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Exercícios Modelagem
Nome: Raphael Philippe Silva de Melo
Modele as questões abaixo: 
1. Uma empresa que trabalha com mármores e granitos fabrica soleiras e peitoris. Ela repassa para os revendedores tendo um lucro de $7,00 por soleira e $8,50 por peitoril. Cada soleira tem 0,6m2 de área e cada peitoril tem área de 0,8m2 . A empresa dispõe de 16m2 de granito diariamente para fazer as peças e tem 5 funcionários que trabalham 6 horas por dia. Na confecção de uma soleira gastam-se 24 minutos e na confecção do peitoril, 20. 
Sabendo que toda a produção é absorvida pelo mercado, construa o modelo matemático de produção diária que maximiza o lucro da empresa. 
Resposta:
5 funcionários * 360 min (6h) = 1800
X1 = quantidade de Soleiras
X2 = quantidade de Peitoril
Z = Max (f(x) = 7X1 + 8,5X2)
0,6X1 + 0,8X2 <= 16
24X1 + 20X2 <= 1800
Não negatividade:
X1 >= 01 , X2>=0
2. A empresa Ciclo S.A. faz montagem de dois tipos de bicicletas: a do tipo Padrão e a do tipo Clássico. Ela recebe as pecas de outras empresas e a montagem passa por duas oficinas. A montagem de uma bicicleta tipo Padrão requer uma hora na oficina I e duas horas e meia na oficina II. A montagem de uma bicicleta modelo Clássico requer uma hora e meia na oficina I e duas horas e meia na oficina II. A oficina I tem disponibilidade de 20 funcionários que trabalham 8 horas por dia, e a oficina II tem disponibilidade de 32 funcionários que trabalham, também, as mesmas 8 horas diariamente cada um. A demanda diária de bicicleta tipo Clássico é de 40 pecas. Sabendo que a bicicleta modelo Padrão dá uma contribuição para o lucro de $38,00 e a modelo Clássico da $49,00, determine o modelo de programação linear que maximiza o lucro da empresa.
Resposta:
20*480min = 9600
oficina 2: 32*480min = 15630
Z = Max(f(x) = 38x1 + 49x2)
sendo que:
x1 = quantidade de bicicletas padrão
x2 = quantidade de bicicletas clássicas
60x1 + 90x2 <=9600
150x1 + 150x2 <= 15630
x2 = 40
Não negatividade:
x1 >= 0, x2 >= 0
3. Uma fábrica de brinquedos vai produzir três novos tipos de jogos para crianças: Plim, Plam e Plum. Esses brinquedos são montados a partir de pecas de encaixes fabricados por outra empresa, nos modelos A, B e C. Na montagem do modelo Plim, são utilizadas duas pecas do modelo A e três pecas do modelo C; na montagem do modelo Plam são utilizadas quatro peças do modelo B e três pecas do modelo C e na montagem do modelo Plum, duas pecas de modelo A, duas pecas do modelo B e quatro pecas do modelo C. 
Na montagem do modelo Plim gastam-se três minutos, do modelo Plam três minutos e meio e do modelo Plum cinco minutos. A empresa dispõe, diariamente, de 3.000 pecas do modelo A, 5.400 pecas do modelo B e 8.100 do modelo C. No departamento de montagem existem 16 funcionários que trabalham seis horas por dia. A fábrica comercializa, diretamente, esses jogos em sua loja aos preços de $4,80, $5,10 e $6,00 os modelos Plim, Plam e Plum, respectivamente. Construa o modelo para esse problema de programação linear. 
Resposta:
16*360min = 5760
Z = Max(f(x) = 4,80x1 + 5,10x2 + 6,00x3)
x1= plim
x2 = plam
x3 = plum
2x1 + 0x2 + 2x3 <= 3000
0x1 + 4x2 + 2x3 <= 5400
3X1 + 3X2 + 4X3 <= 8100
3X1 + 3,5X2 + 5X3 <= 5760
Não negatividade
x1 => 0, x2 >= 0, x3 >= 0
4. Uma loja representante de uma grande empresa de tintas faz misturas de tintas, a pedido, para seus clientes, na cor azul em três tonalidades diferentes. Como está na moda tom-sobre-tom, a procura tem sido muito grande e o dono da loja quer saber a produção que vai lhe proporcionar o maior lucro. A loja dispõe, para composição das três tonalidades, 55,5 unidades de tinta azul escura, 16 unidades de solventes, 35,5 unidades de tinta branca e 23 unidades de base. Sabe-se que o material gasto para fazer uma unidade de cada tonalidade é o constante na tabela abaixo:
Para cada unidade de tinta vendida o lucro para as tonalidades I, II e III e de $12,00, $13,80 e $14,50, respectivamente. Faca a modelagem do problema, onde se deve calcular a quantidade de tinta de cada modalidade que deve ser produzida para que a loja obtenha lucro máximo.
