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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
FACULDADE DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA
5º RELATÓRIO DE ELETRICIDADE II
CIRCUITOS COM ENERGIA ELÉTRICA ALTERNADA: IMPEDÂNCIA, FASORES,
VALOR EFICAZ, FATOR DE POTÊNCIA, PERDAS EM CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Aluno ______________________________________ Matrícula _______________
4º período - ___ º semestre de 200___
ÍNDICE:
- 1ª parte: identificação ( folha de rosto )-- pag. 1
- 2ª parte: descrição do trabalho ------------ pag. 2
- 3ª parte: base de dados--------------------- pag. 14
- 4ª parte: exposição do experimento ------ pag. 16
- 5ª parte: gráficos---------------------------- pag. 19
Rio de Janeiro, ____ de ________________________ de 200____
_______________________________________
UERJ – 2002 – 1o SEMESTRE – ELETRICIDADE II - 5a Aula Prática pag. 14
3ª parte: base de dados
item 2.3.d , item 2.3.g , TABELA 3 – Lista de Materiais.
Tipo de equipamento Nome do fabricante Modelo do equipamento Número de série N0 patrimonial UERJ
| | | | |
Multímetro Minipa ET 304 Desconhecido 56547
Indutância Leybold Heraus 0,044H x 1,25A x 9,5Ω Desconhecido Não tem
Núcleo de Fe-Si Leybold Heraus Desconhecido Desconhecido Não tem
Capacitor a óleo Leybold Heraus 2µF x 280 V Desconhecido Não tem
Gerador ( fonte ) CA Eico 1064 - S 17.613 41.256
Item 6.2 : circuito equivalente para VCC = 100 V
Item 2.6.e.1 ; 2.6.e.6 , 2.6.f.1
Item 2.6.c.1 , 2.6.e.1 , 2.6.e.6 , 2.3.g
2.7 - TABELA 2 : Quadro de Medidas .
As colunas “ Valor teórico esperado ” e “ Percentual de erro ” foram preenchidas supondo-se que o aluno ainda não
sabe que a presença do núcleo de ferro fará muita diferença no comportamento da indutância do circuito. Este é o motivo
dos valores “ exagerados ” obtidos na coluna “ Percentual de erro ”
Leitura
no alcance
inferior
Leitura
no alcance
superior
Leitura no
alcance correto
Multipli-
cador
no alcance
correto
MEDIDA
( no alcance
correto )
Valor
teórico esperado
Percentual
de erro
Escala
utilizada
| | | | | | | |
VQJ ***** ***** 10 – 9 - 8 10 100 – 90 - 80 100 – 90 - 80 25 AC
VQN ***** ***** 8,3 – 7,5 - 6,5 10 83 – 75 - 65 101 – 91 - 81 21 % 25 AC
VNJ ***** ***** 14,3 – 12,8 – 11,5 10 143 - 128 - 115 1,26–1,26–1,26 99 % 25 AC
CO
M
A
E
½ L
½ R
L+
R
+f
e
½ L
½ R
VCCA
J
Q N
ABC
VQJ
ABC
VNJ
ABC
VQN
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Item 2.3.g , Item 7 – Descrição dos controles de novos equipamentos
Não foram encontrados novos equipamentos nesse experimento . Os controles são similares àqueles da 2º experiên-
cia
Item 6.6
Item 6.7
Item 2.20
VCA 60 Hz
VOLTÍMETRO
Z
V
 =
∞
X
C
 =
∞
1 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
1 
M
Ω
1 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
1 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
CIRCUITO EQUIVALENTE
CIRCUITO EQUIVALENTE
X
C
 =
0
0,
5 
M
Ω
VCA 60 MHz
VOLTÍMETRO
Z
V
 =
∞
1 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
1 
M
Ω
X
C
 =
0
1 
M
Ω
0,
5 
M
Ω
X
C
 =
0
CO
A
E
VCA
J
N Q
9,5 Ω
RFe = 1561 Ω
L = 4,424 H
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4ª parte: exposição do experimento. Os cálculos estão no “ Item 9 – memória de cálculos ” mais adiante.
