A3 - unidade3_circuitos-eletricos-II

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CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOS
IIII 
UNIDADE 3 – POTÊNCIAUNIDADE 3 – POTÊNCIA
COMPLEXACOMPLEXA 
Autor: Guilherme SchnirmannAutor: Guilherme Schnirmann 
Revisor: Sofia Maria Amorim Falco RodriguesRevisor: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues 
I N I C I A R
Introdução
Caro(a) estudante, 
Até aqui, nos concentramos na análise dos circuitos com cálculos de impedâncias,
tensões e correntes. Utilizamos os números complexos com notação fasorial como
ferramenta matemática para essa análise. Agora, nesta unidade, nosso objetivo está
concentrado em aplicar essas ferramentas na análise de potência nos circuitos de
corrente alternada. 
Quando falamos de potência, logo precisamos associar a energia, mais ainda a
Autor:
Guilherme Schnirmann
Revisora:
Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues
CIRCUITOS ELÉTRICOS II
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA
INTRODUÇÃO 01
3.1 POTÊNCIAS INSTANTÂNEA E MÉDIA 02
3.2 POTÊNCIA EFICAZ, APARENTE E FATOR DE POTÊNCIA 11
3.3 ANÁLISE DE POTÊNCIA COMPLEXA 17
3.4 CIRCUITOS COM FONTES CHAVEADAS 32
SÍNTESE 35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 37
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 1
CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOS
IIII 
UNIDADE 3 – POTÊNCIAUNIDADE 3 – POTÊNCIA
COMPLEXACOMPLEXA 
Autor: Guilherme SchnirmannAutor: Guilherme Schnirmann 
Revisor: Sofia Maria Amorim Falco RodriguesRevisor: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues 
I N I C I A R
Introdução
Caro(a) estudante, 
Até aqui, nos concentramos na análise dos circuitos com cálculos de impedâncias,
tensões e correntes. Utilizamos os números complexos com notação fasorial como
ferramenta matemática para essa análise. Agora, nesta unidade, nosso objetivo está
concentrado em aplicar essas ferramentas na análise de potência nos circuitos de
corrente alternada. 
Quando falamos de potência, logo precisamos associar a energia, mais ainda a
transmissão de energia, ou seja, estamos falando dos valores mais importantes na
prática de sistemas de circuitos elétricos. Todo equipamento elétrico tem uma potência
nominal, que representa qual é a potência exigida pelo equipamento em níveis de
funcionamento e segurança (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Além disso, a utilização de
energia elétrica na forma CA (geralmente, 50 ou 60 Hz) possibilitou a transmissão de
energia das usinas para os consumidores (alta tensão) e os conceitos de potência são de
suma importância para entendermos o funcionamento e a utilização dessa energia. 
3.1 Potências instantânea e média
Começaremos nosso estudo com a potência absorvida em um dado instante t.
Chamamos essa potência em um instante específico de potência instantânea que
depende da tensão e da corrente nesse momento, ou seja, é a potência em um
determinado ponto qualquer – instante de tempo. Os valores instantâneos são
representados com letras minúsculas: 
Essa potência representa a taxa de absorção de energia de um elemento e considerando
o estudo realizado, nos capítulos anteriores, dos circuitos com fontes de excitação
senoidais: 
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, em Watts, símbolo
W. 
#PraCegoVer: v de t é igual a Vm vezes cosseno de ômega t mais
theta v. 
transmissão de energia, ou seja, estamos falando dos valores mais importantes na
prática de sistemas de circuitos elétricos. Todo equipamento elétrico tem uma potência
nominal, que representa qual é a potência exigida pelo equipamento em níveis de
funcionamento e segurança (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Além disso, a utilização de
energia elétrica na forma CA (geralmente, 50 ou 60 Hz) possibilitou a transmissão de
energia das usinas para os consumidores (alta tensão) e os conceitos de potência são de
suma importância para entendermos o funcionamento e a utilização dessa energia. 
3.1 Potências instantânea e média
Começaremos nosso estudo com a potência absorvida em um dado instante t.
Chamamos essa potência em um instante específico de potência instantânea que
depende da tensão e da corrente nesse momento, ou seja, é a potência em um
determinado ponto qualquer – instante de tempo. Os valores instantâneos são
representados com letras minúsculas: 
Essa potência representa a taxa de absorção de energia de um elemento e considerando
o estudo realizado, nos capítulos anteriores, dos circuitos com fontes de excitação
senoidais: 
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, em Watts, símbolo
W. 
#PraCegoVer: v de t é igual a Vm vezes cosseno de ômega t mais
theta v. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 2
transmissão de energia, ou seja, estamos falando dos valores mais importantes na
prática de sistemas de circuitos elétricos. Todo equipamento elétrico tem uma potência
nominal, que representa qual é a potência exigida pelo equipamento em níveis de
funcionamento e segurança (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Além disso, a utilização de
energia elétrica na forma CA (geralmente, 50 ou 60 Hz) possibilitou a transmissão de
energia das usinas para os consumidores (alta tensão) e os conceitos de potência são de
suma importância para entendermos o funcionamento e a utilização dessa energia. 
3.1 Potências instantânea e média
Começaremos nosso estudo com a potência absorvida em um dado instante t.
Chamamos essa potência em um instante específico de potência instantânea que
depende da tensão e da corrente nesse momento, ou seja, é a potência em um
determinado ponto qualquer – instante de tempo. Os valores instantâneos são
representados com letras minúsculas: 
Essa potência representa a taxa de absorção de energia de um elemento e considerando
o estudo realizado, nos capítulos anteriores, dos circuitos com fontes de excitação
senoidais: 
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, em Watts, símbolo
W. 
#PraCegoVer: v de t é igual a Vm vezes cosseno de ômega t mais
theta v. 
transmissão de energia, ou seja, estamos falando dos valores mais importantes na
prática de sistemas de circuitos elétricos. Todo equipamento elétrico tem uma potência
nominal, que representa qual é a potência exigida pelo equipamento em níveis de
funcionamento e segurança (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Além disso, a utilização de
energia elétrica na forma CA (geralmente, 50 ou 60 Hz) possibilitou a transmissão de
energia das usinas para os consumidores (alta tensão) e os conceitos de potência são de
suma importância para entendermos o funcionamento e a utilização dessa energia. 
3.1 Potências instantânea e média
Começaremos nosso estudo com a potência absorvida em um dado instante t.
Chamamos essa potência em um instante específico de potência instantânea que
depende da tensão e da corrente nesse momento, ou seja, é a potência em um
determinado ponto qualquer – instante de tempo. Os valores instantâneos são
representados com letras minúsculas: 
Essa potência representa a taxa de absorção de energia de um elemento e considerando
o estudo realizado, nos capítulos anteriores, dos circuitos com fontes de excitação
senoidais: 
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, em Watts, símbolo
W. 
#PraCegoVer: v de t é igual a Vm vezes cosseno de ômega t mais
theta v. 
Em que V e I são as amplitudes e θ e θ são os ângulos de fase de tensão e corrente
instantâneas, respectivamente. Assim, a potência instantânea fica (repare que v(t) e i(t)
são ambas colocadas na forma de cosseno para facilitar a relação trigonométrica a
seguir): 
Sabendo que o produto entre dois cossenos de argumentos diferentes (A e B) é
relacionado por: 
Chegamos à potência instantânea: 
#PraCegoVer: i de t é igual a Im vezes cosseno de ômega t mais
theta i.
m m v i
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, que é igual a Vm
vezes Im vezes cosseno de ômega t mais theta v vezes cosseno de
ômega t mais theta i. 
#PraCegoVer: cosseno A vezes cosseno B é igual a 1 sobre 2 vezes
cosseno de A menos B mais cosseno de A mais B. 
Em que V e I são as amplitudes e θ e θ são os ângulos de fase de tensão e corrente
instantâneas, respectivamente. Assim, a potência instantânea fica (repare que v(t) e i(t)
são ambas colocadas na forma de cosseno para facilitar a relação trigonométrica aseguir): 
Sabendo que o produto entre dois cossenos de argumentos diferentes (A e B) é
relacionado por: 
Chegamos à potência instantânea: 
#PraCegoVer: i de t é igual a Im vezes cosseno de ômega t mais
theta i.
m m v i
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, que é igual a Vm
vezes Im vezes cosseno de ômega t mais theta v vezes cosseno de
ômega t mais theta i. 
#PraCegoVer: cosseno A vezes cosseno B é igual a 1 sobre 2 vezes
cosseno de A menos B mais cosseno de A mais B. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 3
Em que V e I são as amplitudes e θ e θ são os ângulos de fase de tensão e corrente
instantâneas, respectivamente. Assim, a potência instantânea fica (repare que v(t) e i(t)
são ambas colocadas na forma de cosseno para facilitar a relação trigonométrica a
seguir): 
Sabendo que o produto entre dois cossenos de argumentos diferentes (A e B) é
relacionado por: 
Chegamos à potência instantânea: 
#PraCegoVer: i de t é igual a Im vezes cosseno de ômega t mais
theta i.
m m v i
#PraCegoVer: p de t é igual a v de t vezes i de t, que é igual a Vm
vezes Im vezes cosseno de ômega t mais theta v vezes cosseno de
ômega t mais theta i. 
