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Presidência da República Ministério da Educação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Diretoria de Educação a Distância Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Matem@tica na Pr@tica Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Módulo II Funções elementares Paulo Antonio Silvani Caetano Roberto Ribeiro Paterlini Matem@tica na Pr@tica Produção Editorial - Central de Texto Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo Projeto gráfico: Helton Bastos Paginação: Maike Vanni Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini Índices para catálogo sistemático: 1. Funções elementares : Análise : Matemática 515.5 Caetano, Paulo Antonio Silvani Funções elementares : módulo II / Paulo Antonio Silvani Caetano, Roberto Ribeiro Paterlini. -- Cuiabá, MT : Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na pr@tica. Curso de especialização em ensino de matemática para o ensino médio) Bibliografia. ISBN 978-85-8060-019-3 1. Ensino médio 2. Funções elementares 3. Matemática - Estudo e ensino 4. Matemática - Formação de professores I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título. III. Série. 13-07241 CDD-515.5 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar) Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), Daniel Cordeiro de Morais Filho (DME-UFCG), Francisco Roberto Pinto Mattos (UERJ e Colégio Pedro II) João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Tomás Edson Barros (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ) Desenvolvimento Instrucional Coordenação: Cristine Costa Barreto Designers instrucionais: José Paz Pereira Júnior, Juliana Silva Bezerra, Leonardo Nahoum, Letícia Terreri, Magno Luiz Ferreira, Maria Matos, Andréia Ramos e Cíntia Nascimento Responsáveis por este fascículo Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini Leitores: Daniel Cordeiro de Morais Filho, Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, José Paz Pereira Júnior, Magno Luiz Ferreira e Maria Matos Revisão: Lúcia Beatriz Alves Apresentação O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização em Ensino de Matemática na modalidade de Educação a Distância que está inserido no Plano de Ações Articuladas do Ministério da Educação. Esse plano tem como objetivo promover uma importante ativi- dade de formação continuada dirigida a você, professor do ensino básico, incentivando a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para que você possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus alunos e colegas de trabalho. Esse texto apresenta a disciplina de Funções Elementares, uma das quatro disciplinas do segundo módulo do Matem@tica na Pr@tica. Vamos refletir sobre a importância das funções no ensino médio, explorando suas diversas definições e representações, e relem- brar conceitos e técnicas relacionados às funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, utilizando recursos computacionais na exploração dessas funções. Cada uma das disciplinas do curso foi idealizada para ser desenvolvida em oito sema- nas. Para facilitar esse desenvolvimento elas foram divididas em etapas, de duas semanas cada. Recomendamos que você estabeleça uma rotina de estudos, com pelo menos 5 horas semanais de dedicação, para poder estudar com calma todo o material impresso e realizar as atividades propostas em ambiente virtual. Esperamos que as horas dedicadas a essa disciplina sejam muito proveitosas para você. Equipe do Matem@tica na Pr@tica Março, 2013 Sumário Etapa I – O conceito de função na Matemática 11 1. Introdução 13 2. Concepções espontâneas de relações 14 3. O conceito matemático de função 18 4. Técnicas algébricas para representação de funções 21 5. Variável: um importante pré-requisito 27 6. Técnicas gráficas para representação de funções 32 7. Reconstruindo a definição de função 40 8. Conclusão 41 9. Resumo 41 10. Orientações sobre a avaliação na Etapa 1 42 Etapa II – Funções polinomiais 43 1. Introdução 45 2. Por que estudamos funções polinomiais? 46 3. Esboço de uma sequência didática para o ensino das funções quadráticas 48 4. Problemas de máximos e mínimos em funções quadráticas 57 5. Máximos e mínimos de funções racionais 67 6. Tópicos sobre funções polinomiais 70 7. Conclusão 78 8. Resumo 78 9. Orientações sobre a avaliação na Etapa 2 79 Etapa III – Tópicos sobre funções exponenciais e logarítmicas 81 1. Professor, quanto dá essa conta? 83 2. Só sei que nada sei 83 3. A caderneta de poupança do Banco M@P 88 4. Demonstrar é preciso, entender também... 92 5. Uma função que mede a despoluição de um lago em tempo real 97 6. Exponenciais: do natural para o real 102 7. Logaritmos e escala de grandezas 106 8. Para que serve o logaritmo? 109 9. Conclusão 111 10. Resumo 111 11. Orientações sobre a avaliação na Etapa 3 112 Etapa IV – Tópicos sobre funções trigonométricas 113 1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. Mas como? 115 2. GeoGebra, um programa de matemática dinâmica 116 3. A dança dos gráficos 119 4. Desenrolando o seno 125 5. Um ajuste trigonométrico 142 6. Conclusão 150 7. Resumo 150 8. Orientações sobre a avaliação na Etapa 4 150 Encerramento 151 Bibliografia 152 Seja bem vindo, professor! Nesta etapa do nosso curso aprofundamos nosso conhecimento sobre as funções mais utilizadas na Matemática Elementar. Vamos entender a importância do estudo dessas funções e rever alguns conceitos básicos que podem nos ajudar a refletir sobre o seu ensino na escola. Para começar, vamos pensar sobre algumas questões: ▹ Como surge o conceito matemático de função? ▹ Qual a importância do estudo das funções? ▹ Quais são as características básicas das funções? ▹ Quais são as principais formas de representação das funções? ▹ Como diagnosticar conhecimentos prévios para o ensino de funções? Etapa I O conceito de função na Matemática Sv ile n M ile v / S XC O nt an u M ih ai / S XC N at al y- N et e / S hu tt er st oc k ht tp :// 1. bp .b lo gs po t. co m /_ PW T6 j4 O 7v A U /S qU tY tV __ II/ A A A A A A A A A zc /ig 0- td Pu xR g/ s3 20 /3 8D 8E 1_ 1. jp g 1. Introdução Árvore genealógica Uma árvore genealógica é uma representação dos ancestrais de uma pessoa. Essa representação gráfica mostra as relações entre familiares, tra- zendo seus nomes e, algumas vezes, fotos, datas de nascimento, casamento e falecimento. Muitas pessoas têm von- tade de construir sua árvore genealógica e descobrir mais sobre quem foram seus pri- mos, tios, avós e tatatatara- vós! Queremos saber quem faz parte de nossa família e qual relação temos com essas pessoas. De primeiro grau? De terceiro grau? Por parte de pai ou de mãe? Ao construir sua árvore genealógica, você pode descobrir, por exemplo, que o matemático brasileiro Malba Tahan é um de seus antepassados! Vai ver que você herdou dele o gosto pela matemática! Brincadeiras à parte, em uma árvore ge- nealógica identificamos claramente a relação entre as pessoas. Essas relações podem ser facilmente compreendidas por qualquer um. É justamente a partir deste conceito de relação que iniciaremos nossas reflexões sobre as funções elementares. Identificar relações é um dos trabalhos mais importantes de quem estuda Matemática. Afinal, a ciência matemática investiga as relações entre os objetos abstratos e através delas cria modelos capazes de descrever fenômenos naturais e sociais. Algumasdessas relações chamamos de funções, assunto desta etapa de nosso curso. Uma das nossas maiores preocupações será a de mostrarmos para os nossos alunos a importância do estudo das funções. Quais propriedades das funções são mais relevantes para o ensino desse conteúdo? A da m C ie si el sk i / SX C 1. Introdução 13 O zk an A lg ul / S XC Para discutir as funções elementares, passaremos por diversas etapas, buscando refletir sobre o significado dos seguintes conceitos matemáticos: ▹ Relações ▹ Funções ▹ Variáveis ▹ Representação algébrica de funções ▹ Representação gráfica de funções ▹ Aplicação de funções Então, vamos começar? 2. Concepções espontâneas de relações Iniciamos nosso estudo observando que as pessoas, em geral, têm percepções espon- tâneas das ideias de relação, variação e dependência entre as grandezas. Partindo desse conhecimento inicial, o professor pode construir o conceito matemático de função utili- zando sequências didáticas adequadas. Assim, é muito importante pensarmos de onde vem esse conhecimento inicial e como ele se desenvolve. Entender a concepção prévia dos alunos é imprescindível para que possamos ajudá-los a construir conceitos matemáticos plenos de significado. Na natureza e no cotidiano os fenômenos apresentam diversas relações de depen- dência entre seus componentes. O ser humano, desde a infância, usando sua capacidade cognitiva e vivenciando experiências fenomenológicas e sociais, apreende naturalmente sobre os aspectos mais triviais dessas relações. Assim, a criança associa, por exemplo, certos brinquedos com outros (xícaras com pires, roupinhas com bonecos e bonecas) e toma conhecimento também de que cada pessoa tem um nome, ao qual é associado um vocábulo. Esse aprendizado de relações depende do desenvolvimento da lógica interna de cada criança e do entorno social. É dessa maneira que a ideia de relação surge e se desenvolve. Um exemplo de relação espontânea é o processo de contagem de objetos de um conjunto, desenvolvido pela humanidade há muitos milênios, e repro- duzido aceleradamente pelas crianças durante seu aprendizado inicial. A pri- meira etapa desse processo consiste em comparar o conjunto de objetos que se quer contar a um conjunto conhecido, como os dedos das mãos. A relação “comparar um conjunto que se quer contar a um conjunto conhecido” pode ser representada assim: conjunto que se quer contar � conjunto conhecido em que o sinal � indica uma associação entre os elementos de um dos conjuntos com os elementos do outro através de uma propriedade muito especial: para cada elemento do primeiro conjunto associamos um e somente um elemento do segundo, e vice-versa. U lri k D e W ac ht er / S XC 14 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar Com a experiência acumulada e o aperfeiçoamento da abstração, o “conjunto conheci- do” (como os dedos das mãos) foi substituído por um conjunto fixo, abstrato, desvinculado de qualquer coleção concreta de objetos, construído paulatinamente pela humanidade através de processos lógicos universais bem definidos. Este é o conjunto denominado “conjunto dos números naturais”. Assim, a relação acima foi substituída por: conjunto que se quer contar → {1,2,3,4,...