Exercícios capítulo 04 livro

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Exercícios capítulo 04 
Modelagem em programação linear 
1. Uma pequena marcenaria produz dois tipos de móveis: mesas e 
cadeiras. O lucro unitário de uma mesa produzida é de R$34,00 e o 
lucro unitário de uma cadeira é de R$18,00. Uma mesa consome 12 
minutos de mão-de-obra para ser produzida enquanto que uma 
cadeira utiliza 10 minutos. Cada mesa precisa 3 unidades de madeira 
para ser construída, ao tempo que, para a fabricação de uma 
cadeira, a marcenaria faz uso de 1 unidade de madeira. A 
marcenaria dispõe do total de 8 horas por dia de mão-de-obra e de 
72 unidades de madeira para serem empregadas na fabricação das 
mesas e cadeiras. 
Determine o esquema diário de produção da marcenaria que 
permita a ela obter o lucro máximo. 
 
1. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
 𝑥2→ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
 
 max 𝑍 = 34𝑥1 + 18𝑥2 
 
s.a: 
12𝑥1 + 10𝑥2 ≤ 480 
3𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 72 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
 
2. Uma empresa do setor plástico, dentro de seu rol de 
produtos, pode fornecer dois tipos de anéis de vedação para 
uso nas linhas de manufatura de pequenas indústrias situadas 
em sua região de atuação. O anel de vedação do tipo A1 possui 
3,5 cm de diâmetro e gera um lucro unitário de R$7,00 para a 
empresa. O anel de vedação do tipo A2 tem 2,1 cm de diâmetro e 
gera lucro de R$5,00 por unidade vendida. Cada anel A1 
consome 70 gramas de borracha sintética para sua produção e 
cada anel A2 consome 100 gramas de borracha sintética. Além 
disso, os anéis são manufaturados em uma mesma máquina, 
sendo que o anel A1 usa 12 minutos da máquina e o anel A2 usa 6 
minutos. Devido a problemas de temperatura e da fragilidade da 
matéria-prima, o fornecedor pode disponibilizar no máximo 5 
quilos da borracha sintética por dia. A máquina que produz os 
anéis A1 e A2 necessita de manutenção diária, tendo que ser 
totalmente desmontada para isso. Assim, a máquina não pode 
ser utilizada mais do que 6 horas por dia na fabricação dos anéis. 
Determine o programa diário ótimo de produção dos anéis A1 e 
A2, de forma a maximizar seu lucro total. 
2. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛é𝑖𝑠 𝐴1 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛é𝑖𝑠 𝐴2 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
 
 max 𝑍 = 7𝑥1 + 5𝑥2 
 
s.a: 
70𝑥1 + 100𝑥2 ≤ 5.000 
12𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 360 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
3. Um profissional individual do ramo da reciclagem pretende 
aumentar sua rentabilidade no negócio. Ele sabe que na usina de 
reciclagem, lhe é pago, por quilo da latinha de refrigerante vazia 
(alumínio) o valor de R$3,00 e pelo quilo da garrafa de resina 
plástica PET (Polietileno Tereftalato) o valor de R$5,00. Um quilo 
de latinhas de alumínio ocupa 0,1m3 de espaço no veículo do 
reciclador (carroça) enquanto que um quilo de garrafas PET ocupa 
0,3m3 nesse mesmo veículo. O espaço total no veículo destinado 
aos reciclados é de 2,4 m3. Deve ser levado em conta, ainda, que o 
veículo suporta uma carga máxima de 20 kg de produtos 
reciclados. O reciclador leva o dia inteiro para carregar o veículo e 
no final da tarde vai à usina vender sua mercadoria. 
Determine o programa diário de carregamento do reciclador, de 
forma a maximizar sua receita. 
3. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑟𝑖𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠 𝑃𝐸𝑇 
 
