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DINÂMICA EM 
TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
Como falamos anteriormente, em uma curva, o móvel sofre 
mudança no seu vetor velocidade. Mesmo que seu módulo permaneça 
constante, a direção e o sentido do vetor mudam ao longo da trajetória. 
Isso indica que o nosso móvel sofre uma aceleração. Lembrando que 
a aceleração é a grandeza que faz com que o vetor velocidade sofra 
alterações. Como há aceleração, podemos dizer que a soma das forças 
que atuam no corpo é diferente de zero. Ou seja, quando um corpo 
está realizando uma trajetória curvilínea, sofrerá a atuação de 
forças. A resultante das forças será diferente de zero.
Já estudamos que, para o módulo da velocidade não mudar, o 
vetor aceleração deve apontar para o centro, recebendo o nome de 
aceleração centrípeta. Então, como o vetor aceleração aponta para o 
centro, a resultante das forças também apontará para o centro. 
Como
2
cp
v
a
2R
=
e
F = ma
A resultante das forças (como aponta sempre para o centro, é 
chamada de Resultante Centrípeta, Rcp) vale:
2
2
cp
mv
R ou m R,
R
= ω
já que
v = ωR.
Vamos ver algumas trajetórias e as forças atuantes:
CURVA PLANA
Nesse caso podemos imaginar um carro fazendo uma curva. 
Podemos imaginar até mesmo, de maneira simplificada, o movimento de 
translação dos planetas ao redor do Sol, ou o da Lua ao redor da Terra. 
É o atrito entre o pneu e o asfalto que irá possibilitar que o carro 
realize uma curva sem deslizar (derrapar). Repare que, nesse caso, 
atuam três forças no carro: peso, normal e atrito. As duas primeiras 
atuam na vertical e em sentidos opostos, possuindo o mesmo módulo. 
A força de atrito é que está perpendicular ao vetor velocidade, 
apontando para o centro da trajetória. Então:
2
at
mv
F N
R
= µ =
Como, nesse caso, P = N
2mv
mg v Rg
R
µ = ∴ = µ
Perceba que, quanto menor o coeficiente de atrito entre o pneu 
e o asfalto, menor deve ser a velocidade do carro, para que realize 
a curva sem deslizar. Lembrando que, sem deslizar, significa que 
estamos usando o coeficiente de atrito estático! (A roda do carro não 
desliza no asfalto. Veja que a distância entre o carro e o centro da 
curva é sempre a mesma, que é o próprio raio R da curva).
No caso entre a Lua e a Terra, a única força que atua na Lua para 
que ela realize a trajetória é a força gravitacional, que aponta para o 
centro da trajetória. Logo:
2
g 2
GMm mv GM
F v
R R R
= = ∴ =
Essa é a velocidade orbital da Lua. Se estudássemos o sistema 
Terra – Sol, essa seria a velocidade orbital da Terra, onde M seria a 
massa do Sol e R o raio da órbita (distância média Terra – Sol).
Mais tarde iremos estudar gravitação universal. Está aqui apenas 
como curiosidade.
CURVA INCLINADA SEM ATRITO
Disponível em: http://fisicacuriosaecriativa.blogspot.com/2012/09/ 
por-que-temos-de-fazer-forca-para.html
Nessa situação, as forças que atuam no ônibus são Peso e Normal, 
igual na situação de plano inclinado, ou seja, Peso atuando na vertical 
e a Normal, normal ao plano. A resultante das forças aponta para o 
centro da trajetória. Nesse caso, está apontando na horizontal para a 
esquerda. Veja:
N
��
P
�
�
CPR
�
Vertical: Ncosα = P
Horizontal: α =
2mv
Nsen
R
80
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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Então:
α = ∴ = α
2v
tg v Rgtg
Rg
Observe que, se a curva possuir atrito, duas situações são possíveis: 
o carro pode estar em alta velocidade, na iminência de escorregar para 
fora da pista. Nesse caso o atrito aponta para dentro da pista, paralelo 
ao plano inclinado. Ou a velocidade é baixa, fazendo com que esteja 
na iminência de escorregar para baixo. Nesse caso o atrito aponta para 
fora da pista, paralelo ao plano inclinado. A relação acima não seria 
mais válida.
PÊNDULO SIMPLES
Esse movimento será estudado com mais detalhes no módulo de 
movimento harmônico simples (M.H.S.). O que temos que ver, por 
enquanto, é que a velocidade do pêndulo muda a cada instante. No 
momento em que é abandonado, a sua velocidade é zero e, na parte 
mais inferior, a sua velocidade será máxima. Ou seja, além de haver 
uma aceleração apontando o tempo todo para o centro da trajetória, 
há também uma aceleração na tangente da trajetória também. 
Na parte da queda, essa aceleração aponta no mesmo sentido de 
vetor velocidade. Já quando o pêndulo passa pela posição de maior 
velocidade, iniciando a sua subida, a aceleração tangencial passa a 