Resposta:
Tinta azul: 55,5
Tinta branca: 35,5
Solvente: 16
Base: 23
Z = Max (f(x) = 12x1 + 13,80x2 + 14,50x3)
x1: quantidade de tinta tonalidade I
x2: quantidade de tinta tonalidade II
x3: quantidade de tinta tonalidade III
0,40X1 + 0,45X2 + 0,50X3 <= 55,5
0,30X1 + 0,25X2 + 0,15X3 <= 35,5
0,15X1 + 0,10X2 + 0,10X3 <= 16
0,15X1 + 0,20X2 + 0,25X3 <= 23
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
5. Uma fabrica de móveis para escritórios produz estantes e mesas para computadores. Cada estante gasta 2,5m2 de madeira, 14 parafusos, 0,40 kg de cola, 8 puxadores e 6 dobradiças e cada mesa para computador gasta 2,0m2 de madeira, 18 parafusos, 0,22 kg de cola, 2 puxadores e 4 dobradiças. A empresa tem 18 empregados que trabalham oito horas por dia e sabe-se que uma estante gasta entre corte de madeira e o seu término quatro horas e meia e a mesa para computador, três horas. A loja dispõe, diariamente, de 90m2 de madeira, 7 caixas de parafusos contendo, cada uma, 100 parafusos, 12 quilos de cola, 15 caixas de puxadores, cada uma contendo 12 pecas e 17 caixas de dobradiças, cada uma contendo 12 pecas. No mercado a empresa obtém um lucro de $45,00 por cada estante vendida e $36,00 por cada mesa para computador. O mercado impõe uma demanda máxima de 16 estantes e 25 mesas. Determine o modelo matemático para esse problema que maximiza o lucro da empresa.
Resposta:
Madeira:90
parafuso:7*100 = 700
cola:12
puxadores: 15*12=180
dobradiça: 17*12=204 
tempo gasto: 18*8h=7680min
Z = Max (f(x) = 45x1 + 36x2)
x1: quantidade de estantes
x2: || de mesas
2,5x1 + 2,0x2 <= 90
14x1 + 18x2 <= 700
0,40x1 + 0,22x2 <= 12
8x1 + 2x2 <= 180
6x1 + 4x2 <= 204
270x1 + 180x2 <= 7680
x1 <= 16 
x2 <= 25
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0
6. Uma fabrica de confecções produz camisetas, bonés e calções. Cada camiseta gera uma contribuição para o lucro de $4,56, cada boné $3,50, e cada calção de $4,60. Na confecção de uma camiseta gastam-se 1,10 m de tecido, em cada boné 0,45 m e em cada calção 1,20 m. A fabrica conta com 25 costureiras que trabalham 6 horas por dia na confecção desses artigos. Cada camiseta leva 14 minutos para ser confeccionada, um boné 11 minutos e um calção 10 minutos. O mercado demanda ate 500 camisetas, não mais que 100 calções e no mínimo 60 bonés. Sabendo que a fabrica dispõe de 748 metros de tecido, diariamente, monte o modelo de produção que maximiza o lucro da empresa.
Resposta:
Tempo confecção: 25*6h=9000min
Z = Max (f(x) = 4,56x1 + 3,50x2 + 4,60x3)
x1: quantidade de camisetas
x2: || de bonés
x3: || de calcões
1,10x1 + 0,45x2 + 1,20x3 <= 748
14x1 + 11x2 + 10x3 <= 9000
x1 <= 500
x2 <= 100
x3 >= 60
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
7. Uma fábrica de sapatos produz três tipos de modelos diferentes: básico, colegial e de luxo. No modelo básico são necessários 55 cm de couro e uma fivela; o modelo colegial utiliza 60 cm de couro e modelo de luxo utiliza duas velas e 70 cm de couro. 
A fábrica emprega 100 pessoas na confecção dos sapatos, que trabalham 8 horas por dia. Sabe-se que o modelo básico gasta 20 minutos na sua confecção, o colegial 28 minutos e o luxo 36 minutos. A disponibilidade diária de couro e de 1.000 metros e a de fivelas e de 2.400 unidades.