} Nessa relação, para cada elemento do primeiro conjunto associamos um e somente um elemento do segundo. Vejamos outro exemplo bem simples de uma relação espontânea que as crianças con- seguem construir facilmente: Maria, Ana, Juliana, Frida e Carla são mulheres adultas e estão na mesma sala que as crianças Luíza, Paulo, João, Pedro, Nanci e Vítor. Maria é mãe de Luíza e Paulo; Ana é mãe de João; Juliana é mãe de Pedro; Frida, de Nanci e Vítor. Carla não é mãe. Consideremos agora a relação “é mãe de” aplicada a esses dois conjuntos: as mulheres adultas e as crianças que estão na sala. Uma forma de indicar quem está nessa relação com quem é usar setas, como no esquema a seguir: Maria Luíza Paulo Ana João Juliana Pedro Frida Nanci Vítor Carla Podemos observar algumas características dessa relação. Existe um conjunto de “parti- da” (as mulheres adultas), e outro de “chegada” (as crianças). Essa relação não faria sentido se trocássemos os conjuntos de lugar, concorda? Outras características importantes dessa relação: ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com mais de um elemento do conjunto das crianças; ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com exatamente um elemento do conjunto das crianças; ▹ existe um elemento do conjunto das mulheres que não está na relação; ▹ todo elemento do conjunto das crianças está na relação. Repare que essas características dizem respeito a como os elementos do conjunto de partida (mães) se relacionam aos elementos do conjunto de chegada (filhos). 2. Concepções espontâneas de relações 15 LUCAS Destacar LUCAS Destacar As relações apresentadas acima são bem simples. Existem diversas relações utilizadas pela Matemática que exigem mais raciocínio para se identificar suas propriedades e carac- terísticas. A atividade a seguir mostra um exemplo: Atividade 1 Invertendo a relação Considere os mesmos conjuntos do exemplo anterior das mulheres e seus filhos e a relação inversa “é filho de”. Faça uma representação dessa relação usando setas e descreva suas características. Resposta comentada Observe que, desta vez, o conjunto de partida é o das crianças e o conjunto de chegada é o das mulheres adultas. Com essa alteração, é possível relacionar os filhos com suas mães. Luíza Maria Paulo João Ana Pedro Juliana Nanci Frida Vítor Carla Definida a relação, podemos descrever suas característi- cas, considerando os elementos dos conjuntos de partida e chegada: a▹ Cada elemento do conjunto de partida (as crianças) está relacionado com apenas um elemento do con- junto de chegada (as mulheres adultas). b▹ Existe um elemento do conjunto de chegada que não se relaciona com nenhum elemento do conjunto de partida. c▹ Existem dois elementos no conjunto de chegada que se relacionam com mais de um elemento do conjunto de partida. A da m C ie si el sk i / SX C 16 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I Ao realizar essas atividades, você reparou nos detalhes importantes que precisam ser identificados para caracterizar as relações? Vamos pensar sobre eles... 1. Identificar com precisão os conjuntos de partida e chegada; 2. Aplicar corretamente a regra que define a relação; 3. Verificar se há algum elemento no conjunto de partida que se relaciona com apenas um, mais de um elemento do conjunto de chegada ou nenhum deles; 4. Verificar se “restam” elementos no conjunto de chegada, ou seja, se algum elemento desse conjunto não entra na relação. Essas são as características que devemos observar em uma relação matemática. Atividade 2 Pensando sobre pares e ímpares Descreva as características da seguinte rela- ção definida entre os números inteiros: um nú- mero relaciona-se com outro se tiverem a mesma paridade (dizer que dois números inteiros têm a mesma paridade significa que ambos são pares ou ímpares). Resposta comentada O conjunto de partida é igual ao conjunto de chegada, e ambos constituem o conjunto dos números inteiros. Lembra- mos que todo número inteiro é par ou é impar. Assim, pode- mos concluir que um elemento par do conjunto de partida se relacionará com todos os números pares do conjunto de chegada, e um elemento ímpar do conjunto de partida com todos os elementos ímpares do conjunto de chegada. Duas características dessa relação: a▹ Todo elemento do conjunto de partida relaciona-se com infinitos elementos do conjunto de chegada. b▹ Todo elemento do conjunto de chegada relaciona-se com infinitos elementos do conjunto de partida. A da m C ie si el sk i / SX C M aa rt en U ile nb roek / S XC Zs uz sa nn a K ili an / S XC 2. Concepções espontâneas de relações 17 LUCAS Destacar Temos a seguir uma pequena atividade desafio que você pode propor a seus alunos. Esta atividade é um exemplo de relação entre conjuntos contínuos, para nos lembrar de que não existem relações apenas entre conjuntos discretos. Como se trata de uma atividade desafio, a resposta não está neste texto. Atividade 3 Números reais Descreva as características da seguinte relação definida entre números reais: um número relaciona-se com outro se forem diferentes e se seus valores absolutos forem iguais. A da m C ie si el sk i / SX C Agora que já vimos o sentido de relação e como ela pode ser caracterizada matemati- camente, é possível caminharmos para a discussão sobre o conceito de função. 3. O conceito matemático de função Um tipo especial de relação, denominada tecnicamente relação unívoca, é estudada e desenvolvida pela Matemática. Essas relações são também denominadas funções. Vejamos uma primeira definição desse conceito, assim como algumas características que são importantes em seu ensino. Uma função é constituída de um conjunto de partida A , de um conjunto de chegada B e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaça as seguintes condições particulares: ▹ ( i ) todo elemento de A faz parte da relação; ▹ (ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B . Observe que a expressão relação unívoca dada às funções se deve à condição (ii). Para que se possa entender melhor o sentido dessas condições e o conceito de função, vamos considerar como exemplo uma relação em que o conjunto de partida e o conjunto 18 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar de chegada são, ambos, o conjunto dos números inteiros, e a relação é definida por: um número do conjunto de partida relaciona-se com um número do conjunto de chegada quando este for o quadrado do primeiro. Esta relação pode ser resumida por: 2x x→ para todo número inteiro x Essa relação é uma função porque: ▹ ( i ) todo elemento do conjunto de partida está na relação, pois todo número inteiro tem quadrado; ▹ (ii) cada elemento do conjunto de partida está relacionado com um único elemento do conjunto de chegada, pois todo número inteiro tem um único quadrado. Uma característica importante dessa função é que nem todo elemento do conjunto de chegada está na relação, mas apenas os que são quadrados, como 0, 1, 4, 9 etc. Atividade 4 É ou não é? Verifique se os itens abaixo representam, ou não, funções. No caso de uma resposta positiva, mostre as ca- racterísticas que garantem sua conclusão. No caso de uma resposta negativa, aponte as características que descumprem as condições de função. A Verifique se a relação inversa “é filho de” exposta na Atividade 1 é uma função. Você supõe que essa função pode ser percebida espontaneamente por uma criança? A criança observa naturalmente suas propriedades? B Verifique se a relação da Atividade 2, sobre paridade, é ou não uma função. C Verifique se é função a seguinte relação. Considere o conjunto dos números reais como o conjunto de partida e o conjunto de chegada. A regra é: um número do conjunto de partida relaciona-se com um número do conjunto de chegada quando este é a raiz quadrada do primeiro. A da m C ie si el sk i / SX C 3. O conceito matemático de função 19 danil Realce danil Realce LUCAS Destacar Ra fa el R oc ha / S XC Observe que o fato de apenas um elemento do conjunto de partida não entrar na relação ou estar relacionado com mais de um elemento do conjunto de chegada já é suficiente para que a relação não seja considerada função. Isso nos leva à seguinte pergunta: por que a Matemática define função dessa forma? Para respondermos esse questionamento, devemos observar que, na verdade, a Ma- temática se interessa por muitos tipos de relações. Por exemplo, a relação definida na Atividade 2, sobre paridade (que não é uma função), é muito importante na Matemática. Ela é um caso particular de relações modulares, estudadas na Teoria dos Números. Assim, se uma relação não satisfaz à condição de ser unívoca, não significa que ela não seja importante. Entretanto, as relações unívocas têm presença