apontar para o sentido oposto ao da velocidade.
L
m
mgcosθ
�
mgsenθ
�
mg
�
θ
θ
s
T
�
Figura 1 - O pêndulo simples e as forças atuantes 
consideradas na modelagem simpli�cada.
Na situação acima, as forças que atuam na direção radial são a 
tração e uma componente da força peso. A tração aponta para o 
centro e a componente do peso, para fora. Como a resultante aponta 
para o centro, temos que:
2mv
T mgcos
L
− θ =
Perceba que, a cada instante, θ e v mudam. A equação para o 
ponto inferior seria:
2mv
T mg
L
− =
Já para os extremos, onde a velocidade é nula, seria:
T = mgcosθ
Basta imaginarmos que a figura acima retrata esse momento, 
onde a velocidade é nula.
PÊNDULO CÔNICO
Nesse caso, o nosso pêndulo realiza uma curva plana, sofrendo a 
atuação de duas forças apenas: tração e peso.
L
Rccentro
T
�
P
�
θ
θ
Note que, durante toda a trajetória, a resultante aponta para o 
centro. Com o auxílio da figura acima, podemos ver que a resultante 
centrípeta é a componente seno da tração:
2mv
Tsen
R
θ =
E, como não há movimento na vertical:
T cosθ = P
Então:
2v
tg v Rgtg .
Rg
θ = ∴ = θ
Note que esse movimento é semelhante ao da curva inclinada, 
trocando apenas a normal pela tração.
GLOBO DA MORTE
D
R
B
A
C
O movimento é semelhante ao de um avião fazendo um looping. 
O que se deseja saber nesse tipo de movimento é a velocidade mínima 
que o ciclista/piloto (avião) deve ter para conseguir realizar uma volta 
completa. Podemos notar que essa velocidade é maior em A do que 
em C. O que acontece no ponto C?
Nesse ponto, o móvel sofre duas forças: peso e normal. As duas 
apontam para baixo. Por isso é muito difícil conseguir dar a volta sem 
cair. Como estamos preocupados com a velocidade mínima, podemos 
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DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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dizer que, qualquer valor abaixo desta, ela irá cair, ou seja, está na 
iminência de perder o contato com a pista, de perder a normal. Então, 
no ponto C, podemos dizer que a moto está perdendo o contato com 
a pista (se fosse um avião realizando um looping, poderíamos dizer 
que o piloto está perdendo o contato com o seu assento). Sendo 
assim, a única força atuante nesse ponto será o Peso, que aponta para 
o centro da trajetória:
2mv
P v Rg.
R
= ∴ =
Qual seria, então, a velocidade mínima que ele deve ter no ponto A?
Podemos descobrir usando Torricelli:
2 2
C Av v – 2gh=
Onde
h = 2R
Logo:
2
A
2
A A
Rg v – 2g2R
v 5Rg v 5Rg
=
= ∴ =
QUEBRA-MOLAS E DEPRESSÕES
Nos quebra-molas, o carro sofre a atuação de duas forças: peso 
e normal. Podemos considerar que a trajetória de um carro ao passar 
por um quebra-molas é, aproximadamente, um semicírculo. Note que 
o vetor peso aponta para o centro dessa trajetória e o vetor normal 
aponta para fora. Como se trata de uma trajetória curvilínea, o vetor 
força resultante aponta para o centro da trajetória, ou seja, o módulo 
do peso supera o da normal. 
Vamos supor que antes de o carro passar por um quebra-molas 
estava em uma trajetória retilínea. Então, o módulo do peso era 
igual ao da normal. Ao passar pelo quebra-molas, o peso do carro 
não muda, mas o módulo da normal vai diminuindo. Significa que 
a força de contato entre as pessoas que estão dentro do carro e os 
seus assentos diminui. Sabemos que, quando um carro está em alta 
velocidade e passa por um quebra-molas, as pessoas dentro do carro 
perdem o contato com os seus assentos, chegando a bater no teto! 
Então deve haver uma relação matemática entre a velocidade do carro 
e a normal:
2mv
P – N
R
=
Note que, quanto maior o valor da velocidade, menorserá 
o módulo do vetor força de contato (normal). Para que as pessoas 
percam completamente o contato com os seus assentos:
N 0 v Rg→ ∴ =
Mas quando um carro passa por uma depressão, o módulo da 
normal é maior que o do peso:
2mv
N – P
R
=
Como o peso é constante, quanto maior a velocidade do carro, 
maior será a força de contato (as pessoas dentro do carro ficam 
mais “grudadas” nos seus assentos). A sensação é semelhante a de 
estarmos dentro de um elevador subindo aceleradamente (N – P = 
m · a). Já no quebra-molas, poderíamos associar com o que sentimos 
quando estamos dentro de um elevador que desce aceleradamente 
(P – N = m · a). Se o cabo do elevador se rompesse, perderíamos o 
contato com o piso (estaríamos em queda-livre).
Quebra-molas
x centro
x centro
Depressão
N

