aula03

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Operações com matrizes: multiplicação
MÓDULO 1 - AULA 3
Aula 3 – Operações com matrizes:
multiplicação
Objetivos
Reconhecer quando é posśıvel multiplicar duas matrizes;
Obter a matriz produto de duas matrizes;
Aplicar as propriedades da multiplição de matrizes;
Identificar matrizes inverśıveis.
Se você já foi “apresentado” à multiplicação de matrizes, pode ter se
perguntado por que a definição foge tanto daquilo que nos pareceria mais
fácil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das
duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem).
Poderia ser assim? Poderia!
Então, por que não é?
Em Matemática, cada definição é feita de modo a possibilitar o desen-
volvimento da teoria de forma cont́ınua e coerente. É por essa razão que
definimos, por exemplo, 0! = 1 e a0 = 1, (a �= 0).
O caso 00 é mais delicado do
que parece. Se você tem
interesse nesse problema, vai
gostar de ler o artigo de
Elon Lages Lima, na Revista
do Professor de Matemática
(RPM), n. 7.
Não iŕıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplicação
fosse definida “nos moldes” da adição. Você verá, nesta aula, o significado
dessa operação, no modo como é definida. Mais tarde, quando estudar-
mos transformações lineares (no Módulo 2), ficará ainda mais evidente a
importância de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir.
Venha conosco!
Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. Já é tempo de calcular
suas notas finais!
A última matriz obtida (na Aula 2) fornecia as notas numa escala de 0
a 100:
N ′ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
50 62 70 57
70 73 85 100
80 77 65 71
92 90 70 82
70 72 68 78
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avaliações
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Operações com matrizes: multiplicação
à distância e as duas últimas, as notas das avaliações presenciais dos alunos
Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem.
Vamos supor que as avaliações à distância tenham, cada uma, peso 1,
num total de 10. Isto é, cada uma colabora com 1
10
(ou 10%) da nota final.
Para completar, cada avaliação presencial terá peso 4, ou seja, repre-
sentará 4
10
(ou 40%) da nota final.
Então, a nota final de cada aluno será dada por:
NF =
10
100
AD1 +
10
100
AD2 +
40
100
AP1 +
40
100
AP2
Em vez de escrever uma expressão como essa para cada um dos 5 alunos,
podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na
ordem como aparecem no cálculo de NF :
P =
⎡
⎢⎢⎢⎣
10/100
10/100
40/100
40/100
⎤
⎥⎥⎥⎦
e efetuar a seguinte operação:
N ′.P =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
50 62 70 57
70 73 85 100
80 77 65 71
92 90 70 82
70 72 68 78
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .
⎡
⎢⎢⎢⎣
10/100
10/100
40/100
40/100
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
10
100
.50 + 10
100
.62 + 40
100
.70 + 40
100
.57
10
100
.70 + 10
100
.73 + 40
100
.85 + 40
100
.100
10
100
.80 + 10
100
.77 + 40
100
.65 + 40
100
.71
10
100
.92 + 10
100
.90 + 40
100
.70 + 40
100
.82
10
100
.70 + 10
100
.72 + 40
100
.68 + 40
100
.78
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
62
88
70
79
73
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o número de termos
em cada linha da primeira é igual ao número de termos de cada coluna da
segunda. Ou seja, o número de colunas da primeira coincide com o número
de linhas da segunda (4, no nosso exemplo).
Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”,
simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a.. Depois,
somamos os produtos obtidos.
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Operações com matrizes: multiplicação
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Note que, ao considerarmos a i-ésima linha (da 1a. matriz) e a j-´ésima
coluna (da 2a.), geramos o elemento na posição ij da matriz produto.
Formalmente, temos a seguinte definição:
Multiplicação de matrizes
Sejam A = (aik) ∈ Mm×p(R) e B = (bkj) ∈ Mp×n(R). A matriz produto
de A por B é a matriz AB = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que
cij =
p∑
k=1
aik.bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
Exemplo 19
Sejam A =
[
3 2 −1
4 0 7
]
e B =
⎡
⎢⎣ 1 3 10 2−1 5 0 5
2 6 4 −2
⎤
⎥⎦. Como A é do tipo
2 × 3 e B é do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e é do tipo 2 × 4:
AB =
[
3 2 −1
4 0 7
]⎡⎢⎣ 1 3 10 2−1 5 0 5
2 6 4 −2
⎤
⎥⎦ =
=
[
3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2
4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14
]
=
[
−1 13 26 18
18 54 68 −6
]
Observe que, neste caso, não é posśıvel efetuar BA.
A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas
conclusões interessantes a respeito da multiplicação de matrizes.
Exemplo 20
Sejam A =
[
2 4
3 −1
]
e B =
[
3 2
5 6
]
. Então
AB =
[
2 4
3 −1
][
3 2
5 6
]
=
[
6 + 20 4 + 24
9 − 5 6 − 6
]
=
[
26 28
4 0
]
e
BA =
[
3 2
5 6
][
2 4
3 −1
]
=
[
6 + 6 12 − 2
10 + 18 20 − 6
]
=
[
12 10
28 14
]
.
Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n
existe e é também uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplicação
pôde ser efetuada nos dois casos, isto é, nas duas ordens posśıveis, mas as
matrizes AB e BA são diferentes.
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Operações com matrizes: multiplicação
Exemplo 21
Sejam A =
(
1 2
3 4
)
e B =
(
1 4
6 7
)
. Temos que:
AB =
(
1 2
3 4
)(
1 4
6 7
)
=
(
1 + 12 4 + 14
3 + 24 12 + 28
)
=
(
13 18
27 40
)
e
BA =
(
1 4
6 7
)(
1 2
3 4
)
=
(
1 + 12 2 + 16
6 + 21 12 + 28
)
=
(
13 18
27 40
)
Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A
e B comutam.
Exemplo 22
Consideremos as matrizes A =
[
3 2 1
−4 6 5
]
e B =
⎡
⎢⎣ 4−19
26
⎤
⎥⎦.
Efetuando AB, obtemos a matriz
[
0
0
]
.
Note que, diferentemente do que ocorre com os números reais, quando
multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer
dos fatores seja a matriz nula.
Exemplo 23
Vamos calcular AB, sendo A =
(
1 2
3 4
)
e B =
(
−2 1
3/2 −1/2
)
.
Temos que AB =
(
−2 + 3 1 − 1
−6 + 6 3 − 2
)
=
(
1 0
0 1
)
= I2.
Quando isso ocorre, isto é, quando o produto de duas matrizes A e
B quadradas, é a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes),
dizemos que A é inverśıvel e que B é a sua inversa. Uma matriz inverśıvel
Matrizes inverśıveis também
são chamadas de invert́ıveis
ou de não-singulares.
sempre comuta com sua inversa. Você pode verificar isso, calculando BA. Na
próxima aula, estudaremos um método bastante eficiente para determinar,
caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada.
Propriedades da multiplicação de matrizes
i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R).
Isto é, a multiplicação de matrizes é associativa.
De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (ckl). O termo de ı́ndices
ik da matriz AB é dado pela expressão
∑n
j=1 aijbjk. Então o termo
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Operações com matrizes: multiplicação
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de ı́ndices il da matriz (AB)C é dado por
∑p
k=1
(∑n
j=1 aijbjk
)
ckl =∑n
j=1 aij (
∑p
k=1 bjkckl), que é o termo de ı́ndices il da matriz A(BC),
pois
∑p
k=1 bjkckl é o termo de ı́ndices jl da matriz BC. Logo, (AB)C =
A(BC).
ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n(R), B, C ∈ Mn×p(R).
Isto é, a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição
de matrizes.
De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (cjk). O termo de ı́ndices jk
de B +C é dado por (bjk + cjk). Então o de ı́ndices ik da matriz A(B +
C) é
∑n
j=1 aij(bjk + cjk) =
∑n
j=1 [(aijbjk) + (aijcjk)] =
∑n
j=1(aijbjk) +∑n
j=1(aijcjk), que é o termo de ı́ndices ik da matriz dada por AB+AC.
Isto é, A(B + C) = AB + AC.
De forma análoga, prova-se que (A + B)C = AC + BC.
iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R), ∀B ∈ Mn×p(R).
De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de λ(AB)
é dado por λ
(∑n
j=1 aijbjk
)
=
∑n
j=1 λ(aijbjk) =
∑n
j=1(λaij)bjk, que é
o termo de ı́ndices ik de (λA)B. Isto é, λ(AB) = (λA)B. De forma
análoga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B =
A(λB).
iv Dada A ∈ Mm×n(R), ImA = AIn = A.
De fato, sejam A = (aij) e Im = δij,onde δij =
{
1, se i = j
0, se i �= j . Então A função δij assim definida échamada delta de Kronecker
nos ı́ndices i e j.o termo de ı́ndices ij de ImA é dado por
∑n
k=1 δikakj = δi1a1j + δi2a2j +
... + δiiaij + ... + δinanj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que
é o termo de ı́ndices ij de A. Logo, ImA = A. Analogamente, prova-se
que AIn = A. Isto é, ImA = AIn = A.
v Dadas A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), (AB)T = BT AT .
De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de
AB é dado por
∑n
j=1 aijbjk, que é, também, o termo de ı́ndices ki da
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Operações com matrizes: multiplicação
matriz (AB)T . Sendo BT = (b′kj) e A
T = (a′ji), onde b
′
kj = bjk e
a′ji = aij , ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, podemos escrever
∑n
j=1 aijbjk =∑n
j=1 b
′
kja
′
ji, que é o termo de ı́ndices ki da matriz B
T AT . Logo,
(AB)T = BT AT .
Potências de matrizes
Quando multiplicamos um número real por ele mesmo, efetuamos uma
potenciação. Se a é um número real, indicamos por an o produto a×a×...×a,
onde consideramos n fatores iguais a a.
Analogamente, quando lidamos com matrizes, definimos a potência de
expoente n (ou a n-ésima potência) de uma matriz quadrada A como sendo
o produto A × A × ... × A, onde há n fatores iguais a A.