Item 6 - Questionário
Solicitado no item 2.3.b
item 6.1.a : Supondo que o aluno ainda não sabe que a presença do núcleo de ferro fará muita diferença no comportamento
da indutância do circuito .
Aluno A : i = 0,07639 A Aluno B : i = 0,06875 A Aluno C : i = 0,06112 A
Item 6.1.b : 1,25 A indicado no corpo da bobina .
Item 6.2.a : a reatância do capacitor para tensão contínua é XC = ∞ e portanto a corrente no circuito, que é série, será ZERO
Item 6.2.b : o capacitor comporta-se como um circuito aberto e nele aparecerá toda a tensão da fonte. VL = ZERO
Item 6.3 a : Supondo que o aluno ainda não sabe que a presença do núcleo de ferro fará muita diferença no comportamento
da indutância do circuito .
Aluno A : i = 5,230 / -60,20º A Aluno B : i = 4,707 / -60,20º A Aluno C : i = 4,184 / -60,20º A
Item 6.3.b : idem observação acima
Aluno A : i = 10,53 A Aluno B : i = 9,474 A Aluno C : i = 9,421 A
Item 6.3.c : no caso a) a reatância indutiva é relativamente baixa e em conjunto com a resistência produz uma impedância
resultante que não é suficiente para limitar a corrente, que circulará pela bobina, em um valor abaixo do valor es-
pecificado pelo fabricante, e o valor calculado indica que a bobina sofrerá danos; porém estamos trabalhando
com a observação feita no item a) e como veremos no item 6.13 o cálculo feito não está correto.. No caso b) a
reatância indutiva é zero e o resultado é uma corrente maior ainda que a calculada no caso a) ; mas agora os cál-
culos estão corretos e a bobina sofrerá danos realmente.
Solicitado no item 2.3.c
Item 6.4 os instrumentos indicadores costumam ter registrado, em sua face, a dimensão da grandeza que medem. No
caso do gerador CA desse experimento o voltímetro e o amperímetro que o equipam informam respectivamente
Volts AC e Ampères AC
Solicitado no Item 2.6.a
Item 6.5.a - No alcance superior voltímetros e amperímetros estão ajustados para receber uma potência maior do que aquela
que de fato receberão do circuito onde forem conectados, isto é, VMAX POSSÍVEL DE SER MEDIDO > VRECEBIDO .
Item 6.5.b – No alcance inferior voltímetros e amperímetros estão ajustados para receber uma potência menor do que aquela
que de fato receberão do circuito onde forem conectados, isto é, VMAX POSSÍVEL DE SER MEDIDO < VRECEBIDO o que
poderá ( e normalmente acontece ) provocar danos ou a inutilização do aparelho.
Solicitado no Item 2.3.g
Item 6.6 V = VCA ÷ 2
Item 6.7 V = ZERO
Item 6.8 A corrente que passa pela bobina por ser senoidal deverá passar por zero duas vezes a cada ciclo da senóide .
Essa mesma corrente também está produzindo um fluxo magnético que se estabelece no núcleo de ferro . O
campo magnético faz com que as peças que formam o núcleo atraiam-se, sendo necessário um certo esforço para
separá-las; menos no instante em que a corrente passa por ZERO . Nesse instante é possível separá-las porém
quase que imediatamente a corrente torna-se diferente de ZERO e as peças voltam a se atrair, chocando-se e pro-
duzindo um ruído similar a um ronco .
Item 6.9.a : são contínuas
b : são alternadas
c : são periódicas
Item 6.10 a : L = 4,424 H
Item 6.10.b : O valor registrado pelo fabricante na bobina é o valor quando imersa no ar . Com a colocação de um circuito
magnético, o núcleo da bobina, a quantidade de energia que pode ser acumulada pelo conjunto indutor+núcleo
aumentou, por isso a diferença entre o valor calculado, L = 4,424 H e o registrado pelo fabricante, 0,044 H .
