Projeto 1

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VICTOR EDUARDO ZANLUCKI CARVALHO 
 
 
 
 
 
 
PROJETO 1 
 
 
 
 
ATIVIDADE APNP 
 
 
 
 
 
 
 
Cornelio Procopio 
2021 
 
Victor Eduardo Zanlucki Carvalho – RA 1886134 – EL61A – E61 
Seja o circuito RLC série abaixo: 
 
com R = 100 Ω, L = 10 H, C = 100 uF e função de transferência em malha aberta 
 
Projetar o controlador PID analógico 
 
para que a resposta deste circuito RLC série possua sobressinal menor ou igual a 20%, tempo 
de acomodação menor que 0,50 s (critério de 2%) e erro estacionário nulo para entrada em 
degrau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Obtenha a função de transferência da planta G(s). 
 
Para o circuito dado vamos ter: 𝑉𝑐(𝑠) = 𝑍𝑐(𝑠)𝐼𝑡(𝑠) = 𝑍𝑐(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
𝑍𝑡(𝑠)
 então, 𝐻(𝑠) =
𝑍𝑐𝑠)
𝑍𝑡(𝑠)
 
𝐻(𝑠) =
1
𝐶𝑠
(𝑅+𝐿𝑠+
1
𝐶𝑠
)
=
1
𝐶𝑠(𝑅+𝐿𝑠+
1
𝐶𝑠
)
 portanto, 𝐻(𝑠) =
1
(𝐿𝑐𝑠2+𝑅𝐶𝑠+1)
. 
Para deixar na forma ideal para nossa função transferência de malha aberta temos: 
𝐻(𝑠) =
1
(𝐿𝑐𝑠2+𝑅𝐶𝑠+1)
 => 𝐺(𝑠) =
1
𝐿𝑐
(𝑠2+
𝑅
𝐿
𝑠+
1
𝐿𝐶
)
 
Com isso chegamos à função transferência de malha aberta, que foi dada no enunciado. Após 
isso basta substituir os valores de R, L e C. 
 R = 100 Ω, L = 10 H, C = 100 uF 
𝐺(𝑠) =
1
𝐿𝑐
(𝑠2+
𝑅
𝐿
𝑠+
1
𝐿𝐶
)
 => 𝐺(𝑠) =
1
10∗100∗10−6
(𝑠2+
100
10
𝑠+
1
10∗100∗10−6
)
 Com isso temos: 
𝑮(𝒔) =
𝟏𝟎𝟎𝟎
(𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟎𝟎)
 
𝑮(𝒔) =
𝟏𝟎𝟎𝟎
(𝒔 + 𝟓 + 𝒋𝟓√𝟑𝟗) ∗ (𝒔 + 𝟓 − 𝒋𝟓√𝟑𝟗)
 
 
2. Obtenha o gráfico do lugar geométrico das raízes do sistema em malha aberta sem 
controlador. Insira neste mesmo gráfico os limites da região aceitável dos polos de 
malha fechada de acordo com os requisitos da resposta transitória desejada 
(sobressinal e tempo de acomodação). 
 
Para plotar o gráfico do lugar geométrico das raízes foi utilizado o seguinte código. 
 
 
 
 
Com isso obteve o seguinte root locus: 
 
Mas para inserir os limites da região aceitável dos polos de malha fechada de acordo com os 
requisitos da resposta transitória desejada precisamos calcular o sobressinal e tempo de 
acomodação. Com isso temos: 
Para sobressinal de 20% 𝑀𝑝(%) = 𝑒
−𝜉𝜋
√1−𝜉2
 => ln (0,20)2 = (
−𝜉𝜋
√1−𝜉2
)2 => 2,59 =
𝜉2𝜋2
1−𝜉2
 
Temos nosso termo 𝜉 = 0,456 
Para tempo de acomodação temos 𝑡𝑠2% =
4
𝜉𝑤𝑛
 como sabemos que ξ=0,456 e queremos ts<0,5 
encontramos Wn= 17,54. 
Para estas especificações, os pólos de malha fechada dominantes devem estar localizados em: 
𝑠𝑑 = −𝜉𝑤𝑛 ± 𝑗𝑤𝑛√1 − 𝜉2 substituindo os valores temos −8 ± 𝑗15,6. 
 
Então identificamos no root locus que nossos polos deveriam estar em -8±j15,6 mas no 
momento estão em -5±j. 
 
3. Obtenha a resposta do sistema em malha fechada sem controlador. Insira neste 
mesmo gráfico as seguintes informações: sobressinal, tempo de acomodação e valor 
final. 
 
Para resposta de malha fechada temos: 𝐺𝑚𝑓(𝑠) =
𝐺(𝑠)
1+𝐺(𝑠)
 => 𝐺𝑚𝑓(𝑠) =
1000
𝑠2+10𝑠+2000
 
Com isso foi plotado a resposta em malha fechada. 
 
 
 
Podemos observar um sobressinal de quase 60% e gostaríamos de apenas 20%. Além disso 
podemos reparar que o tempo de acomodação foi maior que 1,2 segundos o que ultrapassa os 
0,5 segundos do projeto. 
 
