MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Paulo André Moreira
Matemática Financeira, como a maioria dos ramos do
conhecimento humano, necessita de uma série de
conhecimentos básicos e pressupostos, sobre os quais se
monta um universo de conceitos e aplicações.
Os esquemas de cálculos aprendidos no Ensino Fundamental
serão necessários durante o curso e depois dele. O processo
de construção do conhecimento é universal: a partir de um
alicerce, edifica-se toda a estrutura conceitual que gera
aplicações proveitosas.
Descontos simples
 Buscamos, também, o desenvolvimento de competência para
caracterizar como descontos vários tipos de operações financeiras, na
maioria das vezes, rotuladas como financiamentos. É importante
lembrar que o desconto é denominado simples porque é calculado
segundo o critério de juros simples.
 A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia a dia
da maioria das empresas, nas quais a operação de desconto é
responsável pelo capital de giro, sem o qual a empresa não
conseguiria subsistir. A aplicação desse conceito, denominado
operação de desconto, tem posição de destaque na estrutura das
empresas modernas, que, geralmente, possuem um departamento
dedicado apenas a essa área, em que a aplicação passou a ser
denominada de operação de desconto.
Descontos na Prática
 Suponhamos quando uma empresa vende um produto a prazo e
emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador,
na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de
dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto na duplicata.
 Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o
direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido
antecipadamente.
 Por exemplo, vamos considerar que numa certa venda, uma empresa
emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 reais para vencimento dentro de
2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um
banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 reais em
troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um
desconto de R$ 200,00 reais.
Conceitos
 Desconto (D) - É o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como
consequência da antecipação da sua data de pagamento. Pagando a
dívida antes do vencimento, há um desconto.
 Prazo de antecipação (n) - É a medida do tempo que vai da data de
pagamento efetivo até a data de vencimento. Ficar atento: o prazo do
desconto é quanto tempo falta para vencer, a partir da data de
pagamento antecipado.
 Valor descontado ou líquido (VD) - É o valor efetivamente pago ou
recebido após o abatimento do desconto. O valor descontado com o
valor do desconto é o abatimento. É importante também diferenciar esse
desconto daquele que pedimos toda vez que compramos algo à vista.
 Taxa de desconto - É a taxa de juros comum das aplicações, agora
utilizada nas operações de desconto. Os descontos podem ser calculados
de acordo com dois critérios distintos: um deles é o cálculo tomando-se por
base o valor atual da dívida na data do seu pagamento antecipado, e o
outro é baseado em seu valor nominal.
Descontos simples racional ou “por dentro”.
 A argumentação desse critério de desconto calculado, tem por
base o valor atual da dívida na data de pagamento antecipado, é
consistente, alegando que o prazo não transcorreu todo e,
portanto, não podemos nos basear no valor “cheio” da dívida
para o cálculo do desconto.
 Essa denominação “por dentro” decorre do fato de o desconto ser
calculado em função do valor atual.
 Definição – É o desconto simples é calculado como o juro simples
do valor atual da dívida na data da antecipação, pelo prazo de
antecipação da data de pagamento, ou seja, o desconto é o juro
que seria obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de
pagamento antecipado até a data do vencimento original, à taxa
de desconto.
Fórmulas
 Desconto
Onde: A - é o valor atual da dívida na data do seu pagamento antecipado, i é
a taxa unitária de desconto. n é o tempo que falta para o vencimento, contado
a partir da data de pagamento.
 Logo: Substituindo (A) pela divida temos: Desconto Racional
 Valor descontado racional ou valor líquido racional
O valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e o desconto
racional. Portanto, pela substituição de fórmulas:
 IMPORTANTE: O valor descontado, ou valor líquido, é o valor
efetivamente pago ou recebido pela dívida, depois de abatido
o desconto.
Aplicações
 Calcule o desconto simples racional de um título com valor nominal de R$
1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4%
ao mês.
Dados: N = 1.000; n = 3 meses; i = 4/100 = 0,04
Usamos a fórmula do desconto simples racional:
 Cálculo Algébrico:1000 x 4 x 3 ÷ 100 ÷ (4 x 3 ÷ 100 + 1) =
Aplicações
 Determine o valor descontado racional de um título com valor nominal de
R$ 1.000,00, sabendo que sua antecipação foi de dois meses e que a taxa
utilizada nessa operação foi de 5% ao mês.
Dados: N = 1.000; n = 2 meses; i = 5/100 = 0,05
Usamos a fórmula do valor descontado racional:
 Cálculo Algébrico:1000 ÷ (1 + (0,05 x 2))=
Descontos simples racional ou “por fora”.
