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acabei de olhá-la e estou aqui 
escrevendo esse texto. Entretanto, tenho certeza que não saberei a fórmula daqui a uma semana. 
Guilherme Neves
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Por outro lado, daqui a 50 anos, se ainda estiver vivo, ainda saberei o RACIOCÍNIO do segundo 
lema de Kaplansky. 
Observe novamente a figura. 
 
• Nenhuma lâmpada acesa = 1 maneira 
 
• Uma lâmpada acesa = 6 maneiras (acender a primeira, acender a segunda, ...) 
 
• Duas lâmpadas acesas 
 
 Para resolver esse caso, vamos utilizar o raciocínio sugerido por Kaplansky e dividir em 
dois casos particulares: a lâmpada 1 está acesa ou não. 
 Se a lâmpada 1 estiver acesa, a outra lâmpada acesa pode ser L3, L4 ou L5. Logo, há 3 
maneiras de escolher se a lâmpada 1 estiver acesa. 
 Se a lâmpada 1 estiver apagada, então precisamos escolher 2 lâmpadas não 
consecutivas entre as lâmpadas {𝐿N, 𝐿J, 𝐿X, 𝐿I, 𝐿B}. Como temos 2 lâmpadas acesas (S), teremos 3 
lâmpadas apagadas N. 
__	𝑁__𝑁__𝑁__ 
Temos 4 espaços vazios e precisamos escolher 2 para colocar as lâmpadas acesas. Isso pode ser 
feito de 
𝐶XN =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 𝟔	𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂𝒔
 
• Três lâmpadas acesas 
 Se a lâmpada 1 estiver acesa, as outras 2 lâmpadas acesas só podem ser L3 e L5. 
Temos aqui apenas 1 possibilidade. 
L1
L2
L3
L4
L5
L6
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 Se a lâmpada 2 estiver apagada, as 3 lâmpadas acesas só podem ser L2, L4 e L6. 
Temos aqui apenas 1 possibilidade. 
• Quatro lâmpadas acesas = impossível 
 
Assim, o total de possibilidades é 1 + 6 + 3 + 6 + 1 + 1=18. 
Gabarito: B 
 
13. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS ORDENADOS 
Há situações em que precisamos permutar elementos com a restrição de que alguns 
permaneçam em determinada ordem (juntos ou não). 
Observe a seguinte questão: 
(ESAF 2004/MPU) 
Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, 
lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser 
dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem 
cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros 
podem ser expostos é igual a 
a) 20 
b) 30 
c) 24 
d) 120 
e) 360 
Comentário 
Se desconsiderarmos a restrição exigida pelo problema, deveremos apenas permutar os 6 
quadros. Isso pode ser feito de 
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𝑃B = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
Vamos considerar que 𝐺M − 𝐺N − 𝐺J é a ordem cronológica dos quadros de Gotuzo. 
 
Dessas 720 maneiras, os quadros de Gotuzo podem aparecer nas seguintes sequências (não 
necessariamente contiguamente, ou seja, um ao lado do outro). 
…𝐺M …𝐺N …𝐺J … 
…𝐺M …𝐺J …𝐺N … 
…𝐺N …𝐺M …𝐺J … 
…𝐺N …𝐺J …𝐺M … 
…𝐺J …𝐺M …𝐺N … 
…𝐺J …𝐺N …𝐺M … 
 
Acima eu descrevi as permutações dos 3 quadros de Gotuzo (3! = 6	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠). 
 
As 720 maneiras estão regularmente distribuídas nas 6 possibilidades de organização cronológica 
descritas acima, ou seja, em cada uma das 6 possibilidades, há 720/6 = 120 maneiras de arrumar 
os quadros. 
Como queremos os quadros de Gotuzo fiquem na ordem …𝐺M …𝐺N …𝐺J … então apenas a 
primeira possibilidade nos interessa. 
Resposta: 120 
Gabarito: D 
 