#PraCegoVer: cosseno A vezes cosseno B é igual a 1 sobre 2 vezes
cosseno de A menos B mais cosseno de A mais B. 
Podemos perceber que a potência instantânea é formada por um elemento constante
(independente do tempo) que só dependente da diferença de fase entre tensão e
corrente e por outro elemento que é função do tempo e da frequência (que é o dobro da
tensão e corrente). Assim, temos a expressão para encontramos valores de potência em
determinados instantes de tempo, sendo assim, fisicamente de difícil medição.
Normalmente, para medição utilizamos o conceito de potência média que é a média da
potência instantânea ao longo do tempo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Calculamos a
potência média (P) do seguinte modo: 
Substituindo p(t) na integral de potência média e resolvendo a integral chegamos no
elemento constante da expressão de p(t) e em uma senoide, cuja média ao longo do
período resulta em zero (área da senoide é zero somando a parte positiva e negativa).
Assim, a potência média é: 
Desse modo, podemos encontrar a potência média quando temos tensão e corrente no
domínio da frequência 
#PraCegoVer: p de t é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i mais cosseno de 2 ômega t mais
theta v mais theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre T vezes a integral de 0 a T de p de
t, em função de dt, com resultado em Watts. 
#PraCegoVer: P é igual à 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
Podemos perceber que a potência instantânea é formada por um elemento constante
(independente do tempo) que só dependente da diferença de fase entre tensão e
corrente e por outro elemento que é função do tempo e da frequência (que é o dobro da
tensão e corrente). Assim, temos a expressão para encontramos valores de potência em
determinados instantes de tempo, sendo assim, fisicamente de difícil medição.
Normalmente, para medição utilizamos o conceito de potência média que é a média da
potência instantânea ao longo do tempo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Calculamos a
potência média (P) do seguinte modo: 
Substituindo p(t) na integral de potência média e resolvendo a integral chegamos no
elemento constante da expressão de p(t) e em uma senoide, cuja média ao longo do
período resulta em zero (área da senoide é zero somando a parte positiva e negativa).
Assim, a potência média é: 
Desse modo, podemos encontrar a potência média quando temos tensão e corrente no
domínio da frequência 
#PraCegoVer: p de t é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i mais cosseno de 2 ômega t mais
theta v mais theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre T vezes a integral de 0 a T de p de
t, em função de dt, com resultado em Watts. 
#PraCegoVer: P é igual à 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
Podemos perceber que a potência instantânea é formada por um elemento constante
(independente do tempo) que só dependente da diferença de fase entre tensão e
corrente e por outro elemento que é função do tempo e da frequência (que é o dobro da
tensão e corrente). Assim, temos a expressão para encontramos valores de potência em
determinados instantes de tempo, sendo assim, fisicamente de difícil medição.
Normalmente, para medição utilizamos o conceito de potência média que é a média da
potência instantânea ao longo do tempo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Calculamos a
potência média (P) do seguinte modo: 
Substituindo p(t) na integral de potência média e resolvendo a integral chegamos no
elemento constante da expressão de p(t) e em uma senoide, cuja média ao longo do
período resulta em zero (área da senoide é zero somando a parte positiva e negativa).
Assim, a potência média é: 
Desse modo, podemos encontrar a potência média quando temos tensão e corrente no
domínio da frequência 
#PraCegoVer: p de t é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i mais cosseno de 2 ômega t mais
theta v mais theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre T vezes a integral de 0 a T de p de
t, em função de dt, com resultado em Watts. 
#PraCegoVer: P é igual à 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 4
Podemos perceber que a potência instantânea é formada por um elemento constante
(independente do tempo) que só dependente da diferença de fase entre tensão e
corrente e por outro elemento que é função do tempo e da frequência (que é o dobro da
tensão e corrente). Assim, temos a expressão para encontramos valores de potência em
determinados instantes de tempo, sendo assim, fisicamente de difícil medição.
Normalmente, para medição utilizamos o conceito de potência média que é a média da
potência instantânea ao longo do tempo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Calculamos a
potência média (P) do seguinte modo: 
Substituindo p(t) na integral de potência média e resolvendo a integral chegamos no
elemento constante da expressão de p(t) e em uma senoide, cuja média ao longo do
período resulta em zero (área da senoide é zero somando a parte positiva e negativa).
Assim, a potência média é: 
Desse modo, podemos encontrar a potência média quando temos tensão e corrente no
domínio da frequência 
#PraCegoVer: p de t é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i mais cosseno de 2 ômega t mais
theta v mais theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre T vezes a integral de 0 a T de p de
t, em função de dt, com resultado em Watts. 
#PraCegoVer: P é igual à 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
e identificando o produto entre tensão fasorial com o conjugado da corrente fasorial VI*,
na Equação 8, temos: 
Observe que a parte real dessa expressão é justamente a potência média, portanto: 
Casos especiais da potência média
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
#PraCegoVer: V é igual à Vm com fase theta v e I é igual à Im com
fase theta i. 
#PraCegoVer: 1 sobre 2, vezes V vezes o conjugado de I, é igual à 1
sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes theta v menos theta i, que é igual
a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes cosseno de theta v menos
theta i mais j seno de theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes a parte real de V vezes I
conjugado, que é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
Circuito puramente resistivo (tensão e corrente em fase)
Circuito puramente reativo
e identificando o produto entre tensão fasorial com o conjugado da corrente fasorial VI*,
na Equação 8, temos: 
Observe que a parte real dessa expressão é justamente a potência média, portanto: 
Casos especiais da potência média
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
#PraCegoVer: V é igual à Vm com fase theta v e I é igual à Im com
fase theta i. 
#PraCegoVer: 1 sobre 2, vezes V vezes o conjugado de I, éigual à 1
sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes theta v menos theta i, que é igual
a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes cosseno de theta v menos
theta i mais j seno de theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes a parte real de V vezes I
conjugado, que é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
Circuito puramente resistivo (tensão e corrente em fase)
Circuito puramente reativo
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 5
e identificando o produto entre tensão fasorial com o conjugado da corrente fasorial VI*,
na Equação 8, temos: 
Observe que a parte real dessa expressão é justamente a potência média, portanto: 
Casos especiais da potência média
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#PraCegoVer: V é igual à Vm com fase theta v e I é igual à Im com
fase theta i. 
#PraCegoVer: 1 sobre 2, vezes V vezes o conjugado de I, é igual à 1
sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes theta v menos theta i, que é igual
a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes cosseno de theta v menos
theta i mais j seno de theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes a parte real de V vezes I
conjugado, que é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i. 
Circuito puramente resistivo (tensão e corrente em fase)
Circuito puramente reativo
Circuito 
puramente 
resistivo (tensão 
e corrente em 
fase)
Circuito 
puramente 
reativo
#PraCegoVer: theta v é igual a theta i.
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes V m vezes I m, que 
é igual a 1 sobre 2 vezes Im ao quadrado vezes R, que é igual 
a 1 sobre 2 vezes o módulo de I ao quadrado vezes R.
#PraCegoVer: theta v menos theta i é igual a mais ou menos 
noventa graus.
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes V m vezes I m 
vezes o cosseno de noventa graus, que é igual a 0.
Assim, como visto nas abas, no caso em que o circuito é puramente resistivo, a potência
é totalmente absorvida. Já quando o circuito for puramente reativo, ou seja, quando a
carga for reativa (L ou C), não é absorvida potência média. 
Agora que determinamos a expressão para potência média, vamos entender quando um
circuito tem a máxima transferência de potência média para uma carga. Para uma carga
resistiva, a potência será maximizada quando a resistência da carga for igual a
resistência de Thévenin (circuito CC). Entretanto, precisamos entender a máxima
transferência de potência média para circuitos de corrente alternada. 
VAMOS PRATICAR? 
Vamos colocar em prática as equações vistas até aqui e as ferramentas
matemáticas necessárias. Assim, considere os seguintes dados:
#PraCegoVer: theta v é igual a theta i.
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes V m vezes I m, que é igual a 1 sobre 2
vezes Im ao quadrado vezes R, que é igual a 1 sobre 2 vezes o módulo de I ao
quadrado vezes R. 
#PraCegoVer: v de t é igual a 160 vezes cosseno de 355 t mais
45 graus.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 6
e
Determine a potência instantânea e a potência média absorvida por um circuito
linear passivo.
3.1.1 Máxima transferência de potência média
Representando um circuito linear qualquer por seu equivalente de Thévenin (V em série
com Z ) conectado em série a uma carga Z ,temos as impedâncias na forma retangular: 
Queremos a potência na carga, portanto, vamos encontrar a corrente nela: 
#PraCegoVer: i de t é igual a 25 vezes cosseno de 355 t menos
10 graus.
th
th L
#PraCegoVer: Zth é igual à Rth mais jXth.
#PraCegoVer: Zl é igual a Rl mais j Xl.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 7
Utilizando a Equação 10 para uma carga resistiva temos a seguinte expressão para
potência máxima: 
Para encontrarmos o valor máximo de potência transferida para carga, utilizamos o
teorema do valor máximo de uma função: tomamos as derivadas parciais da potência em
relação as cargas R e X iguais a zero. 
