Integral da função Gaussiana Resolvida

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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática, Cálculo III-IV
Disciplina: Integral no Rn
Integral da Função Gaussiana
Função Gaussiana e solução
1 Apresentação
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2 Função Gaussiana
No presente texto faremos a apresentação da integral da função de Gauss ou da Distribui-
ção Normal de Gauss e apresentaremos sua solução através da integração em Rn com uso de
coordenadas polares. Esse desenvolvimento constitui uma importante aplicação do uso de mu-
danças de coordenadas que resulta em um simples processo de integração. Então de início,
trabalharemos com a função dada pela Equação (1) para −∞ < x <∞
f(x) =
1
σ
√
2π
· e
−(x− µ)2
2σ2

(1)
Em que os termos µ, σ2 descrevem, respectivamente, o valor médio e a variância do sistema.
Então, para prosseguirmos iremos considerar duas funções f nas variáveis x e y com lei de
associação análoga a Equação (1) que estão apresentadas na Equação (2)

f(x) =
1
σ
√
2π
· e
−(x− µ)2
2σ2

f(y) =
1
σ
√
2π
· e
−(y − µ)2
2σ2

.
(2)
Com isso posto, podemos passar ao nosso interesse: avaliar a integral da função dada em
(1). A ideia chave nessa parte do desenvolvimento será não avaliarmos diretamente a integral da
função (1) a qual passaremos a denotar por I , mas, sim I2 visto que I2 será obtido pelo produto
das duas funções definidas em (2), pois a mudança na variável x, y não altera o valor final da
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integral definida, apenas a região de integração. Na equação (3) definiremos de forma explícita
essa ideia, de modo que essa descrição torne-se mais natural.
Ix = I =
∫ ∞
−∞
1
σ
√
2π
· e
−(x− µ)2
2σ2

dx
Iy = I =
∫ ∞
−∞
1
σ
√
2π
· e
−(y − µ)2
2σ2

dy
(3)
Dessa forma, I2 é dado pela Equação (4)
I2 = IxIy =
1
2πσ2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e
−(x− µ)2 + (y − µ)2
2σ2

dxdy. (4)
Com a definição da Equação (4) podemos então passar ao uso de coordenadas polares.
Para tanto, precisaremos definir as mudanças no novo sistema referencial o qual é descrito nas
Equações de (5) 
x− µ = rcos(θ)
y − µ = rsen(θ)
(x− µ)2 + (y − µ)2 = r2
dx · dy = r · dr · dθ.
(5)
Aplicando as mudanças da Equação (5) em (4) e por conseguinte temos o seguinte desen-
volvimento algébrico
I2 =
1
2πσ2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e
−(x− µ)2 + (y − µ)2
2σ2

dxdy
=
1
2πσ2
∫ 2π
0
∫ ∞
0
e
−
r2
2σ2 rdrdθ
=
1
2πσ2
∫ 2π
0
(
−σ2e−r2
)∞
0
dθ
=
1
2π
∫ 2π
0
dθ
=
1
2π
· (θ)2π0 = 1
(6)
com isso, achamos que a integral I2 = 1 e portanto, temos que I = 1 com I sendo definida
pela Equação (3) representando a integral da função gaussiana.
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