Aplicações modernas das probabilidades

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O desenvolvimento das aplicações das
probabilidades
No período que vai dos primeiros estudos matemáticos de probabilidades até a metade do
século passado, surgiram varias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações que
chamamos de clássicas: 
 
os cálculos atuariais, especialmente os associados aos seguros de vida
os estudos demográficos e, em especial, os estudos de incidência de doenças infecciosas
e o efeito da vacinação ( exemplo de grande repercussão na época sendo o da varíola )
a construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar: carteados, roleta, lotos,
etc
 
 
Contudo, o que queremos aqui abordar é o surgimento das modernas aplicações da Teoria das
Probabilidades, pois são essas que vão demonstrar a enorme importância teórica e prática das
idéias probabilistas e estender seu uso a uma enorme gama de profissionais e até mesmo a
muitas atividades do cotidiano do viver moderno. Dentre essas modernas aplicações, nos
concentraremos em: 
 
probabilidades na Física
probabilidades na Estatística
probabilidades na Engenharia
1.- PROBABILIDADES NA FISICA
 
Teoria dos Erros Experimentais 
 
A partir do sec XVIII, o desenvolvimento e barateamento dos instrumentos de medida em
muito multiplicou as observações quantitativas em laboratório e em campo. Logo os físicos
deixaram-se de se contentar em ter conseguido medir, eles passaram a buscar a melhor medida
possível. Em termos mais precisos, queriam a resposta do Problema Fundamental da Teoria
dos Erros:
 
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se em condições idênticas foram obtidas medidas x 1, x 2 . . . x
n para uma grandeza de valor exato x desconhecido, determinar a
probabilidade de que o valor de x seja uma quantidade expressa
em termos dos x k, como e' o caso da média dessas medidas.
Esse problema foi exaustivamente estudado por Legendre, Laplace e Gauss, no final do sec
XVIII e início de sec XX. O resultado mais fundamental foi estabelecido por Gauss, ao provar
que se os erros das medidas tem uma distribuição gaussiana ( ou da curva normal ) então o
valor mais provável de x é a média das medidas x k. 
 
Probabilidades na Física Estatística 
 
Até a metade do sec XIX, os físicos viam a Teoria dos Erros como a única utilidade das
probabilidades. Para isso era usado o seguinte argumento: é perfeitamente concebível que
usemos probabilidades e estatística no estudo de fenômenos biológicos e sociais, afinal as
pessoas de uma população tem altura, peso, inteligência diferentes; contudo, não há
possibilidade de esse tipo de variações no mundo físico: as propriedades de duas gotas de água
ou dois litros de ar são absolutamente as mesmas.
 
Foi preciso um gênio do calibre de Maxwell para derrubar esse preconceito.
Maxwell implicara com o Princípio de Carnot, que diz que o calor não pode fluir
espontâneamente ( = sem gasto de energia ) de um corpo frio para um quente. Usando que a
temperatura é um efeito médio das moléculas dos corpos, Maxwell acabou mostrando que era
perfeitamente possível que uma inteligência, a qual hoje chamamos de demônio de Maxwell,
conseguisse fazer o calor passar de um corpo frio para um quente, sem gasto de energia. Como
um segundo estágio de suas idéias, passou a defender que as leis termodinâmicas deveriam ter
uma formulação probabilística. Em c. 1860 deu ao mundo a primeira lei física de natureza
probabilística: a lei de Maxwell para a distribuição do percentual p de moléculas de um gás em
equilíbrio que estão com velocidade ( a rigor: rapidêz ) v. Sendo a e b parâmetros do gás:
 
 
p=p(v)=a v 2 e - b v
 2
 
 
As idéias de Maxwell foram tornadas ao mesmo tempo práticas e mais gerais ( pois que
aplicáveis a fenômenos físicos outros que os de calor ) com Josiah Wilard Gibbs, com seu
Principles of Statistical Mechanics, 1902, uma das obras mais importantes já escritas em toda a
história da Humanidade e que verdadeiramente deu maturidade à abordagem probabilística dos
fenômenos físicos. 
 
Probabilidades na Física Quântica 
 
O formalismo da Mecânica Estatística mostrou o quão útil podia ser a Teoria das
Probabilidades para estender o poder da Ciência clássica e equipá-la com instrumentos capazes
de uma análise muito mais ampla do comportamento da matéria e da energia: o estudo das
reações químicas, dos processos termodinâmicos, da radiação eletromagnética, etc. 
 
Contudo, no final do século XIX, começaram a surgir inconsistências nesta vasta paisagem. Por
exemplo, o equilíbrio das radiações não podia conviver logicamente com a idéia natural de
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distribuição contínua dos níveis energéticos. Logo se viu que a evidência experimental levava à
uma estrutura discreta dos níveis energéticos. A descoberta do elétron e a concepção atômica
de Rutherford apontavam grandes discrepâncias entre a teoria clássica do eletromagnetismo e o
calor específico dos metais. A teoria ondulatória da luz tinha sido adotada para se poder
explicar os fenómenos de interferência luminosa, mas o efeito fotoelétrico parecia preferir uma
interpretação corpuscular. Pior do que isso, para esses mesmos elétrons observou-se fenômenos
de interferência, o que sugeria que eles também podiam comportar-se como ondas. 
 