Chegamos em: 
#PraCegoVer: I é igual a Vth sobre Zth mais Zl, que é igual a Vth
sobre Rth mais j Xth mais Rl mais jXl.
#PraCegoVer: P máxima é igual ao módulo de I ao quadrado vezes
Rl, que é igual ao módulo de Vth ao quadrado vezes Rl sobre 2,
sobre Rth mais Rl ao quadrado, mais o quadrado da soma de Xth
com Xl.
L L
#PraCegoVer: Derivada parcial de P com relação à Xl é igual ao
módulo de Vth ao quadrado vezes Rl vezes Xth mais Xl, sobre Rth
mais Rl ao quadrado mais mais o quadrado da soma de Xth com Xl,
com todo denominador ao quadrado.
#PraCegoVer: Xl é igual a menos Xth.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 8
Para: 
Ou seja: 
Então: 
Relacionando as duas expressões anteriores: 
#PraCegoVer: Derivada parcial de P com relação à Rl igual a zero.
#PraCegoVer: Derivada parcial de P em relação à Rl é igual a 1
sobre 2 vezes módulo de Vth ao quadrado vezes o quadrado da
soma de Rth com Rl,, mais o quadrado da soma de Xth com Xl,
menos 2 Rl vezes a soma de Rth com Rl, sobre o quadrado da soma
de Rth com Rl, mais o quadrado da soma de Xth com Xl,, com o
denominador ao quadrado.
#PraCegoVer: Rl é igual à raiz quadrada de Rth ao quadrado mais o
quadrado da soma de Xth com Xl.
#PraCegoVer: RL é igual à Rth.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 9
Desse modo, para a máxima transferência de potência média, a carga Z deve ser: 
Portanto, para máxima transferência de potência média, a carga deve ser igual o
complexo conjugado da impedância de Thévenin (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Agora,
substituímos os valores de R e X na expressão encontrada anteriormente para
potência máxima: 
Embora possa parecer que a tensão de 120 V pode ser obtida em qualquer lugar, há
situações que nos fazem lembrar que não existe uma tomada de energia elétrica em
qualquer esquina do planeta. À medida que nos afastamos dos grandes centros urbanos,
os geradores a gasolina podem ser utilizados. A grande maioria dos geradores é
construída para fornecer 1750 a 5000 W de potência. Normalmente, 4000 W são
suficientes para acionar diversas lâmpadas de 60 W, um aparelho de TV, um ventilador,
entre outros, sempre teremos problemas quando, em uma unidade geradora, forem
conectados equipamentos de aquecimento (ferros elétricos, secadores de cabelo,
secadoras de roupa). Mesmo fornos de micro-ondas de 1200 W drenam uma potência
L
#PraCegoVer: Zl é igual à Rth menos jXth, que é igual à Zth
conjugado.
L L
#PraCegoVer: P máximo é igual ao módulo de I ao quadrado vezes
Rl, que é igual ao módulo de Vth ao quadrado vezes Rl sobre 2,
sobre o quadrado da soma de Rth com Rl, mais o quadrado da
soma de Xth com Xl, igual ao módulo de Vth ao quadrado vezes Rth
sobre 2, sobre 2 Rth ao quadrado mais o quadrado da diferença de
Xth com Xth, que é igual ao módulo de Vth ao quadrado sobre 8
vezes Rth. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 10
razoável. Logo, surge a necessidade de ampliar os limites de potência (BOYLESTAD,
2012). 
VOCÊ QUER LER?
Para entender a prova matemática do porquê a resistência de Thévenin é a carga
que representa a máxima transferência de potência, sugere-se a leitura da seção
4.8 do livro Fundamentos de circuitos elétricos, de Charles L. Alexander e
Matthew N.O. Sadik. Nessa seção é realizada a prova para a máxima
transferência de potência para circuitos de corrente contínua que se estende para
circuitos de corrente alternada (potência média). Observe a diferença da análise
de Thévenin entre CC e CA. 
Continuando nosso estudo sobre potência em circuitos CA, precisamos entender o
conceito de valor RMS ou eficaz que está relacionado com a medida da eficácia de uma
fonte de tensão ao transferir potência para uma carga. 
3.2 Potência eficaz, aparente e fator de potência 
O valor eficaz de uma corrente periódica é a corrente CC que libera a mesma potência
média para um resistor que a corrente periódica (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Assim,
para encontrar o valor eficaz, toma-se como objetivo encontrar a corrente em um circuito
CA que transferirá a mesma potência média para uma carga resistiva em um circuito CC.
A partir daqui os valores das amplitudes de tensão e corrente serão os valores RMS. 
Valores RMS
» Clique nas abas para saber mais sobreo assunto
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 11
razoável. Logo, surge a necessidade de ampliar os limites de potência (BOYLESTAD,
2012). 
VOCÊ QUER LER?
Para entender a prova matemática do porquê a resistência de Thévenin é a carga
que representa a máxima transferência de potência, sugere-se a leitura da seção
4.8 do livro Fundamentos de circuitos elétricos, de Charles L. Alexander e
Matthew N.O. Sadik. Nessa seção é realizada a prova para a máxima
transferência de potência para circuitos de corrente contínua que se estende para
circuitos de corrente alternada (potência média). Observe a diferença da análise
de Thévenin entre CC e CA. 
Continuando nosso estudo sobre potência em circuitos CA, precisamos entender o
conceito de valor RMS ou eficaz que está relacionado com a medida da eficácia de uma
fonte de tensão ao transferir potência para uma carga. 
3.2 Potência eficaz, aparente e fator de potência 
O valor eficaz de uma corrente periódica é a corrente CC que libera a mesma potência
média para um resistor que a corrente periódica (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Assim,
para encontrar o valor eficaz, toma-se como objetivo encontrar a corrente em um circuito
CA que transferirá a mesma potência média para uma carga resistiva em um circuito CC.
A partir daqui os valores das amplitudes de tensão e corrente serão os valores RMS. 
Valores RMS
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razoável. Logo, surge a necessidade de ampliar os limites de potência (BOYLESTAD,
2012). 
VOCÊ QUER LER?
Para entender a prova matemática do porquê a resistência de Thévenin é a carga
que representa a máxima transferência de potência, sugere-se a leitura da seção
4.8 do livro Fundamentos de circuitos elétricos, de Charles L. Alexander e
Matthew N.O. Sadik. Nessa seção é realizada a prova para a máxima
transferência de potência para circuitos de corrente contínua que se estende para
circuitos de corrente alternada (potência média). Observe a diferença da análise
de Thévenin entre CC e CA. 
Continuando nosso estudo sobre potência em circuitos CA, precisamos entender o
conceito de valor RMS ou eficaz que está relacionado com a medida da eficácia de uma
fonte de tensão ao transferir potência para uma carga. 
3.2 Potência eficaz, aparente e fator de potência 
O valor eficaz de uma corrente periódica é a corrente CC que libera a mesma potência
média para um resistor que a corrente periódica (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Assim,
para encontrar o valor eficaz, toma-se como objetivo encontrar a corrente em um circuito
CA que transferirá a mesma potência média para uma carga resistiva em um circuito CC.
A partir daqui os valores das amplitudes de tensão e corrente serão os valores RMS. 
Valores RMS
» Clique nas abas para saber mais sobre o assuntoCorrente RMS
#PraCegoVer: I ef é igual à raiz quadrada de 1 sobre T vezes integral de 0 a T 
de i ao quadrado vezes dt.
O valor eficaz é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal periódico. Desse modo, o
valor eficaz também é conhecido como raiz do valor médio quadrático (root-mean-
square) ou valor RMS (ALEXANDER; SADIKU, 2013).Calculando o valor RMS para v(t) =
V cos ωt (#PraCegoVer: tensão em função de t é igual a tensão máxima vezes cosseno
de ômega t): 
De modo similar: 
Assim, dizemos que o valor RMS ou eficaz é o valor de pico sobre a raiz de dois. Por fim,
a potência média pode ser escrita em termos de valores RMS como: 
Corrente RMS Tensão RMS
#PraCegoVer: I ef é igual à raiz quadrada de 1 sobre T vezes integral de 0 a T
de i ao quadrado vezes dt.
m
#PraCegoVer: V RMS é igual à raiz quadrada de 1 sobre T vezes
integral de 0 a T de Vm cosseno de ômega t ao quadrado, em
função de dt, que é igual à raiz quadrada de Vm ao quadrado sobre
T vezes a integral de 0 a T de 1 mais cosseno de 2 ômega t em
função de dt, que é igual a Vm sobre raiz de 2.
#PraCegoVer: I RMS é igual a Im sobre raiz de 2.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 12
Corrente RMS
#PraCegoVer: V ef é igual à raiz quadrada de 1 sobre T vezes integral de 0 a T 
de v ao quadrado vezes dt.
E para um resistor: 
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes Vm vezes Im vezes
cosseno de theta v menos theta i, que é igual a Vm sobre raiz de 2
vezes Im sobre raiz de 2 vezes cosseno de theta v menos theta i,
que é igual a V RMS vezes I RMS vezes cosseno de theta v menos
theta i.