 O objetivo deste tópico é identificar as operações de desconto
simples comercial. A argumentação desse critério de desconto
calculado, tem por base o valor nominal da dívida, é consistente,
alegando que o valor combinado para a dívida foi o nominal e,
portanto, devemos nos basear no valor “cheio” da dívida para o
cálculo do desconto.
 Essa denominação “por fora” decorre do fato de o desconto ser
calculado em função do valor nominal.
 Definição – É o desconto simples é calculado como o juro simples
do valor nominal da dívida na data da antecipação, pelo prazo
de antecipação da data de pagamento, ou seja, Em síntese,
percebemos que o desconto comercial ou “por fora” tem sua base
de cálculo no valor nominal da dívida, sendo o mais aplicado na
área financeira das empresas.
Valor atual (A) e Valor nominal (N)
 Definimos o atual como um valor da dívida em uma data antes do
vencimento, e o nominal, como seu valor na própria data de
vencimento.
 Reforçando os conceitos, podemos afirmar que o valor nominal de
uma dívida é o seu valor na data de vencimento, o valor atual é o
seu valor antes da data de vencimento. O valor nominal é o
montante de cada um dos valores atuais da dívida.
Fórmulas
 Desconto Comercial ou “por fora” Considerando que o desconto
comercial é o juro simples do valor nominal pelo prazo de
antecipação, sua fórmula é:
Onde: d- é desconto comercial, N - é o valor nominal da dívida, i é a
taxa de desconto comercial. n é o prazo de antecipação
 Logo: Substituindo (d) pela divida temos:
 Valor descontado racional ou valor líquido racional
O valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e o
desconto racional. Portanto, pela substituição de fórmulas:
 Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Aplicações
 Calcule o desconto simples comercial de um título de valor nominal R$
1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4%
ao mês.
Dados: N = 1.000; n = 3 meses; i = 4/100 = 0,04
Usamos a fórmula do desconto simples racional:
 Cálculo Algébrico:1000 x 0,04 x 3 =
o desconto simples comercial será de R$ 120,00.
Aplicações
 Determine o valor descontado comercial de um título com valor nominal
de R$ 1.000,00, sabendo que sua antecipação foi de dois meses e que a
taxa utilizada nessa operação foi de 5% ao mês.
Dados: N = 1.000; n = 3 meses; i = 5/100 = 0,05
O valor descontado racional simples possui fórmula própria::
 Cálculo Algébrico: 0,05 x 2 - 1 = x 1.000 =
Desconto simples bancário
 O sistema bancário, por ser uma aplicação prática da teoria
financeira, leva em consideração parâmetros próprios que, na
maioria das vezes, não são destacados com a devida ênfase pela
teoria. Podemos citar o caso específico da taxa administrativa,
cobrada pelos bancos no desconto bancário, para remunerar sua
estrutura colocada à disposição desse tipo de operação.
 Definição– O desconto bancário é calculado como o desconto
simples comercial, acrescido de uma porcentagem do valor
nominal, como taxa administrativa. Essa taxa representa, para as
instituições que praticam esse tipo de desconto, uma remuneração
ou um custeio da estrutura colocada a serviço das operações de
desconto. Essa cobrança aparece sob as mais diversas roupagens,
sendo uma delas atualmente denominada, por algumas
instituições, Taxa de Abertura de Crédito (TAC).
Fórmulas
 Importante - A taxa administrativa é um percentual bruto, e não uma taxa de
juros; ao montarmos a fórmula de cálculo, na qual ela será representada por h,
devemos dividi-la por 100, para trabalharmos com sua forma unitária. Esse
procedimento facilita os cálculos.
 Desconto simples bancário - De acordo com o conceito, teremos:
Substituindo (d) desconto comercial na fórmula temos:
 Valor descontado bancário (valor líquido bancário)
O valor descontado bancário será a diferença entre o valor nominal e o
desconto bancário. Portanto, pela substituição de fórmulas:
De acordo com o conceito, temos: Vdb = N – db e, portanto: 
Fórmulas
 Em síntese, vimos que o desconto bancário surge da adição da taxa
administrativa, como porcentagem do valor nominal, ao desconto comercial. O
valor da taxa administrativa pode variar de uma instituição financeira para outra,
e, mesmo dentro da mesma instituição, variar de um cliente para outro. Essa taxa
possui uma estrutura técnica apoiada em uma política de relacionamento dos
bancos e financeira. Seu valor é estabelecido de acordo com a reciprocidade
praticada pelos clientes, ou seja, o cliente que tem mais negócios com o banco
paga menor taxa administrativa.