Item 6.10.c : wL = 195,8 x 10-3 J = 0,1958 J
Item 6.11 VRL = 0,5946 Volts
Item 6.12.a : VRfe ≡ VR(L+Fe) = 97,67 Volts
Item 6.12.b : RFe = 1561 Ω
Item 6.13.a : Aluno A : i = 62,59 mA Aluno B : 56,56 mA Aluno C : 49,02 mA
Item 6.13.b : Os valores são diferentes porque não se levou em consideração a mudança do valor da indutância com a pre-
sença do núcleo de ferro .
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Aluno A : i = 0,07639 A Aluno B : i = 0,06875 A Aluno C : i = 0,06112 A
Item 6.14 : Ver gráfico na 6ª parte.
Item 6.15 : Ver gráfico na 6ª parte
Item 6.16 : Ver gráfico na 6ª parte
Item 6.17 : Ver gráfico na 6ª parte
Item 6.18 : O único elemento que teve sua reatância modificada foi o conjunto bobina+núcleo de ferro.
Reatância capacitiva, XC = 1326 Ω
Reatância indutiva, XL = 1757 Ω
Item 6.19 : C = 0,06132 µF para o circuito permanecer indutivo com cos φ = 0,92
 C = 0,02689 µF para o circuito se tornar reativo com cos φ = 0,92
Item 6.20 : ver figura na 3ª parte: base de dados
Item 6.21 : Circuitos com energia elétrica alternada: impedância, fasores, valor eficaz, fator de potência, perdas em circuitos
magnéticos .
Item 6.22 : As conclusões dependem exclusivamente dos dados experimentais .
Solicitado no item 2.3.g - Solicitado no Item 9 – Memória de cálculos .
Item 6.1.a : XL = 377x 0,044 = 16,59 Ω XC = ( 377 x 2x10-6 )-1 = 1326 Ω ⇒
Z = R + j( XL – XC ) = 9,5 + j( 16,59 – 1326 ) = 9,5 – j1309 = 1309 / -89,58º = 1309 / -90º ⇒
Aluno A : i = 100 / 0º ÷ 1309 / -90º = 0,07639 / 90º A
Aluno B : i = 90 / 0º ÷ 1309 / -90º = 0,06875 / 90º A
Aluno C : i = 80 / 0º ÷ 1309 / -90º = 0,06112 / 90º A
Item 6.2.a : Ver circuito equivalente na base de dados XC = ( w x C ) –1 e como w = 0 XC = ∞ ⇒ i = 0
Item 6.2.b : Aplicando Kirchoff ΣV = 0 e como i = 0 ⇒ VL = i x XL = 0 ⇒ VCC – VQN = 0 ⇒ VQN = VCC
Item 6.3.a : ZR+L = 9,5 + j377 x 0,044 = 9,5 + j16,59 = 19,12 / 60,20º ⇒
Aluno A : i = 100 / 0º ÷ 19,12 / 60,20º = 5,230 / -60,20º A
Aluno B : i = 90 / 0º ÷ 19,12 / 60,20º = 4,707 / -60,20º A
Aluno C : i = 80 / 0º ÷ 19,12 / 60,20º = 4,184 / -60,20º A
Item 6.3.b : para w=0 XL = 0 ⇒ ZR+L = ZR = 9,5 Ω ⇒
Aluno A : i = 100 ÷ 9,5 = 10,53 A
Aluno B : i = 90 ÷ 9,5 = 9,474 A
Aluno C : i = 80 ÷ 9,5 = 9,421 A
Solicitado no Item 2.3.g
Item 6.6 : Ver circuito equivalente na base de dados.
No circuito equivalente do voltímetro, fornecido no enunciado, a capacitância de entrada tem uma reatância
XC = ( w C )-1 = 44,21 M Ω ≈ ∞ Ω e o voltímetro ideal tem Z = ∞ Ω. Assim todo o voltímetro equivale a um
resistor de 1 M Ω , que está em paralelo com outra resistência de 1 M Ω do circuito a ser medido totalizando
0,5 M Ω.
I = VCA ÷ [ 0,5 +.( 1 || 1 )] M Ω ⇒ i = VCA ÷ 1 M Ω ⇒ V = i x 0,5 M Ω = VCA ÷ ( 1 x 0,5 ) M Ω ⇒
V = VCA ÷ 2 .
