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Universidade Paulista
Resistência dos Materiais Civil
Aula – 01
Curso de Engenharia Civil
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ao olhar a seu redor podeAo olhar a seu redor pode--se se 
encontrar uma infinidade de encontrar uma infinidade de 
estruturas. estruturas. 
As estruturas estão presentes As estruturas estão presentes 
desde uma mdesde uma mááquina, um quina, um 
automautomóóvel, um avião, um vel, um avião, um 
edifedifíício e atcio e atéé mesmo no corpo mesmo no corpo 
humano nos ossos, mhumano nos ossos, múúsculos sculos 
e tendões. e tendões. 
Estruturas são sistemas Estruturas são sistemas 
compostos de uma ou mais compostos de uma ou mais 
pepeçças, ligadas entre si e ao as, ligadas entre si e ao 
meio exterior de modo a meio exterior de modo a 
formar um conjunto estformar um conjunto estáável.vel.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
VVíínculos ou apoios. nculos ou apoios. 
Para uma estrutura em equilPara uma estrutura em equilííbrio estbrio estáático, devemtico, devem--se se 
impedir o deslocamento de pontos da estrutura impedir o deslocamento de pontos da estrutura 
introduzindo nela vintroduzindo nela víínculos (barreiras). Estes pontos nculos (barreiras). Estes pontos 
impedidos de deslocamento reagirão impedidos de deslocamento reagirão ààs fors forçças aplicadas as aplicadas àà
estrutura em sentido contrestrutura em sentido contráário.rio.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS 
Apoio simples ou de primeiro gênero.Apoio simples ou de primeiro gênero.
Este tipo de apoio trava a estrutura em uma Este tipo de apoio trava a estrutura em uma úúnica direnica direçção, ão, 
portanto temportanto tem--se apenas uma rease apenas uma reaçção de apoioão de apoio
Como exemplo de movimento têm-se os movimentos do 
skate, pode-se movimentá-lo para frente e para trás e girar, 
porém se o skatista ficar parado em cima, haverá uma 
reação no sentido contrário impedindo o deslocamento 
para baixo. 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
ArticulaArticulaçção ou apoio de segundo gênero.ão ou apoio de segundo gênero.
Este tipo de apoio trava a estrutura em duas direEste tipo de apoio trava a estrutura em duas direçções, ões, 
portanto têmportanto têm--se duas rease duas reaçções de apoioões de apoio
Como exemplo de movimento tem-se a dobradiça da porta, onde o 
único movimento possível é o de rotação, a dobradiça impede os 
movimentos para baixo e para cima, assim como movimentos para 
frente e para trás.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Engate ou apoio de terceiro gênero.Engate ou apoio de terceiro gênero.
Este tipo de apoio trava a estrutura em três direEste tipo de apoio trava a estrutura em três direçções, ões, 
portanto têmportanto têm--se três rease três reaçções de apoio, neste tipo de vinculo ões de apoio, neste tipo de vinculo 
éé necessnecessáário calcular o momento (M).rio calcular o momento (M).
Como exemplo de movimento tem-se um poste enterrado no solo, todos 
os movimentos estão impedidos.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Tipos de carregamento. Tipos de carregamento. 
Em geral, Em geral, vávários tipos de cargas srios tipos de cargas sãão suportados pelas o suportados pelas 
estruturas estruturas 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Tipos de carregamento. Tipos de carregamento. 
 As cargas que atuam em um pequeno comprimento da estrutura são 
denominadas cargas concentradas. As cargas de pilares (colunas) ou 
de outros elementos estruturais assim como as forc ̧as de reac ̧ões de 
apoio são representadas tipicamente por cargas concentradas.
As cargas que se estendem ao longo de uma parte da estrutura são 
denominadas cargas distribuídas. As cargas distribuídas que possuem 
módulo constante são denominadas cargas uniformemente 
distribuídas. Exemplos de cargas uniformemente distribuídas incluem o 
peso da laje de um piso de concreto ou as forças resultantes da ação 
do vento.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Tipos de carregamento. Tipos de carregamento. 
 Em alguns casos, a carga pode ser linearmente distribuída, o que 
significa que a carga distribuída, como o próprio termo sugere, tem seu 
módulo variando linearmente ao longo do vão de carregamento. 
Pressões de neve, de solo e de fluidos são exemplos de considerações 
que podem criar cargas linearmente distribuídas.
 Uma estrutura também pode estar sujeita aos momentos concentrados, 
que tendem a flexionar e girar a estrutura. Com freque ̂ncia, os 
momentos concentrados são criados por outros elementos estruturais 
que se conectam à estrutura principal.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
CCáálculo de realculo de reaçções de apoio. ões de apoio. 