sólida na Matemática e suas aplicações, por isso as estudamos em primeiro lugar e damos a elas um nome especial, ou seja, função. Isto ocorre porque as funções apresentam as características necessárias para des- crever muitos fenômenos através de modelos determinísticos. Por exemplo, esperamos que a relação que associa a cada região poligonal sua área seja unívoca, pois seria muito esquisito se, mantendo a unidade de medida, uma região tivesse mais de um valor para a área. Na Mecânica Clássica, a relação que associa a cada instante a posição de um corpo deve ser uma função, pois, nesse contexto, supomos que nenhum objeto esteja em dois lugares no mesmo instante (violando a condição (ii), que diz que cada elemento de parti- da deve se relacionar a um único elemento de chegada). Daí a relevância de nomearmos Resposta comentada Para verificar se uma relação é ou não uma função, preci- samos observar se as seguintes condições são cumpridas: (i) todo elemento do conjunto de partida está na relação; e (ii) cada elemento do conjunto de partida está relacionado com um único elemento do conjunto de chegada. A No exemplo da relação “é filho de” da Atividade 1, verifi- camos que cada criança do conjunto de partida tem sua úni- ca mãe no conjunto de chegada, o que garante as condições (i) e (ii). Podemos concluir que essa relação é uma função. As crianças percebem essa relação espontaneamente, pois sabem que cada pessoa possui uma única mãe e que todo mundo tem mãe! Logo, esse pode ser um bom exemplo para ensinar funções aos nossos alunos. B Na relação “mesma paridade”, observe que cada elemen- to do conjunto de partida está na relação com uma infinidade de elementos do conjunto de chegada. Isso refuta a condição (ii). Portanto, essa relação não é uma função. C A relação descrita também não é uma função. Basta notar que 1− é número real e não tem raiz quadrada real. Logo, a condição (i), que define uma função, não está sendo cumprida, pois todo elemento do conjunto de partida deve estar incluído na relação. A da m C ie si el sk i / SX C 20 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar essas relações unívocas de forma especial e de gastarmos tanto tempo de nossas aulas com o seu ensino. Tendo desenvolvido o conceito de função a partir do de relações, precisamos pensar em como representar matematicamente essas funções. Será que elas precisam ser sempre descritas com palavras? 4. Técnicas algébricas para representação de funções Você deve ter notado que até agora fizemos um texto despojado de formalismo algé- brico. Em poucos momentos usamos linguagem algébrica, e um desses momentos ocorreu quando descrevemos uma função no conjunto dos números inteiros da seguinte forma: 2x x→ para todo número inteiro x Essa é uma notação algébrica que sintetiza a seguinte frase: “consideremos uma rela- ção em que o conjunto de partida e o conjunto de chegada são o conjunto dos números inteiros e a relação é definida por: um número do conjunto de partida relaciona-se com um número do conjunto de chegada quando este for o quadrado do primeiro. Com esse exemplo fica claro por que a Matemática cria representações algébricas para os objetos que estuda. Elas permitem sintetizar a linguagem. Mas não é apenas para fazer economia de espaço em uma folha escrita. A síntese da linguagem nos dá oportunidade de sermos mais precisos, nos ajudando a pensar com exatidão. Sem a linguagem algébrica seria muito difícil a Matemática progredir... Mas a notação 2x x→ ainda pode ser melhorada. O conjunto de partidae o de chegada estão explicados com palavras, mas podemos também expressá-los por meio de alguma notação algébrica. Uma ideia é escrever: 2 x x→ →Z Z Precisamos dar um nome para a função a fim de termos uma maneira de nos referir- mos a ela quando precisarmos, sem precisar repetir toda a especificação do conjunto de partida, do conjunto de chegada e da relação. O nome é arbitrário, mas se for um nome que ajuda na identificação, é melhor. Como essa função associa cada número inteiro com o seu quadrado, podemos chamá-la de q . Uma forma de anotar isso é: 2: :q q x x→ →Z Z Os dois pontinhos servem para separar o nome da função do nome do conjunto ou da variável. A seta → em :q →Z Z serve para indicar qual é o conjunto de partida e qual é o de chegada, e a seta → em 2:q x x→ serve para definir a relação. Notemos que uma função tem três componentes que a caracterizam e que precisam estar bem determinados: Jo hn N et tle sh ip / S XC 4. Técnicas algébricas para representação de funções 21 LUCAS Destacar 1. um conjunto de partida; 2. um conjunto de chegada; 3. uma relação que associa cada elemento do conjunto de partida a um único elemento do conjunto de chegada. Assim, a função f é definida por: 2: :f f x x→ →R R em que R é o conjunto dos números reais, é diferente da função q . Duas funções podem ser diferentes mesmo que a regra que define a relação seja a mesma. Além disso, a regra que define a relação pode ser expressa de várias formas. As mais usuais são: tabelas, gráficos, regras escritas expressas em palavras, ou fórmulas algébricas. As funções q e f acima foram definidas através de fórmulas algébricas. Refletindo sobre as várias formas de expressar uma função, realize a atividade a seguir: Atividade 5 Explorando a linguagem Dê exemplos de funções em que a relação esteja na forma de: A tabela; B linguagem escrita; C fórmula algébrica. Resposta comentada Ao longo dessa etapa mostramos exemplos dessas representações de funções, você percebeu? Como exemplo de uma tabela representando uma função há a relação de filhos e mães que mostramos na Atividade 1. Representamos também algumas funções através da linguagem escrita, como no caso “consideremos uma relação em que o conjunto de partida e o conjunto de chegada são o conjunto dos números inteiros e a relação é definida por: um número do conjunto de partida está na relação com um número do conjunto de chegada quando este for o quadrado do primeiro”. Algebricamente podemos representar essa função por 2: , q :q x x→ →Z Z . Claro que você pode ter pensado em outras respostas. A da m C ie si el sk i / SX C Os matemáticos gostam de usar a letra f para denomi- nar as funções, simplesmente porque a palavra “função” começa com essa letra. A se- gunda letra mais cotada é g , e depois h . Por que será? 22 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Sublinhar Precisamos ainda de uma notação sintética para expressar qual o elemento do conjun- to de chegada que se relaciona com um determinado elemento do conjunto de partida. Dada uma função :f A B→ , se x é um elemento de A , o elemento de B que lhe corresponde é anotado por ( )f x . Esclarecemos que a notação ( )f x , usando esses dois parênteses, é bastante ade- quada. Já foram feitas outras tentativas, tipo xf em vez de ( )f x , ou 2xfx em vez de 2( )f x x= . Com o tempo se constatou que a notação ( )f x é a melhor. Mas ela não é isenta de defeitos, e às vezes pode causar pequenas dificuldades aos alunos. Atividade 6 Cuidado! Seu aluno presta atenção no que você fala A Um professor definiu uma função f e pediu para um aluno calcular (5)f . Ele escreveu (5) 5f f= . Faça uma hipótese sobre a origem desse erro. B Um professor estava ensinando trigonometria e um aluno escreveu x sen x sen= . Faça uma hipótese sobre a origem desse erro e imagine um procedimento pedagógico para que o professor o ajude a superar essa pequena dificuldade. Resposta comentada A O estudante não se lembrou de que (5)f é a imagem de 5 pela função f e aplicou o que havia aprendido na manipulação de expressões algébricas com parênteses, como em ( )a b ab= . Inclusive o seu professor deve ter lhe ensinado que, no caso de haver, nas expressões algébricas, números misturados com letras, fica melhor colocar aqueles antes destas. Deve ser por isso que o aluno escreveu 5 f em vez de 5f . B O aluno deve ter esquecido ou ainda não aprendeu que sen é o nome de uma função. Ele deve ter pensado: “aqui temos uma fração com o produto de quatro letras no numerador e uma delas também está no denominador, as- sim posso simplificar”. Para ajudar a evitar essa confusão, o professor pode utilizar parênteses e escrever ( )sen x em vez de sen x , pelo menos até que os estudantes se habituem à omissão dos parênteses em funções trigonométricas, como é habitual. Outra providência interessante é emendar as letras dos nomes de funções com mais de uma letra, como escrever ou . A da m C ie si el sk i / SX C Si gu rd D ec ro os / S XC 4. Técnicas algébricas para representação de funções 23 LUCAS Destacar Atenção No estudo de funções, é comum se pensar em domínios e contradomínios mais amplos possíveis, como podemos ver em vários livros didáticos. Isso acontece devido a uma ideia de análise geral dos objetos em questão. Mesmo assim, do ponto de vista estrutural, não existem problemas com domínios e contradomínios pouco gerais. Em outras palavras, podemos determinar uma função com domínio e contradomínio formados por apenas um elemento de cada, desde que estes elementos estejam relacionados um com o outro. Não há nenhuma regra que impeça esse tipo de domínio. Além da notação, ao ensinarmos função, precisamos estar atentos a algumas dificul- dades que aparecem com o uso de termos específicos. Esses termos são normalmente utilizados pela matemática para definir precisamente os elementos que constituem a fun- ção. Lembramos que, dada uma função :f A B→ , o conjunto de partida A chama-se domínio de f , e o conjunto de chegada B chama-se contradomínio. Se x é um elemento genérico de A , o elemento de B ( )f x que lhe corresponde é chamado imagem de x por f . O conjunto dos elementos ( )f x de B para todo x em A chama-se conjunto imagem de f , ou, simplesmente, imagem de f . Para refletir sobre domínios e contradomínios, realize a atividade a seguir. Ela nos aju- dará a melhor entender a importância de definirmos corretamente esses termos e como trabalhar com seu significado. Atividade 7 Cuidados com a linguagem A Um professor do ensino médio pediu que seus estudantes determinassem o domínio e a imagem da função 2( ) 1s t t= − , e nada mais disse. O que os estudantes poderão responder? 