z + 10,
e assim, cai-se num sistema: {
x + y + z = 28
x + 12 = y + 7 = z + 10
,
perceba que x + 12 = y + 7 ⇐⇒ x = y − 5, substituindo:{
2y + z = 33
y − z = 3
⇐⇒ 2y + y + z − z = 33 + 3 ∴ {y = 12
z = 9
.
Substitui em x + y + z = 28, acha-se x = 7
iii. Como foi dito em ii, x + 12 = y + 7 = z + 10 = total de dias, ou seja, ela gastou 19 dias para ler o livro.
Solução 2.
Gabarito: A
i. Perceba que, comm 6= 0, quando y = mx2 + (m − 1)x − 16 = 0,∆ > 0, já que r1, r2 ∈ R e r1 6= r2. Assim, como
trata-se y = f(x) e note que sem fosse negativo, f(1) > 0 ⇐⇒ m > 17
2
, o que é absurdo, já que foi pressuposto
m < 0. Então, f(1) < 0, já quem > 0. Faz-se f(1):
m + (m − 1) − 16 < 0 ⇐⇒ m < 17
2
∴ 0 < m <
17
2
.
ii. Como ele pede a soma dos possíveis valores dem, tem-se:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
(8 + 1) · 8
2
= 36.
Solução 3.
Gabarito: Anulada
i. Note que P(0) = 0, então ou r ou p ou q é igual a 0. Manipula-se a equação que foi dada:
(x − 2p)(x2 − px − rx + pr)
3x2 − 9px + 6p2
=
x − 2
3
(x − 2p)(x2 − (p + r)x + pr)
3x2 − 9px + 6p2
=
x − 2
3
,
fatora-se o denominador do lado esquerdo:
3x2 − 9px + 6p2
⇐⇒ x = 9p±√(9p)2 − 4 · 3 · 6p2
2 · 3
8 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
=
9p±
√
9p2
6
=
9p± 3p
6
.
Assim, x = 2p∨ x = p. Aplicando:
⇐⇒ ����(x − 2p)(x2 − (p + r)x + pr)
�3���
�(x − 2p)(x − p)
=
x − 2
�3
⇐⇒ x2 − (p + r)x + pr
x − p
= x − 2,
perceba que por soma e produto, pode-se fatorar o numerador,
⇐⇒ ���(x − p)(x − r)
���x − p
= x − 2 ∴ r = 2
ii. Lembre que p 6= q 6= r, e usando p+ q = r− q, veja que p+ 2q = 2, então p = 0 e q = 1. Por soma e produto, note
que b = −3a e c = 2a, então:
3a − 2b + c = 11a.
Sem gabarito. Ou foi erro de digitação da banca ou é falta de informação para achar o valor de a.
Solução 4.
Gabarito: B
i. Basta fazer a área do quadradomenos a área da circunferência:
1 − π
(
3
7
)2
=
49 − 9π
49
,
aproxima-se π de 3,
49 − 27
49
≈ 22
49
≈ 3
7
≈ 0, 42.
Solução 5.
Gabarito: D
i. Observe a seguinte imagem:
1.2. RESOLUÇÕES 9
A
B
C
D
E
36
H
GF
S2
S1
G ′
mm2mm
m
√
3
m
m
√
3
30◦
30◦
30◦
30◦
Figura 1.6
ii. Perceba que CG também é raio da circunferência, assim, ∆CDB é isósceles. Traçando GG ′, note que forma um
triângulo cujo cateto mede metade da hipotenusa. O famoso Triângulo Egípcio, então∠GCD = 30◦. Como FH ‖ CG e
FG ‖ CD,∠HFG = 30◦. Veja que∆ABC é equilátero, assim, como∠ACF = 90◦,∠BCF = 30◦. Com isso, concluímos
que∆CDG ∼ ∆FGH ∼ ∆CFB.
iii. Usa-se as propriedades do Triângulo Egípcio (se a hipotenusamede 2x, o cateto oposto a 30◦ mede x e o oposto a 60◦
mede x
√
3) para achar FG.
iv. Lembre-se que que se a razão de semelhança é k, a razão entre as áreas é k2. Assim:
• ∆CDG ∼ ∆CFB
k =
CF
CD
=
1
2
⇐⇒ S2
36
=
1
4
∴ S2 = 9
• ∆CDG ∼ ∆FGH
k =
FG
CD
=
√
3
2
⇐⇒ S2
36
=
3
4
∴ S2 = 27
v. Por fim, basta fazer a soma pedida:
∴ S1 + S2 = 36.
Solução 6.
