Funções Logarítmica e Exponencial 2 melhor

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Funções Logarítmica e Exponencial
FUNÇÕES INVERSAS
Em linguagem comum, o termo " inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.       
A idéia de resolver uma equação y = f (x) para x com uma função de y, digamos x = g(y), é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a equação
                y = f (x)
pode ser resolvida para x como uma função de y:
              x = g (y)
A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular x se y for conhecido        
	
	
O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções f e g,  quando uma função y=f(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo, consideremos as funções    e discutidas acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que
A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x)) é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y)) é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminologia específica para elas.      
	Se as funções f e g satisfazem as duas condições 
g(f(x)) = x para todo x no domínio de f
f(g(y)) = y para todo y no domínio de g
então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f.   
Exemplo
Confirme cada um dos seguintes itens.
(a)   A inversa de          
(b)   A inversa de   
Solução (a).
Solução (b).
OBSERVAÇÃO. O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente para você, uma vez que as operações de multiplicar por 2 e multiplicar por em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica.
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· DOMÍNIO E IMAGEM DAS FUNÇÕES INVERSAS
A equação seguinte
	    (f(x)) = x para todo x no domínio de f 
  f ((x)) = x para todo x no domínio de 
implica em certas relações entre os domínios e as imagens de f e . Por exemplo, na primeira equação a quantidade f (x) é uma entrada de, assim pontos nas imagens de f estão no domínio de; e na segunda equação, a quantidade(x)é uma entrada de f, sendo que pontos na imagem de estão no domínio de f. Tudo isso sugere as seguintes relações:
	 domínio de = imagem de f 
 imagem de = domínio de f  
Uma vez que f e g satisfazem duas condições: 
· g(f(x)) = x para todo x no domínio de f
· f(g(y)) = y para todo y no domínio de g
concluímos que elas são inversas. Assim temos o seguinte resultado.
	   Se uma equação  y = f (x) pode ser resolvida para x como uma função de y, então f tem uma inversa e a equação resultante é x = (y)
 
· UM MÉTODO PARA ACHAR INVERSAS 
Exemplo
Ache a inversa de f (x) = 
Solução. Podemos achar uma fórmula para (y) resolvendo a equação
y = 
para x como uma função de y. Os cálculos são:
 da qual tem-se que 
Até aqui, fomos bem-sucedidos em obter uma fórmula para ; contudo não estamos realmente completos, uma vez que não há nenhuma garantia de que o domínio natural associado é o domínio completo para .
Para determinar se isto é o que acontece, examinaremos a imagem de y = f (x) = . A imagem consiste de todos os y no intervalo , assim este intervalo é também o domínio de (y); logo a inversa de f é dada  pela fórmula
OBSERVAÇÃO. Quando uma fórmula para for obtida resolvendo-se a equação y = f(x) para x como uma função de y, a fórmula resultante tem y como a variável independente. Se for preferível ter x como a variável independente para , então há duas formas: você pode resolver y = f(x) para x com uma função de y, e então substituir y por x na fórmula final para , ou então você pode trocar x e y na equação original  e resolver a equação x = f(y) para y em termos de x. Neste caso a equação final será y = (x).
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· GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS         
O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e . Com esse propósito, será desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, o que significa estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = (x).
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à afirmativa que a = (b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = (x). Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um ponto no gráfico de . Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de produz um ponto no gráfico de  f . Contudo, o efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a reta y = x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y = (x) são um do outro em relação a esta reta (figura 2). Em resumo, temos o seguinte resultado.
	  Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = (x) são reflexões um do outro em relação a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta.     
              
 
· FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES TÊM INVERSAS        
Se o gráfico da função f  for sempre crescente ou sempre decrescente sobre o domínio de f, então este gráfico pode ser cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal e, conseqüentemente, a função f deve ter uma inversa. Uma forma de dizer se o gráfico de uma função é crescente ou decrescente em um intervalo é pelo exame das inclinações de suas retas tangentes. O gráfico de f deve ser crescente em qualquer intervalo, onde f'(x)>0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer intervalo onde f'(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação negativa). Essas observações sugerem o seguinte teorema.
	  Se o domínio de f  for um intervalo no qual f' (x)>0 ou no qual f'(x)<0, então a função f tem uma inversa.
 
Exemplo
O gráfico de f(x) = é sempre crescente em , uma vez que 
para todo x. Contudo, não há maneira fácil de resolver a equação y = para x em termos de y; mesmo sabendo que f tem uma inversa, não podemos produzir uma fórmula para ela.
OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade de achar uma fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é necessário que se desenvolvam formas de achar propriedades de funções, as quais não têm fórmula explícita para se trabalhar com elas.   
Funções Logarítmica e Exponencial
Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.
   
· EXPOENTES IRRACIONAIS
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por
Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como
Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de    isto é,
3,1;   3,14;   3,141;   3,1415;   3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:
Uma vez que os expoentes dostermos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.             
Tabela
	  x
	             
	3
	8,000000
	3,1
	8,574188
	3,14
	8,815241
	3,141
	8,821353
	3,1415
	8,824411
	3,14159
	8,824962
	3,141592
	8,824974
 
· A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são 
f (x) = ,         f (x) = ,      f (x) =  
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e  f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.
       
 
OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.
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· LOGARITMOS
Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    
e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,
Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y = 
 
Os valores deaproximam-se a e 
	x
	
	
	1
	2
	2,000000
	10
	1,1
	  2,593742
	100
	1,01
	  2,704814
	1000
	1,001
	  2,716924
	10.000
	1,0001
	  2,718146
	100.000
	1,00001
	  2,718268
	1.000.000
	1,000001
	  2,718280
O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites
  e    
A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como 
exp(+) = exp() exp()
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP. 
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· FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais  sugere que se b > 0 e  b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =  tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a 
    = ()
Porém, se pensarmos ()  como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir , então fica evidente que (). Assim, pode ser reescrito como
y = 
de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) =  x. Isto implica que o gráfico de x = e o de y =   são reflexões um do outro, em relação relação à reta  y = x. 
Chamaremos  de função logarítmica na base b.
Em particular, se tomarmos f (x) =  e  (x) =  , e se tivermos em mente que o domínio de  é o mesmo que a imagem de f, então obtemos          
	logb(bx)=x para todos os valores reais de x
blog x=x para x>0
Em outras palavras, a equação nos diz que as funções logb(bx) e blog x cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo 
      
 
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
  
· FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE
 Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação
yx  + y +1 = x
não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como
     y = 
Assim dizemos que xy  + y +1 = x define y implicitamente como uma função de x, sendo
     f (x) = 
Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação
     
para y em termos de x, obtemos ; assim, encontramos duas funções que estão definidas implicitamente por , isto é
             e             
Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo  .
	
	
y=
	
            y = -
Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição:
	Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação. 
    Assim, por exemplo, a equação define as funções e implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do círculo .
Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x.
Com persistência, a equação
      
por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação 
    sen(xy) = y
não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções.