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Terceira Lista de Exerćıcios de EDO
Curso de Engenharia Civil - 27 de abril de 2021
1) Mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes:
a) x−
1
2 , x2, ; (0,+∞) b) sen(x), cosec(x); (0, π) c) ex, e−x, e4x; (−∞,+∞)
2)
a) Mostre graficamente que f1(x) = x
2 e f2(x) = x|x| são linearmente independentes em
(−∞,+∞).
b) Mostre que W (f1(x), f2(x)) = 0 para todo número real.
3 Considere a equação diferencial de segunda ordem
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = 0,
em que a2(x), a1(x), a0(x) são cont́ınuas em um intervalo I e a2(x) 6= 0 para todo x no inter-
valo. Pelo teorema de unicidade, existe somente uma solução y1 para a equação, que satisfaça
y(x0) = 1 e y
′(x0) = 0, em que x0 é um ponto de I. Da mesma forma, existe uma única solução
y2 para a equação que satisfaça y(x0) = 0 e y
′(x0) = 1. Mostre que y1 e y2 formam um conjunto
fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo I.
4) Sejam y1 e y2 duas soluções para a questão anterior.
a) Se W (y1, y2) é o Wronskiano de y1 e y2, mostre que
a2(x)
dW
dx
+ a1(x)W = 0.
b) Deduza a fórmula de Abel
W = ce−
∫
(a1(x)/a2(x)dx
em que c é uma constante.
5) Suponha que um modelo matemático de um sistema linear seja dado por
a2(t)
d2y
dt2
+ a1(t)
dy
dt
+ a0(t)y = E(t)
Se y1 é uma resposta do sistema a uma aplicação E1(t) e y2 é uma resposta do mesmo
sistema a uma aplicação E2(t), mostre que, y1 + y2 é uma resposta do sistema à aplicação
E1(t) + E2(t).
6) Encontre uma segunda solução para as equações diferenciais dadas abaixo:
a) y′′ − 4y′ + 4y = 0; y1 = 1 b) y′′ + 2y′ + y = 0; y1 = xe−x c) x2y′′ − 20y = 0; y1 = x−4
7) Encontre a solução geral para as equações abaixo:
a) y′′ − y′ − 6y = 0 b) y′′ + 4y′ − y = 0 c) d
2y
dx2
− 10dy
dx
+ 25y = 0
8) Resolva as equações diferenciais dadas, sujeitas às condições iniciais indicadas:
a) 2y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0
b) y′′ − 8y′ + 17y = 0, y(0) = 4, y′(0) = −1
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