#PraCegoVer: P é igual a I RMS ao quadrado vezes R, que é igual a
V RMS ao quadrado sobre R. 
VOCÊ SABIA?
Quando uma tensão ou uma corrente senoidal é especificada, normalmente ela é
expressa em termos de seu valor máximo (pico) ou de seu valor RMS, já que o
valor médio é zero. A indústria do setor de energia elétrica especifica as
magnitudes em termos de seus valores RMS e não em termos de seus valores de
pico. Por exemplo, os 127 V ou 220 V disponíveis em nossas casas é o valor
RMS (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Na sequência do nosso estudo de potência complexa, vimos os conceitos de potência
instantânea, média e potência eficaz. Agora, estudaremos relações que serão de suma
importância na análise de potência complexa: potência aparente e fator de potência. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 13
Vimos que a potência média pode ser expressa pelos valores RMS de corrente e tensão
pela expressão: 
Chamaremos o termo representado pelo produto entre tensão e corrente RMS de
potência aparente (S): 
A potência aparente é medida em volt-ampères para diferenciar da potência média ou
real que é medida em watts. Leva esse nome, pois representa o equivalente da potência
média que seria transmitida para tensões e correntes senoidais em fase ou com os
circuitos resistivos em CC. 
O fator cos(θ - θ ) (cosseno de theta v menos theta i) da expressão de potência média é
chamado de fator de potência (FP), assim: 
#PraCegoVer: P é igual a V RMS vezes I RMS vezes cosseno de
theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: S é igual a V RMS vezes I RMS, dado em volt-ampère,
sigla VA. 
v i
#PraCegoVer: FP é igual a P sobre S,que é igual a cosseno de theta
v menos theta i. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 14
O fator de potência é adimensional, visto que é a razão entre duas medidas de potência.
Chamamos o ângulo (θ − θ ) (cosseno de theta v menos theta i) de ângulo de fator de
potência que representa, também, o ângulo da impedância da carga (fica claro na razão
fasorial entre tensão e corrente de impedância): 
Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
A partir dessas abas, fica claro que o fator de potência varia de zero a um. Ainda, o fator
de potência é o fator pelo qual a potência aparente deve ser multiplicada para se obter a
potência média, representando a razão entre a potência real dissipada na carga e a
potência aparente na carga (BOYLESTAD, 2012). 
Agora, possuímos as ferramentas necessárias para fazermos a análise de todas as
informações pertinentes de potência absorvida por uma determinada carga. Faremos o
estudo da potência complexa em circuitos CA. 
v i
#PraCegoVer: Z é igual a V sobre I, que é igual a Vm sobre Im com
fase theta v menos theta i. 
θ - θ = 0v i θ - θ = ±90°v i 0 < FP < 1
#PraCegoVer: theta v menos theta i igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva, a tensão e a corrente estão em fase
e o fator de potência será FP = 1 (#PraCegoVer: FP é igual a um). Fazendo com
que a potência aparente seja igual a potência média.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 15
θv - θi = 0
#PraCegoVer: theta v menos theta i igual a zero.
Nesse caso, a carga é puramente resistiva, a tensão e a corrente estão em fase e o fator de 
potência será FP = 1 (#PraCegoVer: FP é igual a um). Fazendo com que a potência aparente 
seja igual a potência média.
θv - θi = ±90°
#PraCegoVer: cosseno de theta v menos theta i igual a mais ou menos 
noventa graus.
Nesse caso, a carga é puramente reativa e o fator de potência será FP = 0 (#PraCegoVer: FP 
igual a zero). Assim, a potência média é zero.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 16
O fator de potência é adimensional, visto que é a razão entre duas medidas de potência.Chamamos o ângulo (θ − θ ) (cosseno de theta v menos theta i) de ângulo de fator de
potência que representa, também, o ângulo da impedância da carga (fica claro na razão
fasorial entre tensão e corrente de impedância): 
Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
A partir dessas abas, fica claro que o fator de potência varia de zero a um. Ainda, o fator
de potência é o fator pelo qual a potência aparente deve ser multiplicada para se obter a
potência média, representando a razão entre a potência real dissipada na carga e a
potência aparente na carga (BOYLESTAD, 2012). 
Agora, possuímos as ferramentas necessárias para fazermos a análise de todas as
informações pertinentes de potência absorvida por uma determinada carga. Faremos o
estudo da potência complexa em circuitos CA. 
v i
#PraCegoVer: Z é igual a V sobre I, que é igual a Vm sobre Im com
fase theta v menos theta i. 
θ - θ = 0v i θ - θ = ±90°v i 0 < FP < 1
#PraCegoVer: theta v menos theta i igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva, a tensão e a corrente estão em fase
e o fator de potência será FP = 1 (#PraCegoVer: FP é igual a um). Fazendo com
que a potência aparente seja igual a potência média.
0 < FP < 1
#PraCegoVer: zero menor que FP menor que um.
Nesses casos intermediários, entre zero e um, o fator de potência pode estar atrasado quando 
a corrente está atrasada em relação a tensão e pode estar adiantado quando a corrente está 
adiantada em relação a tensão.Assim, como visto nas abas, no caso em que o circuito é puramente resistivo, a potência
é totalmente absorvida. Já quando o circuito for puramente reativo, ou seja, quando a
carga for reativa (L ou C), não é absorvida potência média. 
Agora que determinamos a expressão para potência média, vamos entender quando um
circuito tem a máxima transferência de potência média para uma carga. Para uma carga
resistiva, a potência será maximizada quando a resistência da carga for igual a
resistência de Thévenin (circuito CC). Entretanto, precisamos entender a máxima
transferência de potência média para circuitos de corrente alternada. 
VAMOS PRATICAR? 
Vamos colocar em prática as equações vistas até aqui e as ferramentas
matemáticas necessárias. Assim, considere os seguintes dados:
#PraCegoVer: theta v é igual a theta i.
#PraCegoVer: P é igual a 1 sobre 2 vezes V m vezes I m, que é igual a 1 sobre 2
vezes Im ao quadrado vezes R, que é igual a 1 sobre 2 vezes o módulo de I ao
quadrado vezes R. 
#PraCegoVer: v de t é igual a 160 vezes cosseno de 355 t mais
45 graus.
VAMOS PRATICAR? 
Para praticar os conceitos de potência aparente e fator de potência, encontre
esses elementos para uma carga ligada em série, que drena uma corrente 
quando a tensão aplicada é 
O fator de potência está atrasado ou adiantado? 
#PraCegoVer: i de t é igual a quatro vezes o cosseno de 100 pi t
mais 10 graus, dado em ampère, sigla A.
#PraCegoVer: v de t é igual a cento e vinte vezes o cosseno de
100 pi t menos 20 graus, dado em Volts, sigla V.
3.3 Análise de potência complexa
Considere o circuito a seguir, em que temos os fasores de tensão e corrente associados
a uma determinada carga:
VAMOS PRATICAR? 
Para praticar os conceitos de potência aparente e fator de potência, encontre
esses elementos para uma carga ligada em série, que drena uma corrente 
quando a tensão aplicada é 
O fator de potência está atrasado ou adiantado? 
#PraCegoVer: i de t é igual a quatro vezes o cosseno de 100 pi t
mais 10 graus, dado em ampère, sigla A.
#PraCegoVer: v de t é igual a cento e vinte vezes o cosseno de
100 pi t menos 20 graus, dado em Volts, sigla V.
3.3 Análise de potência complexa
Considere o circuito a seguir, em que temos os fasores de tensão e corrente associados
a uma determinada carga:
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 17
VAMOS PRATICAR? 
Para praticar os conceitos de potência aparente e fator de potência, encontre
esses elementos para uma carga ligada em série, que drena uma corrente 
quando a tensão aplicada é 
O fator de potência está atrasado ou adiantado? 
#PraCegoVer: i de t é igual a quatro vezes o cosseno de 100 pi t
mais 10 graus, dado em ampère, sigla A.
#PraCegoVer: v de t é igual a cento e vinte vezes o cosseno de
100 pi t menos 20 graus, dado em Volts, sigla V.
3.3 Análise de potência complexa
Considere o circuito a seguir, em que temos os fasores de tensão e corrente associados
a uma determinada carga:
VAMOS PRATICAR? 
Para praticar os conceitos de potência aparente e fator de potência, encontre
esses elementos para uma carga ligada em série, que drena uma corrente 
quando a tensão aplicada é 
O fator de potência está atrasado ou adiantado? 
#PraCegoVer: i de t é igual a quatro vezes o cosseno de 100 pi t
mais 10 graus, dado em ampère, sigla A.
#PraCegoVer: v de t é igual a cento e vinte vezes o cosseno de
100 pi t menos 20 graus, dado em Volts, sigla V.
3.3 Análise de potência complexa
Considere o circuito a seguir, em que temos os fasores de tensão e corrente associados
a uma determinada carga:
Figura 1- Circuito com fasores e corrente associados. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 419. (Adaptado). 
Sendo as formas fasoriais
#PraCegoVer: A figura apresenta um circuito de uma malha simples,
com dois terminais abertos, no extremo superior esquerdo e no
inferior esquerdo, com a tensão fasorial V entre eles com o sinal
positivo na parte superior e o negativo na inferior. Há uma corrente I
fasorial saindo do terminal de cima até uma caixa com a
representação de carga Z, no lado direito do circuito. 