N

P

P

EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Um carro de automobilismo se desloca com velocidade de módulo 
constante por uma pista de corrida plana. A figura abaixo representa 
a pista vista de cima, destacando quatro trechos: AB, BC, CD e DE.
A força resultante que atua sobre o carro é maior que zero nos 
seguintes trechos: 
a) AB e BC b) BC e DE c) DE e CD d) CD e AB
02. Em uma viagem a Júpiter, deseja-se construir uma nave espacial 
com uma seção rotacional para simular, por efeitos centrífugos, a 
gravidade. A seção terá um raio de 90 metros. Quantas rotações por 
minuto (RPM) deverá ter essa seção para simular a gravidade terrestre? 
(considere 2g 10 m s ).= 
a) 10 π b) 2 π c) 20 π d) 15 π
03.
Uma esfera de massa 2,00 kg que está presa na extremidade de uma 
corda de 1,00 m de comprimento, de massa desprezível, descreve um 
movimento circular uniforme sobre uma mesa horizontal, sem atrito. 
A força de tração na corda é de 18,0 N, constante. A velocidade de 
escape ao romper a corda é 
a) 0,30 m s.
b) 1,00 m s.
c) 3,00 m s.
d) 6,00 m s.
e) 9,00 m s.
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04. Analise o caso apresentado e a seguir as proposições feitas pelo 
professor a seus alunos.
Brincar de jogar pião fez e ainda faz parte da infância das pessoas. Ver 
o pião girando sem cair é algo que encanta as crianças. Agora, podemos 
perceber conhecimentos físicos envolvidos no rodar do pião. Nesse sentido, 
considere um pião girando em MCU, conforme figura a seguir, com duas 
esferas iguais (A e B) grudadas sobre ele nas posições indicadas.
I. As esferas A e B estão sujeitas a mesma Força centrípeta.
II. As velocidades angulares das esferas A e B são iguais.
I. O vetor velocidade linear da esfera A é constante.
I. O módulo da velocidade linear da esfera A é menor que o 
módulo da velocidade linear da esfera B.
Todas as afirmações corretas estão em: 
a) I – II – II.
b) II – III – IV.
c) II – IV.
d) III – IV.
05. Um livro de física de massa m está pendurado por um fio de 
comprimento L. Em seguida, segurando o fio com uma das mãos e 
movimentando-a, ele é colocado em movimento circular uniforme 
vertical, de forma que o livro descreve círculos sucessivos.
A tensão no fio no ponto mais baixo da trajetória 
a) é igual ao peso do livro.
b) é igual à força centrípeta.
c) é menor que o peso do livro.
d) é maior que a força centrípeta.
06. Em uma exibição de acrobacias aéreas, um avião pilotado por 
uma pessoa de 80 kg faz manobras e deixa no ar um rastro de fumaça 
indicando sua trajetória. Na figura, está representado um looping circular 
de raio 50 m contido em um plano vertical, descrito por esse avião.
Adotando g=10 m/s2 e considerando que ao passar pelo ponto A, 
ponto mais alto da trajetória circular, a velocidade do avião é de 180 
km/h a intensidade da força exercida pelo assento sobre o piloto, 
nesse ponto, é igual a 
a) 3.000 N.
b) 2.800 N.
c) 3.200 N.
d) 2.600 N.
e) 2.400 N.
07. Considere a figura a seguir, na qual é mostrado um piloto acrobata 
fazendo sua moto girar por dentro de um “globo da morte”.
Ao realizar o movimento de loop dentro do globo da morte (ou seja, 
percorrendo a trajetória ABCD mostrada acima), o piloto precisa 
manter uma velocidade mínima de sua moto para que a mesma não 
caia ao passar pelo ponto mais alto do globo (ponto “A”).
Nestas condições, a velocidade mínima “v” da moto, de forma que 
a mesma não caia ao passar pelo ponto “A”, dado que o globo da 
morte tem raio R de 3,60 m, é 
(Considere a aceleração da gravidade com o valor g=10m/s2).
a) 6 km/h.
b) 12 km/h. 
c) 21,6 km/h.
d) 15 km/h.
e) 18 km/h.
08. Uma criança gira no plano horizontal, uma pedra com massa 
igual a 40 g presa em uma corda, produzindo um Movimento Circular 
Uniforme. A pedra descreve uma trajetória circular, de raio igual a 72 
cm, sob a ação de uma força resultante centrípeta de módulo igual a 
2 N. Se a corda se romper, qual será a velocidade, em m/s, com que a 
pedra se afastará da criança?
Obs.: desprezar a resistência do ar e admitir que a pedra se afastará da 
criança com uma velocidade constante. 
a) 6 b) 12 c) 18 d) 36
09. “Ao fazermos uma curva, sentimos o efeito da força centrífuga, 
a força que nos “joga” para fora da curva e exige um certo esforço 
para não deixar o veículo sair da trajetória. Quanto maior a velocidade, 
mais sentimos essa força. Ela pode chegar ao ponto de tirar o veículo 
de controle, provocando um capotamento ou a travessia na pista, com 
colisão com outros veículos ou atropelamento de pedestres e ciclistas.” 
(DENATRAN. Direção defensiva. [Apostila], p. 31, maio 2005. 
Disponível em: http://<www.detran.sc.gov.br> Acesso em: 9 out. 2008).
A citação anterior apresenta um erro conceitual bastante frequente. 
Suponha o movimento descrito analisado em relação a um referencial 
inercial, conforme a figura a seguir:
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DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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Em relação ao exposto, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01) Um veículo de massa m percorre uma determinada curva de raio R 
sem derrapar, com velocidade máxima de módulo constante v. Um 
segundo veículo com pneus idênticos ao primeiro, com massa quatro 
vezes maior (4 m), deverá percorrer a mesma curva sem derrapar, com 
uma velocidade máxima constante de módulo duas vezes menor (v/2). 
02) Um veículo descrevendo uma curva em uma estrada plana 
certamente estará sob ação de uma força centrífuga, se opondo à 
força de atrito entre os pneus e o chão. Se o atrito deixar de atuar, 
o veículo será lançado radialmente para fora da curva em virtude 
dessa força centrífuga.
04) Como o veículo está em equilíbrio, atuam a força centrípeta (para 
“dentro” da trajetória) e a força centrífuga (para “fora” da trajetória), 
com o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários. Essas 
forças constituem um par ação e reação, segundo a 3a Lei de Newton.
08) Se o veículo percorrer uma curva, executando uma trajetória 
circular, com o módulo da velocidade constante, estará sujeito 
a uma aceleração. Pela 2a Lei de Newton, essa aceleração é 
provocada pela resultante das forças que atuam sobre o veículo. 
Como a força normal e o peso se anulam, a força resultante é a 
força centrípeta que se origina do atrito entre os pneus e o chão. 
16) Força é o resultado da interação entre dois ou mais corpos. 
Pela 3ª Lei de Newton: “se dois corpos A e B interagem, a força 
que A faz sobre B tem o mesmo módulo, a mesma direção e 
sentido contrário à força que B faz sobre A”. Logo, não há força 
centrífuga atuando sobre o veículo, pois se o veículo (corpo A) é 
jogado para fora da curva, ele deveria ser atraído por outro corpo, 
que naturalmente não existe.
10. Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa 
igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 
m com velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a intensidade da 
força de reação que a pista aplica no veículo é: (Adote g = 10m/s2).
a) 231512 N.
b) 215360 N.
c) 1800 N.
d) 25800 N.
e) 24000 N.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. Uma bola encontra-se em repouso no ponto mais elevado de 
um morro semicircular de raioR, conforme indicada a figura abaixo. 
Se 0v

 é a velocidade adquirida pela bola imediatamente após um 
arremesso horizontal, determine o menor valor de 0| v |

 para que ela 
chegue à região horizontal do solo sem atingir o morro durante sua 
queda. Desconsidere a resistência do ar, bem como qualquer efeito de 
rotação da bola. Note que a aceleração da gravidade tem módulo g.
a) 
gR
2
b) 
gR
2
c) gR d) 2gR e) 2 gR
02. Uma partícula com carga elétrica negativa igual a -10-8C encontra-
se fixa num ponto do espaço. Uma segunda partícula de massa igual a 
0,1 g e carga elétrica positiva igual a +10-8C descreve um movimento 
circular uniforme de raio 10 cm em torno da primeira partícula. 
Considerando que elas estejam isoladas no vácuo e desprezando 
todas as interações gravitacionais, o módulo da velocidade linear da 
partícula positiva em torno da partícula negativa é igual a
Dado: considere a constante eletrostática do vácuo igual a 
2
9
2
N m
9 10 .
C
⋅
⋅
 