24 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I danil Nota Explorar na primeira aula danil Realce LUCAS Destacar B Um professor do ensino médio pediu a seus alunos o domínio da função 1( ) 1 g x x = + . Como estavam trabalhando no contexto do conjunto dos números reais, ele esperava a resposta: “o domínio é o conjunto dos números reais exceto 1− ”, ou então { 1}− −R- . Mas um aluno respondeu: “o domínio é N ”. O que o professor deve fazer? C O mesmo professor da Atividade “b” acima, no ano escolar seguinte, foi mais precavido. Ele pediu: “encontrem o maior domínio possível da função 1 ( ) 1 g x x = + ”. O que você acha? Resposta comentada A É provável que esse professor esteja esperando a resposta: o domínio é [ 1,1]− e a imagem é [0,1] . Mas o aluno poderá responder de outras formas, por exemplo, o domínio é {1} e a imagem é {0} , que também está correto. Faltou ao professor usar uma linguagem mais precisa, como “determine todos os números reais que podem fazer parte do domínio da função definida por 2( ) 1s t t= − ”. B A resposta do aluno está correta.Se o professor queria { 1}− −R- como resposta, poderia dizer: “determine todos os números reais que podem fazer parte do domínio da função g definida por 1( ) 1 g x x = + ”. C A linguagem utilizada pelo professor não é a mais adequada, pois dessa forma o domínio pode incluir números complexos ou outros conjuntos em que faça sentido a expressão 1 1x + . A da m C ie si el sk i / SX C 4. Técnicas algébricas para representação de funções 25 danil Nota Explorar esse problema na 1º aula danil Realce Curiosidade Os matemáticos sabem que a precisão da linguagem é importante, mas às vezes eles cometem pequenos desvios. Por exemplo, o autor de um livro escreveu: “Considere a função :f →R R definida por 2( )f x x= . Determine a imagem de ( )f x ” em vez de escrever “Determine a imagem de f ”. Essa forma é mais correta, pois a função se chama f e não ( )f x . Talvez o autor tenha usado ( )f x em vez de f para deixar claro que a variável está sendo chamada de x . Esses pequenos desvios podem ser tolerados desde que não prejudiquem o entendimento e a precisão. Após essa atividade sobre domínios, apresentamos mais uma atividade desafio para você realizar. Esta trata da definição de função. Atividade 8 Definindo funções Um estudante, solicitado a definir função, escreveu: “Função é uma terna formada por um domínio, uma imagem e uma lei de correspondência”. Analise essa “definição”. A da m C ie si el sk i / SX C A precisão da linguagem é fundamental para pensarmos no ensino das funções. Mas, além da linguagem, há muitas outras questões que precisam ser consideradas para o ensino-aprendizagem desse conteúdo... 26 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar Janela Pedagógica O coordenador pedagógico de uma escola solicitou dos professores de Ma- temática da primeira série do ensino médio que fizessem um diagnóstico com seus estudantes para verificar se eles haviam apreendido o conceito de função. O professor A inseriu na prova final uma questão pedindo a defini- ção de função. O professor B fez um questionário com atividades diversas sobre funções. Qual desses procedimentos você considera melhor? Bem, uma possibilidade seria unir esses dois procedimentos. Depois das atividades, o professor solicita a definição de função. Entretanto, pensamos que só pedir a definição de função não é suficiente para um bom diagnós- tico. É necessário verificar se o estudante entendeu como reconhecer as situações em que aparecem as funções e se compreendeu a linguagem e as técnicas adjacentes a esse conceito. La vi ni a M ar in / S XC Como dissemos, os equívocos cometidos pelos alunos muitas vezes se relacionam ao não entendimento do significado daquilo que está sendo representado algebricamente. Isso, por sua vez, pode se relacionar à incompreensão de conceitos que estão ali subentendidos. Nesse ponto é muito importante que o professor saiba identificar problemas no conhecimento prévio de seus alunos. Por exemplo, talvez alguns não tenham construído ou tenham expe- riência insuficiente com conceitos anteriores fundamentais para a compreensão da noção de função, como o conceito de variável. 5. Variável: um importante pré-requisito É imprescindível que o estudante tenha previamente construído o conceito de variável antes de estudar funções. Construir o conceito de variável significa, em particular, apreen- der como fazer afirmações gerais sobre os elementos de um conjunto e como representar algebricamente um elemento arbitrário desse conjunto. Se o aluno não for capaz de per- ceber isso, dificilmente entenderá o significado de uma função. Por isso, cabe ao professor, antes de ensinar funções, verificar se o aluno tem segurança sobre o conceito de variável. Essa verificação se torna ainda mais necessária se o início do estudo de funções for adiantado para as séries finais do ensino fundamental. Ficaria muito difícil implementar o estudo de funções sem o conceito de variável, pois teríamos que nos limitar a trabalhar com funções definidas em conjuntos finitos, nomean- do a relação elemento a elemento. Sem a representação algébrica de variável, ficaríamos restritos a fazer descrições de funções em linguagem comum, como em: É importante refletirmos sobre o que os nossos alunos precisam para aprender 5. Variável: um importante pré-requisito 27 LUCAS Destacar Atividade 9 Do português para o “matematiquês” Um professor, desejando ressaltar para seus alunos a importância da representação algébrica, passava-lhes proble- mas e pedia que os resolvessem de duas maneiras: usando linguagem comum e depois usando linguagem algébrica. A Invente alguns problemas bons para explorar esse tipo de transição. B Qual a sua opinião sobre essa atividade? Você a considera importante para o ensino de matemática? Resposta comentada A As possibilidades são inúmeras, e um exemplo pode ser o seguinte: “O quadrado de qualquer número ímpar é também ímpar”. Justificativa com o uso de representação algébrica de variáveis: Um número é ímpar quando se escreve na forma 2 1m+ para algum inteiro m . Seu quadrado é 2 2 2(2 1) 4 4 1 2(2 2 ) 1 2 1m m m m m t+ = + + = + + = + , em que 22 2t m m= + é inteiro. Portanto, 2(2 1)m+ é ímpar, o que prova a afirmação. Justificativa sem o uso de representação algébrica de variáveis: Primeiro devemos recordar que um número é par quan- do for o dobro de um número inteiro. Assim, se um número é par, seu quadrado é igual a quatro vezes o quadrado daquele inteiro, e é o dobro do dobro desse quadrado. Portanto, o quadrado de qualquer par é par. Por outro lado, um número é ímpar quando for a soma de um par com a unidade. En- tão o quadrado desse ímpar é igual ao quadrado desse par mais o seu dobro e mais a unidade. Como os dois primeiros termos são pares e como a soma de dois pares é par, vemos que o quadrado de um ímpar é igual a um par mais a unida- de. Portanto, o quadrado de qualquer ímpar é ímpar, e isso prova a afirmação. B Esse tipo de atividade é muito importante, pois a partir da linguagem comum o aluno pode construir um significado para a linguagem algébrica. É interessante principalmente no início da aprendizagem sobre variáveis e representação algébrica. A da m C ie si el sk i / SX C “seja :f →R R que a cada número real associa o seu dobro mais 1” em vez de “seja :f →R R definida por ( ) 2 1f x x= + ”. Descrições em linguagem comum são, em geral, mais longas e menos precisas. 28 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I Atividade 10 Como se virar sem álgebra? Um professor, quando desejava enfatizar para seus estu- dantes a importância do uso da álgebra, passava o seguinte problema, e lhes pedia para resolvê-lo de duas formas: com álgebra e sem álgebra. Analise esta tarefa. “Os amigos Pedro e João vão a um parque. Na hora de pagar para passear na roda gigante verificam que Pedro tem R$ 12,00 a mais do que João, e que a soma do que eles têm é R$ 23,00. Quanto cada um tem em dinheiro?” A da m C ie si el sk i / SX C Te ss a H at le lid / S XC As técnicas algébricas também constituem um pré-requisito para o ensino de funções. Como apresentar sua importância aos nossos estudantes? A literatura sobre ensino da Matemática tem muitas propostas de atividades que po- dem avaliar ao mesmo tempo a compreensão dos estudantes a respeito da construção do conceito de variável e do conceito de funções. Na bibliografia desse texto temos sugestões de leitura complementar. Para o momento, apresentamos a atividade a seguir, adaptada da dissertação de mestrado de Guimarães, de 2010. O professor pode adaptá-la para seu próprio uso. 5. Variável: um importante pré-requisito 29 Atividade 11 Criando funções A Na sequência de figuras abaixo, cada figura é construída a partir da anterior com o acréscimo de um novo quadrado à direita. Complete desenhando a terceirafigura e indique as quantidades de palitos que faltam. B Apresente uma fórmula geral para determinar a quantida- de de palitos necessários para formar qualquer quantidade de quadrados. Complete a tabela abaixo − ela pode ajudar ( q é a quantidade de quadrados e p a de palitos). q 1 2 3 4 5 6 10 q p Fórmula: C Você escreveu ( )q p ou ( )p q ? Qual delas é uma função + →Z Z ? Resposta comentada A A segunda figura da sequência tem 7 palitos. Para cons- truir a terceira, acrescemos um quadrado à direta. Mas como aproveitamos um dos palitos que já havia, precisamos de mais três palitos. Assim, na terceira figura temos 7 3 10+ = palitos. B A cada nova figura, acrescentamos três palitos. Assim, a quantidade de palitos tem a seguinte sequência: 4, 4 3, 4 3 3, 4 3 3 3, ...