 max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 
 
s.a: 
0,1𝑥1 + 0,3𝑥2 ≤ 2,4 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
4. Uma fabriqueta de fundo de quintal que tem seu 
proprietário e os dois filhos como artesãos produz artefatos 
em couro para distribuição em lojas de instrumentos musicais 
da cidade e redondezas. O artesão e seus filhos são capazes 
de produzir, por jornada de 8 horas de trabalho, 12 capas para 
violões, se fizerem somente capas para violão, e 8 capas para 
guitarras, se fizerem somente capas para guitarra. Cada capa 
de violão utiliza 4 unidades de couro enquanto que cada capa 
de guitarra, consome 3 unidade de couro. A disponibilidade de 
couro por dia é de 30 unidades. O lucro unitário de cada capa 
de violão é de R$22,00 enquanto que o de cada capa de 
guitarra é de R$28,00. 
Determine o programa de produção diário do artesão que 
otimize sua produção, maximizando o lucro da pequena 
fábrica. 
 
4. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑖𝑜𝑙õ𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑢𝑖𝑡𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
 
 max 𝑍 = 22𝑥1 + 28𝑥2 
 
s.a: 
40𝑥1 + 60𝑥2 ≤ 480 
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
 
5. A empresa X-line, do ramo de prestação de serviços de limpeza, 
quer aumentar o número de clientes que possui. Após diversas 
reuniões, a gerência decidiu que uma boa estratégia seria o anúncio 
em jornais da região com grande tiragem diária. Ao entrar em 
contato com as sucursais das empresas jornalísticas, o gerente 
responsável pela campanha ficou sabendo que existem duas 
possibilidades. O anuncio A, que tem formato 70mm x 40mm, 
impresso em um jornal de variedades e notícias, com publicação 
diária, é visto por 50.000 leitores/edição. O anuncio B, que tem 
formato de 30mm x 20mm, impresso em um jornal específico de 
negócios e serviços, com publicação diária, é visto por 30.000 
leitores/edição. O anúncio A tem o custo unitário de R$2.500,00 e o 
anuncio B custo unitário de R$1.500,00. A X-line quer que, 
semanalmente, pelo menos 400.000 pessoas leiam seus anúncios. 
Sabe-se, ainda, que a X-line está disposta a custear no máximo 10 
anúncios por semana. 
Determine o plano ótimo em propaganda para a empresa X-line, que 
minimiza o custo do investimento em anúncios, atingindo ao 
número de leitores esperados. 
5. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛ú𝑛𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑋 − 𝑙𝑖𝑛𝑒 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛ú𝑛𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑋 − 𝑙𝑖𝑛𝑒 
 
 min 𝑍 = 2.500𝑥1 + 1.500𝑥2 
 
s.a: 
50.000𝑥1 + 30.000𝑥2 ≥ 400.000 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
6. Uma indústria fabrica três produtos P1, P2 e P3 a partir 
de três insumos I1, I2 e I3. Os lucros unitários pela venda 
de P1, P2 e P3 são, respectivamente, R$30, R$20 e R$50. 
A utilização dos insumos para produção é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o plano ótimo de produção da indústria. 
 
 
INSUMOS→ I1 I2 I3 
P1 20 40 10 
P2 30 30 50 
P3 20 10 40 
DISPONIBILIDADE 300 300 450 
6. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃1 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃2 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
𝑥3 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃3 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
 
 max 𝑍 = 30𝑥1 + 20𝑥2 + 50𝑥3 
 
s.a: 
20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 300 
40𝑥1 + 30𝑥2 + 10𝑥3 ≤ 300 
10𝑥1 + 50𝑥2 + 40𝑥3 ≤ 450 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0; 
7. A indústria alimentícia Tony Bull prepara almondegas com uma 
mistura de carne bovina e carne suína. A carne bovina contem 
70% de carne e 30% de gordura e custa R$9,00 o quilo. A carne de 
porco contem 50% de carne e 50% de gordura e custa R$5,00 o 
quilo. Que quantidade de carne bovina e de carne suína deve a 
empresa usar por quilo de almondegas se desejar minimizar seu 
custo e conservar o teor de gordura da almondega não superior a 
20%? (adaptado de Bronson, 1985). 
7. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑣𝑖𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒𝑔𝑎 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑠𝑢í𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒𝑔𝑎 
 