Exemplo 24
Dada
A =
[
5 −4
3 1
]
, temos
A2 = A × A =
[
5 −4
3 1
][
5 −4
3 1
]
=
[
13 −24
18 −11
]
e
A3 = A2 × A =
[
13 −24
18 −11
][
5 −4
3 1
]
=
[
−7 −76
57 −83
]
Quando calculamos sucessivas potências de uma matriz, podem ocorrer
os seguintes casos especiais:
• An = A, para algum n natural.
Nesse caso, dizemos que a matriz A é periódica. Se p é o menor natural
para o qual Ap = A, dizemos que A é periódica de peŕıodo p. Particu-
larmente, se p = 2, a matriz A é chamada idempotente.
• An = O, para algum n natural.
Nesse caso, dizemos que a matriz A é nihilpotente. Se p é o menorLê-se nilpotente. A palavra
nihil significa nada, em latim.
natural para o qual Ap = O, a matriz A é dita ser nihilpotente de
ı́ndice p.
Exemplo 25
Efetuando a multiplicação de A por ela mesma, você poderá constatar que a
matriz A, em cada caso, é idempotente:
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Operações com matrizes: multiplicação
MÓDULO 1 - AULA 3
A =
[
1/2 1/2
1/2 1/2
]
A =
[
0 5
0 1
]
.
Exemplo 26
Seja A =
[
5 −1
25 −5
]
. Calculando A2, temos A×A =
[
5 −1
25 −5
][
5 −1
25 −5
]
=[
0 0
0 0
]
. Ou seja, A é nihilpotente de ı́ndice 2.
Resumo
Nesta aula vimos como multiplicar duas matrizes. Trata-se de uma
operação que se distingue das que vimos anteriormente, tanto pela maneira
pouco intuitiva pela qual é definida, quanto pelo fato de não ser comuta-
tiva. Ela representa um papel muito importante no desenvolvimento de toda
a Álgebra Linear, permitindo, por exemplo, uma representação simples da
composição de funções especiais, que estudaremos no Módulo 2. Além disso,
fomos apresentados às matrizes inverśıveis e vimos que estas sempre comutam
com suas matrizes inversas.
Exerćıcios
1. Calcule AB, em cada caso abaixo:
(a) A =
[
1 −2 4
5 0 1
]
, B =
⎡
⎢⎣ 26
10
⎤
⎥⎦
(b) A =
[
4 −6
−2 3
]
, B =
[
2 0
−1 4
]
(c) A =
⎡
⎢⎣ 3−1
2
⎤
⎥⎦ , B = [ 6 5 −3 ]
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Operações com matrizes: multiplicação
2. Determine ABT − 2C, dadas A =
⎡
⎢⎣ 1 22 5
0 −3
⎤
⎥⎦ , B =
⎡
⎢⎣ 4 22 1
−1 7
⎤
⎥⎦ ,
C =
⎡
⎢⎣ 7 9 16 4 2
−8 −10 3
⎤
⎥⎦.
3. Verifique, em caso, se B é a matriz inversa de A:
a) A =
[
2 3
1 6
]
e B =
[
2/3 −1/3
−1/9 2/9
]
b) A =
[
1 5
−3 2
]
e B =
[
6 −5
−1 1
]
4. Resolva a equação matricial
[
3 1
2 −5
][
a b
c d
]
=
[
5 15
−8 −7
]
.
5. Determine a e b para que as matrizes A =
[
2 3
−9 5
]
e B =
[
a −1
3 b
]
comutem.
6. Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso:
a) A =
[
1 2
4 5
]
b) A =
[
0 1
3 1
]
7. Dadas as matrizes A =
[
1 −3
2 5
]
e B =
[
1 4
0 2
]
, calcule:
a) A2
b) B3
c) A2B3
8. As matrizes A =
⎡
⎢⎣ 0 1 00 0 1
0 0 0
⎤
⎥⎦ e B =
[
3 −9
1 −3
]
são nihilpotentes.
Determine o ı́ndice de cada uma.
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Operações com matrizes: multiplicação
MÓDULO 1 - AULA 3
Auto-avaliação
É muito importante que você se sinta bem à vontade diante de duas ma-
trizes a multiplicar. Assimilada a definição, repita os exemplos e os exerćıcios
que tenham deixado alguma dúvida. Caso haja alguma pendência, não hesite
em contactar o tutor da disciplina. É essencial que caminhemos juntos!! Até
a próxima aula.
Respostas dos exerćıcios
1. a) AB =
[
30
70
]
b)AB =
[
14 −24
−7 12
]
c)AB =
⎡
⎢⎣ 18 15 −9−6 −5 3
12 10 −6
⎤
⎥⎦.
2.
⎡
⎢⎣ −6 −14 116 1 29
10 17 −27
⎤
⎥⎦
3. a) sim (pois AB = I2); b) não
4.
[
1 4
2 3
]
5. a = 1; b = 0
6. a)
[
x z/2
z x − z
]
, x, z ∈ R b)
[
x y
3y x + y
]
, x, y ∈ R.
7. a)
[
−5 −18
12 19
]
b)
[
1 12
0 4
]
c)
[
1 28
0 8
]
8. a) 3; b) 2
37
CEDERJ