4. Utilize os dois zeros de Gc (s) para cancelar os polos estáveis de G(s). Ajuste os valores 
de p e K para atendar aos requisitos do projeto. 
Para isso vamos utilizar o PID realista como nossa Gc(s que é dado por: 
 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
𝑠(𝑠 + 𝑝)
 
 
Vamos utilizar os dois zeros de Gc(s) para cancelar os polos estáveis de G(s), com isso fica: 
𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) = 𝐾
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
𝑠(𝑠 + 𝑝)
∗
1000
(𝑠 + 5 + 𝑗5√39) ∗ (𝑠 + 5 − 𝑗5√39)
 
Sendo nosso a = (5 + 𝑗5√39) e nosso b = (5 − 𝑗5√39) 
 
𝐺𝑐(𝑠) ∗ 𝐺(𝑠) = 𝐾
(𝑠 + 5 + 𝑗5√39) ∗ (𝑠 + 5 − 𝑗5√39)
𝑠(𝑠 + 𝑝)
∗
1000
(𝑠 + 5 + 𝑗5√39) ∗ (𝑠 + 5 − 𝑗5√39)
 
 
Então vamos ter como produto final: 
 
𝑮𝒄(𝒔) ∗ 𝑮(𝒔) = 𝑲
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒔(𝒔 + 𝒑)
 
 
A partir disso vamos calcular o polo do compensador para achar valor de p e usar a condição de 
modulo para achar o valor de K. 
O polo do compensador é calculado pela condição de fase do LGR do sistema Gma(s) no polo 
dominante sd = -8 + j15,6. 
 
∡𝐺𝑚𝑎(𝑠) |
𝑠𝑑 = −8 + 𝑗15,6
= 180° 
−∡𝑠𝑑 − ∡(𝑠𝑑 + 𝑝) = 180° 
 
Após os cálculos temos p como: 
 
𝑝 = (
15,6
1,95
) + 8 => p=16. 
 
O valor do ganho kc >0 é calculado por meio da condição do módulo do LGR do sistema Gma(s) 
no pólo dominante sd = -8 + j15,6. 
 
|𝐺𝑚𝑎(𝑠) |
𝑠𝑑 = −8 + 𝑗15,6
= 1 => |
1000𝑘
𝑠(𝑠+16)
|= 1 
 
𝑘 =
|𝑠𝑑||𝑠𝑑+16|
1000
 Logo temos o valor de k=0,3. 
 
5. Obtenha o gráfico do lugar geométrico das raízes do sistema em malha aberta com 
controlador. Insira neste mesmo gráfico os limites da região aceitável dos polos de 
malha fechada de acordo com os requisitos da resposta transitória desejada 
(sobressinal e tempo de acomodação). 
 
Para obter os lugares geométricos das raízes foi utilizado o seguinte código no matlab: 
 
 
 
Com isso obteve o seguinte root locus: 
 
 
 
 
 
 
6. Obtenha a resposta do sistema em malha fechada com controlador. Insira neste 
mesmo gráfico as seguintes informações: sobressinal, tempo de acomodação e valor 
final. 
 
Para obter a resposta em malha fechada desta vez foi utilizado o matlab para achar nossa 
equação de malha fechada para facilitar os cálculos, e com isso já foi plotado a resposta. O 
código utilizado foi: 
 
 
Com isso obteve seguinte resposta: 
 
 
Pode-se observar o valor de saída com amplitude de 0,0212 e nosso sobressinal de 0,0254 que 
corresponde aos 20% do que foi estabelecido no projeto. 
 
 
 
 
7. Obtenha a função de transferência de Gc (s). 
 
A função Gc(s) em malha aberta ficara: 
 
𝐺𝑐𝑚𝑎(𝑠) = 0,3 ∗ 
1000
𝑠(𝑠 + 16)
 
 
A função de Gc(s) em malha fechada ficara: 
 
𝐺𝑐𝑚𝑓(𝑠) =
300
𝑠(𝑠+16)
1+
300
𝑠(𝑠+16)
 => 
300
𝑠(𝑠+16)+300
 
 
8. Faça o projeto no Simulink de acordo com a figura abaixo. Observe que foi utilizado o 
bloco do controlador PID com filtro passa-baixas e com saturação de saída. Neste caso, 
obtenha os valores de P, I, D e N com base nos valores encontrados para K, z1, z2 e p. 
Considere os seguintes limites de saída (saturação) do bloco PID: mínimo igual a 0 e 
máximo igual a 5. 
 
Como temos os valores de k=0,3 z1=(5+31,22i), z2=(5-31,22i) e p1=16 podemos encontrar os 
termos PID. 
Para 𝐼 = 
𝐾∗𝑧1∗𝑧2
𝑝1
 => 𝐼 = 
0,3∗31,62∗31,62
16
 = 18,75 
Para 𝑃 = 
𝐾∗(𝑧1+𝑧2)−𝐼
𝑝1
 => 𝑃 = 
0,3(10)−18,75
16
 = −0,98 
Para N = p1 = 16 
Para 𝐷 = 
𝐾−𝑃
𝑁
 => 𝐷 = 
0,3−0,01398
16
 = 0,08 
 
Então podemos preencher nosso bloco PID com seus respectivos valores: 
 
 
 
Lembrando de preencher a saturação com o valor mínimo de 0 e valor máximo de 5. 
 
 
 Após preencher os valores temos nosso projeto no simulink: 
 
 
9. Simule o sistema do item anterior no Simulink e obtenha as respostas r(t); y(t) e u(t) 
quando é aplicado em t = 0 um degrau unitário na referência r(t). Adote o tempo de 
simulação igual a 2 s. 
 
E por fim temos nossas respostas r(t), y(t) e u(t) gerada pelo scope do simulink. 
 
 
 
 
 
 
10. Comentários e Conclusões. 
 
Após todas as etapas da criação do projeto verificamos a eficiência de um controlador PID, 
dentre essas etapas muitas foram feitas através de modo computacional o que agiliza muito na 
criação de um projeto. E como algumas partes foram feitas a mão podemos fazer uma 
comparação e ver como é eficiente usar recursos computacionais para desenvolver o projeto 
diante da agilidade e precisão.