Gabarito: C
i. Note que, se todos os consultados foram aoMA, pode-se desenhar o Diagrama de Venn de forma que o conjunto dos
que foram aoMA contenha todos os outros três. Denota-se A como conjunto dos que foram aoMA, B como conjunto dos
que foram ao MN, C como o conjunto dos que foram ao CCBB e, por fim, D como o conjunto dos que foram ao MHN.
Observe:
10 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
A B C
Da
b c
d
f
g
h
t
Figura 1.7
ii. Basta interpretar as afirmativas para adquirir as ferramentas para terminar a questão.
• Na segunda afirmativa, é dito que 32 foram somente aoMA, assim,n(B ∪ C ∪ D) = 32.
• Na terceira afirmativa, é dito quen(C) = 50 e que 30, desses 50, foram somente ao CCBB e oMA.
• Na quarta afirmativa, é dito quen(B) = 40 e que 22, desses 40, foram somente aoMN e oMA.
• Na quinta afirmativa, é dito quen(D) = 30 e que 18, desses 30, foram somente aoMHN e oMA.
• Na sexta afirmativa, é dito quen(B ∩ C ∩ D) = 10.
Com essas informações, sabe-se que a = 32, b = 22, c = 30,d = 18 e t = 10, assim, cai-se nas seguintes equações:
g + f = 8
f + h = 2
g + h = 10
⇐⇒ 2(f + g + h) = 20 ∴ f + g + h = 10.
iii. Note que é pedido o número total de consultados, assim: a + b + c + d + e + f + h + g + t = 122.
Solução 7.
Gabarito: C
i. Faz-se, primeiro, a medida do ângulo central de cada arco.
• De I:
Note que∠ABC = 90◦, pois é um quadrado, assim, o arcoACmede 1/4 da circunferência de raio 8, 5 cm e, como são
justamente 4 arcos, o perímetro de I é justamente a área dessa circunferência, ou seja, x = 17π
• De II:
Note que ∠EFG = 108◦, pois é um pentágono regular, assim, o arco EGmede 3/10 da circunferência de raio 5 cm e,
como são 5 arcos, o perímetro de II é 3/2 da área dessa circunferência, ou seja,y = 15π
• De III:
Note que∠JKL = 120◦, pois é um hexágono regular, assim, o arco JLmede 1/3 da circunferência de raio 4 cm e, como
são 6 arcos, o perímetro de III é 2 vezes a área dessa circunferência, ou seja, z = 16π
ii. Basta agora notar a relação,
x > z > y.
1.2. RESOLUÇÕES 11
Solução 8.
Gabarito: Anulada
i. Faz-se caso a caso:
I. Falso.
Observe que, se a > b, não existe x tal que x ≥ a e x ≤ b.
II. Falso.
Note que, como contraexemplo, se a = 0 e b 6= 0, a equação torna-se um absurdo.
III. Falso.
Basta ver que:
a3 + b3 = 0 ⇐⇒ a3 = −b3 ⇐⇒ a = −b.
Assim,a = −b, sendo a, b ∈ Q, então apresenta infinitas soluções.
IV. Falso.
Basta observar um contraexemplo. Sendo a = −1 e b = 0:
(−1)2 < (0)2 ⇐⇒ 1 > 0.
Solução 9.
Gabarito: A
i. Faz-se caso a caso:
• Primeira afirmação (V):
Se umnúmero é par, ele temo fator 2k na sua decomposição em fatores primos. Assim, dois primos entre si nunca podem
ser simultaneamente pares, então, ao menos um é ímpar.
• Segunda afirmação (V):
Note que para ser múltiplo de 6 precisa ser, simultaneamente, múltiplo de 2 e de 3. Observe que, como são 3 números
consecutivos, pelo menos um deles é par, assim, garante-se a multiplicidade com 2. Perceba que, na divisão por 3, existe
três possibilidades para resto: 0, 1 e 2, assim, suponha um número natural n de forma que n ≡ 1 (mod 3), assim,
n+ 1 ≡ 2 (mod 3) en+ 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3). O processo é análogo sen ≡ 2 (mod 3) e sen ≡ 0 (mod 3). Então sempre
tem ummúltiplo de 3 entre os fatores da multiplicação de três números consecutivos.
• Terceira afirmação (V):
Basta fazern + n + 1 + n + 2, comn ∈ N, assim é visto que 3(n + 1) é o resultado dessa soma e é umúltiplo de 3.
• Quarta afirmação (V):
Lembra-te do Pequeno Teorema de Fermat:
Se a, p ∈ Z com p primo emdc(a, p) = 1, então ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p).
