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Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 4 1 Média, Mediana e Moda para Dados Agrupados Se, por algum motivo, não se tiver acesso aos dados de uma amostra, mas apenas à sua tabela de freqüências ou ao seu histograma não será possível calcular exatamente os valores da sua média, da sua mediana e da sua moda. Neste caso, o melhor que se pode fazer é calculá-las aproximadamente. Tomemos como exemplo a tabela a seguir: Medidas da capacidade vital de 50 adultos do sexo masculino entre 18 e 27 anos de idade (Santa Casa de São Paulo, 1974). Capacidade Vital ( ) Freqüência Freqüência Acumulada 4,0 ├ 4,5 8 8 4,5 ├ 5,0 11 19 5,0 ├ 5,5 5 24 5,5 ├ 6,0 15 39 6,0 ├ 6,5 6 45 6,5 ├ 7,0 2 47 7,0 ├ 7,5 2 49 7,5 ├ 8,0 1 50 Total 50 Fonte: Depto. de Provas Funcionais Pulmonares - Santa Casa/SP. Para se calcular a média das medidas acima, que só são fornecidas na forma de uma tabela de freqüências, vai-se supor que todas as medidas que caem dentro de um intervalo de classe são iguais ao ponto médio daquele intervalo. Portanto, para cada intervalo calcula-se o seu ponto médio e considera-se que ele ocorre com a mesma freqüência da classe. Desta maneira, a aproximação que se faz para os dados desconhecidos deste problema é a seguinte: Dados (pontos médios das classes) 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 Total Freqüências 8 11 5 15 6 2 2 1 50 Considerando os dados da tabela aproximada como sendo os dados verdadeiros para o problema, basta agora usar a fórmula da média aritmética para obter a média da distribuição: Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 4 2 ℓ44,5 50 272 1226155118 175,7225,7275,6625,61575,5525,51175,4825,4 8 1 8 1 == +++++++ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ == ∑ ∑ = = i i i ii f xf x Para calcular a mediana, também teremos que fazer uma aproximação. Inicialmente, temos que determinar o intervalo de classe no qual ela se encontra. Como existem 50 dados, a mediana será a média entre o 25o e o 26o dado, portanto será o "dado" de ordem 25,5. Olhando na coluna das freqüências acumuladas da tabela, vemos que o dado de ordem 25,5 cai dentro do quarto intervalo de classe, que vai de 5,5 a 6,0. Portanto, já sabemos que a mediana tem que valer entre 5,5 e 6,0. Para encontrar um valor único, vamos fazer o seguinte raciocínio: Dentro do intervalo que vai de 5,5 a 6,0 temos 15 dados (veja na tabela). Não sabemos os valores exatos desses dados, mas vamos supor que eles varrem o intervalo de 5,5 a 6,0 de maneira uniforme. Como este intervalo tem 6,0 - 5,5 = 0,5 unidades, para distribuir 15 dados uniformemente por ele temos que por um dado a cada 0,5/15 unidades. O primeiro dado do intervalo é o 25o do total de 50 e será colocado em 5,5 + 1.(0,5/15). O segundo dado do intervalo é o 26o e será colocado em 5,5 + 2.(0,5/15). Os demais dados são posicionados de maneira equivalente até o 15o, que ficará em 5,5 + 15.(0,5/15) = 6,0. Como o dado correspondente à mediana é o 25,5, ou seja é o de ordem 1,5 dentro da série dos 15 dados a serem postos dentro do intervalo, o seu posicionamento será: 5,5 + 1,5.(0,5/15) = 5,5 + 0,05 = 5,55. De maneira genérica, podemos estimar a mediana de uma distribuição de dados agrupados a partir da fórmula: ( ) m aii f hfPL .Md −+= , onde Li é o limite inferior da classe onde está a mediana, P é a posição da mediana no conjunto total dos dados (chamado de posto da mediana), fai é a freqüência acumulada até a classe anterior à classe onde está a mediana, h é a largura do intervalo de classe e fm é a freqüência da classe onde está a mediana. Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 4 3 Usando esta fórmula para calcular a mediana para o exemplo dado, temos: ( ) ℓ 5,550,055,5 15 0,51,5.5,5 15 0,5.2425,55,5Md =+=+=−+= Para se calcular a moda, basta obter o ponto central do intervalo de maior freqüência. No caso do exemplo, o intervalo de maior freqüência é o quarto, que vai de 5,5 a 6,0. Seu ponto central é 5,75 ℓ . Também se pode falar de intervalo ou classe modal. Neste caso, a classe modal seria a classe de maior freqüência: 5,5 ├ 6,0 ℓ . Exemplo: Calcular a média, a mediana e a moda para a seguinte distribuição de freqüências. Medidas das larguras dos pulsos dos braços esquerdos de 45 alunos de ambos os sexos da turma de Estatística I (Biologia) do prof. Roque (2 o semestre de 1996). Largura do Pulso (cm) Freqüência Freqüência Acumulada 4,8 ├ 5,1 8 8 5,1 ├ 5,4 16 24 5,4 ├ 5,7 3 27 5,7 ├ 6,0 5 32 6,0 ├ 6,3 9 41 6,3 ├ 6,6 4 45 Total 45 Média: cm 57,5 45 65,250 4953168 445,6915,6585,5355,51625,5895,4 6 1 6 1 == = +++++ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ == ∑ ∑ = = i i i ii f fPM x Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 4 4 Mediana: A mediana é o 23 o dado, que cai na 2a classe, que vai de 5,1 a 5,4. Esta classe tem 16 elementos e a mediana é o 15 o deles. Portanto: ( ) cm 38,5 28,01,5 16 3,0.151,5 16 3,0).823(1,5Md = =+=+=−+=−+= m aii f hfPL Moda: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência. Portanto: Moda = 5,25 cm. A classe modal é a classe de maior freqüência. Logo: Classe modal = (5,1 a 5,4) cm.
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