Item 6.7 : Ver circuito equivalente na base de dados.
No circuito equivalente do voltímetro, fornecido no enunciado, a capacitância de entrada tem uma reatância
XC = ( w C )-1 = 0,000.044.21 M Ω que é mais de 11.000 vezes menor que a resistência de entrada do voltíme-
tro . E como o voltímetro ideal tem Z = ∞ Ω , o voltímetro, como um todo, eqüivale a uma reatância capacitiva
de 44,21 Ω que está em paralelo com uma resistência de 1 M Ω do circuito a ser medido. A resultante desse
paralelo será sensivelmente = 44,21 Ω. Esta reatância capacitiva estará em série com outra resistência de
0,5 M Ω podendo ser considerada desprezível .
i = VCA ÷ 0,5 x 106 ⇒ V = i x 44,21 Ω = VCA ÷ 0,5 x 106 x 44,21 ⇒ V = VCA ÷ 22,11 x 106 ⇒ V = 0.
Item 6.10.a : Como o capacitor, para esta experiência, pode ser considerado ideal ( ver item 8.3 à pag. 10 ) podemos cons-
truir um gráfico fasorial com as medidas obtidas onde, se optarmos para uma corrente representada no eixo ho-
rizontal, teremos a tensão VQN como um fasor vertical a esta corrente ( ver Fig. 8.4.2 à pag 11 ). Podemos,
também, calcular a corrente. I = VQN ÷ XC = 83 ÷ 1326 = 62,59 mA .
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Devemos adiantar o item 6.14 e já fazer o gráfico solicitado. Pelo gráfico fasorial, construído em escala na 6ª
parte deste relatório, podemos medir, no eixo vertical, diretamente o valor da componente reativa da tensão que
existe no indutor. VXL ≈ 110 Volts = i x XL ⇒
XL = 110 ÷ 62,59 x 10-3 ⇒ XL = 1757 Ω ⇒ XL = wL ⇒ L = 1757 ÷ 377 = 4,662 H
Pode-se também calcular o valor VXL por meio do teorema dos co-senos, a2 = b2 + c2 – 2bc cos  , e nesse
caso VXL = 104,4 Volts . Os dois valores são válidos mas devemos sempre que possível utilizar os valores ana-
líticos, e assim VXL = 104,4 Volts = i x XL ⇒
XL = 104,4 ÷ 62,59 x 10-3 ⇒ XL = 1668 Ω ⇒ XL = wL ⇒ L = 1668 ÷ 377 = 4,424 H . Observar
que a diferença de ≈ 5% entre os dois valores achados ( o experimental 4,662 e analítico 4,424 ) está dentro do
grau de exatidão deste experimento .
Item 6.10.c : wL = ½ LI2 onde I = valor máximo de iRMS = 62,59 x 10-3 1,414 = 88,52 x 10-3 Ampères
wL = ½ x 4,424 x ( 88,52 x 10-3 )2 = 195,8 x 10-3 J = 0,1958 J
Item 6.11 i = 62, 59 mA ( já calculada no item 6.10.a acima ) e RL 9,5 Ω ⇒ VRL = 62,59 x 10-3 x 9,5 = 0,5946 Volts.
Item 6.12.a : Pelo gráfico fasorial, construído em escala na 6ª parte deste relatório, podemos medir, no eixo horizontal, di-
retamente o valor da componente resistiva no indutor: VR(L+Fe) = 98 Volts
Pode-se também calcular o valor VR(L+Fe) por meio do teorema dos co-senos, a2 = b2 + c2 – 2bc cos  , e nesse
caso VR(L+Fe) = 97,67 Volts . Os dois valores são válidos mas devemos sempre que possível utilizar os valores
analíticos, e assim VR(L+Fe) = 97,67 Volts = i x XL ⇒ RL+Fe = 97,67 ÷ 62,59 x 10-3 ⇒ RL+Fe = 1561 Ω.
Como a tensão obtida é a tensão total em perdas resistivas, corresponderá a VRL + VRfe . Devemos então dimi-
nuir o valor de VRL = 0,5946 Volts , já calculado e que nesse caso é desprezível, do valor de VR(L+Fe) = 98 ⇒
VRfe ≡ VR(L+Fe) = 97,67 Volts. Observar que a diferença entre os dois valores achados ( o gráfico 98 e analítico
97,67 ) é de apenas 0,34 % .