Para o cPara o cáálculo das realculo das reaçções de apoio serões de apoio seráá utilizado os utilizado os 
conceitos de estconceitos de estáática, ou seja, um corpo esttica, ou seja, um corpo estáá em equilem equilííbrio brio 
quando a resultante de todas as forquando a resultante de todas as forçças que nele atuam as que nele atuam éé
nula.nula.
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0M
Serão utilizados exercícios de aplicação para melhor explicar o 
procedimento para o cálculo das reações de apoio.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 1: Calcule as reaEx 1: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção:ão:
Para facilitar o desenvolvimento do exercPara facilitar o desenvolvimento do exercíício podemcio podem--se se 
colocar todas as forcolocar todas as forçças em um diagrama, chamado as em um diagrama, chamado 
diagrama de corpo livre (DCL)diagrama de corpo livre (DCL)
Lembrando os tipos de vínculo, onde do lado A temos um 
vínculo de primeiro gênero e do lado B de segundo gênero, 
portanto temos que determinar o valor destas reações 
causadas por esses vínculos.
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Sistema de eixos adotado:Sistema de eixos adotado:
∑ = 0Fx 0=Rbx
∑ = 0Fy
10
010
=+
=−+
RbyRay
RbyRay
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
∑ = 0MB
04108 =+− xRayx
10=+ RbyRay
kNRby
kNRay
5
5
=∴
=∴
kNRay
xRay
5
8
410
=
=
kNRby 5=
105 =+ Rby
510 −=Rby
∑ = 0Fy
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 2: Calcule as reaEx 2: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
( ) kNxFFx 12382,0150º35cos ≅≅=
kNRax 123=
5,85=+ RbyRay
∑ = 0MA
kNRby
xRbyx
4,68
085,8510
=
=− kNRby
kNRay
kNRax
4,68
1,17
123
=∴
=∴
=∴
SoluSoluçção:ão:
kNxFsenFy 5,85057150)º35( ≅≅=
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 3: Calcule as reaEx 3: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção:ão:
∑ = 0Fx 0=Rbx
∑ = 0Fy 300=+ RbyRay
∑ = 0MB
kNRay
Ray
5,187
8
1500
=
=
kNRbx 5,112=
0310062008 =++− xxRayx
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 4: Calcule as reaEx 4: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção: ão: 
A A cargacarga representa um retângulo, onde o valor da carga representa um retângulo, onde o valor da carga éé a altura, então a altura, então 
a carga concentrada a carga concentrada éé encontrada multiplicando o comprimento da encontrada multiplicando o comprimento da 
carga pelo valor da mesmacarga pelo valor da mesma
O ponto de aplicaO ponto de aplicaçção da carga concentrada ão da carga concentrada éé centro da carga centro da carga 
distribudistribuíída. Uma vez que a carga foi concentra o exercda. Uma vez que a carga foi concentra o exercííciofica cio fica 
semelhante aos anteriores.semelhante aos anteriores.
kNRby
kNRay
kNRax
100
100
0
=∴
=∴
=∴
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 5: Calcule as reaEx 5: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção: ão: 
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0MA
0=Rax
190=+ RbyRay
kNRby
xxRbyx
90,91
021005,8905,10
=
=−−
kNRay
kNRby
kNRax
1,98
9,91
0
=∴
=∴
=∴
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 6: Calcule as reaEx 6: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção: ão: 
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0MA
0=Rax
180=+ RbyRay
kNRby
xRbyx
120
041806
=
=−
kNRby
kNRay
kNRax
120
60
0
=∴
=∴
=∴
2
.hbAF trian ==
3
baplicaçãodePonto =
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 7: Calcule as reaEx 7: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção: ão: 
∑ = 0Fx
∑ = 0Fy
∑ = 0MA
0=Rax
kNRay 200=
mkNMa
Max
.800
04200
=
=+−
mkNMa
kNRay
kNRax
.800
200
0
=∴
=∴
=∴
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
Ex 8: Calcule as reaEx 8: Calcule as reaçções de apoio da estrutura ões de apoio da estrutura 
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EQUILIBRIO DAS ESTRUTURAS
SoluSoluçção: ão: ∑ = 0Fx kNRax 10=
∑ = 0Fy 20=+ RbyRay
∑ = 0MA
02203104 =−+ xxxRby
kNRby
kNRay
kNRax
5,2
5,17
10
=∴
=∴
=∴
kNRby
Rby
5,2
4
10
=
=
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