A resolução dessas dificuldades foi iniciada com Max Planck, no início do século XX, e
acabou produzindo outra das maiores obras da Humanidade: a Mecânica Quântica. Essa nova
disciplina, ao explicar os fenômenos de radiação em termos de probabilidades, destruiu o ponto
de vista clássico que pregava que todos os fenômenos eram deterministas. Sob um ponto de
vista mais prático, permitiu uma muito fértil aproximação entre o ponto de vista dos físicos e o
dos químicos no estudo da matéria, disso resultando uma enorme massa de resultados
fundamenatis tanto nso estudos teóricos ( como uma adequada descrição molecular da química,
e a interpretação e previsão de fenómenos de radiação em uma enorme faixa de energias )
como na criação de importantes tecnologias ( como a eletrónica e a engenharia nuclear ). 
 
O objetivo inicial da Mecânica Quântica era explicar as interações entre matéria e energia mas
acabou tendo o papel de retificar e completar a Física e Química clássicas. No que toca aos
fenômenos macroscópicos, passou-se a pensar em termos de efeitos macroscópicos
consequência do comportamento de uma enorme quantidade de micro-sistemas cujas leis são
probabilistas. Esses micro-sistemas não são totalmente independentes ( por exemplo, os átomos
de um sólido obedecem relações espaciais ), mas não podem ser individualizados e os cálculos
probabilistícos envolvidos precisam levar isso em conta. Assim que foi necessário um ponto de
vista revolucionário para descrever o comportamento dos micro-sistemas: as grandezas
observáveis tem natureza verdadeiramente probabilista.
2.- PROBABILIDADES NA ESTATISTICA
 
A História registra censos, para fins de alistamento militar e de coleta de impostos, realizados
há mais de 4 000 anos, como é o caso do censo do imperador Yao na China, em 2 200AC. Em
todo esse tempo, por estatística entendia-se meramente o trabalho de exibição e síntese dos
dados referentes colhidos pelo censo. Mais importante do que observar que estava restrita aos
censos é notar que era uma mera Estatística Descritiva, a qual não envolvia nenhum trabalho
probabilístico, pois todos os objetos do universo envolvido ( a população ) eram observados
ou medidos.
 
A primeira pessoa a atinar em medir/observar apenas uma pequena amostra do universo
envolvido e, a partir de análise probabilista, estender os resultados da amostra para o todo do
universo ou população foi Adolphe Quételet, c. 1850.
A partir dele, rapidamente surgiu a idéia de dar um embasamento mais rigoroso para o método
científico, a partir de uma fundamentação probabilistapara as etapas da coleta e a da análise
indutiva de dados científicos. Essa concepção, hoje essencial no trabalho científico, só atingiu
um nível prático no início do sec XX e desenvolveu-se em três grandes frentes:
 
A inferência estatística 
 
estuda técnicas que permitem quantificar probabilisticamente as incertezas envolvidas ao
induzirmos para um universo observações feitas numa amostra do mesmo. Por exemplo: 
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uma companhia de aviação deseja saber o tempo médio que seus passageiros gastam ao
desembarcarem no aeroporto XYZ. Numa amostra de 320 passageiros, o tempo médio foi de
23 min. Com 95% de chances de certeza, o que poderá a companhia dizer sobre o erro
cometido ao afirmar que o tempo médio de desembarque de seus passageiros seu é 23 min, no
aeroorto XYZ ? 
Os pais da Inferência Estatística são J. Neyman e Karl Pearson, os quais a criaram em varios
artigos escritos c. 1930. Embora os estudos de Neyman e Pearson estivessem associados à
questões de hereditariedade, os métodos e até as expressoes que criaram, tais como "hipótese
nula" e "nível de significância", fazem hoje parte da rotina diária de todo estatístico e
cientista. 
 
O delineamento dos experimentos científicos 
 
trata das precauções que o cientista deve tomar, antes de iniciar suas observações ou medidas,
de modo que se possa dar uma boa probabilidade de que os objetivos pretendidos sejam
atingidos.
O pai dessas técnicas é R. A. Fisher. Esse, ao trabalhar na seleção genética de plantas agrícolas,
desenvolveu imensa quantidade de resultados básicos sobre delineamento de experimentos e os
divulgou, com grande sucesso, em dois livros históricos: Statistical Methods for Research
Workers, 1925, e The Design of Experiments, publicado em 1935. 
 
A correlação entre variáveis 
 
é o que, em Estatística, corresponde - não perfeitamente, desde já alertamos - à idéia de
causação. Suponhamos que um cientista faça, simultâneamente, a medida de duas ou mais
variáveis: uma poderia ser a altura e a outra o peso de pessoas de uma população. Se ocorrer
que elas tendam a crescer ou decrescer simultaneamente, dizemos que elas sao positivamente
correlacionadas; se, por outro lado, a tendência é uma delas crescer e a outra decrescer,
dizemos que elas são negativamente correlacionadas. No instante que o estatístico ou
cientista possa afirmar que duas ou mais variáveis são correlacionadas, ele pode usar uma série
de técnicas ( chamadas análise de regressão ) para achar fórmulas expressando os valores de
uma dessas variáveis em termos da outra, ou das outras. Tudo dentro de uma margem de erro
que ele poderá estimar probabilisticamente. 
 
