Lista de exercícios resolvidos curso de verão do PROFMAT 2

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D exe a Sejam a e b inteiros positt com m - € | progra q intalar emana no seo del) = 1. Mostre que para todo c € Z come > ab—a—h, a equação 
Exercício 22. (IMO 1584) Dados o6 inteiros positivos a, b é c, doi A Da ,.b é c, dois a dois, primos entre si, demonstrar Zabe — ab — 
c ca é o maior número irteiro que não pode expresgar-se na forma xbe + yea + 2ab com £, y € z inteiros não negativos. 
Exercício 23. (Vietnã 2000 na; intel st . . ii SORA É o da ab & & inípizos positivos primos entre sl, dois a dois. Um inteiro x > 1 é chamado de 
n = bex + cay + abz 
para quaisquer inteiros positivos x,y e x. Determine, em função de a,b e c, ônúmero de inteiros teimosos. n - " 4 4 
Exercício 24. (Irlanda 1997) Ache todos os pares de inteiros (x,y) tais que 
1+1996x + 1998y = xy. 
 
 
2 O Teorema Chinês dos Restos 
 
 
 
Exercíoio(es) Encontre x inteiro tal que: 
 
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2 = '2 (mod 7). 
Exercício(êe) Encontre x inteiro tal que: 
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x = 2 (mod?) 
x = 4 (mod5) 
Exercíci Encontre o menor inteiro positivo 
x tal que x = 5 (mod 7), x=7 (mod lljez=3 
(mod 13). 
tivos primos entre si. O Teorema Chinês dos 
Restos afirma que, 
Dtamente um infeiso à, com O < a 
< mm, tal que o resto da divisão 
éi, o ato da divisão de a p
or né iguala j. Por exemplo, para 
m = 3 e h = 7, tmos quê o 
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doa Dr e deixa sestos 1 e 8 quando di
vidido por 3 e 7, respectivamente. Assim,
 na tabela a seguir, cada número de O a 
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Exercício 28. (OBM 2009) Sejam in e x dois inteiro
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Qual a soma dos números das casas com as letras 4,B,C,D, E e F? 
Exorefolg 2) (Estônia 2000) Determine todos os restos possíveis da divisão do quadrado de um número primo com 120 
Exercício 30. Para cada múmero natural ny; existe uma sequência asbitrariamente longa de números natu rais consecuti- 
vos, cada um deles sendo divisível por uma g-ésima potência de um número naturalmaior que 1.
“tome: Diego Dimpõro Santiage 
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