Aula 05

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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 05 
Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 2 
Conteúdo 
 
5. Aplicações em Álgebra – Parte 2 ....................................................................................... 2 
5.6. Polinômios ........................................................................................................................... 2 
5.6.1. Equações de Terceiro Grau ...................................................................................... 2 
5.6.2. Teorema de Bolzano ................................................................................................... 4 
5.6.3. Teorema das Raízes Racionais ................................................................................ 8 
5.6.4. Transformações .......................................................................................................... 11 
5.6.5. Derivada e Integral ................................................................................................... 13 
5.7. Memorize para a prova ................................................................................................ 15 
5.8. Exercícios de Fixação .................................................................................................... 17 
5.9. Gabarito ............................................................................................................................. 24 
5.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................ 25 
Bibliografia ..................................................................................................................................... 56 
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5. Aplicações em Álgebra – Parte 2 
Chegamos a nossa aula 5 (na verdade, aula 6, se considerarmos a aula 0).
Ufa! Espero que você esteja gostando do curso. Estamos procurando explicar
tudo detalhadamente, para não deixar dúvidas. Contudo, se ainda assim, as
dúvidas persistirem, você pode postar suas dúvidas no fórum do curso, sem
traumas. Risos.
Bom, a aula de hoje é uma continuação da aula passada. Veremos mais um
pouco de teoria e mais exercícios sobre equações, que, como foi dito
anteriormente, acabam fazendo parte da maioria das questões de Raciocínio
Lógico.
5.6. Polinômios 
 
5.6.1. Equações de Terceiro Grau 
 
Uma equação de terceiro grau é representada da seguinte maneira:
 
ax3 + bx2 + cx + d = 0; a,b ; c e d ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Exemplo: 4x3 + 2x2 + 3x + 5 = 0; a = 4, b = 2, c = 3 e d = 5.
Relações de Girard para a equação de terceiro grau:
Considere que as raízes da equação são: r1, r2 e r3.
b
a
= – (r1 + r2 + r3) ⇒ menos a soma das raízes
c
a
= r1.r2 + r1.r3 + r2.r3
d
a
= – r1.r2.r3 ⇒ menos o produto das raízes
Exemplo: Se r1, r2 e r3 são as raízes da equação 2x3 – 7x2 + 6x – 8 = 0,
determine o valor de
1 2 3
1 1 1
r r r
+ + .
Equação de terceiro grau: 2x3 – 7x2 + 6x – 8 = 0
a = 2
b = –7
c = 6
d = –8
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Das relações de Girard, temos:
b
a
=
7
2
−
= – (r1 + r2 + r3) ⇒
7
2
= r1 + r2 + r3 (I)
c
a
= r1.r2 + r1.r3 + r2.r3 ⇒
6
2
= 3 = r1.r2 + r1.r3 + r2.r3 (II)
d
a
= – r1.r2.r3 ⇒
8
2
−
= – 4 = – r1.r2.r3 ⇒ 4 = r1.r2.r3 (III)
Vai, pode perguntar. Sei que você está com a pulga atrás da orelha. Você deve
estar pensando: “Tudo bem professor, as relações de Girard são muito bonitas,
etc, etc. Mas, o que essas relações têm a ver com este exemplo? Você verá.
Ou melhor, como diria a minha avó, quem viver verá.
Se desenvolvermos o valor a ser calculado
1 2 3
1 1 1
r r r
+ + , o mínimo múltiplo
comum dos denominadores r1, r2 e r3 é r1.r2.r3.
Portanto, teremos:
2 3 1 3 2 3 1 3 11 2
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3
. . . . ..1 1 1 1 1 1
. . .
. . . . .
r r r r r r r r r rr r
r r r r r r r r r r r r r r r
+ +
+ + = + + =
Repare que o numerador da expressão acima corresponde a
c
a
(II) e o
denominador corresponde a
d
a
−
(III), que são relações de Girard para uma
equação de terceiro. Viu a utilidade das relações de Girard?.
Substituindo estes valores na expressão:
2 3 1 3 1
1 2 3
. . . 3
. . 4
r r r r r r
r r r
+ +
=
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.2. Teorema de Bolzano 
 
Matemática sem teorema não é matemática. Risos. Então, vamos aprender o
Teorema de Bolzano.
Considere f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e seja ]a; b[
um intervalo aberto, ou seja, um intervalo de números entre a e b, excluindo a
e b.
A representação ]....[ é justamente para dizer o intervalo é aberto.
De acordo com o Teorema de Bolzano: 
 
1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de 
raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. 
 
2) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar 
de raízes reais no intervalo aberto ]a; b[. 
Não entendeu. Veja os gráficos abaixo:
 
Repare que f(a) > (b) > 0, ou seja, f(a) e f(b) têm o mesmo sinal.
f(a)
f(b)
a b
f(x)
Relações de Girard para a equação de terceiro grau:
Considere que as raízes da equação são: r1, r2 e r3.
b
a
= – (r1 + r2 + r3) ⇒ menos a soma das raízes
c
a
= r1.r2 + r1.r3 + r2.r3
d
a
= – r1.r2.r3 ⇒ menos o produto das raízes
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Agora, conte o número de raízes de f(x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é,
conte as vezes que f(x) = 0, entre a e b.
Contou? É isso mesmo: Duas raízes. Um número par de raízes, conforme
previsto no teorema.
 
Repare que f(a) > (b) < 0, ou (a) e f(b) têm sinais contrários.
Agora, conte o nú o de raízes x) no intervalo aberto ]a; b[, isto é,
conte as vezes que = 0, entre
Contou? É isso mesmo: Três raíz m número ímpar de raízes, conforme
previsto no teorema.
Exemplo: Quantas raízes reais a equação x3 + 2x2 – x + 5 = 0 pode
apresentar no intervalo ]0; 1[?
Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de
raízes possíveis é 3.
Vamos calcular, agora, f(0) e f(1):
f(x) = x3 + 2x2 – x + 5
f(0) = 03 + 2.02 – 0 + 5 = 5
f(1) = 13 + 2.12 – 1 + 5 = 1 + 2 – 1 + 5 = 7
Como f(0) e f(1) são positivos (possuem o mesmo sinal), então, pelo Teorema
de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é par ou é zero.
Portanto, f(x) pode ter duas raízes (tendo em vista que o número máximo de
raízes é 3) ou nenhuma raiz no intervalo ]0; 1[.
f(a)
f(b)
a
b
f(x)
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Exemplo: Quantas raízes reais a equação x3 – 2x2 – x + 5 = 0 pode
apresentar no intervalo ]-2; 1[?
Primeiramente observe que a equação possui grau 3. Portanto, o número de
raízes possíveis é 3.
Vamos calcular, agora, f(-2) e f(1):
f(x) = x3 – 2x2 – x + 5
f(-2) = (-2)3 – 2.(2)2 – 2 + 5 = – 8 – 2.4 – 2 + 5 = – 8 – 8 – 2 + 5 = – 13
f(1) = 13 – 2.12 – 1 + 5 = 1 – 2 – 1 + 5 = 3
Como f(-2) é negativo e f(1) é positivo (possuem sinais contrários), então,
pelo Teorema de Bolzano, o número de raízes reais possíveis entre 0 e 1 é
ímpar.
Portanto, f(x) pode ter três raízes ou uma raiz (tendo em vista que o número
máximode raízes é 3) no intervalo ] –2; 1[.
Exemplo: Determine t de modo que a equação
x5 – 2x4 + 3x3 – 5x2 + x + (t – 3) = 0, de modo que a equação tenha, pelo
menos, uma raiz real entre 0 e 2.
Pelo Teorema de Bolzano, se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um
número ímpar de raízes reais no intervalo ]a; b[.
Portanto, no caso concreto do exemplo, f(0) e f(2) devem ter sinais contrários
para que f(x) tenha um número ímpar de raízes no intervalo ]0; 2[.
f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 5x2 + x + (t – 3)
f(0) = 05 – 2.04 + 3.03 – 5.02 + 0 + (t – 3) = t – 3
f(2) = 25 – 2.24 + 3.23 – 5.22 + 2 + (t – 3) ⇒
⇒ f(2) = 32 – 2.16 + 3.8 – 5.4 + 2 + (t – 3) ⇒
⇒ f(2) = 32 – 32 + 24 – 20 + 2 + t – 3 ⇒
⇒ f(2) = 3 + t = t + 3
Bom, agora sabemos que f(0) e f(2) devem ter sinais contrários. Para que isso
aconteça, podemos utilizar a multiplicação. Não entendeu? Quando
multiplicamos dois números com sinais contrários o resultado é sempre menor
que zero, certo? Veja:
5 x (-4) = -20
(-3) x 2 = -6
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Portanto, para resolver a questão, podemos adotar exatamente esta
propriedade: para que f(0) e f(2) tenham sinais contrários, a multiplicação de
f(0) por f(2) deve ser menor que zero.
f(0).f(2) < 0 ⇒ (t – 3).(t + 3) < 0 ⇒ t2 – 32 (*) < 0 ⇒ t2 – 9 < 0 ⇒
(*) Lembre que: a2 – b2 = (a + b).(a – b)
Vamos achar as raízes de t2 – 9:
t2 – 9 = 0 ⇒ t2 = 9 ⇒ t = 9± ⇒ t = 3±
Como a equação é t2 – 9 = 0 e o valor de a (valor do termo de t2) é maior que
zero, a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, conforme
vimos na aula passada. Vamos relembrar:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, t2 – 9 será menor que zero para - 3 < t < 3. Boa questão para cair
em prova, não?
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
x
y
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0
x1 e x2 são as raízes da equação
x2 < x < x1 ⇒ y < 0
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0
-3 3
Função Polinomial: 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
Onde:
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
De acordo com o Teorema de Bolzano: 
1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de 
raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. 
 
2) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar 
de raízes reais no intervalo ]a; b[. 
 
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5.6.3. Teorema das Raízes Racionais 
Considere uma equação polinomial do tipo:
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a2.x2 + a1.x + a0 = 0
Onde,
an é diferente de zero e os coeficientes ai são números inteiros.
Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz 
racional 
p
q
, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é 
divisor de an. 
 
Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 
1
r
, então r é divisor 
de a0. 
Relembrando: Dois números são primos entre si quando não possuem fatores
primos em comum. 
Exemplo: 
18 = 2 x 32
25 = 52
Como 18 e 25 não possuem fatores primos em comum, são chamados primos
entre si. Repare que 18 e 25 não são números primos (números que são
divididos apenas por eles mesmos e por 1), mas são primos entre si.
 
Exemplo: Quais são as raízes racionais da equação
f(x) = 2x6 – 5x5 + 4x4 – 5x3 – 10x2 + 30x – 12 = 0?
Repare que as possíveis raízes racionais da equação acima devem ter a forma
p
q
. De acordo com o teorema das raízes racionais,
p
q
, com p e q primos 
entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. 
Portanto, p deve ser divisor de -12 (a0) e q deve ser divisor de 2 (an).
Deste modo:
p pode ser: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12 e 12.
q pode ser: 1 e 2
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Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto:
q p -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -6 6 -12 12 
1 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -6 6 -12 12
2 1
2
− 1
2
-1 1 3
2
− 3
2
-2 2 -3 3 -6 6
Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos
encontrados na tabela), percebe-se que as raízes racionais seriam:
Raiz 1 =
2
1
= 2 (p = 2 e q = 1)
Raiz 2 =
1
2
 (p = 1 e q =2)
Vejamos:
f(x) = 2x6 – 5x5 + 4x4 – 5x3 – 10x2 + 30x – 12
f(2) = 2.26 – 5.25 + 4.24 – 5.23 – 10.22 + 30.2 – 12 ⇒
⇒ f(2) = 2.64 – 5.32 + 4.16 – 5.8 – 10.4 + 60 – 12 ⇒
⇒ f(2) = 128 – 160 + 64 – 40 – 40 + 60 – 12 ⇒
⇒ f(2) = 0
f(
1
2
) = 2. 
6
1
2
 
 
 
– 5.
5
1
2
 
 
 
+ 4.
4
1
2
 
 
 
– 5.
3
1
2
 
 
 
– 10.
2
1
2
 
 
 
+ 30
1
2
 
 
 
