Lista de exercícios resolvidos curso de verão do PROFMAT 4

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114 10. DIVISIBILIDADE-2: CO
NGRUÊNCIA E EQUAÇÕES DIOFANTINAS 
Demonstração. Considere os p — 1 n
úmeros: A, 24, 34,...., (p — 1)A. Po
demôs'mostrar 
que dois desses números nunca têm o
 mesmo resto ao serem divididos por
 p. De fato, se 
kA = nA modp, então k = n modp (v
eja o Problema 85). Isto é impossível 
se k e nº forem 
diferentes e ambos menores do que p. 
Logo, entre os restos desses p — 1 núm
eros ao serem 
divididos por 7, cada um dos número
s de 1 a p— 1 aparece exatamente u
ma vez. Multiplicando 
todos eles, obtemos 
= 
ASA-3A.. (p-14=1:2:3...(p— 1)modg
; 
ou seja, (p — 1)!- AP-1 = (p— 1)!modp
. Mas p é primo, logo (p — 1)! e p sã
o primos entre si. 
Usando o resultado do Problema 85 n
ovamente, obtemos 4?! = | modp. 
) õ 
Corolário. Seja p um número primos
 Então, para qualquer inteiro A, tem
os 4? =: À (mod 7). 
O “pequeno” teorema de Fermat nã
o é simplesmente um fato inespera
do e “elegante”. Ele 
lver diversos problemas em arit-
 
também nos fornece uma ferramen
ta muito poderosa para reso. 
mética. Alguns deles são dados a s
eguir. 
Problema 87. Encontre'o res
tq da divisão de 
Problema 88. Encontre o r
esto da divisão de 3102 por 101.
 
Solução. Como 101 é primo, obtemos
 9100 = 1 mod 101. Logo 
2100 por 101. . 
9102 = 9.3100 =9 (mod 101). 
cícios computacionais usando o t
eorema de Fermat podem se 
Para os professores. Tais exer 
tornar bem rotineiros para os'
estudantes. 
03000 . 1 é divisível por 1001. 
8900 por 29. 
Problema 89. Prove que 30 
Problema 90. Encontre o 
resto da divisão de 
Problema 91. Prove que 71
20 1 é divisível por 143. 
Solução. Vamos provar que 7120 1 
é divisível por 11 e por 13. De fato, (
712)1º = 1 (mod 11) 
e (710y12 =1 (mod 13). 
Problema 92. Prove que o núm
ero 30239 4 239% não é primo, 
Problema 93. Seja p um n
úmero primo e suponha que à 
e b são inteiros arbitrários. Pro
ve 
que (a +b)? = (a? + b?) (mod p)
. 
: 
Tente fazer duas demonstrações:
 uma u 
usando o teorema binomial (v
eja o capítulo 
tilizando o “pequeno” teorema de 
Fermat e a outra 
“Combinatória-2"). 
Problema 94. A soma dos número
s à, be c é divisível por 30. Prove 
que Sré+ro 
também é divisível por 30. 
“Problema 95. Sejampeq 
primos diferentes. Prove que: 
ajp+g=p+a (mod pq). 
b) [5] é par se p, q É 2, onde 
ou iguala z. 
Problema 96. Seja p um número
 pri 
que existe um número natural b ta
l que ab = 1 (mod 7). 
Problema 97. (Teorema de Wil
son) Seja p uma número pri 
(mod 7º). 
|x] denota a função piso, Ou seja, é 
O maior inteiro menor 
mo e suponha que p não divide alg
um número a. Prove 
mo. Prove que (p— 1)! = —1 
 
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