a) 0,3 m/s.
b) 0,6 m/s.
c) 0,8 m/s.
d) 1,0 m/s.
e) 1,5 m/s.
03. Um operário, na margem A de um riacho, quer enviar um 
equipamento de peso 500 N para outro operário na margem B.
Para isso ele utiliza uma corda ideal de comprimento L=3 m, em que 
uma das extremidades está amarrada ao equipamento e a outra a um 
pórtico rígido.
Na margem A, a corda forma um ângulo θ com a perpendicular ao 
ponto de fixação no pórtico.
O equipamento é abandonado do repouso a uma altura de 1,20 m 
em relação ao ponto mais baixo da sua trajetória. Em seguida, ele 
entra em movimento e descreve um arco de circunferência, conforme 
o desenho abaixo e chega à margem B.
Desprezando todas as forças de atrito e considerando o equipamento 
uma partícula, o módulo da força de tração na corda no ponto mais 
baixo da trajetória é
Dado: considere a aceleração da gravidade 2g 10 m s .= 
a) 500 N.
b) 600 N.
c) 700 N.
d) 800 N.
e) 900 N.
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DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Na(s) questão(ões) a seguir, quando necessário, use:
- Aceleração da gravidade: 2g 10 m s ;=
- sen19 cos 71 0,3;° = ° =
- sen 71 cos 19 0,9;° = ° =
- Velocidade da luz no vácuo: 8c 3,0 10 m s ;= ⋅
- Constante de Planck: 34h 6,6 10 J s;−= ⋅ ⋅
- 191eV 1,6 10 J;−= ⋅
- Potencial elétrico no infinito: zero. 
04. Em muitos problemas de física desprezam-se as forças de resistência ao 
movimento. Entretanto, sabe-se que, na prática, essas forças são significativas 
e muitas vezes desempenham um papel determinante.
Por exemplo, “no automobilismo, os veículos comumente possuem 
dispositivos aerodinâmicos implementados, os quais têm a função de 
contribuir para o aumento da ‘Downforce’, uma força vertical, inversa à 
sustentação, que busca incrementar a aderência dos pneus ao asfalto através 
de um acréscimo na carga normal, permitindo que o veículo possa realizar 
as curvas com uma velocidade maior do que o faria sem estes dispositivos”.
(Trecho retirado da monografia intitulada Sistema ativo de redução de arrasto 
aerodinâmico por atuador aplicado a um protótipo de fórmula SAE, de autoria 
de Danilo Barbosa Porto, apresentada na Escola de Engenharia de São Carlos, da 
Universidade de São Paulo, em 2016).
Para avaliar o papel da “Downforce”, considere um carro de Fórmula 
1, de massa M, realizando uma curva em determinada pista plana. Ao 
se desprezar completamente os efeitos produzidos pelo seu movimento 
em relação ao ar, mas considerando o atrito entre pneus e o asfalto, o 
carro consegue fazer a curva, sem derrapar, a uma velocidade máxima V. 
Porém, ao levar em conta, especificamente, a atuação da “Downforce” 
D (desconsiderando a força de arrasto) a velocidade máxima V’ do carro, 
nessa mesma curva, muda em função de D. Nessas condições, o gráfico 
que melhor representa a relação 
V'
V
 em função de D é 
a)
 
c) 
 b) d) 
05. Uma partícula de massa m, presa na extremidade de uma corda 
ideal, descreve um movimento circular acelerado, de raio R, contido 
em um plano vertical, conforme figura a seguir.
Quando essa partícula atinge determinado valor de velocidade, a 
corda também atinge um valor máximo de tensão e se rompe. Nesse 
momento, a partícula é lançada horizontalmente, de uma altura 
2R, indo atingir uma distância horizontal igual a 4R. Considerando 
a aceleração da gravidade no local igual a g, a tensão máxima 
experimentada pela corda foi de 
a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg
06. Considere uma bolinha de gude de volume igual a 310 cm e 
densidade 32,5 g cm presa a um fio inextensível de comprimento 
12 cm, com volume e massa desprezíveis. Esse conjunto é colocado 
no interior de um recipiente com água. Num instante 0t , a bolinha de 
gude é abandonada de uma posição (1) cuja direção faz um ângulo 
45θ = ° com a vertical conforme mostra a figura a seguir.
O módulo da tração no fio, quando a bolinha passa pela posição mais 
baixa (2) a primeira vez, vale 0,25 N. Determine a energia cinética 
nessa posição anterior.
Dados: 3água 1.000 kg mρ = e 
2g 10 m s .= 
a) 0,0006 J
b) 0,006 J
c) 0,06 J
d) 0,6 J
e) 6,0 J
07. Dois pequenos corpos A e B são ligados a uma haste rígida através 
de fios ideais de comprimentos A e B, respectivamente, conforme 
figura a seguir.
A e B giram em sincronia com a haste, com velocidades escalares 
constantes Av e Bv , e fazem com a direção horizontal ângulos Aθ e 
B,θ respectivamente.
Considerando A B4 ,=  a razão 
A
B
v
,
v
 em função de Aθ e B,θ é igual a 
a) A B
B A
cos sen
2
cos sen
θ θ
⋅ ⋅
θ θ
b) A A
B B
cos sen
cos sen
θ θ
⋅
θ θ
c) A A
B B
sen cos
sen cos
θ θ
⋅
θ θ
d) A B
A B
cos cos
4
sen sen
θ θ
⋅ ⋅
θ θ
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DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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08. Um satélite esférico, homogêneo e de massa m, gira com 
velocidade angular constante em torno de um planeta esférico, 
homogêneo e de massa M, em uma órbita circular de raio R e período 
T, conforme figura abaixo. Considerando G a constante de gravitação 
universal, a massa do planeta em função de R, T e G é:
 
a)
 
2 34 R
T G
π b)
 
2 24 R
T G
π c)
 
2 2
2
4 R
T G
π d)
 
2
2
4 R
T G
π e)
 
2 3
2
4 R
T G
π
09. Analise a figura abaixo.
A figura acima mostra um bloco de massa 0,3 kg que está preso a 
uma superfície de um cone que forma um ângulo 30θ = ° com seu 
eixo central 00’, fixo em relação ao sistema de eixos xyz. O cone gira 
com velocidade angular 10rad sω = em relação ao eixo 00’. Sabendo 
que o bloco está a uma distância d=20 cm do vértice do cone, o 
módulo da força resultante sobre o bloco, medido pelo referencial fixo 
xyz, em newtons, é 
a) 2,0 b) 3,0 c) 3,5 d) 6,0 e) 10
10. Na cidade de Macapá, no Amapá, Fernando envia uma mensagem 
via satélite para Maria na mesma cidade. A mensagem é intermediada 
por um satélite geoestacionário, em órbita circular cujo centro coincide 
com o centro geométrico da Terra, e por uma operadora local de 
telecomunicação da seguinte forma: o sinal de informação parte do 
celular de Fernando direto para o satélite que instantaneamente 
retransmite para a operadora, que, da mesma forma, transmite para o 
satélite mais uma vez e, por fim, é retransmitido para o celular de Maria.
Considere que esse sinal percorra todo trajeto em linha reta e na 
velocidade da luz, c; que as dimensões da cidade sejam desprezíveis em 
relação à distância que separa o satélite da Terra, que este satélite esteja 
alinhado perpendicularmente à cidade que se encontra ao nível do mar 
e na linha do equador. Sendo, M, massa da Terra, T, período de rotação 
da Terra, RT, raio da Terra e G, a constante de gravitação universal, o 
intervalo de tempo entre a emissão do sinal no celular de Fernando e a 
recepção no celular de Maria, em função de c, M, T, G e RT é 
a) 
2
3
T2
4 T GM
R
c 4
 