 min 𝑍 = 9𝑥1 + 5𝑥2 
 
s.a: 
70𝑥1 + 50𝑥2 ≥ 80 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0 
8. Uma empresa transportadora possui 4 CDs (Centros de Distribuição) com 
depósitos capazes de armazenar 200m3 (CD1), 240m3 (CD2), 300m3 (CD3) e 
200m3 (CD4) de mercadorias. As mercadorias que abastecem os diferentes 
CDs tem origem a partir 3 portos M1, M2 e M3 localizados em regiões 
geográficasdiversas. Elas estão armazenadas em contêineres de 20m3 e 
devem ser transportadas por modal rodoviário (um caminhão para cada 
contêiner) para os CDs. As distâncias dos portos aos centros de distribuição 
(em km) são: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o algoritmo de programação linear que permita calcular o 
número de viagens de caminhão a serem feitas de cada porto para cada loja 
que minimize a distância total percorrida entre portos e centros de 
distribuição (adaptado de Silva et al., 1998). 
 
CDs→ CD1 CD2 CD3 CD4 
porto M1 16 36 12 32 
porto M2 44 24 12 21 
porto M3 20 10 8 16 
8. 
𝑥11 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀1 𝑎𝑜 𝐶𝐷1 
𝑥12 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀1 𝑎𝑜 𝐶𝐷2 
𝑥13 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀1 𝑎𝑜 𝐶𝐷3 
𝑥14 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀1 𝑎𝑜 𝐶𝐷4 
𝑥21 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀2 𝑎𝑜 𝐶𝐷1 
𝑥22 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀2 𝑎𝑜 𝐶𝐷2 
𝑥23 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀2 𝑎𝑜 𝐶𝐷3 
𝑥24 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀2 𝑎𝑜 𝐶𝐷4 
𝑥31 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀3 𝑎𝑜 𝐶𝐷1 
𝑥32 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀3 𝑎𝑜 𝐶𝐷2 
𝑥33 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀3 𝑎𝑜 𝐶𝐷3 
𝑥34 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑀3 𝑎𝑜 𝐶𝐷4 
 
 min 𝑍 = 16𝑥11 + 36𝑥12 + 12𝑥13 + 32𝑥14 + 44𝑥21 + 24𝑥22 + 12𝑥23 +
 21𝑥24 + 20𝑥31 + 10𝑥32 + 8𝑥33 + 16𝑥34 
 
s.a: 
𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 10 
𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 12 
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 = 15 
𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 = 10 
𝑥𝑖 ≥ 0; 𝑥𝑗 ≥ 0 𝑐𝑜𝑚 𝑖 = 1, 2, 3 𝑒 𝑗 = 1, 2, 3, 4 
9. Uma refinaria processa petróleo e seus derivados ininterruptamente. O 
esquema de trabalho diário funciona em turnos de 4 horas atendidos por 
equipes. Como há diferença na quantidade e tipo de atividade em cada turno, 
existe variação no número de funcionários que compõem as equipes nos 
diferentes turnos. Nesse sentido, a gerência fixou um número mínimo de 
funcionários que devem integrar a equipe de cada um dos turnos. A jornada 
diária de trabalho de cada operário é de 8 horas. 
O quadro a seguir apresenta a relação entre turnos e o número mínimo de 
empregados fixado pela gerência: 
 
 
 
 
 
 
Determine o algoritmo de programação linear que viabilize a alocação do 
menor número possível de funcionários por turno, atendendo às exigências 
da gerência e respeitando a jornada diária de trabalho. 
 
