Análise Combinatória - Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
AULA 1- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E
FATORIAL
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E FATORIAL– AULA 1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
. Análise Combinatória: Definição
. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Teorema dos Acontecimentos Sucessivos
(TAS).Exemplos.
. Fatorial de um Número
. Exercícios
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E FATORIAL– AULA 1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
DEFINIÇÃO
Análise Combinatória é o conjunto de normas que
permitem formar grupos distintos constituídos por um
número finito de objetos denominados elementos,
colocando-os ao lado uns dos outros sob condições
estipuladas e calcular o número desses grupos formados.
Diversas são as ferramentas utilizadas em Análise
Combinatória ou simplesmente Combinatória e as mais
frequentes são as permutações, os arranjos e as
combinações.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
➢ PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) -
TEOREMA DOS ACONTECIMENTOS SUCESSIVOS (TAS)
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas
sucessivas e independentes de tal modo que:
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
p3 é o número de possibilidades da 3ª etapa
......................................................
......................................................
pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então
p1.p2.p3.....pk é o número total de possibilidades de o
acontecimento ocorrer.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
EXEMPLOS:
1. Maria tem 3 blusas e 4 saias. De quantos modos distintos
Maria pode se vestir usando uma blusa e uma saia?
Solução:
Para cada uma das blusas que Maria escolher ela pode
usar qualquer uma das 4 saias, logo, o número total de
maneiras dela se vestir será dado por:
3 x 4 = 12
2. Quantas apresentações serão realizadas ao se apresentar
individualmente 4 homens a 8 senhoras?
Solução:
4 x 8 = 32 apresentações
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
3. Há 4 linhas de ônibus ligando as cidades A e B, e há 5
outras ligando B à cidade C. Uma pessoa desejando viajar de
A até C passando por B , de quantos modos diferentes poderá
fazer essa viagem?
Solução:
de A para B => 4 possibilidades
de B para C => 5 possibilidades
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), temos:
4 x 5 = 20
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4.De quantas maneiras pode uma pessoa entrar e sair em uma
sala que dispõe de 4 portas, utilizando as diferentes portas?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
5. (CESCEA) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7
cores diferentes, podendo o comprador optar entre os
motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são
fabricados nas versões “standard”,”luxo” e “superluxo”,
quantas são as alternativas para o comprador?
Solução:
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC),
temos:
7 x 2 x 3 = 42 alternativas
7 
cores
2 
motores
3 
versões
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6.(FGV) Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o 
algarismo da unidade de milhar igual a 3? 
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7.(PUC-SP) Um dia pode ter uma de 7 classificações: MB 
(muito bom), B (bom) , R (regular), O (ótimo) , P (péssimo), S 
(sofrível) e T (terrível). Os dias de uma semana são: domingo, 
segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-
feira e sábado.. Duas semanas se dizem distintas se dois dias 
de mesmo nome têm classificações distintas. Quantas 
semanas distintas, segundo o critério dado, existem?
SOLUÇÃO:
Para 1 dia temos: MB , B , R , O , P , S e T => 7 classificações
Na semana:
7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 = 77
Classificações por dia
2ª 3ª 4ª 5ª 6ª S D
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8. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas
em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças
no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna,
seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4
peças poderão ser colocadas?
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL DE UM NÚMERO
Chamamos de fatorial de um número inteiro não-negativo
n ( ), indicado por n! , ao número definido por:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... . 3.2.1
Obs.:
1! = 1
0! = 1
Note então que n! é o número que representa o produto de
todos os números naturais , desde n até 1.
Nn
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EXEMPLOS
1. Simplifique:
a)
b) 
!8!6
!9!7
)!2(
)!22(
n
n +
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2.Determine o valor de n na equação: 6
)!1(
)!1(
=
−
+
n
n
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3.Resolva as equações:
a) 
b) 
120)!1( =+x
1)!3( =−x
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4.(UFF-RJ) O produto 20.18.16.14. ... . 6.4.2 é equivalente a:
a) b) c) d) e) 
2
!20
!10.2
!10
!20
!10.210
102
!20
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Na aula de hoje estudamos:
. A definição de Análise Combinatória
. O Princípio Multiplicativo ou Teorema dos Acontecimentos 
Sucessivos
. O Fatorial de um Número
. Exercícios