 − π 
 
b) T
2 2TGM
R
c 4
 
+  π 
 
c) 3 T2
4 TGM
R
c 4
 
−  π 
 
d) 
T
1 TGM
R
c 2
 
+  π 
 
11. Um motociclista, pilotando sua motocicleta, move-secom 
velocidade constante durante a realização do looping da figura abaixo.
Quando está passando pelo ponto mais alto dessa trajetória circular, 
o motociclista lança, para trás, um objeto de massa desprezível, 
comparada à massa de todo o conjunto motocicleta-motociclista. 
Dessa forma, o objeto cai, em relação à superfície da Terra, como se 
tivesse sido abandonado em A, percorrendo uma trajetória retilínea 
até B. Ao passar, após esse lançamento, em B, o motociclista consegue 
recuperar o objeto imediatamente antes dele tocar o solo.
Desprezando a resistência do ar e as dimensões do conjunto motocicleta-
motociclista, e considerando 2 10,π = a razão entre a normal (N), que 
age sobre a motocicleta no instante em que passa no ponto A, e o peso 
(P) do conjunto motocicleta-motociclista, (N/P), será igual a 
Dados:
2g 10m s=
sen 37 0,6° =
cos 37 0,8° = 
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 3,5
12. Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, uma partícula 
move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por sua vez, possui 
uma inclinação θ. Essa partícula está presa a um poste central, 
por meio de um fio ideal de comprimento  que, através de uma 
articulação, pode girar livremente em torno do poste. O fio é mantido 
paralelo à superfície da pista, conforme figura abaixo.
Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula fica 
“flutuando” sobre a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula 
fica na iminência de perder o contato com a pista e, além disso, descreve 
uma trajetória circular com centro em C, também indicado na figura.
Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a 
a) 
3
g
2
 
 
 

b) ( )g
c) 3g
d) ( )4 2 g
86
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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13. Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com velocidade 
constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. Descrevendo 
uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá 
diversas voltas, até que, em um dado instante, o fio arrebenta e ela é 
lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura a seguir.
Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, 
a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma distância 
horizontal x equivalente a 4R.
A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo 
ponto onde ele se rompeu era igual a 
a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg
14. Uma pequenina esfera vazada, no ar, com carga elétrica igual a 
1 Cµ e massa 10 g, é perpassada por um aro semicircular isolante, de 
extremidades A e B, situado num plano vertical.
Uma partícula carregada eletricamente com carga igual a 4 Cµ é 
fixada por meio de um suporte isolante, no centro C do aro, que tem 
raio R igual a 60 cm, conforme ilustra a figura abaixo.
Despreze quaisquer forças dissipativas e considere a aceleração da 
gravidade constante.
Ao abandonar a esfera, a partir do repouso, na extremidade A, pode-
se afirmar que a intensidade da reação normal, em newtons, exercida 
pelo aro sobre ela no ponto mais baixo (ponto D) de sua trajetória é 
igual a 
a) 0,20 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60
15. Uma determinada caixa é transportada em um caminhão que 
percorre, com velocidade escalar constante, uma estrada plana e 
horizontal. Em um determinado instante, o caminhão entra em uma 
curva circular de raio igual a 51,2 m, mantendo a mesma velocidade 
escalar. Sabendo-se que os coeficientes de atrito cinético e estático 
entre a caixa e o assoalho horizontal são, respectivamente, 0,4 e 0,5 
e considerando que as dimensões do caminhão, em relação ao raio da 
curva, são desprezíveis e que a caixa esteja apoiada apenas no assoalho 
da carroceria, pode-se afirmar que a máxima velocidade, em m/s, que o 
caminhão poderá desenvolver, sem que a caixa escorregue é 
a) 14,3 b) 16,0 c) 18,0 d) 21,5
16. Finalmente, o momento mais aguardado pela plateia do Circo da 
Física: o Globo. Em uma esfera de aço com 4,84 m de diâmetro cujo 
coeficiente de atrito entre o pneu e o aço é 0,2, cinco destemidos pilotos 
fazem manobras radicais com suas motos. No ponto alto da apresentação, 
o Globo se abre, deixando a plateia apreensiva e extasiada, e três pilotos 
parecem flutuar no ar com suas motos, como mostrado na figura abaixo.
Com base no exposto acima e na figura, é correto afirmar que: 
01) o período da rotativo do piloto 1, quando está com a velocidade 
mínima para realizar a manobra, é de 2,0 s.
02) a velocidade angular mínima do piloto 1 é de aproximadamente 
4,54 rad s.
04) a velocidade mínima para o piloto 1 realizar a manobra é de 
11,0 m s.
08) a velocidade mínima para o piloto 1 realizar a manobra aumenta 
se o raio do Globo aumentar.
16) a força centrífuga sobre o sistema piloto-moto tem o sentido para 
o centro da trajetória.
32) um piloto com massa menor do que o piloto 1 poderia realizar a 
manobra com menor velocidade.
17. Duas placas metálicas planas e circulares, de raio R, separadas 
por uma distância d<<R, estão dispostas na direção horizontal. Entre 
elas, é aplicada uma diferença de potencial V, de modo que a placa de 
cima fica com carga negativa e a de baixo, positiva. No centro da placa 
superior, está afixado um fio isolante de comprimento L<d com uma 
pequena esfera metálica presa em sua extremidade, como mostra a 
figura. Essa esfera tem massa m e está carregada com carga negativa 
-q. O fio é afastado da posição de equilíbrio de um ângulo θ, e a 
esfera é posta em movimento circular uniforme com o fio mantendo 
o ângulo θ com a vertical.
Determine:
a) o módulo E do campo elétrico entre as placas;
b) os módulos T e F, respectivamente, da tração no fio e da força 
resultante na esfera;
c) a velocidade angular ω da esfera.
Note e adote:
A aceleração da gravidade é g.
Forças dissipativas devem ser ignoradas. 
87
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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18. Em um autódromo, cuja pista tem 5.400 m de comprimento, há 
uma curva de raio 120 m, em superfície plana inclinada, na qual a 
borda externa é mais elevada que a interna, como mostra a figura. O 
ângulo de inclinação θ é tal que senθ=0,60.
d) Supondo que um carro de competição desenvolva uma velocidade 
média de 216 km/h, determine o intervalo de tempo, em 
segundos, em que ele completa uma volta nessa pista.
e) Considere que a massa do carro seja igual a 600 kg, que sua 
velocidade na curva inclinada seja 30 m/s e que a componente 
horizontal desta velocidade seja igual à resultante centrípeta. 
Determine a intensidade da força normal, em newtons, aplicada 
pela pista sobre o carro, nessa curva. 
19. Na figura, presa a um fio de comprimento de 1,0 m, uma massa 
de 1,0 kg gira com uma certa velocidade angular num plano vertical 
sob a ação da gravidade, com eixo de rotação a h=6,0 m do piso. 
Determine a velocidade angular mínima dessa massa para a ruptura 
do fio que suporta no máximo a tração de 46 N, bem como a distância 
ao ponto P do ponto em que, nesse caso, a massa tocará o solo.
 