Item 6.12.b : como a tensão de perda em RL é muito pequena podemos considerar apenas as perdas do ferro, VRfe ≡ VR(L+Fe)
= 97,67 Volts ⇒ RFe = VRfe ÷ i = 97,67 ÷ 0,06259 = 1561 Ω
Item 6.13.a : I = VQN ÷ XC
Aluno A: i = 83 ÷ 1326 = 62,59 mA ( já calculada no item 6.10.a acima )
Aluno B: i = 75 ÷ 1326 = 56,56 mA Aluno C: i = 65 ÷ 1326 = 49,02 mA
Item 6.18 : Reatância capacitiva, já calculada no item 6.1.a : XC = 1326 Ω
Reatância indutiva, já calculada no item 6.10.a : XL = 1757 Ω
Item 6.19 : correção do fator de potência
Método usual: P = VI cos ϕ .
Pelo gráfico fasorial do item 6.14 e por meio do teorema dos co-senos, a2 = b2 + c2 – 2bc cos  ⇒
ϕ = + 23, 07 º ⇒ P =
Para cos ϕ = 0,92 ⇒ ϕ = ± 23, 07 º ⇒ tg ± 23,07 º = ( XL – XC ) / R ⇒ ± 0,4260 = X / 1561 ⇒
X = ± 665,0
O circuito apresentado é indutivo com XL = 1757 Ω e precisa de XL = 1757 – 665,0 = 1092 Ω = w L para con-
tinuar indutivo chegar a cos ϕ = 0,92 que corresponde a L = 2,0897 H .
Para o circuito ficar capacitivo é preciso anular a reatância indutiva e acrescentar 665 Ω capacitivos, totalizando
1757 + 665 = 2422 Ω = ( w C )-1 que corresponde a C = 1,095 µF
Item 2.3.g , Item 10 - Teste seus conhecimentos
Ao interromper o circuito magnético algumas linhas de força foram interceptadas pela mão do aluno. Como nosso
corpo é diamagnético estas linhas tenderam a ser repelidas pela mão do aluno e portanto pouca, ou quase nenhuma, quanti-
dade de energia interagiu com o organismo humano, na forma de campo magnético , e portanto não percebemos nenhum
efeito fisiológico.
Item 2.3.g - Comentários
Comparando-se o diagrama fasorial ( item 6.14 ) com os gráficos senoidais ( item 6.15 ) pode-se observar que o em-
prego de fasores torna mais fácil a compreensão e o tratamento de dados que têm a forma senoidal.
Verificou—se que as perdas no ferro são muito maiores que as perdas no enrolamento da bobina e também a influência
de um circuito ferromagnético em uma bobina aumentando muito valor de sua indutância . O valor que a indutância do
circuito assumiu foi cerca de 100 vezes maior do que a indutância sem o núcleo. Este número ( 100 ) sugere que o con-
junto bobina+núcleo de ferro já foi fisicamente projetado e construído de forma a servir como um exemplo ilustrativo para
os alunos .
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6ª parte: Gráficos
Item 6.10 , Item 6.14 gráfico fasorial escala 15 volts / cm
Não é possível representar o valor de VRL pois é muito pequeno quando comparado com VRfe
VQJ = 100 Volts
V QN = 83 Volts
VNJ = 143 Volts
.
