Derivadas Parciais

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DERIVADAS PARCIAIS 
 
Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0
 pode ser 
interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta 
tangente ao gráfico de f. 
Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas 
derivadas parciais. 
 a derivada parcial de f em relação a x considera apenas x como variável e y permanece 
constante. Notações: xf ou 
x
f


 
 a derivada parcial de f em relação a y considera apenas y como variável e x permanece 
constante. Notações: yf ou 
y
f


 
Os procedimentos e regras de derivação são similares aos utilizados para funções de uma variável. As 
derivadas de f em relação a x e a y são definidas por 
x
yxfyxxf
yxf
x
x




),(),(
lim),(
0
 e 
y
yxfyyxf
yxf
y
y




),(),(
lim),(
0
. 
 
EXEMPLO 1: 
Se 
2323 2),( yyxxyxf  , determine )1,2(xf e )1,2(yf . 
 
EXEMPLO 2: 
Se 







y
x
senyxf
1
),( , calcule 
x
f


 e 
y
f


. 
 
EXEMPLO 3: 
Determine 
x
z


 e 
y
z


 se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação 
16333  xyzzyx . 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Determine as derivadas parciais 
x
z


 e 
y
z


 das funções: 
a) yxyxyxz  254 232 
b) yxz  
c) )ln( 2xyz  
d) 1
22  yxz 
e) 
yx
xy
z
23
2

 
f) 
yx
yx
z
4
32
2 

 
g) 
xyeyxz )2(  
h) )2ln(2 2 yyxz  
i) )ln(
2
11 xye
yx
z  
j) 
yx eeyxz 52)cos(  
k) yeyxf x cos),(
2
 
l) )(),( 22 yxsenyxf  
2. Mostre que: 
a) se 
22ln yxz  , então 1





y
z
y
x
z
x 
b) se 
2
22
ln
x
y
z  , então 0





y
z
y
x
z
x 
 
3. A lei do gás ideal afirma que para uma dada quantidade de gás, a pressão p, o volume V e a 
temperatura T são ligados pela equação nRTpV  onde n é o número de moles de gás e R é 
uma constante. Mostre que 1






p
T
T
V
V
p
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
 
Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). 
Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). 
 
 
Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto ),( 11 yx representa a declividade da curva 
obtida pela intersecção dessa superfície com o plano 1yy  . Essa declividade dada por ),( 11 yx
x
f


 
representa a declividade da reta tangente a curva no ponto ),,( 111 zyx . 
As equações dessa reta tangente são: 





1
11111 ))(,(),(
yy
xxyxfyxfz x
 
 
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto ),( 11 yx representa a declividade da 
curva obtida pela intersecção dessa superfície com o plano 1xx  . Essa declividade dada por 
),( 11 yx
y
f


 representa a declividade da reta tangente a curva no ponto ),,( 111 zyx . 
As equações dessa reta tangente são: 





1
11111 ))(,(),(
xx
yyyxfyxfz y
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
4. Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 
a) 
22 yxz  com o plano 1x , no ponto )5,2,1( 
b) 
22 yxz 
 com o plano 
2y
, no ponto 
)8,2,2(
 
c) 
22 4934 yxz  com o plano 2y , no ponto )3,2,1( 
5. Dada a função 
22
2 1),(
yx
yyxf

 , determine: 
 a) o domínio de f b) )4,3(xf c) )4,3(yf 
d) o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano 
x = 3, no ponto em que y = 4. 
 
6. Seja a função dada por yxyxf ),( 
a) Determine e represente graficamente o domínio da f. 
b) Encontre 
y
f


. 
7. Seja a função dada por 
xy
yxyx
yxf



22 3
),( 
a) Determine e represente graficamente o domínio da f. 
b) Encontre x
f


. 
 
8. Determine as equações da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de 
22 210),( yxyxf  com o plano y = 1, no ponto em que x = 2. 
9. A temperatura de um ponto ),( yx de uma chapa plana é dada por 
225030),( yxyxT  
(T em graus Celsius e x,y em cm). 
a) Determine o domínio de T e a temperatura no ponto )4,3( . 
b) Se a partir do ponto )4,3( uma formiga caminhar na direção do eixo x, sentido positivo, a 
temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por cm aproximadamente? 
 
3 
 
 
 
 
 
10. Numa empresa o lucro diário L é função do número de vendedores x e do capital investido em 
mercadorias y (em milhares de reais). Numa certa época tem-se: 
22 )40()12(400),( yxyxL  
a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos. 
b) Calcule )30,7(
x
L


 e )30,7(
y
L


. 
c) A partir da resolução dos itens anteriores, o que é mais lucrativo: aumentar em uma unidade o 
número de vendedores, mantendo o capital investido ou aumentar em uma unidade o capital 
investido mantendo o número de vendedores? 
 