#PraCegoVer: V é igual à Vm com fase theta v e I é igual à Im com
fase theta i. 
a potência complexa absorvida pela carga no circuito CA é o produto da tensão e do
complexo conjugado da corrente:
Fique atento, pois a potência complexa S está sendo diferenciada da potência aparente
S pelo negrito. Em termos de valores RMS:
A potência complexa, portanto, tem uma parte real e uma parte imaginária. A notação
anterior já estava na forma polar e pode ser representada na forma retangular:
Podemos observar que a magnitude da potência complexa é a potência aparente
calculada na Equação 29 e que o ângulo é o ângulo do fator de potência (FP) calculado
na Equação 30. Outra forma de representar a potência é em termos da impedância
#PraCegoVer: S é igual a 1 sobre 2 vezes V vezes conjugado de I. 
#PraCegoVer: S é igual à V RMS vezes I RMS conjugado, que é igual
a V RMS vezes I RMS com fase theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: S é igual a V RMS vezes I RMS com fase theta v
menos theta i, que é igual a V RMS vezes I RMS cosseno de theta v
menos theta i mais j V RMS vezes Irms vezes seno de theta v menos
theta i.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 18
Figura 1- Circuito com fasores e corrente associados. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 419. (Adaptado). 
Sendo as formas fasoriais
#PraCegoVer: A figura apresenta um circuito de uma malha simples,
com dois terminais abertos, no extremo superior esquerdo e no
inferior esquerdo, com a tensão fasorial V entre eles com o sinal
positivo na parte superior e o negativo na inferior. Há uma corrente I
fasorial saindo do terminal de cima até uma caixa com a
representação de carga Z, no lado direito do circuito. 
#PraCegoVer: V é igual à Vm com fase theta v e I é igual à Im com
fase theta i. 
a potência complexa absorvida pela carga no circuito CA é o produto da tensão e do
complexo conjugado da corrente:
Fique atento, pois a potência complexa S está sendo diferenciada da potência aparente
S pelo negrito. Em termos de valores RMS:
A potência complexa, portanto, tem uma parte real e uma parte imaginária. A notação
anterior já estava na forma polar e pode ser representada na forma retangular:
Podemos observar que a magnitude da potência complexa é a potência aparente
calculada na Equação 29 e que o ângulo é o ângulo do fator de potência (FP) calculado
na Equação 30. Outra forma de representar a potência é em termos da impedância
#PraCegoVer: S é igual a 1 sobre 2 vezes V vezesconjugado de I. 
#PraCegoVer: S é igual à V RMS vezes I RMS conjugado, que é igual
a V RMS vezes I RMS com fase theta v menos theta i. 
#PraCegoVer: S é igual a V RMS vezes I RMS com fase theta v
menos theta i, que é igual a V RMS vezes I RMS cosseno de theta v
menos theta i mais j V RMS vezes Irms vezes seno de theta v menos
theta i.
Sabendo que a impedância é um número complexo com suas partes real e imaginária Z
= R + jX (#PraCegoVer: Z é igual a R mais jX), a equação anterior fica: 
Em que, P é a parte real da potência complexa, representando a potência média ou real
(depende de R). Q é a parte imaginária da potência complexa (depende de X)
representando a potência reativa.
#PraCegoVer: Z é igual a V sobre I. 
#PraCegoVer: S é igual a I RMS ao quadrado vezes Z, que é igual a V
RMS ao quadrado sobre Z conjugado. 
#PraCegoVer: S é igual a Irms ao quadrado vezes R mais j X, que é
igual a I RMS ao quadrado vezes R mais j X vezes I RMS ao
quadrado, que é igual à P mais j Q. 
#PraCegoVer: P é igual à parte real de S, que é igual a Irms ao
quadrado vezes R, que é igual à Vrms vezes Irms vezes cosseno de
theta v menos theta i. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 19
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 20
#PraCegoVer: Q é igual a zero.
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência 
será FP = 1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
#PraCegoVer: Q é menor que zero.
Nesse caso, a carga é capacitiva e o FP estará adiantado.
#PraCegoVer: Q é maior que zero.
Nesse caso, a carga é indutiva e o FP estará atrasado.
Q = 0
Q < 0
Q > 0
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
Potência complexa #PraCegoVer: S é igual a P mais Q imaginário que é
igual a V RMS vezes I conjugado RMS.
Potência aparente
#PraCegoVer: S é igual ao módulo de S, que é igual
ao módulo de V RMS vezes o módulo de I RMS, que é
igual à raiz quadrada de P ao quadrado mais Q ao
quadrado.
Potência real #PraCegoVer: P é igual à parte real de S, que é igual
a S vezes cosseno de theta v menos theta i.
Potência reativa #PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que
é igual a S de theta v menos theta i.
Fator de potência #PraCegoVer: FP é igual a P sobre S, que é igual ao
cosseno de theta v menos theta i.
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 421. (Adaptado).
Podemos concluir que S (potência complexa) contém todas as informações de potência
na carga. A potência real é a potência P (potência real), a parte imaginária é a potência
Q (potência reativa), o módulo é S (potência aparente) e o cosseno do ânguloé FP
(fator de potência). Podemos representar todas as informações de potência complexa
pelo triângulo de potência: 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 21
P é a potência média medida em watts liberada para uma carga e representa a única
potência útil dissipada pela carga. Já a potência reativa Q é a medida de troca de energia
entre a fonte e os elementos reativos da carga (capacitores e indutores), pois esses
elementos não dissipam nem absorvem energia, apenas trocam. A unidade de Q é o
VAR (volt-ampère reativo) para diferenciar da potência real (ALEXANDER; SADIKU,
2013).
Potência complexa – Fator de potência
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Nas abas fica claro que o fator de potência está diretamente relacionado com a potência
reativa, assim podemos avaliar se o fator de potência está atrasado, adiantado ou é
unitário por meio da parte imaginária da potência complexa Q. 
Operações básicas dos números complexos
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a Irms
ao quadrado vezes X, que é igual a V RMS vezes I RMS vezes seno
de theta v menos theta i. 
Q = 0 Q < 0 Q > 0
#PraCegoVer: Q é igual a zero. 
Nesse caso, a carga é puramente resistiva e o fator de potência será FP =
1.#PraCegoVer: FP é igual a um.
#PraCegoVer: S é igual a P mais Q imaginário que é igual a V RMS 
vezes I conjugado RMS.
Potência complexa
#PraCegoVer: P é igual à parte real de S, que é igual a S vezes 
cosseno de theta v menos theta i.
Potência real
#PraCegoVer: Q é igual à parte imaginária de S, que é igual a S de 
theta v menos theta i.
Potência reativa
#PraCegoVer: FP é igual a P sobre S, que é igual ao cosseno 
de theta v menos theta i.
Fator de potência
#PraCegoVer: S é igual ao módulo de S, que é igual ao módulo de V 
RMS vezes o módulo de I RMS, que é igual à raiz quadrada de P ao 
quadrado mais Q ao quadrado.
Potência aparente
Figura 2 - Triângulo de potência. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 419. (Adaptado). 
Podemos observar no triângulo que temos Q no eixo dos imaginários e P no eixo dos
reais. Assim, o módulo S pode estar no primeiro quadrante com um fator de potência
atrasado ou no quarto quadrante com o fator de potência adiantado.
#PraCegoVer: A figura apresenta um plano complexo
representando o triângulo de potência. O triângulo tem sua base
virada à direita. O centro do triângulo é marcado pelo eixo vertical
(Im) e pelo eixo horizontal (Re).O triângulo é ainda formado por dois
vetores S em ângulo diagonal em direção à base acima e abaixo de
theta v menos theta i com um vetor P no eixo Re. O quadrante
superior do triângulo é marcado por +Q (FP atrasado) e o outro
quadrante é representado por -Q (FP adiantado). 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 22
Teste seus conhecimentos
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi
movida.
Atividade não pontuada.
3.3.1 Conservação de potência CA
Continuamos analisando a potência em circuitos CA com o princípio de conservação de
potência. Considere o circuito a seguir, em que duas cargas são associadas em paralelo:
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 23
Para análise de circuitos de corrente alternada (CA) é importantíssimo encontrar os 
elementos de potência na carga, pois envolve os elementos fundamentais utilizados na 
prática e aplicação de um circuito elétrico.
Sobre os conhecimentos de potência complexa e considerando vt = 60cos(ωt - 10°) A 
(#PraCegoVer: v de t é igual a 60 vezes o cosseno de ômega t menos dez graus A) 
e it = 1,5 cos(ωt + 50°) A (#PraCegoVer: i de t é igual a um inteiro e cinco décimos 
vezes cosseno de ômega t mais cinquenta graus, dado em ampère, sigla A), analise as 
afirmativas a seguir:
I. A tensão RMS vale 42,43∠-10° V (#PraCegoVer: quarenta e dois inteiros vírgula 
quarenta e três centésimos com fase de menos dez graus V, dado em volts, sigla V).
II. A corrente RMS vale 1,5∠50° A (#PraCegoVer: um inteiro e cinco centésimos com fase 
de cinquenta graus, dado em ampère, sigla A).