+ + + + + + ou 4, 4 3, 4 2 3, 4 3 3, ...+ + × + × Escrevendo 4 1 3= + temos a fórmula geral 1 3q+ . C A fórmula geral apresentada no item b) é a regra da defi- nição de uma função :p + → . Portanto ( ) 1 3p q q= + . ( ) palitos ( ) palitos ( ) palitos 4 A da m C ie si el sk i / SX C A seguir, outra atividade adaptada de Guimarães, 2010. Esta atividade desafio se pro- põe verificar se o aluno transpôs a barreira do discreto para o contínuo. Aqui vai mais uma atividade desafio... 30 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Ondulado Atividade 12 Funções na parede Na sequência de figuras abaixo, a primeira representa uma parede branca na forma retangular com 3 m de altura e 5 m de largura. As figuras seguintes representam a pintura que o Sr. Luiz está fazendo. Ele usa uma tinta verde e, para pintar, faz faixas horizontais de baixo para cima. Complete a tabela com a área já pintada em determinados momentos. Altura da parte pintada (m) 0,1 0,35 0,7 1 1,6 2 2,6 h Área da parte pintada (m2) Supondo que a altura da faixa aumente continuamente, dê uma função que descreva a área pintada em relação à altura da faixa. Distinga o domínio e a imagem dessa função. A da m C ie si el sk i / SX C 5 m 3 m Vimos como é importante, para o ensino do conceito de função, que o professor te- nha em mãos atividades que possam diagnosticar possíveis lacunas na formação de seus alunos. Sabemos que as falhas mais importantes dizem respeito ao conceito de variável e a algumas técnicas algébricas. A forma como as variáveis se relacionam pode ser representada não só algebricamen- te, mas também graficamente. A representação visual de relações, e particularmente de funções, através de gráficos, é um importante recurso para a comunicação da informação. 5. Variável: um importante pré-requisito 31 LUCAS Destacar Ja n K ra tě na / S XC 6. Técnicas gráficas para representação de funções Hoje em dia gráficos são muito utilizados nos meios de comunicação e dessa forma tor- nou-se imprescindível que o cidadão comum saiba ler criticamente essas representações. Para o estudante do ensino médio uma habilidade se acrescenta: a de saber produzir esses gráficos. Vejamos um exemplo de um trabalho que pode ser desenvolvido pelos alunos. A tabela abaixo mostra a distribuição da população brasileira nas cinco regiões geográficas do país em 2006: Região geográfica Quantidade de habitantes Norte 13.534.348 Nordeste 48.728.817 Sudeste 73.265.186 Sul 25.090.183 Centro-Oeste 12.115.283 Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Essa tabela representa uma função em que o domínio é o conjunto das regiões brasileiras (coluna esquerda da tabela) e o contradomínio são os valores da coluna da direita. A função associa a cada região um (único) valor, disposto na mesma linha da região. Uma tarefa que se pode solicitar aos alunos é a de representar graficamente essa função. Para transformar essa tabela em um gráfico, precisamos primeiramente decidir o tipo de gráfico a ser utilizado. Centro-Oeste Norte Nordeste Sudeste Sul 32 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I Em seguida, devemos decidir para qual informação queremos dar ênfase. Suponhamos que seja a comparação relativa da quantidade de habitantes por região. Isso nos faz perder a informação exata da quantidade de habitantes por região, mas facilita a visão geral da distribuição da população nas regiões. Para isso, o uso de porcentagens é bem adequado, e a primeira providência é produzir uma segunda tabela, como a que segue. Região geográfica Quantidade de habitantes % % aproximado Norte 13.534.348 7,835 8 Nordeste 48.728.817 28,21 28 Sudeste 73.265.186 42,41 42 Sul 25.090.183 14,52 15 Centro-Oeste 12.115.283 7,01 7 Repare que, ao considerar as porcentagens aproximadas, tivemos o cuidado de manter a soma do total igual a 100%. Dois tipos de gráficos que traduzem bem essas informações são o de barras e o circular, como os que seguem. São opções interessantes para verificar também se os alunos cons- truíram adequadamente as habilidades de medição de comprimentos e ângulos. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste % d e ha bi ta nt es Norte 8% Nordeste 28% Sudeste 42% Sul 15% Centro-Oeste 7% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste % d e ha bi ta nt es Norte 8% Nordeste 28% Sudeste 42% Sul 15% Centro-Oeste 7% Distribuição da população brasileira por regiões 6. Técnicas gráficas para representação de funções 33 Atividade 13 Livros e gráficos Uma atividade interessante que pode ser realizada na es- cola é solicitar aos estudantes que transformem as informa- ções da tabela a seguir em um gráfico. É importante formular perguntas para avaliar a compreensão de seus alunos. Você pode, por exemplo, pedir que eles verifiquem se é verdade que 3 em cada 4 brasileiros não vão a bibliotecas e se a tabela define uma função. Quantidade de brasileiros que usam bibliotecas Nunca usam 126 milhões Usam ocasionalmente 28,9 milhões Usam frequentemente 17,8 milhões Fonte: Instituto Pró-livro, Retratos da leitura no Brasil. Resposta comentada Pensamos ser importante que os estudantes conheçam vários tipos de gráficos. Ao perguntar se é verdade que 3 em cada 4 brasileiros não usam a biblioteca, é importante come- çar discutindo o que essa pergunta significa. É interessante que os alunos percebam que se trata de uma proporção. Além disso, você pode propor que os eles elaborem uma pes- quisa semelhante a essa, utilizando, entretanto, a comunida- de escolar como objeto de estudo. Questione-os sobre uma forma de fazermos uma representação parecida com a da questão, só que desta vez usando dados da própria escola. A da m C ie si el sk i / SX C Le sl ie W at ts / S XC O professor pode explorar com seus alunos inúmeras variações de representações gráficas similares às do exemplo da quantidade de habitantes em cada região do país. Entretanto, esses gráficos servem para representar informações referentes a relações entre conjuntos finitos. Precisamos também dominar técnicas que permitam representar funções definidas em conjuntos infinitos, particularmente o conjunto dos números reais R . Bem sabemos que o melhor método é aquele que utiliza o sistema de coordenadas 34 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar cartesianas, pois permite conectar representações geométricas com a descrição algébrica de curvas. Alguns modelos de gráficos podem ser explorados para fazer a passagem entre representações de funções discretas e funções reais. Vejamos uma possibilidade: Um professor apresentou aos seus alunos a tabela abaixo, que fornece dados da po- pulação no Brasil de 2000 a 2006. Solicitou deles que fizessem um gráfico sobre a “curva de crescimento” da população. Ano População 2000 169.872.855 2001 169.369.557 2002 171.667.536 2003 173.966.052 2004 182.060.108 2005 184.388.6202006 187.227.792 * Fonte: Censo 2000 (IBGE) ** Fonte: PNAD 2001/2006 (IBGE) Um grupo de estudantes construiu o seguinte gráfico: Observemos que os pontos correspondentes à representação discreta foram ligados com segmentos de reta, embora a tabela não forneça informações sobre os meses ou dias entre dois valores anuais consecutivos. Entretanto, parece que os alunos entenderam que poderiam existir esses valores, e conceberam a hipótese simplificadora de que entre dois valores anuais consecutivos o gráfico mais adequado seria o linear. Será que podemos in- terpretar que esses alunos captaram uma relação entre o tempo contínuo e a quantidade de indivíduos? Como podemos fazer para que nossos alunos reflitam sobre a relação entre contínuo e discreto e percebam sua importância? A atividade abaixo pode ajudar a refletirmos sobre essa questão: População brasileira de 2000 a 2006 2000 190.000.000 180.000.000 175.000.000 170.000.000 165.000.000 160.000.000 185.000.000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 6. Técnicas gráficas para representação de funções 35 LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar Atividade 14 Até o som é função Um cientista observou que a velocidade do som no ar, em um determinado local, aumentava com o aumento da temperatura ambiente. Fez cuidadosas medições para alguns valores de temperatura e obteve a seguinte tabela: Temperatura ambiente (em graus centígrados) Velocidade do som (em m/s) 0 331,0 5 334,6 10 337,0 15 340,5 Construa uma atividade para seus alunos com a tabela acima, a fim de ajudá-los a transpor o obstáculo de represen- tar funções discretas e contínuas. Resposta comentada A atividade que temos em vista é solicitar aos estudantes que plotem os pontos da tabela em um gráfico cartesiano, onde o eixo horizontal represente a temperatura (em graus centígrados) e o eixo vertical, a velocidade do som (em m/s). Temos, então, um gráfico como este abaixo (A): A da m C ie si el sk i / SX C Á dá m B ál in t / SX C Valores experimentais da velocidade do som no ar de 0°C a 15°C 0 340 m/s °C 335 330 5 10 15 Proposta do gráfico da função por ajuste da curva 0 340 m/s °C 335 330 5 10 15 A B 36 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I Após a construção do gráfico, o professor pode solicitar