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De uma maneira geral, se vamos permutar 𝑛 elementos dos quais 𝑘 deles devem estar em uma 
determinada ordem, o total de permutações é 
𝑃K
𝑘! 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra ARREPIOU em que as vogais figuram em ordem 
alfabética, mas não necessariamente juntas? 
Comentário 
O total de permutações sem a restrição de que as vogais são ordenadas é: 
𝑃AN =
8!
2! 
Entretanto, há 5 elementos que devem obedecer determinada ordem. Assim, o número de 
permutações pedido é 
𝑃AN
5! =
8!
2! 5! =
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
2 ∙ 5! = 168 
 
 
 
 
 
(SUGEP 2019/UFRPE – Assistente Administrativo) 
Cinco corredores competiram em uma corrida: Fred, George, Heloísa, Lúcia e Ronaldo. É 
conhecido que: 
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- Fred perdeu para George. 
- Lúcia ganhou de Heloísa. 
- Lúcia perdeu de George. 
- George ganhou de Ronaldo. 
Supondo que não houve empates, quantas possíveis ordens de finalização poderiam ter 
acontecido, dadas apenas essas informações? 
a) 1 
b) 6 
c) 12 
d) 18 
e) 24 
Comentário 
George ganhou de Fred, Lúcia e Ronaldo. Como Lúcia ganhou de Heloísa, então George 
também ganhou de Heloísa (já que George ganhou de Lúcia). Logo, George ocupa o primeiro 
lugar. 
Assim, devemos apenas nos preocupar nas posições 2, 3, 4 e 5. 
Essas quatro posições serão ocupadas por Fred, Heloísa, Lúcia e Ronaldo. Portanto, devemos 
permutar essas 4 pessoas. 
O único detalhe é que Lúcia ganhou de Heloísa, ou seja, elas devem ficar nessa ordem na fila 
(não necessariamente juntas). 
Dessa forma, queremos permutar as 4 pessoas levando em consideração que há duas delas que 
devem obedecer determinada ordem. Em casos como esse, devemos dividir o fatorial do total de 
pessoas pelo fatorial da quantidade de elementos que devem ficar em ordem. 
O total de permutações possíveis é 
4!
2! =
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 = 12 
Gabarito: C 
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(FCC 2014/TRF 3ª Região) 
Álvaro, Benedito, Cléber e outros dois amigos participam de uma corrida. Se apenas os cinco 
participaram dessa corrida, o número de possibilidades diferentes de maneira que Álvaro 
chegue antes que Benedito e este, por sua vez, chegue antes de Cléber é igual a 
a) 20. 
b) 24. 
c) 18 
d) 22. 
e) 26. 
Comentário 
São cinco amigos. Queremos permutá-los de tal forma que Álvaro fique antes de Benedito e este 
fique antes de Cléber. Assim, dos cinco amigos, três devem ficar em uma determinada ordem. 
Para calcular o total de possibilidades, devemos dividir o fatorial do total de pessoas pelo fatorial 
da quantidade de elementos que devem ficar em ordem. 
Logo, podemos fazer isso de 
5!
3! =
5 × 4 × 3!
3! = 20	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Gabarito: A 
 
(FGV 2009/SAD-PE) 
Dada uma palavra, chama-se anagrama a qualquer ordenação que se pode dar às letras dessa 
palavra, utilizando-se todas as letras, ainda que essa ordenação não tenha sentido. 
O número de anagramas da palavra FRASCO que possuem as consoantes em ordem alfabética, 
não importando se essas consoantes estão juntas ou não, é: 
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a) 6 
b) 10 
c) 25 
d) 30 
e) 36 
Comentário 
Queremos permutar 6 letras diferentes e queremos que 4 delas (as consoantes) fiquem em 
ordem alfabética não necessariamente juntas. Essa é justamente a situação-problema que 
aprendemos a resolver. 
Devemos dividir o fatorial do total de objetos pelo fatorial da quantidade de objetos que devem 
ficar em ordem. 
6!
4! =
6 ∙ 5 ∙ 4!
4! = 30 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
SOLUÇÕES INTEIRAS DE EQUAÇÕES 
 
Observe a seguinte questão. 
(CESPE 2018/SEFAZ-RS) 
Se 7 kg de feijão forem distribuídos para até quatro famílias, de modo que cada uma delas 
receba um número inteiro de

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