Sabendo que o modelo básico produz um lucro de $9,76, o colegial $10,50 e o luxo $15,50, determine o modelo de produção diária que maximiza o lucro da empresa
Resposta:
Z = Max (f(x) = 9,76x1 + 10,50x2 + 15,50x3)
X1: quantidade de Sapatos básicos
X2: || de Sapatos colegial
X3: || de Sapatos luxo
55x1 + 60x2 + 70x3 <= 100000
1x1 + 0x2 + 2x3 <= 2400
20x1 + 28x2 + 36x3 <= 48000
Não negatividade
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
8. Uma pequena manufatura produz três artigos: A1, A2 e A3. No comercio local vende seus produtos obtendo uma receita unitária de $58,50 para A1, $67,00 para A2 e $73,50 para A3. Para confecção de A1 são gastos 2m de tecido padronizado, 0,94m2 de couro e é empregado 1H/h; emA2 são gastos 1,80m de tecido padronizado, 1,1m2 de couro e 1,15 H/h; e, na confecção de A3 2,10m de tecido padronizado, 1,20m2 de couro e 1,25 H/h. 
Para confecção diária desses artigos a empresa dispõe de 600 m de tecido padronizado, 400m2 de couro e 320 H/h. Considerando os dados expostos, construa o modelo que maximiza a receita da empresa. 
Resposta: 
Z = Max (f(x) = 58,50x1 + 67x2 + 73,50x3)
x1: qtd de A1
x2: qtd de A2
x3: qtd de A3
2x1 + 1,8x2 + 2,10x3 <= 600
0,94x1 + 1,1x2 + 1,20x3 <= 400
1x1 + 1,15x2 + 1,25x3 <= 320
Não negatividade
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
9. Uma fábrica de móveis fabrica camas, cadeiras e armários para banheiros. O Departamento de Produção forneceu os seguintes dados por unidade fabricada. 
As disponibilidades diárias de madeira e verniz são, respectivamente, de 60m2 e 25 litros. A fábrica tem oito funcionários que trabalham oito horas por dia. Na venda dos produtos aos revendedores locais são obtidos os lucros unitários de $40,00, $50,00 e $120,00 para cama, cadeira e armário, respectivamente. 
Admitindo-se que toda a produção e absorvida pelo mercado, quais são as quantidades diárias desses três artigos que devem ser fabricadas para que a empresa maximize o lucro? Modele este problema de programação linear. 
Resposta:
8*8h = 64
Z = Max (f(x) = 40x1 + 50x2 + 120x3)
x1: qtd de camas
x2: qtd de cadeiras
x3: qtd de armarios
1,3x1 + 1,0x2 + 2,1x3 <= 60
0,3x1 + 0,4x2 + 1,0x3 <= 25
1x1 + 1,15x2 + 2x3 <= 64
Nãonegatividade:
X1 >=0, X2 >=0, X3 >=0 
10. A colônia de Pescadores Mar Azul tem uma frota de barcos de pesca que atua diariamente nas águas territoriais de determinado país. A pesca tem restrições legais e, para evitar a pesca indiscriminada e predatória, a colônia recebeu permissão do órgão controlador para capturar, mensalmente, o máximo de 3000 toneladas de badejo, o máximo de 1200 toneladas de vermelho e 900 toneladas de cação. O órgão governamental também determinou que o máximo que a empresa pode pescar não deve ultrapassar 4600 toneladas. Devido a problemas surgidos em uma câmara fria, a quantidade de badejo a ser pescada não pode ser maior que o dobro da quantidade de vermelho. Sabendo-se que essa colônia repassa aos postos de venda da região o badejo ao preço de $8,50 o quilo, o vermelho a $9,00 e o cação a $9,60, quais quantidades devem ser pescadas de cada espécie para que a receita da empresa pesqueira seja máxima? Construa o modelo de PL para este problema.
Resposta:
Z = Max (f(x) = 8500,00x1 + 9000,00x2 + 9600,00x3)
x1: qtd de badejo
x2: qtd de vermelho
x3: qtd de cação
x1 + x2 + x3 <= 4600
x1 <= 3000
x2 <= 1200
x3 <= 900
x1 <= 2x2
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
11. Uma empresa de informática tem em seu quadro de pessoal 25 engenheiros e 40 técnicos. Ela venceu uma concorrência para instalar todo o sistema de computação de um edifício inteligente e está preparando as equipes para trabalharem nessa obra. Dos estudos realizados para o emprego da mão-de-obra chegou-se a conclusão de que haveria viabilidade para empresa trabalhar com três tipos de equipes com as seguintes composições: 
• Tipo I: 2 engenheiros e 6 técnicos 
• Tipo II : 4 engenheiros e 8 técnicos 
• Tipo III: 3 engenheiros e 9 técnicos 
O emprego de cada equipe do Tipo I, diariamente, dá uma receita para a empresa no valor de $2.000,00; da equipe Tipo II, $3.000,00; e da equipe III, $2.800,00. 