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
 
Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de 
primeira ordem. No entanto, deve-se observar que para uma função de duas variáveis existirão duas 
derivadas de segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f 
são dadas por: 
 
 
 
Atenção! Note que yxf
x
f
y
)(









, isto é, xyf
xy
f


 2
. 
 
EXEMPLO 4: 
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 
2323 2),( yyxxyxf  . 
 
EXEMPLO 5: 
Calcule xxyzf , sendo )3(),,( yzxsenzyxf  . 
 
 
4 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
11. Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 
a) yxxyyxz  222 
b) xyz  
c) )ln(xyz  
d) 
2xyez  
e) 
x
y
z
2
 
f) 
23 yxz  
g) 
yxez  
h) 
xyexz ln 
12. Seja a função dada por 
y
x
z  . 
a) Faça a curva de nível para z = 2. 
b) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de z. 
 
REGRA DA CADEIA 
 
Lembremos que a regra da cadeia para função de uma única variável nos dava uma regra para 
diferenciar uma função composta: Se y = f(x) e x = g(t), onde f e g são funções diferenciáveis, então y 
é, indiretamente, uma função diferenciável de t e 
 
dt
dx
dx
dy
dt
dy
. 
Para funções de mais do que uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas 
fornecendo uma regra de diferenciação de uma função composta. 
 
Regra da Cadeia (Caso 1) 
Suponha que z = f(x,y) seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função 
diferenciável de t e 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
..





 
 
Como frequentemente escrevemos 
x
z


 no lugar de 
x
f


, podemos reecrever a Regra da Cadeia na 
forma: 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
..





 
5 
6 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 6: 
Se 
42 3xyyxz  , onde )2( tsenx  e )cos(ty  , determine 
dt
dz
 quando t = 0. 
 
EXEMPLO 7: 
A pressão P (quilopascals), o volume V (litros) e a temperatura T (kelvins) de um mol de um gás ideal 
estão relacionados por meio da fórmula TVP .31,8.  . Determine a taxa de variação da pressão 
quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com a taxa de variação de 0,1 K/s e o volume 
é de 100 L e está aumentando com a taxa de 0,2 L/s. 
 
 
 
Regra da Cadeia (Caso 2) 
Suponha que z = f(x,y) seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) também tenham derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas. Então 
 
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z












.. e 
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z












.. 
EXEMPLO 8: 
Se senyez
x , onde 2stx  e tsy
2 , determine 
s
z


 e 
t
z


. 
 
O Caso 2 da regra da cadeia contém três tipos de variáveis:s e t, que são variáveis independentes; x e 
y, chamadas variáveis intermediárias; e z, que é a variável dependente. 
Para lembrar da regra da cadeia, é útil desenhar o grafo da árvore. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável dependente z para as variáveis intermediárias x e 
y, a fim de indicar que z é uma função de x e y. Então, desenhamos os ramos 
saindo de x e y para as variáveis independentes s e t. Em cada ramo, indicamos a derivada parcial 
correspondente. Para achar 
s
z


, determinamos o produto das derivadas parciais ao longo de cada 
caminho de z a s e somamos esses produtos. Da mesma forma, para determinar 
t
z


, usamos os 
caminhos de z a t. 
 
 
Regra da Cadeia (Caso Geral) 
Suponha que u = f(x1, x2, x3,..., xn) tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e que 
xj = g(t1, t2, t3,..., tm) também tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, para cada j = 
1,2,3,...,n. Então 
 
i
n
niii t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u

















...... 2
2
1
1
 
 
para cada i = 1, 2, 3,...,m. 
 
 
 
EXEMPLO 9: 
Escreva a regra da cadeia para o caso em que ),,,( tzyxfw  com ),( vuxx  , ),( vuyy  , 
),( vuzz  e ),( vutt  . 
 
EXEMPLO 10: 
Se 
324 zyyxu  , onde trsex  , tersy  2 e sentsrz .2 , determine o valor de 
s
u


 quando r = 
2, s = 1 e t = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
13. Seja V o volume de um cilindro de altura h e raio r e suponha que r e h variem com o tempo. 
a) Como estão relacionadas dt
dv
, dt
dh
 e dt
dr
? 
b) Em certo instante, a altura é de 6 cm e está crescendo 1 cm/s, enquanto que o raio é de 10 cm 
e está decrescendo a 1 cm/s. Com que rapidez o volume está variando naquele instante? O 
volume está crescendo ou decrescendo naquele instante
 
14. Determine 
dt
dz
, sendo: 
a) 
22 yxyxz 
, tx 1 , 
tey 
 
b) 
32  xyyxz
, tx  , ty ln 
 
15. A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 cm e está 
crescendo à uma taxa de 0,5 cm/s enquanto sua largura é de 6 cm e está crescendo a 0,2 cm/s? 
 
RESPOSTAS: 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
10