III. A potência complexa é 45∠-60° VA (#PraCegoVer: quarenta e cinco com fase de 
menos sessenta graus dado em volts-ampère, sigla VA).
IV. A potência real P vale 22,5 W e a reativa Q vale -38,97 VAR .
V. O fator de potência é 0,5 e está adiantado.
Está correto o que se afirma em:
I e II.a
II e III.c
I, II e IV.b
 I, III, IV e V.d
III, IV e V.e
Cálculo de potência
Gabarito na página 38.
Atividade não pontuada.
Teste seus conhecimentos
Teste seus conhecimentos
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi
movida.
Atividade não pontuada.
3.3.1 Conservação de potência CA
Continuamos analisando a potência em circuitos CA com o princípio de conservação de
potência. Considere o circuito a seguir, em que duas cargas são associadas em paralelo:
Figura 3 - Circuito com cargas associadas em paralelo. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 423. (Adaptado). 
Sabendo que:
Vamos calcular a potência complexa fornecida pela fonte:
#PraCegoVer: A figura apresenta um circuito com duas malhas em
formato retangular. Da extrema esquerda para direita, há uma fonte
de tensão CA com valor V e sinal positivo na parte superior e
negativo na inferior. Uma corrente I sai da fonte V no alto do
circuito, bifurcando para baixo, no meio da malha, em I1 na
impedância em paralelo Z1, e na impedância em paralelo Z2 com a
corrente I2, no extremo direito do circuito. 
#PraCegoVer: I é igual à I1 mais I2. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 24
Substituindo a expressão de corrente na de potência complexa (os valores são todos
RMS):
Sendo S e S as potências complexas liberadas pelas cargas Z e Z , respectivamente. 
Outro caso é mostrado no circuito a seguir em que as impedâncias Z e Z estão em
série:
Figura 4 - Circuito com impedâncias em série. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, p. 423. (Adaptado). 
#PraCegoVer: S é igual à V vezes I conjugado. 
#PraCegoVer: S é igual à V vezes I1 conjugado mais I2 conjugado,
que é igual à V vezes I1 conjugado mais V vezes I2 conjugado, que é
igual à S1 mais S2. 
1 2 1 2
1 2
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 25
Analogamente ao circuito paralelo, faremos a mesma análise. Temos que: 
Vamos calcular a potência complexa fornecida pela fonte: 
Substituindo a expressão de tensão na de potência complexa (os valores são todos
RMS): 
#PraCegoVer: A figura apresenta um circuito com uma malha em
formato retangular. No extremo esquerdo, há uma fonte de tensão
CA com valor V e sinal positivo na parte superior e negativo na
inferior. A corrente I sai da fonte V passando na impedância em
série Z1 com tensão V1 (sinal positivo à esquerda e negativo à
direita) e na impedância em série Z2 com a tensão V2 (sinal positivo
à esquerda e negativo à direita). 
#PraCegoVer: V é igual à V1 mais V2. 
#PraCegoVer: S é igual à V vezes I conjugado. 
#PraCegoVer: S é igual à V1 mais V2 vezes I conjugado, que é igual
à V1 vezes I conjugado mais V2 vezes I conjugado, que é igual à S1
mais S2. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 26
Sendo S e S as potências complexas liberadas pelas cargas Z e Z respectivamente. 
Podemos concluir, portanto, que independente da associação do circuito, seja série ou
paralelo, a potência total fornecida pela fonte será igual a potência total liberada pela
carga, dessa maneira, a potência complexa total em um circuito é a soma das potências
complexas de cada componente, respeitando o princípio de conservação de potência CA
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Agora que entendemos os princípios de conservação de potência, vamos começar a
fazer análises de aplicações dos elementos de potência em circuitos. O próximo passo é
entendermos como podemos fazer a correção do fator de potência que também é uma
aplicação dos projetos de fontes que será introduzido na próxima seção. 
Teste seus conhecimentos
1 2 1 2
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 27
Leia o trecho a seguir:
“Todas as formas de potência CA são conservadas: instantânea, real, reativa e complexa. 
Isso significa que a potência complexa total em umcircuito é a soma das potências 
complexas de cada componente. Isso vale também para a potência real e para potência 
reativa, porém, não é valido para a potência aparente. Isso expressa o princípio da 
conservação da potência CA: As potências complexa, real e reativa das fontes equivalem 
às respectivas somas das potências complexa, real e reativa de cada carga”.
Fonte: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. São Paulo: 
Editora Bookman, 2013, p. 424.
Sobre os conhecimentos de conservação de potência complexa e baseado no princípio 
descrito no fragmento de texto, julgue os itens relacionados ao circuito que segue:
Conservação de potência
Teste seus conhecimentos
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 425. (Adaptado).
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi
movida.
Atividade não pontuada.
3.3.2 Correção do fator de potência
Muitas das cargas utilizadas no dia a dia, como dos eletrodomésticos, são cargas
indutivas, portanto, operam com um fator de potência com atraso e, geralmente, com um
valor baixo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Faremos uma análise de como esse fator de
potência pode ser elevado sem alterarmos a tensão ou corrente para a carga original.
Assim, nesses casos que a carga é indutiva, para fazermos a correção do fator de
potência, basta acrescentarmos um capacitor em paralelo a carga, como ilustrado no
circuito a seguir.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 28
I e II.a
II e III.c
I, II e IV.b
I, II, IV e V.d
III, IV e V.e
Gabarito na página 40.
Atividade não pontuada.
I. A impedância total é 20,62∠-22,83 Ω (#PraCegoVer: vinte inteiros e sessenta e dois 
centésimos com fase em menos vinte e dois inteiros e oitenta e três centésimos ohms).
II. A potência complexa absorvida pela fonte é 2.347,4∠-22,83° VA (#PraCegoVer: dois 
mil trezentos e quarenta e sete inteiros e quatro décimos com fase em menos vinte e dois 
inteiros e oitenta e três centésimos, dado em volts-ampère, sigla VA).
III. A potência real P absorvida pela fonte vale 3.567 W e a reativa Q absorvida pela fonte 
vale 1253,8 VAR.
IV. A potência complexa absorvida pela linha é 455,4 + j227,7 VA (#PraCegoVer: 
quatrocentos e cinquenta e cinco inteiros e quatro décimos mais duzentos e vinte e sete 
inteiros e sete décimos imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA).
V. A potência complexa absorvida pela carga é 1.708 – j1.139 VA (#PraCegoVer: mil 
setecentos e oito menos mil cento e trinta e nove imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA).
Está correto o que se afirma em:
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi
movida.
Atividade não pontuada.
3.3.2 Correção do fator de potência
Muitas das cargas utilizadas no dia a dia, como dos eletrodomésticos, são cargas
indutivas, portanto, operam com um fator de potência com atraso e, geralmente, com um
valor baixo (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Faremos uma análise de como esse fator de
potência pode ser elevado sem alterarmos a tensão ou corrente para a carga original.
Assim, nesses casos que a carga é indutiva, para fazermos a correção do fator de
potência, basta acrescentarmos um capacitor em paralelo a carga, como ilustrado no
circuito a seguir.
Figura 5 - Circuito com capacitor em paralelo a carga. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 426. (Adaptado). 
Supondo que esse circuito tenha um fator de potência de cos θ antes de acrescentar o
capacitor e após o acréscimo do capacitor o fator de potência seja cos θ . O ângulo θ
será menor, consequentemente, a potência reativa será menor mantendo a potência real,
como pode ser visto no triângulo de potência a seguir.
#PraCegoVer: A imagem apresenta um circuito paralelo, com
potencial de V na entrada, à esquerda, produzindo uma corrente I da
esquerda para a direita acima. Primeiro, tem-se no paralelo com a
fonte que produz V à carga indutiva resultando de uma resistência
em série com uma indutância, no centro do circuito, percorridos por
I L. Em paralelo com eles, à direita, tem-se o capacitor C, percorrido
pela corrente Ic. 
1
2 2
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 29
Figura 6 - Triângulo de potência. Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 427. (Adaptado). 
A nova potência reativa Q é calculada:
A redução na potência reativa é provocada pelo capacitor em paralelo:
#PraCegoVer: A imagem apresenta um triângulo retângulo de
potência formado por P na base inferior; Q2 e Qc formam o cateto
Q1 à direita; e S1 é a hipotenusa, que está à esquerda. Há o ângulo
theta 1 entre S1 e P. Internamente traça-se ainda S2, com ângulo
theta 2 entre S2 e P, que forma um triângulo de altura Q2. 
2
#PraCegoVer: Q2 é igual à P vezes tangente de theta 2. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 30
A potência reativa no capacitor é:
Calcula-se, assim, a capacitância necessária para o projeto de correção de fator de
potência:
No caso da carga capacitiva, adicionamos um indutor em paralelo que é calculado do
seguinte modo:
#PraCegoVer: Qc é igual à Q1 menos Q2, que é igual à P vezes
tangente de theta 1 menos theta 2. 
#PraCegoVer: Qc é igual a V RMS ao quadrado sobre Xc, que é igual
à ômega vezes C vezes V RMS ao quadrado. 
