L6_Autovalores_Autovetores

Prévia do material em texto

6
a
Lista de Exercícios de A. L. G. A. - Prof
a
Vanessa Munhoz
Autovalores e Autovetores
Exercício 1. Con�rme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor
correspondente.
A =

4 0 1
2 3 2
1 0 4
; x =

1
1
1
.
Exercício 2. Encontre a equação característica da matriz dada.
(a)
[
3 0
8 −1
]
(c)
[
0 0
0 0
]
(e)

4 0 1
−2 1 0
−2 0 0

(g)

−1 0 1
−1 3 0
−4 13 −1

(b)
[
10 −9
4 −2
]
(d)
[
1 0
0 1
]
(f)

3 0 −5
1
5
−1 0
1 1 −2

(h)

5 0 1
1 1 0
−7 1 0

Exercício 3. Encontre todos os autovalores das matrizes do Exercício 2.
Exercício 4. Encontre os autovalores de A9, sendo
A =

1 3 7 11
0 1
2
3 8
0 0 0 4
0 0 0 2

Exercício 5. Encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P−1AP .
(a) A =
[
−14 12
−20 17
]
(b) A =
[
1 0
6 −1
]
1
(c) A =

2 0 −2
0 3 0
0 0 3

Exercício 6. Encontre as multiplicidades geométrica e algébrica de cada autovalor de A e deter-
mine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e clacule P−1AP .
(a) A =

−1 4 −2
−3 4 0
−3 1 3

(b) A =

0 0 0
0 0 0
3 0 1

(c) A =

−2 0 0 0
0 −2 5 −5
0 0 3 0
0 0 0 3

Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A =

1 −2 8
0 −1 0
0 0 −1

(a) A1000
(c) A2301
(b) A−1000
(d) A−2301
Exercício 8. Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja
p(λ) = (λ− 1)(λ− 3)2(λ− 4)3. Em cada item responda a pergunta e explique seu raciocínio.
(a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de A?
(b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que A é diagonalizável?
(c) Se {v1,v2,v3} for um conjunto linearmente independente de vetores de A, cada um dos
quais está associado ao mesmo autovalor de A, o que pode ser dito sobre esse autovalor?
2