Assim, note que 201913 − 2019 = 2019 · (201913−1 − 1), e, como enunciado pelo Pequeno Teorema de Fermat,
201913−1 − 1 ≡ 0(mod 13) ∴ 13|201913 − 2019.
12 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
Solução 10.
Gabarito: D
i. Observe a imagem daquestão:
p q
A
B C
b
c
Figura 1.8
ii. Veja que, se S é a área do triângulo∆ABC, S = bc
2
. Observa-se aplicação direta do Teorema de Burlet.
Demonstração do Teorema:
θ
2
m n
m
m
r · cotan
(
θ
2
)
r · cotan
(
θ
2
)
r
M
N P
Figura 1.9
Note que que, na figura acima, se A é a área de ∆MNP, p o semiperímetro, x, y e z os lados desse mesmo triângulo,
A = pr =
√
p(p − x)(p − y)(p − z), assim:
A =
√
p · (p − (m + n)) ·
(
p −
(
m + r · cot
(
θ
2
)))
·
(
p −
(
n + r · cot
(
θ
2
)))
=
√
p · r · cot
(
θ
2
)
· n ·m,
⇐⇒ A =√A ·m · n · cot(θ
2
) ⇐⇒ A2 = A ·m · n · cot(θ
2
)
∴ A = m · n · cot
(
θ
2
)
.
�
iii. Assim, perceba que, na questão,
S =
bc
2
= pq cot
(
90◦
2
)
,
Lembre-se que cot (45◦) = 1,
bc = 2pq ∴
√
bc =
√
2pq.
1.2. RESOLUÇÕES 13
Nota: Observe que, com o conhecimento prévio do Teorema de Burlet, a solução fica extremamente curta.
,
Solução 11.
Gabarito: D
i. Note que, se a área total dessa figura é 4π,BC = 4 eMB = 2, assim, a área em preto vale 2π.
ii. 30% da área clara é 0, 6π, assim, a área escura final é 2, 6π. A área clara em percentagem do total é:
1 −
2, 6π
4π
= 0, 35 = 35%.
Solução 12.
Gabarito: C
i. Denota-se p como semiperímetro de∆DEF. Lembre-se que se k é a razão de semelhança entre os lados, k2 é entre as
áreas, assim, k2 = 36 ∴ k = 6.
ii. Perceba que, se os lados do∆ABC são a, b e c, os lados do∆DEF são 6a, 6b e 6c. Então:
p = 6a + 6b + 6c = 6(a + b + c) = 6x.
Solução 13.
Gabarito: A
i. Note a seguinte imagem:
1030144
1015 9
a b c
d 2 e 1
Figura 1.10
ii. Perceba que, pela lei de formação, têm-se as seguintes relações:
a = d2 − 22 (I)
b = 22 − e2 (II)
c = e2 − 12 (III)
9 = b2 − c2 (IV)
1015 = a2 − b2 (V)
iii. Faz-se (II) + (III):
b + c = 3,
14 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
usando em (IV):
b2 − c2 = 9 ⇐⇒ (b + c)(b − c) = 9 ∴ b − c = 3.
Logicamente, chega-se que b = 3 e c = 0.
iv. Aplicando em (III), chega-se que e = 1. Usa-se (V):
1015 = a2 − b2 ⇐⇒ 1015 = a2 − 9 ⇐⇒ a2 = 1024 ∴ a = 32
v. Por fim, nota-se (I):
a = d2 − 22 ⇐⇒ 32 = d2 − 4 ⇐⇒ d2 = 36 ∴ d = 6
vi. Agora, basta somar:
a + b + c + d + e = 32 + 3 + 0 + 6 + 1 = 42.
Solução 14.
Gabarito: C
Note que ommc(36, 20) = 180 = quando há tanto Posto quanto Café (em quilômetros). Assim, como o destino é 1 km
antes da sexta possível parada,
6 · 180 − 1 = 1080 − 1 = 1079.
Solução 15.
Gabarito: D
i. Observe a seguinte imagem:
r
`
`
`
`30◦
60◦
60◦
60◦ 60◦
60◦
` `
Figura 1.11
ii. No primeiro triângulo, note um triângulo egípcio, assim, como o lado oposto a 60◦ é metade do lado do equilátero,
2r
√
3 = 2
√
3 ∴ r = 1
iii. Note, também, um um triângulo egípcio, assim, como o lado oposto a 60◦ é
√
3/2 da hipotenusa. assim,
` +
2`
√
3
3
= 2
√
3 ⇐⇒ `(1 + 2√3
3
)
= 2
√
3 ∴ ` =
2
√
3
1 + 2
√
3
3
iv. Faz-se a razão:
2π
4`
=
π
2 · 2
√
3
1 +
2
√
3
3
=
π · (3 + 2
√
3)
12
√
3
=
π
√
3 · (3 + 2
√
3)
36
.
