Prévia do material em texto
GAAL - Primeira Prova - 06/outubro/2012 SOLUÇÕES Questão 1: Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. x + y + z = 2 2x + y − 2z = 3 6y + (k2 − 1)z = k + 1 Determine todos os valores de k para os quais o sistema: (a) tem uma única solução (neste caso encontre a única solução); (b) não tem solução; (c) tem infinitas soluções (encontre a solução geral). SOLUÇÃO: Vamos escalonar a matriz aumentada. 1 1 1 2 2 1 −2 3 0 6 k2 − 1 k + 1 Efetuando a operação elementar L2 ← L2 − 2L1 obtemos: 1 1 1 2 0 −1 −4 −1 0 6 k2 − 1 k + 1 Trocando o sinal da segunda linha, obtemos: 1 1 1 2 0 1 4 1 0 6 k2 − 1 k + 1 Efetuando as operações elementares L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 − 6L2 obtemos: 1 0 −3 1 0 1 4 1 0 0 k2 − 25 k − 5 A última linha desta matriz é equivalente a equação (k2 − 25)z = k − 5. Analisando esta equação, vemos que: (a) O sistema tem solução única se k2 − 25 6= 0. Ou seja, se k 6= −5 e k 6= 5. (b) Se k = −5 esta equação toma a forma 0z = −10 e o sistema não tem solução. (c) Se k = 5 esta equação toma a forma 0z = 0 e o sistema possui infinitas soluções. Agora vamos supor que k2 − 25 6= 0 e vamos determinar a solução do sistema. Continuando o escalonamento, neste caso, podemos dividir a terceira linha da matriz por k2 − 25 = (k − 5)(k + 5), obtendo 1 0 −3 1 0 1 4 1 0 0 1 1 k+5 Efetuando as operações elementares L1 ← L1 + 3L3 e L2 ← L2 − 4L3 obtemos: 1 0 0 k+8 k+5 0 1 0 k+1 k+5 0 0 1 1 k+5 Portanto a solução do sistema linear no caso de ele ter uma única solução é x = k + 8 k + 5 , y = k + 1 k + 5 e z = 1 k + 5 . Agora vamos supor que k = 5 e vamos determinar a solução geral do sistema no caso dele ter infinitas soluções. Substituindo k = 5, após o escalonamento já realizado, obtemos a matriz aumentada 1 0 −3 1 0 1 4 1 0 0 0 0 Aqui vemos x = 1 + 3z, y = 1 − 4z e que z é uma variável livre. A solução geral do sistema pode ser escrita na forma S = { (x, y, z) = (1 + 3t, 1− 4t, t), ∀ t ∈ R }. Questão 2: (a) Determine, caso exista, a inversa da matriz B. (b) Calcule também o determinante de B. B = 0 −2 1 0 1 0 0 1 0 3 −1 0 1 0 0 2 . SOLUÇÃO: Vamos calcular B−1 escalonando a matriz 0 −2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 3 −1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 1 . Trocando de posição a primeira com a segunda linha obtemos 1 0 0 1 0 1 0 0 0 −2 1 0 1 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 1 . Efetuando a operação elementar L4 ← L4 − L1 obtemos 1 0 0 1 0 1 0 0 0 −2 1 0 1 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 . Para evitar a manipulação com frações, vamos fazer a operação elementar L2 ← L2+L3, obtendo o pivô da segunda linha: 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 3 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 . Agora fazemos a operação elementar L3 ← L3 − 3L2, obtendo 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 −1 0 −3 0 −2 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 . Trocando o sinal da terceira linha e fazendo a operação elementar L1 ← L1−L4 obtemos 1 0 0 0 0 2 0 −1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 3 0 2 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 . Como obtemos a matriz identidade do lado esquerdo, conclúımos que B é invert́ıvel e que B−1 é a matriz que está escrita do lado direito, ou seja, B−1 = 0 2 0 −1 1 0 1 0 3 0 2 0 0 −1 0 1 . Para calcular o determinante de B, observe que durante o escalonamento, as únicas operações elementares que afetaram o determinante foram • trocar de posição a primeira com a segunda linha. • trocar o sinal da terceira linha. Cada uma destas operações elementares trocou o sinal do determinante uma vez. Como chegamos na matriz identidade, que tem determinante igual a 1, podemos concluir que det(B) = −(−1) = 1. Questão 3: Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se A é uma matriz quadrada invert́ıvel, então AtA também é invert́ıvel. (b) Seja A uma matriz quadrada tal que o sistema linear homogêneo AX = 0 possui infinitas soluções. Então o sistema linear AX = B também possui infinitas soluções. (c) Se A é uma matriz quadrada tal que det(A) > 0 então det(−A) < 0. SOLUÇÃO: (a) (Verdadeira) Como A é invert́ıvel, temos que det(A) 6= 0. Dáı det(AtA) = det(At) det(A) = det(A) det(A) = det(A)2 6= 0. Isto implica que a matriz AtA é invert́ıvel. (b) (Falsa) Se o sistema linear homogêneo AX = 0 possui infinitas soluções, a matriz A não tem inversa. Neste caso um sistema linear AX = B ou tem infinitas soluções ou não admite solução alguma. A seguir ilustramos uma matriz não invert́ıvel A tal que o sistema linear homogêneo AX = 0 possui infinitas soluções mas o sistema AX = B não tem solução.{ x + y = 0 x + y = 0 { x + y = 1 x + y = 2 (c) (Falsa) Se A é uma matriz quadrada n× n e se k é um número real, sabemos que det(kA) = kn det(A). Se, em particular, k = −1, obtemos det(−A) = (−1)n det(A). No caso de n ser um número par, det(−A) = det(A) e assim os números det(A) e det(−A) possuem o mesmo sinal.