TURNO DURAÇÃO Nº MÍN. DE EMPREGADOS 
A 0 a 4 7 
B 4 a 8 6 
C 8 a 12 14 
D 12 a 16 9 
E 16 a 20 12 
F 20 a 24 8 
9. 
𝑥1 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐴 
𝑥2 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐵 
𝑥3 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐶 
𝑥4 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐷 
𝑥5 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐸 
𝑥6 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝐹 
 
𝑚𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s.a: 
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 6 
𝑥2 + 𝑥3 ≥ 14 
𝑥3 + 𝑥4 ≥ 9 
𝑥4 + 𝑥5 ≥ 12 
𝑥5 + 𝑥6 ≥ 8 
𝑥1 + 𝑥6 ≥ 7 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0; 𝑥3 ≥ 0; 𝑥4 ≥ 0; 𝑥5 ≥ 0; 𝑥6 ≥ 0 
 
TURNOS
→ 
A B C D E F 
 x1 x1 
 x2 x2 
 x3 x3 
 x4 x4 
 x5 x5 
 x6 x6 
≥ 
EQUIPES
→ 
7 6 14 9 12 8 
10. Wellington é o agrônomo responsável pela manutenção do gramado de um 
campo de futebol de uma importante equipe da série A do campeonato brasileiro. 
Para o composto de grama do campo de futebol, Wellington decidiu que o melhor 
fertilizante seria uma mistura com percentual 10 – 8 - 12 de NPK (Nitrogênio – 
Fósforo – Potássio), sendo o restante composto por matéria inerte. Wellington 
pode comprar 100 quilos de um composto 10-8-12 de fertilizante por R$30,00, mas 
existem outros fertilizantes no mercado a diferentes preços. 
A composição química e os preços dos fertilizantes são mostrados a seguir. 
Wellington gostaria de determinar se pode ou não comprar diversos fertilizantes e 
misturá-los para obter uma mistura 10-8-12 a um custo inferior a R$30,00 por 
pacote de 100 kg. Tendo em mente que pode ser praticamente inviável obter um 
composto 10-8-12 exato com os fertilizantes, Wellington está disposto a aceitar 
percentuais de produtos químicos com pelo menos as quantidades pretendidas, 
porém não acima de 0,5% delas. 
 
 
 
 
 
 
Determine o algoritmo de programação linear para o problema da mistura do 
gramado de campo de futebol (adaptado de REID e SANDERS, 2002). 
 
Fertilizante %Ni% Ph% Po Custo/100 kg 
A 10 -8 – 12 30,00 
B 8 - 10 – 14 24,10 
C 11 - 6 – 11 21,00 
D 10 - 13 – 13 18,40 
E 14 - 10 - 7 17,80 
10. 
 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 100 𝑘𝑔 de mistura 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐵 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 100 𝑘𝑔 de mistura 
𝑥3 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 100 𝑘𝑔 de mistura 
𝑥4 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐷 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 100 𝑘𝑔 de mistura 
𝑥5 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 100 𝑘𝑔 de mistura 
 
𝑚𝑖𝑛 𝑍 = 0,30𝑥1 + 0,2410𝑥2 + 0,21𝑥3 + 0,1840𝑥4 + 0,1780𝑥5 
 
s.a: 
 
10 ≤ 10𝑥1 + 8𝑥2 + 11𝑥3 + 10𝑥4 + 14𝑥5 ≤ 10,5 
8 ≤ 8𝑥1 + 10𝑥2 + 6𝑥3 + 13𝑥4 + 10𝑥5 ≤ 8,5 
12 ≤ 12𝑥1 + 14𝑥2 + 11𝑥3 + 13𝑥4 + 7𝑥5 ≤ 12,5 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 1 
𝑥1 ≥ 0; 𝑥2 ≥ 0; 𝑥3 ≥ 0; 𝑥4 ≥ 0; 𝑥5 ≥ 0