1.2. RESOLUÇÕES 15
Solução 16.
Gabarito: D
i. Primeiramente, tome cuidado com as simplificações. Manipula-se a equação:√
(x2 − 5x + 6)4 =
1
16
⇐⇒ (x2 − 5x + 6)2 = 1
16
⇐⇒ (x2 − 5x + 6)2 − 1
16
= 0 ⇐⇒ (x2 − 5x + 6 − 1
4
)(
x2 − 5x + 6 +
1
4
)
= 0(
x2 − 5x −
23
4
)(
x2 − 5x +
25
4
)
= 0
⇐⇒ (4x2 − 20x − 23)︸ ︷︷ ︸
∆>0
(
4x2 − 20x + 25
)
︸ ︷︷ ︸
∆=0
= 0
ii. Observe que o primeiro fator apresenta duas raízes reais e o segundo fator apresenta apenas uma. Assim, totaliza três
raízes reais.
Nota: Observe que na solução não houve uma segunda “retirada de raiz”. Aconteceu assim pois haveria duas possibili-
dades (x2 − 5x + 6 > 0 ou x2 − 5x + 6 < 0) e aumentaria a solução.
Solução 17.
Gabarito: E
i. Primeiramente,manipula-seK:
K =
3a3
(2b)2
·
[
3
√
9a4
4b2
]− 3
2
=
3a3
(2b)2
·
√√√√[ 3√9a4
4b2
]−3
=
3a3
(2b)2
·
√[
4b2
3
√
9a4
]3
=
3a3
(2b)2
·
√
26b6
9a4
=
��*
a
3a3
�
��*
1
(2b)2
·�
��*
2b
23b3
��*
1
3a2
= a · 2b
= 2 ·
√
108 · 3
= 36
ii. ComoK = 36 = 22 · 32. Lembre-se soma dos divisores positivos de um número da forman = ρα1 · ρβ2 é:
S(n) =
(
ρα+11 − 1
ρ1 − 1
)
·
(
ρβ+12 − 1
ρ2 − 1
)
,
dessa forma S(36) =
(
23 − 1
2 − 1
)
·
(
33 − 1
3 − 1
)
= 91. Omaior algarismo significativo é 9.
16 CAPÍTULO 1. COLÉGIONAVAL - 2019
Solução 18.
Gabarito: A
i. Observe a figura do enunciado:
10
4, 8
b c
Figura 1.12
ii. Sabe-se que esse é um triângulo retângulo de hipotenusa 10. Quando é visto algo do gênero, sempre vale observar os
ternos pitagóricos. Nesse caso, o 6, , 8 e 10. Aplica-se uma relação métrica no triângulo retângulo:
a · h = b · c ⇐⇒ 10 · h = 6 · 8 ∴ h = 4, 8.
Esse é justamente o triângulo da figura, assim, b = 6 e c = 8, então:
b + c = 14.
Solução 19.
Gabarito: E
i. Primeiramente, precisa-se encontrar um padrão nos restos das potencias de 2 quando divididas por 7:
20 ≡ 1 (mod 7)
21 ≡ 2 (mod 7)
22 ≡ 4 (mod 7)
23 ≡ 1 (mod 7)
24 ≡ 2 (mod 7)
...
ii. Perceba que o padrão. A soma dos três termos do padrão é um múltiplo de 7. 2019 ≡ 0 (mod 3), dessa forma,
2019 ≡ 1 (mod 7), que é justamente o inicio de uma nova repetição. Assim:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + · · · + 22018 + 22019 ≡ 1 (mod 7).
1.2. RESOLUÇÕES 17
Solução 20.
Gabarito: A
i. Chama-se x3 − 6x2 + 12x − 4 = y e note:
y2 − 15y + 36 = 0 ⇐⇒ y = 15±√225 − 144
2
⇐⇒ y = 15± 9
2
∴ y = 12∨ y = 3
ii. Agora,manipula-se as possibilidades, pois x3 − 6x2 + 12x − 4 = x3 − 6x2 + 12x − 8 + 4 = (x − 2)3 + 4.
• y = 3
(x − 2)3 + 4 = 3 ⇐⇒ (x − 2)3 = −1 ⇐⇒ x − 2 = −1 ∴ x = 1
• y = 12
(x − 2)3 + 4 = 12 ⇐⇒ (x − 2)3 = 8 ⇐⇒ x − 2 = 2 ∴ x = 4
iii. Assim, a multiplicação dos possíveis valores é 4.