de seus alunos que estes tentem determinar como seriam os valores da velocidade do som em temperaturas, com valores intermediários aos da tabela. É importante o aluno perceber que o cientista fez medições com a temperatura variando de 5 em 5 graus por alguma questão prática, mas a veloci- dade do som varia com qualquer mudança de temperatura. O experimento captou determinadas situações, pois seria impossível para o cientista fazer uma tabela para todos os valores da temperatura entre 0 e 15. Os alunos podem então produzir um segundo gráfico re- presentando valores da velocidade para temperaturas no in- tervalo [0,15]. Uma solução mais simples para esse segundo gráfico seria ligar com segmentos de reta os pontos plotados no primeiro gráfico, conforme um grupo de estudantes fez no exemplo do crescimento populacional brasileiro descrito anteriormente. Uma solução mais elaborada seria desenvol- ver a hipótese de que a função é linear e então traçar, para seu gráfico, um segmento de reta que se ajustasse bem aos pontos. Isso é o que fizemos no segundo gráfico da questão anterior, à direita. Esse segmento de reta pode ser obtido por tentativas, usando-se uma régua, ou através de um aplicativo computa- cional algébrico. A atividade pode ser complementada atra- vés de pesquisas em livros ou na internet. Na Wikipédia, por exemplo, ao procurar por “velocidade do som”, encontramos algumas informações. Todavia, a versão desse site em inglês (Wikipédia) é mais completa, e nele podemos pesquisar por meio das palavras-chave “speed of sound”. No site encontra- mos uma função linear que aproxima a velocidade do som no ar em relação à temperatura: ( ) 331,3 0,606v T T= + , em que a variável T é o valor absoluto da temperatura em graus Celsius e ( )v T está em m/s. Uma função mais precisa é: ( ) 331,3 1 273,15 T v T = + Ao fazer nosso gráfico, utilizamos um aplicativo compu- tacional para obter a função linear que melhor se ajusta aos dados da tabela, e obtivemos: ( ) 331,14 0,618v T T= + Há muitos outros casos cuja representação gráfica da função nos ajuda a en- tender o que está acontecendo. A seguir apresentamos um exemplo relacionado à conservação ambiental, tão discutida atualmente. Em um determinado país, há 14 anos, foi criada uma reserva florestal para proteger a vida selvagem e a vegetação nativa. As diversas equipes de biólogos que cuidaram da reserva durante esse tempo contaram frequentemente a popu- lação de uma determinada espécie animal. O gráfico na página seguinte descre- ve a evolução dessa população, destacando alguns valores para facilitar a leitura. U .S . A rm y En vi ro nm en ta l C om m an d 6. Técnicas gráficas para representação de funções 37 LUCAS Destacar LUCAS Destacar Examinando esse gráfico podemos perceber acontecimentos significativos na vida dessa espécie na reserva. ▹ a) Na primeira contagem, feita no ano zero da existência da reserva, o gráfico indi- ca que havia aproximadamente 360 indivíduos. Nos primeiros 3 anos, a população diminuiu, atingindo 260 indivíduos, aproximadamente. Vários fatores podem expli- car essa queda no número de indivíduos da população. Podemos conjecturar, por exemplo, que, no início da criação da reserva, a vegetação estava muito depredada e as fontes de água bastante degeneradas, e não forneciam um ambiente adequado para a espécie. Pode também ter ocorrido que a caça criminosa continuou por algum tempo até que as autoridades conseguissem controlar a entrada de malfeitores na reserva. ▹ b) Do ano 3 até a data final dos registros, a população sempre cresceu. Certamen- te isso foi favorecido pela regeneração da reserva, que passou a ser um ambiente adequado à espécie. ▹ c) O gráfico indica que a população vai se estabilizar em um patamar de aproxima- damente 780 indivíduos. A população daquela espécie está próxima de atingir seu equilíbrio com o ambiente. ▹ d) As maiores taxas de crescimento ocorreram entre os anos 5 e 8. Supondo que os valores (5,340) , (6, 420) , (7,520) e (8,600) estão no gráfico, podemos calcular as taxas de crescimento nesses períodos: de 5 a 6 anos a taxa é 420 340 80 6 5 − = − indivíduos / ano de 6 a 7 anos a taxa é 520 420 100 7 6 − = − indivíduos / ano de 7 a 8 anos a taxa é 600 520 80 8 7 − = − indivíduos / ano ▹ e) Desenhando as retas tangentes ao gráfico, vemos que a maior taxa de crescimento se deu por volta do ano 6 da criação da reserva. Sa le em T aq vi / S XC 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 2 3 4 5 6 7 População de uma espécie na reserva 8 9 10 11 12 13 14 38 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I Atividade 15 Funções saudáveis Um laboratório está testando um novo medicamento e precisa saber qual é a concentração média da substância que permanece no organismo ao longo de algumas horas após sua admi- nistração. Seus cientistas fizeram medições em muitos pacientes e obtiveram o gráfico abaixo, que descreve a concentração ( )c t a partir do instante 0t = em que era ministrada uma dose do medicamento. Construa uma atividade para seus alunos com esse gráfico. Resposta comentada E então? Já pensou em alguma atividade? Bom, não sabemos o que você irá se questionar, mas algumas questões podem ser levantadas, tais como: em que instante a concentração é máxima, qual o intervalo de crescimento e o de decrescimento da concentração, e como o aluno supõe que o gráfico estará até 12 ou 14 horas depois, por exemplo. Uma questão de nível inter- mediário seria pedir para o aluno calcular as taxas de variação em alguns intervalos e observara forma como a concentração do medicamento aumenta rapidamente nas duas primeiras horas, atingindo um máximo, e depois diminui lentamente. Uma questão mais complexa seria perguntar como fica a concentração do medicamento se o paciente ingerir uma dose de 6 em 6 horas. Existem muitas possibilidades de perguntas que podem ajudar o aluno a interpretar o gráfico e entender a função! A da m C ie si el sk i / SX C Ro na ld o Ta ve ira / S XC Evolução da concentração do medicamento no plasma sanguíneo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (horas) c(t) (µg/l) 1 2 3 4 5 A atividade a seguir nos mostra outro exemplo de uma função representada grafica- mente. Este gráfico nos permite perceber o desenvolvimento de um fenômeno ao longo do tempo − nesse caso, a absorção de um medicamento pelo organismo humano. É outra forma de contextualizar funções e dar significado a este conceito para os seus alunos. 6. Técnicas gráficas para representação de funções 39 LUCAS Destacar Vimos que as funções muitas vezes descrevem algum fenômeno natural ou social e notamos que os conjuntos domínio e contradomínio são impostos pelas características do próprio fenômeno. Ao examinarmos esses fenômenos, é comum pensarmos nos pares que temos certeza de que estarão na relação (elemento do conjunto de partida e elemento do conjunto de chegada). Dessa forma, podemos definir uma função como um conjunto de pares ordena- dos, como você poderá ver na seção seguinte. 7. Reconstruindo a definição de função Não podemos terminar essa etapa sem fazer importantes observações sobre a defi- nição de função. Talvez você tenha estudado outras formas de definir função, portanto, precisamos situar melhor a forma que utilizamos aqui. No início da Seção 2 definimos função da seguinte forma: “Uma função é constituída de um conjunto de partida A, de um conjunto de chegada B e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaz às seguintes condições particulares: i) todo elemento de A faz parte da relação; ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B .” Nessa definição usamos o conceito de conjunto como postulado. Contamos com o aprendizado prévio desse conceito através de experiências com a linguagem comum, reunida ao conhecimento de alguma linguagem matemática, tal como o hábito de indicar um conjunto por {a, b, c...}. Ocorre a mesma situação ao conceituarmos relação. Evitamos descrever relação através da linguagem comum devido à dificuldade de fazer isso. Relação é uma associação? Uma regra? Uma equação? Na verdade é tudo isso, mas pode ser tam- bém outras coisas que nem saberíamos descrever. Assim, consideramos “relação” como um conceito espontâneo e que pode ser potencializado, do ponto de vista da Matemática, através de atividades como as que apresentamos na Seção 1. Pensamos que, para trabalharmos na escola, esse formato é o mais adequado. Mas trabalhos matemáticos mais avançados exigem maior precisão. Para isso, podemos nos apoiar mais fortemente no conceito de conjunto. Começamos com algumas definições. Dados conjuntos não vazios A e B e dados elementos a de A e b de B , chamaremos de par ordenado ao símbolo ( , )a b subme- tido à seguinte condição de identidade: se a e c são elementos de A , e b e d são elementos de B, então: ( , ) ( , ) e a b c d a c b d= ⇔ = = Indicaremos por A B× o conjunto de todos os pares ordenados ( , )a b com a em A e b em B . Uma relação é um subconjunto não vazio qualquer de A B× . 40 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar Simples, não? Agora definimos função da seguinte forma: Dados conjuntos não vazios A e B , uma função com domínio A e contradomínio B é uma relação f A B⊂ × que satisfaz à seguinte condição: para todo a A∈ existe um único b B∈ tal que ( , )a b f∈ . Fechamos essa primeira etapa com uma definição mais avançada e mais precisa de função. 