20. Um pequeno objeto de massa m é pendurado por um fio ao teto, 
e é largado do repouso na posição 1, como mostra a Figura 1, onde 
também são indicadas outras quatro posições pelas quais o objeto 
passa em seu movimento oscilatório. Na Figura 2, está indicado um 
conjunto de vetores em cada uma das posições.
A associação correta entre as grandezas físicas descritas e os vetores da 
Figura 2 nas posições mencionadas, quando o objeto é largado e está 
se deslocando da esquerda para a direita, em sua primeira oscilação, é: 
a) na posição 5, o vetor f

 representa a força resultante sobre o 
corpo, e a velocidade do corpo é nula.
b) na posição 4, o vetor d

 representa a aceleração do corpo, e o 
vetor e

 representa sua velocidade.
c) na posição 1, a velocidade e a aceleração do objeto são nulas.
d) na posição 2, o vetor b

 representa a velocidade, e o vetor a

 representa 
a aceleração do objeto no instante em que passa pelo ponto.
e) na posição 3, a aceleração do objeto é nula, e sua velocidade é 
representadapelo vetor c.

21. Um automóvel de massa m percorre uma rodovia horizontal 
plana e, ao passar por determinada curva na forma de um arco de 
circunferência, seu velocímetro marca uma velocidade cujo módulo 
é constante e igual a v, com , Lv v ,≤ em que vL é a velocidade em 
que o automóvel se encontra na iminência de derrapar para fora da 
curva. Ao passar pela curva no sentido anti-horário, o automóvel 
descreve uma trajetória de raio R R,+ ∆ com R∆ positivo. Ao passar 
pela mesma curva no sentido horário, o raio da trajetória é R R.− ∆ 
Essa diferença nos raios ocorre porque o automóvel está em faixas 
distintas da rodovia. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a 
rodovia é ,µ e a força de atrito estático, que mantém o automóvel na 
sua trajetória, apontando para o centro do arco de circunferência, tem 
módulo f. Use 
2g 9,8 m s .= Suponha que o automóvel se comporta 
como uma partícula e desconsidere a resistência do ar.
Sobre esse sistema, assinale o que for correto. 
01) vL não depende do sentido (horário ou anti-horário) em que a 
curva é percorrida.
02) vL é diretamente proporcional a .µ 
04) Para R R 100 m− ∆ = e 0,8,µ = o automóvel encontra-se na 
iminência de derrapar ao fazer a curva (no sentido horário) a uma 
velocidade de 100,8 km h.
08) Independentemente do sentido (horário ou anti-horário) em que 
a curva é percorrida, para Lv (2 3)v= temos que Mf (1 2)f ,< em 
que Mf é o valor máximo de f.
16) Se 
1 2
AH
H
v R R
,
v R R
+ ∆ =  − ∆ 
 em que AHv e Hv são os módulos das 
velocidades do automóvel ao percorrer a curva nos sentidos anti-
horário e horário, respectivamente, então f assume o mesmo 
valor, independentemente do sentido em que a curva é percorrida. 
22. Numa pista de corrida sobrelevada, deseja-se verificar a inclinação da 
pista numa curva de raio igual 60 3 m sem considerar o atrito, onde o 
carro possa desenvolver uma velocidade de 72 3 km h.
Na figura a seguir, estão representados o carro de corrida e a pista 
numa perspectiva frontal, em que θ é a inclinação da pista. Considere 
g=10m/s2. 
Qual a inclinação da pista de corrida para que a segurança do piloto 
não dependa do atrito entre a pista e os pneus do carro? 
a) 40°. b) 30°. c) 25°. d) 35°. e) 45°.
88
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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23. Os brinquedos de parques de diversões utilizam-se de princípios da 
gMecânica para criar movimentos aos quais não estamos habituados, 
gerando novas sensações. Por isso um parque de diversões é um 
ótimo local para ilustrar princípios básicos da Mecânica. 
a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por 
uma rampa de altura H=5 m e, ao final da rampa, passa por um 
trecho circular de raio R=2 m, conforme mostra a figura abaixo. 
Calcule o módulo da aceleração no ponto mais baixo do circuito, 
considerando que o carrinho partiu do repouso.
b) Outro brinquedo comum em parques de diversões é o chapéu 
mexicano, em que cadeiras são penduradas com correntes na 
borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotação 
perpendicular ao solo. Considere um chapéu mexicano com 
estrutura circular de raio R=6,3 m e correntes de comprimento 
L=2 m. Ao girar, as cadeiras se elevam 40 cm, afastando-se 1,2 
m do eixo de rotação, conforme mostra a figura abaixo. Calcule a 
velocidade angular de rotação do brinquedo.
 