 Importante - A taxa administrativa deve ser dividida por 100, antes de ser
substituída na fórmula.
Aplicações
 Calcule o desconto simples bancário de um título no valor nominal de R$
1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4%
ao mês, sabendo que a financeira cobrou 1% de taxa administrativa.
 Dados: N = 1.000; n = 3 meses; i = 4/100 = 0,04; h= 1/100=0,01
Usamos a fórmula do desconto bancário simples:
 Cálculo Algébrico:1000 x ((0,04 x 3) + 0,01) =
Aplicações
 Determine o valor descontado bancário de um título com valor nominal de
R$ 1.000,00, sabendo que sua antecipação foi de dois meses; a taxa
utilizada nessa operação foi de 5% ao mês, e a administrativa, de 1%.
Dados: N = 1.000; n = 2 meses; i = 5/100 = 0,05; h= 1/100=0,01
O valor descontado bancário simples possui fórmula própria:
 Cálculo Algébrico: 0,05 x 2 + 0,01 = x 1.000 =
Taxa Efetiva na Operação de Desconto
 As empresas, em geral, dão prazos a seus clientes para o
pagamento de suas compras. Precisando de capital, essas
empresas vendem seus títulos de cobrança aos bancos, com
operações de desconto.
 As operações de desconto de títulos utilizadas para financiar o
capital de giro das empresas representam investimentos para os
bancos. Como as instituições envolvidas, empresas e bancos,
investem valores diferentes em datas diferentes, a taxa efetiva
remunera o dinheiro aplicado pelo banco, que é diferente da taxa
de desconto paga pela empresa. O reconhecimento dessa
diferença é um fator importante para fundamentar sua análise das
operações financeiras envolvendo instituições de crédito.
Taxa Efetiva na Operação de Desconto
 O objetivo é identificar e calcular as taxas de juros às quais os
capitais estão efetivamente aplicados, nas operações de desconto
comercial ou bancário.
 Denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os
valores descontados (líquidos),comercial ou bancário, para
obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no prazo de
antecipação.
 Essa taxa indica a remuneração do valor aplicado efetivamente 
na operação de desconto por bancos e financeiras. É a taxa que 
o banco ou a financeira ganham na operação de desconto que 
praticam junto às empresas em geral. Representaremos essa taxa 
por if.
Fórmulas
 A fórmula dessa taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição:
 N = Vd . (1 + if . n)
 O valor nominal é o montante de uma aplicação em que o valor descontado ou 
líquido é o principal, o prazo é o que falta para o vencimento e a taxa de juros é 
a efetiva. A partir dessa definição, podemos chegar às seguintes fórmulas:
 As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas pela 
troca dos parâmetros das duas fórmulas anteriores: taxa efetiva baseada apenas 
na taxa de desconto e no prazo de antecipação.
Fórmulas
 A taxa efetiva baseada apenas na taxa de desconto e no prazo de
antecipação.
 É importante notar que a taxa administrativa é apenas um percentual aplicado
sobre o valor nominal. Nesse caso da taxa efetiva, a administrativa é “disfarçada”
de taxa de juros, “maquiando” a taxa total aplicada na operação de desconto
bancário. Somente poderemos adicionar as duas taxas se elas se referirem à
mesma unidade de tempo.
Aplicações
 Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título com
valor nominal de R$ 1.000,00 em uma antecipação de três meses, à taxa
de desconto de 4% ao mês.
Dados: N = 1.000; n = 3 meses; i = 4/100 = 0,04
Usamos a fórmula do desconto comercial:
 Cálculo Algébrico:1000 x 3 x 0,04 =
Usamos a fórmula da taxa efetiva com desconto e prazo de antecipação:
 Calculadora algébrica: 120 ÷ ((1000 - 120) x 3) =
Obrigado !
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	Descontos simples
	Descontos na Prática
	Conceitos
	Descontos simples racional ou “por dentro”.
	Fórmulas
	Aplicações
	Aplicações
	Descontos simples racional ou “por fora”.
	Valor atual (A) e Valor nominal (N)
	Fórmulas
	Aplicações
	Aplicações
	Desconto simples bancário
	Fórmulas
	Fórmulas
	Aplicações
	Aplicações
	Taxa Efetiva na Operação de Desconto
	Taxa Efetiva na Operação de Desconto
	Fórmulas
	Fórmulas
	Aplicações
	Número do slide 25