8. Conclusão O estudo de função é um dos conteúdos matemáticos mais importantes no Ensino Mé- dio. Tem aplicações em diferentes ciências, ajudando a construir modelos para fenômenos naturais e sociais. Além disso, as funções fundamentam diversos conteúdos matemáticos, como a Geometria Analítica e a Teoria das Probabilidades. Por isso, é tão importante re- fletirmos sobre a forma como este conceito vem sendo trabalhado na escola. As orientações curriculares de Matemática para o Ensino Médio sugerem que o estudo das funções matemáticas seja iniciado a partir do estabelecimento da relação entre duas grandezas e a construção de representações gráficas. Isso foi o que propusemos ao longo dessa etapa. Dessa forma, o aluno pode perceber o sentido daquilo que está estudando e ter uma aprendizagem mais sólida. Esperamos que você tenha também refletido a respeito de algumas dificuldades dos alunos nesse conteúdo de função, como determinar o domínio mais adequado a cada situação, a dificuldade de relacionar gráficos, tabelas, expressões escritas e expressões algébricas. Com essas reflexões esperamos ter contribuído com o ensino de função na sua escola. Nas próximas etapas aprofundaremos nossos estudos a respeito de tipos específicos de funções elementares. Até lá! 9. Resumo ▹ As pessoas, em geral, têm percepções espontâneas das ideias de relação, de variação e de dependência entre grandezas. ▹ Partir da concepção prévia dos alunos é, em geral, um bom caminho para que eles possam construir conceitos matemáticos com significado. ▹ Dada uma relação, é importante saber observar suas características matemáticas, como a regra que a define e os conjuntos de partida e de chegada. ▹ Uma função constitui um tipo especial de relação denominada tecnicamente de relação unívoca. ▹ Uma função é uma relação constituída de um conjunto de partida A , de um conjunto de chegada B e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaz às seguintes condições: ( i ) todo elemento de A faz parte da relação; (ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B . Zs uz sa nn a K ili an / S XC 9. Resumo 41 LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Destacar LUCAS Ondulado ▹ Representações algébricas permitem maior precisão e síntese da linguagem. ▹ Dada uma função, é importante que o aluno tenha clareza sobre suas características e saiba usar adequadamente a linguagem matemática. ▹ É importante que o aluno tenha previamente construído o conceito de variável antes de estudar função. Construir o conceito de variável significa, em particular, apreender como fazer afirmações gerais sobre os elementos de um conjunto e como represen- tar algebricamente um elemento arbitrário desse conjunto. ▹ As funções podem ser representadas também através de vários tipos de gráficos. ▹ É importante que os alunos saibam tanto ler e interpretar gráficos de funções quanto construí-los. ▹ No ensino de função devemos transitar livremente de um tipo de representação para outro. Em particular, no ensino é pouco explorado o caminho “gráfico → função”, isto é, perceber as características de uma função a partir de seu gráfico. Também é importante saber construir o gráfico aproximado de uma função a partir de suas propriedades, mesmo quando não temos sua expressão algébrica. 10. Orientações sobre a avaliação na Etapa 1 Agora que terminamos essa primeira Etapa, é hora de avaliar o seu aprendizado. Você deve participar da avaliação da Etapa 1 acompanhando as lições disponíveis na internet. Com o propósito de orientar e fazer uma síntese, listamos os itens de conteúdo e ha- bilidades que fazem parte dessa avaliação: ▹ Compreender que existe uma concepção espontânea de relações, construída natu- ralmente por todas as pessoas. ▹ Entender que a Matemática construiu um conceito de função, a fim de descrever cientificamente fenômenos naturais e relações entre objetos matemáticos. ▹ Saber como diagnosticar se os estudantesconstruíram ou não conceitos prévios ao de função, em particular a noção de variável. ▹ Entender por que é importante estudar os vários métodos de representação das funções e compreender sua relatividade. ▹ Saber obter informações de um gráfico de uma função. ▹ Saber transitar livremente de um tipo de representação de função para outro. 42 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I LUCAS Destacar Olá, Professor! Seja bem-vindo à segunda etapa do nosso curso sobre Funções Elementares. Continuamos nossos estudos abordando agora o ensino das funções polinomiais. Propomos uma reflexão sobre as seguintes questões: ▹ Qual é a importância das funções polinomiais? ▹ Por que estudamos essas funções no Ensino Médio? ▹ Como podemos construir uma sequência didática para o ensino de funções quadráticas? ▹ Como aproveitar técnicas sobre funções quadráticas para resolver problemas de máximos e mínimos? ▹ O que é importante ensinar sobre funções polinomiais? Etapa II Funções polinomiais Sv ile n M ile v / S XC 1. Introdução No início do século XVII, o cientista italiano Galileu Galilei (1564-1642) estudava o movimento de queda livre de corpos mediante uma combinação do método experimental e de técnicas matemáticas. Não era tarefa fácil, pois os recursos instrumentais da época eram precários. Não havia cronômetros de precisão nem filmadoras de alta velocidade para registrar a posição de um corpo em queda livre. Os recursos da Matemáti- ca também eram pouco desenvolvidos, não existia uma boa no- tação simbólica nem facilidade com manipulações algébricas. Com muita paciência e imaginação, Galileu descobriu que a distância percorrida por um corpo em queda livre em intervalos de tempo iguais e con- secutivos eram proporcionais aos números ímpares 1, 3, 5, ... Portanto, a distância percor- rida no final do primeiro intervalo de tempo era proporcional a 1, no final do segundo intervalo de tempo era proporcional a 1 3+ , no final do terceiro, a 1 3 5+ + , e assim por diante. Notando que 21 1= , 21 3 4 2+ = = , 21 3 5 9 3+ + = = , etc., Galileu inferiu que a distância percorrida no intervalo de tempo t era proporcional a 2t . Em nossa notação atual, a distância percorrida pelo corpo em queda livre seria indica- da por 2( )d t kt= para alguma constante k . Hoje sabemos que esta constante é 1 2 k g= , sendo g o valor da aceleração gravitacional, e usamos a seguinte formulação: 2 0 0 1 ( ) 2 d t gt v t d= + + , em que 0v e 0d são, respectivamente, a velocidade e a posição no instante 0t = . Essa função, cujo domínio é o intervalo de números reais em que o tempo é medido, fornece a altura do corpo num instante t medida em um eixo vertical dirigido para baixo. Como dissemos, o modelo matemático da queda de corpos, estudado por Galileu, é uma função quadrática, um tipo de função polinomial. Será que existem muitos outros modelos matemáticos explicados por funções quadráticas? Por que esse tipo de função é tão estudado na escola? As funções polinomiais, particularmente as lineares e as quadráticas, são estudadas desde tempos remotos. Vemos, na História da Matemática, como os antigos matemáticos, antes da Era Cristã, resolviam o que hoje denominamos equações quadráticas, usando regras descritivas ou propriedades geométricas, e as aplicavam aos mais variados proble- mas. Hoje, as funções polinomiais têm presença proeminente na Matemática e em suas aplicações e constituem um dos assuntos mais importantes dessa disciplina no Ensino Médio. Por isso, foram escolhidas para serem trabalhadas nessa etapa do curso. A da m C ie si el sk i / SX C ht tp :// pt .w ik ip ed ia .o rg /w ik i/G al ile u_ ga lil ei ht tp :// pt .w ik ip ed ia .o rg /w ik i/G al ile u_ ga lil ei 1. Introdução 45 Mas, afinal, qual a importância do estudo das funções polinomiais? Existe uma maneira interessante de ensinar funções polinomiais? Talvez você já tenha se feito essas perguntas ao longo de sua prática em sala de aula e deve ter pensado em algumas respostas para elas. Propomos agora avançarmos juntos nessa reflexão. 2. Por que estudamos funções polinomiais? A função 2 0 0 1 ( ) 2 d t gt v t d= + + , com domínio em algum intervalo de números reais, descreve a distância percorrida por um corpo em queda livre e é um exemplo de função polinomial. Vamos rever quais as características de uma função desse tipo. Um polinômio é uma expressão algébrica constituída por um ou vários monômios. Assim, chama-se polinomial qualquer função :f →� � da forma 1 1 1 0( ) ... n n n nf x a x a x a x a − −= + + + + em que 0a , 1a ,..., na são números reais, denomina- dos coeficientes de f . Se 0na ≠ , dizemos que f tem grau n . Essas funções continuam sendo chamadas de polinomiais mesmo se seu domínio for mais restrito, como um inter- valo de números reais. Elas têm presença marcante no ensino devido às suas aplicações na Matemática e em outras ciências. Além disso, seu estudo nos dá a oportunidade de abordar técnicas importantes de análise de funções. Damos especial atenção às funções pol inomiais :f →� � da forma 2( )f x ax bx c= + + , com a , b e c números reais tais que 0a ≠ . Essas funções são chamadas quadráticas e costumam ser muito trabalhadas na escola. Lembramos que são também muito importantes as funções lineares :f →� � , de- finidas por ( )f x ax b= + , com a e b números reais tais que 0a ≠ . Mas preferimos abordar aqui as funções quadráticas, pois elas têm características que nos possibilitam refletir sobre o ensino das funções polinomiais em geral. Existem muitas situações que podem ser descritas por funções quadráticas. É importante trabalhar com exemplos de situações concretas para contextualizar o ensino desse tipo de função, tornando-o mais significativo. Seguem alguns desses exemplos. Um automóvel em movimento, ao ser freado pelo motorista, percorre certa distância até parar. Essa é a chamada distância de freagem. Os motoristas experientes sabem que a distância de freagem aumenta muito com o aumento