#PraCegoVer: C é igual à Qc sobre ômega V RMS ao quadrado, que
é igual à P vezes tangente de theta 1 menos theta 2 sobre ômega
V RMS ao quadrado. 
#PraCegoVer: L é igual à V RMS ao quadrado sobre ômega vezes
Ql.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 31
Onde Q é a diferença entre a potência reativa atual e a anterior.
L
3.4 Circuitos com fontes chaveadas
Nesta seção, falaremos das fontes chaveadas como uma aplicação dos conceitos de
potência complexa, todavia, não entraremos em muitos detalhes nos equacionamentos e
projetos de fontes chaveadas, pois esse tópico exige um amplo estudo de elementos de
eletrônica de potência como conversores, retificadores de tensão, reguladores, filtros,
entre outros. 
As fontes de tensão são muito utilizadas em aplicações industriais e envolvem
essencialmente elementos de controle de fluxo de potência, fator de potência controlado
(no caso de tensão CA) e eficiência de potência na carga. As fontes podem ser CC ou
CA e podem ser classificadas como chaveada, ressonante e bidirecional (RASHID,
2014). 
Assim, pensando em uma fonte CC com tensão regulável que utilizamos em laboratório.
Essa fonte nos fornece, por exemplo, de 0 a 24 V (CC) e é ligada na tomada, ou seja,
está na rede elétrica (127 V ou 220 V). Portanto, para chegarmos na tensão CC de 0 a
24 V precisamos de algumas etapas: transformação (adequa a tensão alternada da rede
ao nível desejado de tensão utilizando transformadores), retificação (utilizamos circuitos
com diodos para passar a tensão no secundário do transformador para o primeiro
quadrante, sendo assim, positiva), filtragem (circuitos com capacitores e indutores para a
forma de onda ficar constante) e, por fim, a parte de controle com reguladores de tensão
e, no geral, conversores CA-CC e CC-CA. 
As fontes de tensão chaveadas são as que têm maior eficiência isolando a entrada e
saída, têm uma potência de saída elevada fornecendo correntes elevadas na carga com
uma baixa tensão. Existem diversas topologias de projetos de fontes chaveadas
alterando a parte de conversão CC-CA que é a parte de chaveamento propriamente dita,
em que é realizada a inversão de frequência onde a potência consumida pela carga é
controlada pela variação de frequência. Assim, essas fontes com um chaveamento em
alta frequência produzem tensão contínua estabilizada, baseadas em configurações de
transformação de energia em capacitores e indutores. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 32
VOCÊ QUER LER?
Para um estudo mais aprofundado sobre as fontes de tensão e os outros
elementos de potência envolvidos no projeto de uma fonte como retificadores,
reguladores e circuitos de controle acesse o livro Eletrônica de Potência.
Recomendamos a leitura do capítulo 13, especialmente a sessão 13.2 em que
são ilustrados os diferentes tipos de fontes chaveadas. 
Basicamente, há um circuito de entradacom transistores trabalhando em corte e
saturação (aplicação de transistores que geram sinais pulsantes) gerando pulsos em
frequência elevadas (30 kHz – 250 kHz) de modo controlado para não haver perdas de
estabilidade e para que gere uma tensão constante na saída. Esse processo exige pouco
consumo, sendo assim, a fonte chaveada tem um rendimento elevadíssimo transferindo
praticamente toda a energia da entrada para a saída. Por conta das altas frequências, os
circuitos precisam ser muito bem blindados, pois são geradas muitas irradiações
eletromagnéticas. Desse modo, a produção dessas fontes é custosa, mas na prática gera
muita eficiência e redução de custos, sem contar que é mais leve e robusta que os outros
tipos de fontes. Portanto, a indústria vem investindo cada vez mais nas fontes
chaveadas. Um exemplo de circuito de fonte chaveada pode ser visto na figura a seguir,
em que, a chave Q1 (transistor) pode operar ligada e desligada, sendo esse o
chaveamento controlado. 

UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 33
o chaveamento controlado.
Figura 7 - Circuito de fonte chaveada. Fonte: RASHID, 2014, p. 543. (Adaptado). 
Quando Q1 está ligada a corrente no primário começa a crescer e armazena energia no
enrolamento primário. Pela regra dos pontos (vista na unidade 2), o diodo D1 fica
reversamente polarizado e não há transferência de energia para a carga. Já quando Q1
está desligada, a polaridade dos enrolamentos se inverte e o diodo entra em condução.
Isso faz com que o capacitor de saída C seja carregado e fornece corrente para a carga.
Esses dois funcionamentos ficam se alternando e a carga recebe uma tensão CC. 
#PraCegoVer: A imagem apresenta um circuito com uma fonte
alternada Vs de entrada, na extrema esquerda. Ela está associada a
um transformador com Np em espiral no primário e Ns no
secundário, que recebe no primário a corrente ip e de saída do
secundário tem-se i se. Associado ao primário, na parte inferior,
tem-se também o coletor de um transistor Q1 e de queda de tensão
Vq1, com emissor aterrado. A tensão no secundário do
transformador, v se, é entregue ao circuito, que tem a série diodo
(D1), para a direita, e capacitor C, sendo que este está em paralelo
com o resistor Rl. Deste, conecta-se um terminal para a série de
resistores R1 com R2 e o terra. Entre R1 e R2 há uma ligação com o
elemento de controle, que está ligado à base do transistor. 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 34
Síntese
Nesta unidade, estudamos todas as informações necessárias para analisarmos a
potência na carga de um circuito CA. Inicialmente, foi diferenciada a potência
instantânea, que é a potência na carga em um determinado momento desejado, da
potência média. Entendemos a potência média em circuitos puramente resistivos e
reativos para introduzir as condições de máxima transferência de potência. Após isso,
estudamos os conceitos de potência eficaz, aparente e fator de potência. Com essas
informações, definimos a potência complexa que é composta por uma parte real e outra
parte imaginária, em que o módulo é a potência aparente e o cosseno do ângulo entre a
parte real e imaginária é o fator de potência. Esses elementos foram resumidos no
triângulo de potência. Por fim, foram introduzidas algumas ferramentas e aplicações da
análise de potência: conservação de energia (a potência fornecida pela fonte é igual à
soma das potências nos elementos do circuito), correção de fator de potência (acréscimo
de um elemento reativo em paralelo à carga) e a introdução a fontes chaveadas.
SAIBA MAIS
Título: Introdução à análise de circuitos 
Autor: Robert L. Boylestad 
Editora: Pearson 
Ano: 2012 
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 19 para aprofundar nos
conceitos e aplicações de potência nos circuitos CA. O autor traz as
deduções matemáticas e diversas aplicações dos sistemas de potência
em CA.
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 35
Título: Introdução a sistemas elétricos de Potência 
Autores: Carlos Cesar Barioni de Oliveira, Hernán Prietro Schmidt,
Nelson Kagan e Ernesto João Robba Favarin 
Editora: Blucher 
Ano: 2000 
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 1 para uma análise
aprofundada da potência em circuitos trifásicos para começar a entender
esses circuitos que é tópico de estudo da próxima unidade, bem como,
aplicar os conceitos de potência estudados na presente unidade. 
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate 
Título: O estado atual do setor elétrico brasileiro 
Autor(a): João Goldemberg 
Editora: Revista USP 
Ano: 2015 
Comentário: Sugerimos a leitura do artigo para entender a evolução
histórica do sistema de produção de eletricidade até os dias atuais. 
Onde encontrar? Disponível em:
<http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106751>.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 36
SAIBA MAIS
Título: Introdução à análise de circuitos
Autor: Robert L. Boylestad
Editora: Pearson
Ano: 2012
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 19 para aprofundar nos conceitos e aplicações de 
potência nos circuitos CA. O autor traz as deduções matemáticas e diversas aplicações dos sistemas 
de potência em CA.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da Laureate
Título: Introdução a sistemas elétricos de Potência
Autores: Carlos Cesar Barioni de Oliveira, Hernán Prietro Schmidt, Nelson Kagan e Ernesto João 
Robba Favarin
Editora: Blucher
Ano: 2000
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 1 para uma análise aprofundada da potência em circuitos 
trifásicos para começar a entender esses circuitos que é tópico de estudo da próxima unidade, bem 
como, aplicar os conceitos de potência estudados na presente unidade.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da Laureate
Título: O estado atual do setor elétrico brasileiro
Autor(a): João Goldemberg
Editora: Revista USP
Ano: 2015
Comentário: Sugerimos a leitura do artigo para entender a evolução histórica do sistema de produção 
de eletricidade até os dias atuais.
Onde encontrar? Disponível em: <http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106751>.
Referências bibliográficas 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. São
Paulo: Editora Bookman, 2013. 
BARRETO, G. et al. Circuitos de corrente alternada: fundamentos e prática. São Paulo:
Oficina de Textos, 2012. 
BOYLESTAD, R. I. Introdução a análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012. 
GÓES, A. R. T.; GÓES, H. C. Números complexos e equações algébricas. Curitiba:
Intersaberes, 2015. 
GOLDEMBERG, J. O estado atual do setor elétrico brasileiro. Revista USP, São Paulo,
n. 104, p. 37-44, 2015. Disponível em:
<http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106751>. Acesso em: 15 dez. 2020. 