24. Uma garota de 50 kg está brincando em um balanço constituído de 
um assento e de uma corda ideal que tem uma de suas extremidades 
presa nesse assento e a outra, em um saco de areia de 66 kg que 
está apoiado, em repouso, sobre o piso horizontal. A corda passa por 
duas roldanas ideais fixas no teto e, enquanto oscila, a garota percorre 
uma trajetória circular contida em um plano vertical de modo que, ao 
passar pelo ponto A, a corda fica instantaneamente vertical.
Desprezando a resistência do ar e a massa do assento, considerando 
g= 10 m/s2 e as informações contidas na figura, a maior velocidade, 
em m/s, com a qual a garota pode passar pelo ponto A sem que o saco 
de areia perca contato com o solo é igual a 
a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1
25. Considere duas partículas de massa m, cada qual presa numa 
das pontas de uma corda, de comprimento  e massa desprezível, 
que atravessa um orifício de uma mesa horizontal lisa. Conforme 
mostra a figura, a partícula sobre a mesa descreve um movimento 
circular uniforme de raio r e velocidade angular 1.ω A partícula 
suspensa também descreve esse mesmo tipo de movimento, mas 
com velocidade angular 2,ω estando presa a uma mola de constante 
elástica k e comprimento natural desprezível, mantida na horizontal.
Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e θ o ângulo do trecho 
suspenso da corda com a vertical, a razão ( )21 2ω ω é dada por 
a) 
r[mg k( r)cos )
.
mg( r)
+ − θ
−


b) 
( r)(mg krcos )
.
mgrsen
− + θ
θ

c) 
2
( r)(mg kr tg )
.
kr
− + θ
d) k( r)cos .
mg kr
− θ
+

e) 
( r)k cos
.
mg k( r)cos
− θ
+ − θ


EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (ESC. NAVAL 2015) Analise a figura abaixo.
A figura acima mostra um bloco de massa 0,3 kg que está 
preso a uma superfície de um cone que forma um ângulo 
θ =30° com seu eixo central 00’, fixo em relação ao sistema de eixos 
xyz. O cone gira com velocidade angular ω = 10 rad/s em relação ao 
eixo 00’. Sabendo que o bloco está a uma distância d = 20 cm do 
vértice do cone, o módulo da força resultante sobre o bloco, medido 
pelo referencial fixo xyz em newtons, é
a) 2,0 b) 3,0 c) 3,5 d) 6,0 e) 10
89
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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02. (ITA-2009) A partir do repouso, um carrinho de montanha russa 
desliza de uma altura H = 20 3 m sobre uma rampa de 60° de 
inclinação e corre 20 m num trecho horizontal antes de chegar a um 
loop circular, de pista sem atrito.
Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano 
horizontal é 0,5, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse 
loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato 
com a sua pista.
a) R m= 8 3
b) R ( )m= −4 3 1
c) R ( )m= −8 3 1
d) R ( )m= −4 2 3 1
e) 
( )
R m
−
=
3 1
40
3
03. (UFRJ 2006) Uma caixa é pendurada no teto de um ônibus por meio 
de fios ideais presos a um dinamômetro de massa desprezível. A figura 
mostra esses objetos em equilíbrio em relação ao ônibus, enquanto 
ele está percorrendo um trecho circular de uma estrada horizontal, 
com velocidade de 72 km/h. Nessa situação, o dinamômetro mostra 
que a tensão no fio é 65 N.
direção
ver�cal
6,0kg
65N
Sabendo que a massa da caixa é 6,0 kg, calcule o raio da curva da 
estrada.
04. (ESPCEX (AMAN) 2016) Um corpo de massa 300 kg é abandonado, 
a partir do repouso, sobre uma rampa no ponto A, que está a 40 m de 
altura, e desliza sobre a rampa até o ponto B, sem atrito. Ao terminar 
a rampa AB, ele continua o seu movimento e percorre 40 m de um 
trecho plano e horizontal BC com coeficiente de atrito dinâmico de 
0,25 e, em seguida, percorre uma pista de formato circular de raio R, 
sem atrito, conforme o desenho abaixo. O maior raio R que a pista 
pode ter, para que o corpo faça todo trajeto, sem perder o contato 
com ela é de
Dado: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s²
a) 8 m b) 10 m c) 12 m d) 16 m e) 20 m
05. (EPCAR (AFA) 2018) Em muitos problemas de física desprezam-se 
as forças de resistência ao movimento. Entretanto, sabe-se que, na 
prática, essas forças são significativas e muitas vezes desempenham 
um papel determinante.
Por exemplo, “no automobilismo, os veículos comumente possuem 
dispositivos aerodinâmicos implementados, os quais têm a função 
de contribuir para o aumento da ‘Downforce’, uma força vertical, 
inversa à sustentação, que busca incrementar a aderência dos pneus 
ao asfalto através de um acréscimo na carga normal, permitindo que 
o veículo possa realizar as curvas com uma velocidade maior do que 
o faria sem estes dispositivos”.
(Trecho retirado da monografia intitulada Sistema ativo de redução de arrasto 
aerodinâmicopor atuador aplicado a um protótipo de fórmula SAE, de autoria 
de Danilo Barbosa Porto, apresentada na Escola de Engenharia de São Carlos, da 
Universidade de São Paulo, em 2016).
Para avaliar o papel da “Downforce”, considere um carro de Fórmula 
1, de massa M, realizando uma curva em determinada pista plana. 
Ao se desprezar completamente os efeitos produzidos pelo seu 
movimento em relação ao ar, mas considerando o atrito entre pneus 
e o asfalto, o carro consegue fazer a curva, sem derrapar, a uma 
velocidade máxima V. Porém, ao levar em conta, especificamente, a 
atuação da “Downforce” D (desconsiderando a força de arrasto) a 
velocidade máxima V’ do carro, nessa mesma curva, muda em função 
de D. Nessas condições, o gráfico que melhor representa a relação 
V'
V
 em função de D é 
90
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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06. (UFRJ 2004) Uma bolinha de gude de dimensões desprezíveis é 
abandonada, a partir do repouso, na borda de um hemisfério oco e 
passa a deslizar, sem atrito, em seu interior.
f
�θ
C
posição onde foi
abandonada a 
bolinha
Calcule o ângulo θ entre o vetor-posição da bolinha em relação ao centro 
C e a vertical para o qual a força resultante f sobre a bolinha é horizontal.
07. (AFA 2013) Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, 
uma partícula move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por 
sua vez, possui uma inclinação q. Essa partícula está presa a um poste 
central, por meio de um fio ideal de comprimento l que, através de 
uma articulação, pode girar livremente em torno do poste. O fio é 
mantido paralelo à superfície da pista, conforme figura abaixo.
2
�
C
�
θ
Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula fica 
“flutuando” sobre a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula 
fica na iminência de perder o contato com a pista e, além disso, 
descreve uma trajetória circular com centro em C, também indicado 
na figura.
Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a
a) 
 