da velocidade. Usando certas leis da Física, é possível determinar aproximadamente essa distância. A da m C ie si el sk i / SX C Mesmo depois de ter sido freado, o automóvel percorre certa distância até parar completamente Je rm Il us tr at io ns / S hu tt er st oc k 46 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa II LUCAS Destacar LUCAS Destacar Um instrutor de uma autoescola, ao preparar futuros motoristas, utiliza a seguinte regra para estimar a distância de freagem: elevar a velocidade ao quadrado e dividir o resultado por 100. Portanto, a função ( )d v , que estima a distância de freagem com uma velocidade inicial v , pode ser descrita pela fórmula: 2 ( ) 100 v d v = e ( )d v é uma função quadrática da forma 2( )d v av bv c= + + com 1 100 a = , 0b = e 0c = . Os valores de v que interessam nesse contexto são 0v ≥ , portanto o domínio dessa função é [0, )∞ . Funções quadráticas também aparecem no “jogo dos dis- cos”. Nesse jogo o participante lança aleatoriamente um disco de diâmetro d em um quadriculado com quadrados de lado L . O lançamento é considerado favorável ao jogador quando o disco para inteiramente dentro de um quadrado, sem tocar ou ficar sobreposto às linhas do quadriculado. Se d L≥ , a probabilidade ( )p d do jogador ganhar é zero. Se 0 d L< < , a condição favorável ao jogador ocorre quando o centro do disco para dentro de um quadrado de lado L d− posicionado dentro do quadrado do quadriculado. Utilizando o conceito de probabilidade geométrica, obtemos: 2 - ( ) ( )= 2 área do quadrado de lado L d L d p d área do quadrado de lado L L − = Desenvolvendo essa expressão, temos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 1 L d L Ld d L L p d d d d d L L L L L L L − − + = = = − + = − + Portanto, ( )p d é uma função quadrática da forma 2( )p d ad bd c= + +, com 2 1 a L = , 2 b L = − e 1c = , e com domínio (0, )L . Esses são exemplos bem simples, dentre tantos outros possíveis! Nosso objetivo ao estudar funções polinomiais é investigar quais são os elementos fundamentais desses objetos e que técnicas matemáticas podem ser utilizadas quando eles aparecem como modelos de fenômenos. Além de investigar os elementos e as técnicas, é importante estarmos atentos à construção de sequências didáticas adequadas para o ensino dessas funções. Iniciaremos justamente mostrando uma dessas sequências. Vamos lá? Nesse exemplo de lançamentos em um jogo dos discos, vemos três lançamentos favoráveis ao jogador, em que os discos estão inteiramente dentro dos quadrados do piso de lado L, e um não favorável, no qual o disco toca alguma das bordas dos quadrados do piso. 2. Por que estudamos funções polinomiais? 47 3. Esboço de uma sequência didática para o ensino das funções quadráticas Certamente há várias formas de estudar funções quadráticas no Ensino Médio. Você mesmo já deve ter experimentado dife- rentes métodos ao ensinar esse tipo de função. Uma forma pouco comum, e que exploramos nesse texto, é o método investigativo. Nesse tipo de método, o aluno é convidado a agir com mais au- tonomia, realizando ele mesmo suas investigações em direção ao conhecimento. Essa técnica pode conduzir a uma aprendizagem mais significativa. Apresentamos aqui o esboço de uma sequência didática, construída a partir do método investigativo, que poderá ser desenvolvida por você e seus alunos. Nossa sugestão é similar à proposta de Gravina, de 1990. Você pode explorar essa sequência com seus estudantes de diferentes formas, por exemplo, intercalando a apresentação com perguntas ou com atividades de construção e análise de gráficos. Aqui apresentamos um esboço. Fique à vontade para completá-la de acordo com suas próprias ideias. Uma estratégia básica para dar início ao estudo de objetos matemáticos é começar pelo tipo mais simples. Certamente a função quadrática mais simples é :f →� � , 2( )f x x= . Para essa investigação, iniciaremos a partir do estudo do gráfico dessa função, que está desenhado na Figura 1. É importante destacar que essa sequência didática admite como conhecimento prévio de seus alunos a habilidade de desenhar gráficos de funções reais em sistemas de coordenadas cartesianas. Para desenhar o gráfico de 2( )f x x= , é necessário saber que sua imagem é [0, )∞ . De fato, (0) 0f = e, dado qualquer número real positivo y , os valores y e y− têm y como imagem pela função f . Figura 1: Gráfico da função :f →� � , 2( )f x x= . Na sequência didática que apresentamos, a ideia é que o aluno suba um degrau de cada vez, indo da situação mais simples para a mais complexa. Ch ris ta R ic he rt / S XC 48 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa II y 4 1 1-1 2-2 x2 x LUCAS Destacar LUCAS Destacar Observamos as propriedades mais imediatas de f sugeridas por esse gráfico: ▹ a) Temos (0) 0f = e ( ) 0f x > se 0x ≠ . Dizemos que 0x = é ponto de mínimo e (0) 0f = é um valor mínimo. Chamamos ( , ) (0,0)v vx y = de vértice do gráfico. ▹ b) Temos ( ) ( )f x f x= − para todo x real. Dizemos que o eixo Oy é uma reta de simetria do gráfico de 2( )f x x= . Lembramos que o gráfico de uma função qualquer :f →� � é simétrico em rela- ção a uma reta r , se todo ponto do gráfico ou está na reta r ou existe outro ponto do gráfico que está na mesma perpendicular à reta r e à mesma distância de r que o ponto em questão. No caso do gráfico de 2( )f x x= , descrito na Figura 1, o simétrico do ponto ( , ( ))x f x para 0x ≠ em relação ao eixo Oy é ( , ( ))x f x− − , pois x e x− estão igual- mente distantes da origem e ( ) ( )f x f x= − implica que esses pontos estão na mesma reta perpendicular ao eixo Oy . Podemos observar este fato no gráfico da Figura 2. Figura 2: Oy é reta de simetria do gráfico da função :f →� � , 2( )f x x= . O próximo passo dessa sequência didática é o estudo das propriedades da função 2( )f x x= − através de seu gráfico. Novamente você pode solicitar que seus alunos construam esse gráfico, percebendo, nesse caso, que o gráfico está “virado” para baixo. Dizemos que a concavidade é para baixo. No caso de 2( )f x x= , dizemos que seu gráfico tem concavidade para cima. Estudamos agora as funções quadráticas da forma 2( )f x ax= com 0a > . O efeito do parâmetro a é aumentar ou diminuir o valor da função conforme se tenha 1a > ou 0 1a< < , respectivamente. Podemos ver esse efeito desenhando no mesmo sis- tema cartesiano os gráficos das funções 21( ) 2 f x x= , 2( )f x x= e 2( ) 2f x x= , como na Figura 3. 3. Esboço de uma sequência didática para o ensino das funções quadráticas 49 y x2 x d (x, f(x))(-x, f(-x)) d -x Figura 3: Comparação entre vários gráficos da forma :f →� � , 2( )f x ax= . O próximo passo da sequência didática é estudar a função 2( )f x ax= com 0a < . É interessante analisar, também nesse caso, o efeito do parâmetro a no gráfico. Vejamos um resumo do que é importante observar sobre a função 2( )f x ax= , com 0a ≠ : ▹ a) Temos (0) 0f = , portanto o ponto (0,0) está no gráfico. O ponto ( , ) (0,0)v vx y = é o vértice do gráfico. ▹ b) Se 0a > , então ( ) 0f x > quando 0x ≠ . Portanto 0x = é o ponto de mínimo e (0) 0f = é um valor mínimo. A concavidade do gráfico é para cima. ▹ c) Se 0a < , então ( ) 0f x < quando 0x ≠ . Dizemos que 0x = é ponto de máxi- mo e (0) 0f = é um valor máximo. A concavidade do gráfico é para baixo. ▹ d) Qualquer que seja 0a ≠ , temos ( ) ( )f x f x= − para todo x real. Portanto, o eixo Oy é uma reta de simetria do gráfico de 2( )f x ax= . Finalizado o estudo de funções quadráticas da forma 2( )f x ax= , podemos seguir com a nossa sequência didática. Qual você imagina que seja o próximo passo dessa sequência didática para o ensino de funções quadráticas? Lembre-se que estamos começando a partir da função quadrática mais simples para a função quadrática completa. M aa rt en U ile nb ro ek / S XC G le nn P eb le y / S XC 50 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa II y x2 x2 x2 x 1,5 4,5 2,25 1,125 2 1 2 Depois de estudar a função quadrática :f →� � , 2( )f x ax= , considerando a variação do parâmetro a , é o momento de incluir na sequência didática o estudo das funções quadráticas da forma 2( )f x ax c= + , com 0a ≠ . O efeito do parâmetro c é deslocar o gráfico verticalmente. O deslocamento é para cima se 0c > e para baixo se 0c < . Isso vale tanto para o caso 0a < quanto para o caso 0a > . Podemos trabalhar isso através de gráficos, como os da Figura 4. Figura 4: Gráficos diversos de funções do tipo :f →� � , 2( )f x ax c= + . Uma observação importante que podemos fazer examinando os gráficos da Figura 4 é que o deslocamento vertical não interfere no fato de que o eixo Oy continua sendo uma reta de simetria. De fato, continuamos tendo ( ) ( )f x f x= − para todo x real. Também 0x = continua sendo um ponto de mínimo ou de máximo. Mas o valor mínimo ou má- ximo muda, sendo agora (0)f c= . Outra observação importante que podemos fazer examinando os gráficos de funções da forma 2( )f x ax c= + é que, dependendo dos sinais de a e de c , aparecem dois pontos 1x e 2x tais que 1( ) 0f x = e 2( ) 0f x = . Um ponto x tal que ( ) 0f x = chama-se zero da função f . Por exemplo, 0x = é um zero da função 2( )f x ax= e se 0a ≠ é único. A função 2( ) 1f x x= − tem dois zeros, a saber, 1 1x = e 2 1x = − . Por outro lado, a função 2( ) 1f x x= + não tem zeros, pois 2 1 0x + > para todo x . Dessa forma, vemos que a função 2( )f x ax c= + pode ter um ou dois zeros, ou nenhum. Seus alunos podem completar a seguinte tabela: 3. Esboço de uma sequência didática para o ensino das funções quadráticas 51 y -x2 + 1 -x2 - 1 -1 1 x y x2 + 1 x2 - 1 1 -1 x LUCAS Destacar LUCAS Sublinhar
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