Item 6.16 - diagrama de impedâncias item 6.19 - correção do fator de potência
 escala 1 / 300 Ω / cm escala 1 / 1 cm / VA , Watt , var
antes da correção
após a correção
Q=
1,666 varN=
6,258 VA
P=
6,032 Watts
15,44º
capacivo
4,314 var
P=
6,032 Watts
0,9819 var
indutivo
23,07º
XL=
1757
RL+Fe=
1561
XC=
1326
Z=
1619 / 15,44º
X
R
VXL
109
98VRL+RFe
VQN
VNJ
VQJ
Iϕ
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Item 6.15
ESCALA VERTICAL : 25 Volts / cm 1 mA / cmv(t)XL = 154 cos ( wt ) volts v (t)XL = 154 sen ( wt + 90º ) volts
 v (t)NJ = 202 cos ( wt - 42º ) volts v (t)NJ = 202 sen ( wt + 48º ) volts
 v (t)QJ = 141 cos ( wt - 75º ) volts v (t)QJ = 141 sen ( wt + 15º ) volts
v (t)RL+RFe = 139 cos ( wt – 90º ) volts v (t)RL+RFe = 139 sen ( wt ) volts
 v (t)QN = 117 cos ( wt - 180º ) volts v (t)QN = 117 sen ( wt + 90º ) volts
 i(t) = 2,16 cos ( wt - 90º ) ma i(t) = 2,16 sen ( wt ) ma
 v (t)RL = 20,5 cos ( wt – 90º ) mv v (t)RL = 20,5 sen ( wt ) mv
O valor de v (t)RL é muito pequeno para ser representado no gráfico acima
-90º
VQJ MAX = 141
VXL MAX = 154
 I MAX = 2,16 mA
VNJ MAX = 202
VQN MAX = 117
VRL+ RFe MAX = 139
42º 15º
0º
t
V , mA
90º
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VQJ MAX = 141
 I MAX = 2,16 mA
15º
0º
t
V , mA
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Inserir este texto no futuro e acrescentar a folha itens de verificação e fluxograma .
2.3.g - Passe a limpo suas anotações dando a forma solicitada no apêndice A ( págs. Al e A2 ) enquanto simultaneamente
preenche a folha de “ itens de verificação ” à pág. 12 .............E finalmente ..........
d) qual a característica comum às curvas A, D ?
e) qual a característica comum às curvas B, C, E, F ?
d :
e : são periódicas ????
Item 6.17 : Potência ativa:
Para VMAX = ddp na resultante resistiva , o ângulo entre v, i é ϕ = 0º e portanto a potência ativa é:
( ) ( ) ( )
2
IV
wt2cos
2
IV
)t(p MAXATIVOMAXMAXATIVOMAXATIVO
⋅
++
⋅
= ϕ (ver fórmula da potência instantânea na pag. 10)
VATIVO = i x RRESULTANTE = 62,69 x 10-3 x 1561 = 97,86 Volts = 
2
V MAX
( ) == − wt2cos10x69,62x86,97)t(p 3ATIVO 6,135 cos ( 2wt )
Potência reativa:
Para VMAX = ddp na resultante reativa , o ângulo entre v, i é ϕ = 90º e portanto a potência reativa é:
( ) ( )ϕ+⋅= wt2cos
2
IV
)t(p MAXREATMAXREATIVO ( ver fórmula da potência instantânea na pag. 10 )
VREAT = i x XRESULTANTE = 62,69 x 10-3 x ( 1757-1326 ) = 27,02 Volts = 
2
V MAX
( ) =+= − ϕwt2cos10x69,62x02,27)t(p 3REATIVO 1,694 cos ( 2wt+ϕ )
Potência aparente
o ângulo ϕ e cos ϕ ( fator de potência ) podem ser obtidos de três formas :
1) pelo triângulo de impedâncias ( ver gráfico do item 6.16 ) ⇒ cos ϕ = cos {tg-1 [( XL – XC ) / RL+Fe ]} =
= cos {tg-1 [( 1757 – 1326 ) / 1561 ]} ⇒ cos ϕ =cos { tg-1 0,2761 } ⇒ ϕ = 15,44 º ⇒ cos ϕ = 0,9639
2) pelo gráfico fasorial do item 6.14 a projeção de VQJ x cos ϕ = 98 ⇒ cos ϕ = 98 / 100 = 0,98
3) medindo-se diretamente no gráfico fasorial da figura do item 6.14 ou 6.16 .
Vamos utilizar o valor analítico obtido em 1) , ϕ = 15,44 º
a fórmula da potência instantânea ( ) ϕϕ cos
2
IV
wt2cos
2
IV
)t(p MAXMAXMAXMAX
⋅
++
⋅
= onde ϕ = 15,44º