Qual deve ser a quantidade a ser empregada de cada tipo de equipe na obra para que a receita da empresa de informática seja máxima? Modelo este problema de programação linear. 
Resposta:
Z = Max (f(x) = 2000,00x1 + 3000,00x2 + 2800,00x3)
x1: qtd tipo I
x2: qtd tipo II
x3: qtd tipo III
x1 + 4x2 + 3x3 <= 25
6x1 + 8x2 + 9x3 <= 40
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
13. Uma empresa produz dois tipos de reboques: luxo, que e utilizado em carros de passeio, e comercial, para ser acoplado em camionetes. Na produção dos reboques são utilizados os departamentos de montagem e de pintura, os quais têm a seguinte matriz tecnológica: 
A empresa tem 15 funcionários do departamento de montagem e 8 no departamento de pintura, que trabalham 8 horas, diariamente. Sabendo-se que um reboque de luxo da contribuição para o lucro de $360,00 e um do tipo comercial $285,00, qual deve ser a produção da empresa que lhe proporcionara o maior lucro possível? Monte o modelo matemático para esse problema. 
Resposta:
15*8h=120
8*8h=64
Z = Max (f(x) = 360,00x1 + 285,00x2)
x1 = qtd de reboque Luxo
x2 = qtd de reboque Comercial
5x1 + 2x2 <= 120
4x1 + 1x2 <= 64
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0
14. Uma empresa de engenharia irá construir uma estrada em determinada região do país. Para isso, necessita retirar um grande volume de terra onde será construído um viaduto. Ela dispõe de caminhões com capacidade de carregamento de 20 toneladas e 30 metros cúbicos de volume e caminhões com capacidade de 15 toneladas e 24 metros cúbicos de volume. A quantidade de terra a ser transportada foi calculada em 9200 toneladas e o volume em 14.004 metros cúbicos. Os caminhões maiores têm um custo, por viagem, de $65,00, e cada caminhão de capacidade menor, $56,00. Quantas viagens devem ser feitas para que o custo da empresa seja mínimo? Modele este problema de PL.
Resposta;
Z = Min (f(x) = 65,00x1 + 56,00x2)
x1: caminhao maior
x2: caminhao menor
20x1 + 15x2 <= 9200
30x1 + 24x2 <= 14.004
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0
15. Uma empresa da área agrícola dispõe de 2000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu, na repartição da área, que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de, no mínimo, 800 hectares, e que a de milho não deve ser menor do que 20% e milho e soja juntas, não devem ultrapassar 50% da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição para o lucro de 140,00 unidades monetárias, de laranja, 80,00, de milho, 75,00 e de soja, 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo? Modelo este problema.
Resposta:
Z = Max (f(x) = 140,00x1 + 80,00x2 + 75,00x3 + 160,00x4)
x1: qtd de cana
x2: qtd de laranja
x3: qtd de milho
x4: qtd de soja
x1 + x2 + x3 + x4 <= 2000
x1 + x2 >= 800
x3 >= 400
x3 + x4 <= 1000
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0, X4 >= 0
16. Uma fábrica de móveis deseja programar sua produção semanal. A fábrica produz 3 conjuntos de estofados, Royal, Palace e Luxor. Seu lucro por conjunto são $20, $8 e $3 respectivamente. Os 3 conjuntos utilizam as 3 principais seções da fabrica que são a montagem, estofamento e acabamento. Para a montagem, são utilizados 4 Homens/hora para o estofado Royal e 1 (H/h) para o Luxor. Para o estofamento, são necessários respectivamente 4(H/h) para o Royal, 2(H/h) para o Palace e a mesma quantidade para o Luxor. Quanto ao acabamento, somente os conjuntos Royal e Palace necessitam passar pelo acabamento e gastam respectivamente 3(H/h) e 4(H/h). As seções dispõem das seguintes capacidades semanais de trabalho, respectivamente: 240 Homens/hora, 320(H/h) e 480(H/h). Formule o problema de Programação Linear acima, maximizando seu lucro para a próxima semana.
Resposta:
Z = Max (f(x) = 20,00x1 + 8,00x2 + 3,00x3)
x1: qtd de royal
x2: qtd de palace
x3: qtd de luxor 
4x1 + 1x3 <=240
4x1 + 2x2 + 2x3 <=320
3x1 + 4x2 <=480
Não negatividade:
X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0