O pai da idéia de correlação foi o inglês Francis Galton o qual, no final do século passado a
usou numa série de estudos de hereditariedade motivados pela Teoria da Evolução de Darwin e
com objetivos decididamente eugênicos.
A base matemática do trabalho de Galton era precária. Coube a Karl Pearson dar uma
fundamentação mais matemática para a correlação e introduzir técnicas hoje básicas:
coeficiente de correlação, medida da qualidade da regressão via a distribuição probabilista chi-
quadrado, etc. 
 
3.- PROBABILIDADES na ENGENHARIA
 
Controle de qualidade da produção industrial 
 
A primeira pessoa a estudar matemáticamente o controle da qualidade foi W. Gosset ( mais
conhecido por seu pseudônimo, Student ) quando, no início do séc XX, trabalhava numa
fábrica de cerveja. Sucederam-se algumas aplicações de âmbito fechado, restrita ao setor
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militar ( França: M. Dumas ) e às atividades internas da Western Electric Company. 
 
Contudo, é só em torno de 1930 que surgem os primeiros tratados de cunho prático e destinado
a engenheiros: o The Economic Control of the Quality of Manufactured Products ( de W. A.
Shewart, da Bell Telephone Co., USA, 1929 ) e o The Application of Statistical Methods in
Industrial Standartization and Quality Control ( de Egon. S. Pearson, Inglaterra, 1935). Por
essa mesma época, surgem as primeiras comissões tratando da uniformização das normas do
controle estatístico da qualidade: o Joint Committe for the Development of Statistical
Applications in Engineering and Manufacturing, americano, e a Section of Industrial and
Agriculture Researches, na Royal Statistical Society of London. 
 
Apesar desses pioneiros, a real difusão dos métodos estatísticos na engenharia só iniciou
durante a Segunda Guerra. Entre 1941 e 1942 os americanos e os inglêses desenvolveram um
grande programa, procurando disseminar a prática do controle de qualidade estatístico na
produção militar. Vários manuais foram escritos e divulgados amplamente. Especialmente
decisiva foi a adoção desses manuais pelas universidades americanas que faziam parte do
Engineering and Science War Training Program. Terminada a guerra, rapidamente tornou-
se norma a inclusão de cursos de Probabilidades e Estatística em todos os cursos de engenharia
americanos, inglêses e, logo, de outros países.
 
EXEMPLO:
Uma fábrica estuda um novo processo de manufatura para a produção
de tampões para pias e banheiras. Os tampões com mais de 2.5 cm
deverão ser descartados. Numa amostra de 20 tampões determinou-se
um diâmetro médio 2.49 cm e desvio padrão de 0.01 cm. Supondo que
os diâmetros tenham uma distribuição de probabilidades gaussiana,
que percentual da produção desse processo deverá ser descartada ?
 
Aplicações mais recentes das probabilidades na Engenharia 
 
são cada vez mais variadas e importantes, citaremos rapidamente apenas três: 
 
Teoria das Filas:
Busca calcular a quantidade de recursos e a maneira de disponibilizá-los para que uma
fila de solicitação de serviços seja atendida, com investimento mínimo de recursos e
tempo mínimo de espera por parte dos clientes da fila. Exemplos de problemas de filas
sendo: determinar o número de caixas num super-mercado, determinar o número de
pistas num aeroporto, determinar a quantidade de equipamento telefônico necessário para
atender uma área geográfica, determinar a quantidade de mecânicos e boxes para atender
os serviços de uma grande concessionária de automóveis, tudo isso a partir de projeções
probabilistas da demanda.
A origem da Teoria das Filas ocorreu em Telefonia.
 
Teoria da Informação
Partindo de considerações probabilistas, essa teoria desenvolveu uma medida da
quantidade de informação em mensagens. Usando essa medida, a teoria estuda maneiras
de codificar, transmitir e decodificar as mensagens que são transmitidas pelos sistemas
de comunicação: TV, radio, telefonia, satélites, etc. Os principais obstáculos a vencer são
a existência de ruídos aleatórios, produzidos pelas componentes dos sistemas de
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comunicação e por interferências, e a existência de uma capacidade limite de todo canal
de comunicação. As bases dessa teoria foram estabelecidas por Claude Shannon c. 1950. 
 
Teoria do Risco
Trata de problemas envolvendo decisões alternativas e cujas consequências só podem ser
avaliadas probabilísticamente. Uma situação importante sendo o estudo das panes em
sistemas de engenharia complexos, como redes de distribuição de energia elétrica, redes
telefônicas, redes de computadores, etc. Tipicamente, deseja-se maximizar a duração do
funcionamento normal do sistema a um custo mínimo de investimento em equipamento.
 
versão: 23 - fev - 2 001
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