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Makron Books, 2000. 
OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. São Paulo:
Blucher, 2000. 
RASHID, M, H. Eletrônica de potência. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 37
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 38
Para análise de circuitos de corrente alternada (CA) é importantíssimo encontrar os 
elementos de potência na carga, pois envolve os elementos fundamentais utilizados na 
prática e aplicação de um circuito elétrico.
Sobre os conhecimentos de potência complexa e considerando vt = 60cos(ωt - 10°) A 
(#PraCegoVer: v de t é igual a 60 vezes o cosseno de ômega t menos dez graus A) 
e it = 1,5 cos(ωt + 50°) A (#PraCegoVer: i de t é igual a um inteiro e cinco décimos 
vezes cosseno de ômega t mais cinquenta graus, dado em ampère, sigla A), analise as 
afirmativas a seguir:
I. A tensão RMS vale 42,43∠-10° V (#PraCegoVer: quarenta e dois inteiros vírgula 
quarenta e três centésimos com fase de menos dez graus V, dado em volts, sigla V).
II. A corrente RMS vale 1,5∠50° A (#PraCegoVer: um inteiro e cinco centésimos com fase 
de cinquenta graus, dado em ampère, sigla A).
III. A potência complexa é 45∠-60° VA (#PraCegoVer: quarenta e cinco com fase de 
menos sessenta graus dado em volts-ampère, sigla VA).
IV. A potência real P vale 22,5 W e a reativa Qvale -38,97 VAR .
V. O fator de potência é 0,5 e está adiantado.
Está correto o que se afirma em:
Inicialmente, calcula-se os valores RMS:
#PraCegoVer: VRMS é igual a Vm sobre raiz quadrada de dois.
#PraCegoVer: I RMS é igual a I m sobre raiz quadrada de dois
Chegando em:
#PraCegoVer: VRMS é igual a quarenta e dois inteiros e quarenta e três 
décimos com fase em menos dez graus, dado em volts, sigla V.
#PraCegoVer: I RMS é igual a um inteiro e seis centésimos com fase em 
cinquenta graus, dado em ampère, sigla A.
I, III, IV e V.d
Cálculo de potência
Gabarito
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 39
Agora, calculando a potência complexa:
#PraCegoVer: S é igual a P mais a parte imaginária de Q, que é igual 
a VRMS vezes I conjugado RMS, que igual a quarenta e dois inteiros e 
quarenta e três centésimos com fase em menos dez graus vezes I RMS, 
que igual a um inteiro e seis centésimos com fase em menos cinquenta 
graus, que é igual a quarenta e cinco com fase em menos sessenta graus, 
dado em volts-ampère, sigla VA.).
Calculamos a potência aparente e o ângulo para representarmos na forma retangular e 
encontrarmos P e Q:
#PraCegoVer: S é igual ao módulo de S, que é igual a quarenta e cinco, 
dado em volt-ampère, sigla VA).
#PraCegoVer: S é igual a quarenta e cinco vezes o cosseno de menos 
sessenta mais seno de menos sessenta imaginário, que é igual a vinte e 
dois inteiros e cinco décimos menos trinta e oito inteiros e noventa e sete 
centésimos imaginário.
#PraCegoVer: P é igual a vinte e dois inteiros e cinco décimos watts e Q 
é igual a menos trinta e oito inteiros e noventa e sete centésimos VAR.
E, por fim, o fator de potência:
#PraCegoVer: FP é igual ao cosseno de menos sessenta, que é igual a 
cinco centésimos.
E está adiantado, pois Q < 0 (#PraCegoVer: Q é menor que zero).
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 40
Conservação de potência
Leia o trecho a seguir:
“Todas as formas de potência CA são conservadas: instantânea, real, reativa e complexa. 
Isso significa que a potência complexa total em um circuito é a soma das potências 
complexas de cada componente. Isso vale também para a potência real e para potência 
reativa, porém, não é valido para a potência aparente. Isso expressa o princípio da 
conservação da potência CA: As potências complexa, real e reativa das fontes equivalem 
às respectivas somas das potências complexa, real e reativa de cada carga”.
Fonte: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. São Paulo: 
Editora Bookman, 2013, p. 424.
Sobre os conhecimentos de conservação de potência complexa e baseado no princípio 
descrito no fragmento de texto, julgue os itens relacionados ao circuito que segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. A impedância total é 20,62∠-22,83 Ω (#PraCegoVer: vinte inteiros e sessenta e dois 
centésimos com fase em menos vinte e dois inteiros e oitenta e três centésimos ohms).
II. A potência complexa absorvida pela fonte é 2.347,4∠-22,83° VA (#PraCegoVer: dois 
mil trezentos e quarenta e sete inteiros e quatro décimos com fase em menos vinte e dois 
inteiros e oitenta e três centésimos, dado em volts-ampère, sigla VA).
III. A potência real P absorvida pela fonte vale 3.567 W e a reativa Q absorvida pela fonte 
vale 1253,8 VAR.
IV. A potência complexa absorvida pela linha é 455,4 + j227,7 VA (#PraCegoVer: 
quatrocentos e cinquenta e cinco inteiros e quatro décimos mais duzentos e vinte e sete 
inteiros e sete décimos imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA).
V. A potência complexa absorvida pela carga é 1.708 – j1.139 VA (#PraCegoVer: mil 
setecentos e oito menos mil cento e trinta e nove imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA).
Está correto o que se afirma em:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 425. (Adaptado).
I, II, IV e Vd
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 41
Inicialmente, calcula-a impedância total:
#PraCegoVer: z é igual a quatro mais dois imaginário mais quinze menos 
dez imaginário, que é igual a dezenove menos oito imaginário, que é igual 
a vinte inteiros e sessenta e dois centésimos com fase em menos vinte e 
dois inteiros e oitenta e três centésimos ohms.
Para calcular a corrente I:
#PraCegoVer: I é igual a V s sobre Z, que é igual a dez inteiros e sessenta 
e sete centésimos com fase em vinte e dois inteiros e oitenta e três 
centésimo, dado em ampère, sigla A.
Agora, calculando a potência complexa para a fonte:
#PraCegoVer: S é igual a duzentos e vinte com fase em zero graus 
vezes ddez inteiros e sessenta e sete centésimos com fase em vinte e 
dois inteiros e oitenta e três centésimos, que é igual a dois mil trezentos e 
quarenta e sete inteiros e quatro décimos com fase em menos vinte e dois 
inteiros e oitenta e três centésimos graus, que é igual a dois mil cento e 
sessenta e três inteiros e cinco décimos menos novecentos e dez inteiros 
e oito décimos imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA.
Assim, a potência real P para a fonte é 2.163,5 W. E a potência reativa Q para a fonte é 
910,8 VAR.
Agora, calculamos para a linha que corresponde a tensão nos componentes de 4Ω (quatro 
ohms) e j2Ω (dois ohms imaginário):
#PraCegoVer: V linha é igual a quatro mais dois imaginário I, que é igual 
a quatro inteiros e quatrocentos e setenta e dois milésimos com fase em 
vinte e seis inteiros e cinquenta e sete centésimos graus vezes dez inteiros 
e sessenta e sete centésimos com fase em vinte e dois inteiros e oitenta 
e três centésimos graus, que é igual a quarenta e sete inteiros e setenta e 
dois centésimos com fase em quarenta e nove inteiros e quatro décimos 
graus, dado em volts, sigla V.
Assim, a tensão complexa absorvida pela linha é:
 
#PraCegoVer: S linha é igual a V linha vezes I conjugado igual quarenta 
e sete inteiros e setenta e dois centésimos com fase em quarenta e 
nove inteiros e quatro décimos graus vezes dez inteiros e sessenta e 
sete centésimos com fase em menos vinte e dois inteiros e oitenta e três 
centésimos, que é igual a quinhentos e nove inteiros e dois décimos com 
UNIDADE 3. POTÊNCIA COMPLEXA 42
fase em vinte e seis inteiros e cinquenta e sete centésimos graus, que é 
igual a quatrocentos e cinquenta e cinco inteiros e quatro décimos mais 
duzentos e vinte e sete inteiros e sete décimos imaginário, dado em volts-
ampère, sigla VA.
Por fim, calculamos a tensão e a potência complexa na carga:
#PraCegoVer: VL é igual a quinze menos dez imaginário I, que é igual a 
dezoito inteiros e três centésimos com fase em menos trinta e três inteiros 
e sete décimos vezesdez inteiros e sessenta e sete centésimos com fase 
em vinte e dois inteiros e oitenta e três centésimos graus, que é igual a 
cento e noventa e dois inteiros e trinta e oito centésimos com fase em 
menos dez inteiros e oitenta e sete centésimos, dado em volts, sigla V.
A potência complexa na carga:
#PraCegoVer: SL é igual a VL vezes I conjugado, que é igual a dois mil e 
cinquenta e três com fase em menos trinta e três inteiros e sete décimos 
graus, que é igual a mil setecentos e oito menos mil cento e trinta e nove 
imaginário, dado em volts-ampère, sigla VA.
Pelo princípio de conservação de potência temos que:
#PraCegoVer: S é igual a S linha mais SL.