Aula 6 - TAXA DE JUROS E DESCONTO

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Disciplina:
Matemática Financeira
Taxas de Juros
Podemos distinguir no mercado diversas formas em que as taxas de juros se
apresentam. O mais importante é a maneira de tratá-las nos cálculos financeiros.
Formas de taxas juros:
• Taxas proporcionais
• Taxas equivalentes
• Taxa Nominal
• Taxa Real
Taxa Nominal
É uma taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a
unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Quando a taxa nominal é referenciada ao ano, os períodos de capitalização podem
ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
Taxa Efetiva
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa 
de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva é sempre 
calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
A taxa efetiva de uma taxa nominal é sempre obtida no regime de juros simples.
A taxa equivalente a essa taxa efetiva é sempre maior que a taxa
nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no
regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto
maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa
nominal.
Exemplos
Calcule as taxas efetivas que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano,
com os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimestral e c) semestral.
Solução:
a) Mensal (simples e composto)
b) Trimestral (simples e composto)
c) semestral.
Taxa Real e Taxa Nominal
Essas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da 
inflação. Costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se 
eliminar o efeito da inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a 
inflação. Assim, a taxa nominal é sempre maior do que a taxa real.
Taxa Real e Taxa aparente
A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é
aquela que vigora nas operações correntes.
A taxa real é o rendimento ou o custo de uma operação, seja de aplicação ou de
captação, calculado depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. A taxa
aparente embute determinada expectativa inflacionária. As taxas aparente e a real
relacionam -se da seguinte forma:
EXEMPLO
Com uma inflação anual de 12%, admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a
variação real do poder de compra de um assalariado é de?
Desconto
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, isto é, o valor definido para um título em sua data de
vencimento. Ou seja, é o próprio montante da operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente um desconto pelo
pagamento antecipado. Desta maneira, desconto (𝑫𝒓) pode ser entendido como a diferença entre o valor
nominal (N) de um título e o seu valor atual (𝑉𝑟) apurado n períodos antes de seu vencimento:
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟
N = valor nominal (ou valor de resgate, ou montante)
𝑉𝑟 = o valor descontado (ou valor atual) na data da operação.
O que é o valor descontado ?
O valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela
diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜
Vr = N - Dr
As operações de desconto podem ser realizadas sob o regime de juros simples e sob o regime de
juros compostos:
• O uso do desconto simples é mais adotado em operações de curto prazo;
• O uso do desconto composto é mais adotado para as operações de longo prazo.
Tanto no desconto simples como no desconto composto existe dois tipos de desconto:
(a) desconto "por dentro" (ou racional)
(b) desconto "por fora“ (ou bancário, ou comercial)
Desconto simples
São identificados dois tipos de desconto simples: 
✓Desconto Racional ("por dentro")
✓Desconto Bancário ("por fora”)
Desconto Racional "por dentro" 
O desconto racional incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples e é dado por:
𝑫𝒓 = 𝑪 𝑥 𝒊 𝑥 𝒏
𝑫𝒓 = valor do desconto racional
𝑪 = capital (ou valor atual) 
𝒊 = taxa de juros
𝒏 = o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento)
Vimos que:
• N é o valor nominal (valor de resgate ou montante)
• Valor atualizado é valor descontado ou atual ou capital
Então pode-se definir o desconto racional e o valor descontado respectivamente:
𝑫𝒓 =
𝑵 𝒙 𝒊 𝒙 𝒏
𝟏+𝒊 𝒙 𝒏
e
𝑽𝒓 =
𝑵
𝟏+𝒊 𝒙 𝒏
Importante: é possível observar que desconto racional representa exatamente as
relações de juros simples.
Exemplos
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses 
antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto 
e o valor descontado desta operação.
Resposta
N = $ 4.000,00 
i = 42% a.a (3,5% a.m)
n = 3
1º Passo: calcula o Desconto:
𝐷𝑟 =
𝑁 𝑥 𝑖 𝑥 𝑛
1 + 𝑖 𝑥 𝑛
𝐷𝑟 =
4.000,00 𝑥 0,035 𝑥 3
1 + 0,035 𝑥 3
𝐷𝑟 =
420,0
1,105
= $380,00
2º Passo: Calcular o valor descontado:
𝑉𝑟 = N – Dr
𝑉𝑟 = 4.000,00 - 380,10
𝑉𝑟 = $ 3.619,90
Ou
𝑉𝑟 =
𝑁
1 + 𝑖 𝑥 𝑛
𝑉𝑟 =
4.000,00
1+0,035 𝑥 3
= $ 3.619,90
Do ponto de vista do devedor, $ 380,10 representam o valor que está deixando de pagar por saldar 
a dívida antecipadamente (3 meses antes de seu vencimento). O valor líquido do pagamento (valor 
descontado) é de$ 3.619,90.
2. Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, 
sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na data do desconto de $24.436,10.
Resposta
n = 2 meses (60 dias)
N = $ 26.000,00
Vr = $ 24.436,10
Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o 
capital liberado. Logo:
(Lembrando que: Dr = Vr x i x n → Dr = C x i x n)
i = 
26.000,00 −24.436,10
24.436,10 𝑥 2
i = 
1.536,90
48.872,20
i = 0,032 ou 3,2%
Dr = Vr x i x n
i = 
𝐷𝑟
𝑉𝑟 𝑥 𝑛
i = 
𝑁 − 𝑉𝑟
𝑉𝑟 𝑥 𝑛
Desconto bancário (ou comercial, ou
"por fora")
O desconto bancário proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
Ao contrário dos juros "por dentro", que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado
na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério "por fora" apura os juros sobre o montante,
indicando custos adicionais ao tomador de recursos.
A modalidade de desconto "por fora" é muito adotada pelo mercado, principalmente em operações
de crédito bancário e comercial a curto prazo.
O desconto bancário é dado por:
𝑫𝒇 = 𝑵 𝑥 𝒅 𝑥 𝒏
𝐷𝑓 é o desconto por fora
𝑁 é o valor nominal do título
𝑑 é taxa de desconto periódica "por fora" contratada na operação
𝑛 é o prazo de antecipação definido para o desconto
O valor descontado "por fora" (𝑉𝑓), aplicando-se a definição, é obtido:
𝑽𝒇 = 𝑵 − 𝑫𝒇
Substituindo o valor de 𝐷𝑓, temos:
𝑉𝑓 = 𝑁 − 𝑁 𝑥 𝑑 𝑥 𝑛
𝑽𝒇 = 𝑵 (𝟏 − 𝒅 𝑥 𝒏)
Exemplos
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está 
sendo liquidado antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto 
adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Resposta
N = $ 4.000,00 
i = 42% a.a (3,5% a.m)
n = 3
1º Passo: calcular o Desconto:
𝐷𝑓 = 𝑁 𝑥 𝑑 𝑥 𝑛
𝐷𝑓 = 4.000,00 x 0,035 x 3
𝐷𝑓 = 420,00
Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato de o desconto "por fora" ser
aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual como é
característico das operações de desconto racional.
𝐷𝑟 = $ 380,10
𝐷𝑓 =$ 420,00
O valor do desconto "por fora" equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto
"por dentro", supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é:
Para uma taxa de 3,5% a.m. e um período de desconto de 3 meses, conforme estabelecido, tem-se:
𝐷𝑓 = 𝐷𝑟 (1 + i x n)
𝐷𝑓 = 380,10 x (1 + 0,035 x 3)
𝐷𝑓 = 380,10 x (1,105)
𝐷𝑓 = $ 420,00
2ºPasso: Calcular o valor descontado (𝑉𝑓) :
𝑉𝑓 = N (1 - d x n)
𝑉𝑓 = 4.000,00 x (1 - 0,035 x 3)
𝑉𝑓 = 4.000,00 x (0,895)
𝑉𝑓 = $ 3.580,00
2. Determinar a taxa de desconto "por fora" de um título negociado 60 dias antes de seu
vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na data do desconto de$
24.436,10.
n = 2 meses (60 dias)
N = $ 26.000,00
𝑉𝑓 = $ 24.436,10
Resposta
𝐷𝑓 = 𝑁 − 𝑉𝑓
𝐷𝑓 = 26.000,00 - 24,436,10 = $ 1.563,90
n = 2 meses (60 dias)
N = $ 26.000,00
d=?
𝐷𝑓 = N x d x n
1.563,90 = 26.000,00 x d x 2
1.563,90 = 52.000,00 X d
𝑑 =
1.563,90
52.000,00
𝑑 = 3,0% ao mês
A liquidação de um título 60 dias antes de seu
vencimento foi efetuada pela taxa mensal de
desconto "por fora" de 3,0% (d = 3,0% ao
mês).