Formação do conjunto de Mandelbrot

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CONJUNTO DE MANDELBROT: UMA APLICAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Pereira, Marcelo Rodrigues 
2017.2.10.118-2 
 
 
No presente estudo analisaremos o conjunto de Mandelbrot, um fractal definido como 
conjuntos de pontos do tipo , com . A saber no plano dos complexos, tendo como 
sucessão recursiva: 
 
 
 
 
 A construíndo cada ponto , na formação do conjunto de Mandelbrot, temos: 
 
 
 
 
 
E assim por diante. Os cálculos são realizados somente por meio dos recursos computacionais 
devido a necessidade de inúmeros intereações para formação de fractal de Mandelbrot. 
Figura 1 
 Se reescrevemos a sequência em termos das partes real e imaginária, a cada interação n, 
substituindo pelo ponto e pelo ponto , temos: 
 
e 
 
 Assim o conjunto de Mandelbrot tem sua representação geometrica monocromática, conforme 
figura 1, com forte predomínio de cardióide no centro do plano dos complexos. 
 Considerando o valor absoluto de , na forma cartesiano, temos: 
 
 Assim a sequência tende ao infinito, não pertencente ao conjunto de Mandelbrot; estes valores de 
 são chamados de ponto de fuga, serve de sinal para término dos cálculos. Agora para a sequência que 
não tende ao infinito de , pertencente ao conjunto de Mandelbrot, limitamos as interações, geralmente 
de 100 a 120, com excelentes computadores com grande capacidade de processamento uma vez que são 
infinitas as possibidades. Ao representarmos no plano dos complexos estas interações temos a imagem 
bastante próxima do conjunto verdadeiro. Vale a pena destacar que os estudos do fractal Mandelbrot traz 
bastante compreensão de sistemas dinâmicos tais como mercado financeiro. 
 
Exercícios Propostos 
1) Calcule o para . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Represente no plano cartesiano os pontos números complexos encontrados no exercício anterior. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O fractal Mandelbort descreve muito bem fenômenos matemáticos exibem comportamentos caóticos. 
Diante do exposto, este o conjunto de Mandelbrot, definido por qual algoritmo recursivo? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
4) O conjunto de Mandelbrot surgiu dos estudos de Mandelbrot ao analizar o conjunto de Julia. 
Represente um fractal do conjunto Julia com . 
Resolução: 
 
 
 
5) Defina sistema dinâmico caótico para a Topologia. 
Resolução: 
 
Consideremos sistema dinâmicos caótico associado a função f, conjunto de interações (xn) definidos 
por x0 = x, xn+1 = f(xn), sendo a função f definida num certo conjunto S. 
 
 
 
 
Referência bibliográfica: 
Fractais Manual. Universidade de Coimbra. Faculdade de Matemática. Disponível em: 
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/fractais/manual.htm . Acessado em: 11 nov. 2018 
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/fractais/manual.htm