  
3 g
2
b) ( )g
c) 3 g
d) ( )4 2 g
08. (AFA-2011) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, 
com velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. 
Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa 
pedra dá diversas voltas, até que, em um dado instante, o fio arrebenta 
e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura a seguir.
Sujeita apenas a aceleração da gravidade g, a pedra passou, 
então, a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma 
distância horizontal x equivalente a 4R.
A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava 
pelo ponto onde ele se rompeu era igual a
a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg
09. (ESC. NAVAL 2013) Um pêndulo, composto de um fio 
ideal de comprimento L = 2,00 m e uma massa M=20,0 kg 
executa um movimento vertical de tal forma que a massa M 
atinge uma altura máxima de 0,400 m em relação ao seu nível 
mais baixo. A força máxima, em newtons, que agirá no fio 
durante o movimento será
Dado: g , m / s= 210 0

a) 280 b) 140 c) 120 d) 80,0 e) 60,0
10. (ESC. NAVAL 2014) Observe a figura a seguir.
A figura acima mostra uma esfera presa à extremidade de um fio ideal 
de comprimento L, que tem sua outra extremidade presa ao ponto 
fixo C. A esfera possui velocidade VA no ponto A quando o fio faz 
um ângulo de 60° com a vertical. Sendo ainda, VA igual à velocidade 
mínima que a esfera deve ter no ponto A, para percorrer uma trajetória 
circular de raio L, no plano vertical, e sendo B, o ponto da trajetória 
onde a esfera tem velocidade de menor módulo, qual é a razão entre 
as velocidades nos pontos B e A, VB / VA ?
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 1
2
DESAFIO PRO
1 Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada a um fio inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com 
velocidade constante em módulo igual a 
4 6
15
m/s, formando 
um cone circular imaginário, conforme a figura abaixo.
O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo 
um mesmo ângulo α com a vertical, cuja tangente é 8/15. A 
componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é a força 
91
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone 
imaginário, em cm3, é 
a) π280
b) π320
c) π600
d) π960
e) π1800
2 A montanha-russa de um parque de diversão, esquematizada na figura a seguir, foi projetada com 
segurança para que a força resultante sobre um carrinho de 
massa m, ao passar pelo ponto C num trilho circular de raio R, 
fosse de mg ( )17 , após ter sido abandonado no ponto A.
Dessa forma, determine:
a) a altura h em função do raio R do trilho;
b) a força exercida pelo trilho sobre o carrinho no ponto D, em 
função de m e g . 
3 Uma estação espacial em forma de um toroide, de raio interno R1, e externo R2, gira, com período P, em torno do 
seu eixo central, numa região de gravidade nula. O astronauta 
sente que seu “peso” aumenta de 20%, quando corre com 
velocidade constante 

v no interior desta estação, ao longo de 
sua maior circunferência, conforme mostra a figura.
 Assinale a expressão que indica o módulo dessa velocidade.
 
c) v = 
  π
−  
 
26 2 R1
5 P
d) v =   π−  
 
25 2 R1
6 P
e) v = 
  π
+  
 
25 2 R1
6 P
f) v = 
π + 
 
25 2 R1
6 P
g) v = 
π − 
 
26 2 R1
5 P
4 Uma bolinha de gude de dimensões desprezíveis é abandonada, a partir do repouso, na borda de um 
hemisfério oco e passa a deslizar, sem atrito, em seu interior.
Calcule o ângulo θ entre o vetor-posição da bolinha em relação 
ao centro C e a vertical para o qual a força resultante f sobre a 
bolinha é horizontal. 
5 Um corpo de massa m e velocidade V0 a uma altura h desliza sem atrito sobre uma pista que termina em forma 
de semicircunferência de raio r, conforme indicado na figura. 
Determine a razão entre as coordenadas x e y do ponto P na 
semicircunferência, onde o corpo perde o contato com a pista. 
Considere a aceleração da gravidade g.
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:
 – 1 ton de TNT = ⋅ 94,0 10 J .
 – Aceleração da gravidade = = 2g 10 m/s .
 – 51 atm = 10 Pa .
 – Massa específica do ferro ρ = 38000 kg/m .
 – Raio da Terra = =R 6400 km .
 – Permeabilidade magnética do vácuo 
−µ = π ⋅ 7 20 4 10 N/A . 
6 Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria apresenta uma 
superfície crônica que forma um ângulo θ com a horizontal, 
conforme a figura. Sobre esta superfície, uma pequena esfera 
gira com a mesma velocidade angular mantendo-se a uma 
distância d do eixo de rotação. Nestas condições, o período de 
rotação do funil é dado por
 
a) π θ2 d / g sen
b) π θ2 d / g cos
c) π θ2 d / g tan
d) π θ2 2d / g sen2
e) π θ θ2 dcos / g tan
92
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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7 O sistema mostrado na figura gira em torno de um eixo central em velocidade angular constante ω. Dois cubos 
idênticos, de massa uniformemente distribuída, estão dispostos 
simetricamente a uma distância r do centro ao eixo, apoiados 
em superfícies inclinadas de ângulo θ. Admitindo que não 
existe movimento relativo dos cubos em relação às superfícies, 
a menor velocidade angular ω para que o sistema se mantenha 
nessas condições é:
Dados:
- aceleração da gravidade: g;
- massa de cada cubo: m;
- aresta de cada cubo: a; e
- coeficiente de atrito entre os cubos e as superfícies inclinadas: µ. 
a) 
  µ ⋅ θ
  θ + µ ⋅ θ  
1
2g cos ( )
r sen ( ) cos ( )
b)   µ ⋅ θ  θ + µ ⋅ θ  
1
2g cos ( )
r cos ( ) sen ( )
c) 
  µ ⋅ θ + θ
  θ + µ ⋅ θ  
1
2g sen ( ) cos ( )
r sen ( ) cos ( )
d) 
  θ − µ ⋅ θ
  θ + µ ⋅ θ  
1
2g sen ( ) cos ( )
r cos ( ) sen ( )
e) 
  θ − µ ⋅ θ
  θ + µ ⋅ θ  
1
2g sen ( ) cos ( )
r sen ( ) cos ( )
 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. A
03. C
04. C
05. D06. C
07. C
08. A
09. 24
10. D
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. C
02. A
03. E
04. B
05. C
06. B
07. A
08. E
09. B
10. A
11.C
12. A
13. C
14. B
15. B
16. 14
17. 
a) V E d
V
E
d
= ⋅
∴ =
b) 
( )mgd qV
F tg
d
+
∴ = θ
c) 
mgd qV
mdLcos
+
∴ω =
θ
18.a) 90 s b) 7500 N
19. 6 m
20. B
21. 28
22. ANULADA
23. a) 50 m/s2
b) 1 rad/s
24.D
25. A
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. B
02. C
03. DISC
04. C
05. B
06. DISC
07. A
08. C
09. A
10. C
ANOTAÇÕES