Multiplicação de matrizes

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PLANO DE AULA 05 
 
1 Dados de Identificação 
1.1 Série/Ano/Turma: 2º ano 
1.2 Tempo da aula: 2 períodos de 50 minutos cada. 
1.5 Tema da aula: Matrizes 
 
2 Conteúdos da aula 
- Multiplicação de matrizes. 
 
3 Objetivo(s) da aula 
- Compreender o conceito da multiplicação de matrizes e operá-la, por meio de exercícios. 
 
4 Desenvolvimento da aula 
– Multiplicação de matrizes 
Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛e 𝐵 =
(𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑝, o produto de A por B é a matriz 𝐶 =
(𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑝, 
na qual cada elemento de 𝑐𝑖𝑗 é a soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo 
correspondente elemento da coluna j de B. 
Note que o produto das matrizes A e B, indicado por 𝐴. 𝐵, só é definido se o número de colunas 
de A for igual ao número de linhas de B, e esse produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e 
o mesmo número de colunas da matriz B. 
Exemplos: 
(−2 6). (
−2
6
) = ((−2). (−2) + 6.6) = (40). 
(
2 1 1
1 2 3
) . (
3 1
1 2
2 1
) = (
2.3 + 1.1 + 1.2 = 9 2.1 + 1.2 + 1.1 = 5
1.3 + 2.1 + 3.2 = 11 1.1 + 2.2 + 3.1 = 8
) = (
9 5
11 8
). 
(
1 −2
3 4
) . (
−2 3
−1 0
 
2 −1
0 −4
)
= (
1. (−2) + (−2). (−1) = 0 1.3 + (−2). 0 = 3
3. (−2) + 4. (−1) = −10 3.3 + 4.0 = 9
 
1.2 + (−2). 0 = 2 1. (−1) + (−2). (−4) = 7
3.2 + 4.0 = 6 3. (−1) + 4. (−4) = −19
)
= (
0 3
−10 9
 
2 7
6 −19
) 
 
Exercício resolvido juntamente com os alunos 
Dadas as matrizes 𝐴 = ( 2 3 1
−1 0 2
) e 𝐵 = (
1 −2
0 5
4 1
), vamos determinar, se existirem, A.B e B.A. 
Resolução: 
Como a é do tipo 2 X 3 e B é do tipo 3 X 2, segue que 𝐶 = 𝐴. 𝐵 existe e é do tipo 2 X 2. 
Escrevendo os elementos de C em sua forma genérica, temos 𝐶 = (
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
). 
Da definição temos: 
𝑐11 = 2.1 + 3.0 + 1.4 = 6. 
𝑐12 = 2. (−2) + 3.5 + 1.1 = 12. 
𝑐21 = (−1). 1 + 0.0 + 2.4 = 7. 
𝑐22 = (−1). (−2) + 0.5 + 2.1 = 4. 
Logo, 𝐶 = (
6 12
7 4
) 
Como B é do tipo 3 X 2 e A é do tipo 2 X 3, segue que 𝐷 = 𝐵. 𝐴 existe e é do tipo 3 X 3. 
Assim, 𝐷 = (
1 −2
0 5
4 1
) . (
2 3 1
−1 0 2
) = (
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑑21 𝑑22 𝑑23
𝑑31 𝑑32 𝑑33
) 
𝑑11 = 1.2 + (−2). (−1) = 4. 
𝑑12 = 1.3 + (−2). 0 = 3. 
𝑑13 = 1.1 + (−2). 2 = −3. 
𝑑21 = 0.2 + 5. (−1) = −5. 
𝑑22 = 0.3 + 5.0 = 0. 
𝑑23 = 0.1 + 5.2 = 10. 
𝑑31 = 4.2 + 1. (−1) = 7. 
𝑑32 = 4.3 + 1.0 = 12. 
𝑑33 = 4.1 + 1.2 = 6. 
Logo, 𝐷 = (
4 3 −3
−5 0 10
7 12 6
) 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
Sejam as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades para a multiplicação de matrizes: 
I. Associativa: (A. B). C = A. (B. C) 
II. Distributiva à direita em relação à adição: (𝐴 + 𝐵). 𝐶 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵. 𝐶 
III. Distributiva à direita em relação à adição𝐶. (𝐴 + 𝐵) = 𝐶. 𝐴 + 𝐶. 𝐵 
Ao estudar as propriedades da multiplicação de matrizes, é importante observar que: 
• A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, em geral, 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴. 
• Não vale a propriedade do anulamento do produto na multiplicação de matrizes. 
A conhecida propriedade 𝑎. 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0, válida para a e b reais, não é válida para 
matrizes. Isso significa que é possível que o produto entre duas matrizes seja a matriz nula sem que 
nenhuma das matrizes seja nula. 
Observe: 
𝐴 = (
1 1
−1 −1
) 𝑒 𝐵 = (
−1 1
1 −1
) ⇒ 𝐴. 𝐵 = (
1 1
−1 −1
) . (
−1 1
1 −1
) = (
0 0
0 0
) 
 
5 Referências Bibliográficas 
BARROSO, J.M. Conexões com a matemática. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2010. 
 
IEZZI, G,; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, R.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. D. Matemática: ciências e 
aplicações: ensino médio. 9.ed. São Paulo: Saraiva, 2016.