– 12 ⇒
⇒ f(
1
2
) = 2. 
6
1
2
 – 5. 
5
1
2
+ 4. 
4
1
2
– 5. 
3
1
2
– 10. 
2
1
2
+ 30. 
1
2
– 12 ⇒
⇒ f(
1
2
) = 2. 
1
64
 – 5. 
1
32
+ 4. 
1
16
– 5. 
1
8
– 10. 
1
4
+ 30. 
1
2
– 12 ⇒
⇒ f(
1
2
) =
1
32
 –
5
32
+ 
1
4
–
5
8
–
5
2
+ 15 – 12 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
4
32
+ 
1
4
–
5
8
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
1
8
+ 
1
4
–
5
8
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
1
8
–
5
8
+ 
1
4
–
5
2
+ 3 ⇒
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⇒ f(
1
2
) = –
6
8
+ 
1
4
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
3
4
+ 
1
4
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
2
4
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
1
2
–
5
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = –
6
2
+ 3 ⇒
⇒ f(
1
2
) = – 3 + 3 ⇒ f(
1
2
) = 0
Exemplo: Quais são as raízes inteiras da equação
f(x) = x3 + 3x2 – 3x – 9 = 0?
De acordo com o teorema das raízes racionais, se f(x) = 0 admite uma raiz 
inteira r = 
1
r
, então r é divisor de a0. 
a0 = –9
an = a3 = 1
Deste modo:
p pode ser: –1, 1, –3, 3, –9 e 9.
q pode ser: 1
Assim, as raízes racionais possíveis estarão dentro do seguinte conjunto:
q p -1 1 -3 3 -9 9 
1 -1 1 -3 3 -9 9
Fazendo a verificação (calculando o valor de f(x) para cada um dos elementos
encontrados na tabela), percebe-se que a raiz inteira possível seria -3 (p = -3
e q = 1). Vejamos:
f(-3) = (-3)3 + 3.(-3)2 – 3.3 – 9 ⇒
⇒ f(-3) = – 27 + 3.9 + 9 – 9 ⇒
⇒ f(-3) = – 27 + 27 + 9 – 9 ⇒
⇒ f(-3) = 0
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Há uma última observação importante em relação ao teorema das raízes
racionais: Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente 
dominante unitário (an= 1), admite uma raiz racional 
p
q
, então essa 
raiz é necessariamente inteira, pois q = 1 (q deve ser divisor de an). 
 
Exemplo: Qualquer raiz racional da equação x4 + 11x3 – 7x2 + 4x – 8 = 0 é
necessariamente inteira, pois a4 = 1. Esta raiz inteira estará no conjunto dos
divisores de a0 = -8, ou seja, poderá ser: -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8 e 8.
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.4. Transformações 
 
Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 corresponde a toda operação
com a qual se obtém uma nova equação transformada Q(y) = 0 cujas raízes
estejam relacionadas com as raízes da equação inicial ou equação primitiva por
meio da seguinte relação: y = f(x). Não entendeu? Então, vamos aos nossos
infalíveis exemplos numéricos.
Função Polinomial: 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
Onde:
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz 
racional 
p
q
, com p e q primos entre si,então p é divisor de a0 e q é 
divisor de an. 
Se f(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 
1
r
, então r é divisor de a0. 
Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente 
dominante unitário (an= 1), admite uma raiz racional 
p
q
, então essa 
raiz é necessariamente inteira, pois q = 1. 
 
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Exemplo: (TTN-1997-Esaf) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2
+ 144 = 0 é igual a 
a) 0
b) 16
c) 9
d) 49
e) 25
Suponha que:
y = x2 ⇒ y2 = x4. Substituindo na equação, teríamos:
P(x) = x4 - 25x2 + 144 = 0 ⇒
⇒Q(y) = y2 – 25y + 144 = 0 (equação transformada)
Neste exemplo, as raízes de Q(y) = 0 são iguais aos quadrados das raízes de
P(x) = 0, tendo em vista que y = x2.
Vamos resolver a equação transformada:
y2 – 25y + 144 = 0
a = 1
b = -25
c = 144
22 ( 25) ( 25) 4.1.1444 25 625 576
2 2.1 2
25 49 25 7
2 2
b b ac
y
a
y
= = ⇒
− − ± − −− ± − ± −
=
± ±
⇒ = =
y1= (25 + 7)/2 = 16
y2 = (25 – 7)/2 = 9
Como: y = x2
x12 = y1 = 16 ⇒ x12 = 16 ⇒ x1 = ± (16)1/2 ⇒ x1 = 4 ou x1 = - 4
x22 = y2 = 9 ⇒ x22 = 9 ⇒ x2 = ± (9)1/2 ⇒ x2 = 3 ou x2 = - 3
Soma das raízes da equação = 4 + (-4) + 3 + (-3) = 0 
GABARITO: A
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
Transformação de uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). 
 
Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) 
 
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5.6.5. Derivada e Integral 
 
Agora o professor ficou realmente maluco! Ensinar derivada e integral em
curso de Raciocínio Lógico! Isto é coisa de engenheiro, matemático, e carreiras
afins! Estou plenamente de acordo, ou, como diria John Lennon, “I coudn´t
agree more”.
Contudo, como diria a minha: Você está correto. Errado é quem te dá razão.
Risos. Ou seja, a Esaf, por exemplo, cobrou derivada na última prova de
Auditor-Fiscal, em uma questão de função contínua. Portanto, pode cair sim.
Então, vamos lá!
Suponha que: F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z
Se eu fosse fazer a derivada desta expressão (F´(x)), eu teria:
F´(X) = a.n.xn-1 + b.(n-1).xn-2 + c.(n-2).xn-3 + ....+ w + 0,
Ou seja, para derivar esta expressão, eu passo o expoente das variáveis “x”
dos termos para “baixo”, multiplicando o coeficiente do termo, e subtraio o
expoente em uma unidade.
Repare:
a.xn ⇒ derivada ⇒ a.n.xn-1
b.xn-1 ⇒> derivada ⇒ b.(n-1).xn-2
(...)
w.x ⇒ derivada => w.1.x1-1= w.x0 = w.1 = w
z = z ⇒ derivada ⇒ 0 (como é uma constante, a derivada é zero)
Para calcular a integral, é o inverso, ou seja, suponha que eu tenha
F´(X) = a.n xn-1 + b.(n-1)xn-2 + c.(n-2)xn-3 + .... + w + 0
Se eu fosse fazer a integral desta expressão, teria:
F(X) = axn + bxn-1 + cxn-2 + .... + wx + z
Ou seja, para integrar esta expressão, somo o expoente das variáveis “x” dos
termos em uma unidade e “retiro” este valor obtido do coeficiente, que
multiplica as variáveis “x”, por meio de uma divisão:
a.n xn-1 ⇒ integral ⇒ a.xn (somei 1 ao coeficiente de “x” e dividi a constante
“a.n” por “n”)
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b.(n-1)xn-2 ⇒ integral ⇒ b.xn-1 (somei 1 ao coeficiente de “x” e dividi a
constante “b.(n-1)” por “(n-1)”)
(...)
w = w.x0 ⇒ integral ⇒ w.x (somei 1 ao coeficiente de “x” e dividi a constante
“w” por ”1”)
0 ⇒ integral ⇒ z = constante (é um valor constante)
Exemplo: f(x) = 3.x3 + x2 – 5.x + 6
Derivada: f´(x) = 3.3.x3-1 + 1.2.x2-1 – 5.1.x1-1+ 0 = 9.x2 + 2.x – 5
Exemplo: f(x) = 12.x3 + 6.x2 – 4.x + 6
Integral: F(x) = (
12
4
).x3+1 + (
6
3
).x2+1 – (
4
2
).x1+1+ (
6
1
).x0+1+ constante ⇒
⇒ F(x) = 3.x4 + 2.x3 – 2.x2 + 6.x + constante
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z
Derivada: F´(X) = a.n.xn-1 + b.(n-1).xn-2 + c.(n-2).xn-3 + ....+ w + 0,
F´(X) = a.n xn-1 + b.(n-1)xn-2 + c.(n-2)xn-3 + .... + w + 0
Integral: F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z
 
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5.7. Memorize para a prova 
 
Equação de Terceiro Grau 
ax3 + bx2 + cx + d = 0; a,b ; c e d ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Relações de Girard para a equação de terceiro grau:
Considere que as raízes da equação são: r1, r2 e r3.
b
a
= – (r1 + r2 + r3) ⇒ menos a soma das raízes
c
a
= r1.r2 + r1.r3 + r2.r3
d
a
= – r1.r2.r3 ⇒ menos o produto das raízes
Teorema de Bolzano: 
Função Polinomial: 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
Onde:
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
1) Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de 
raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ]a; b[. 
 
2) Se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar 
de raízes reais no intervalo ]a; b[. 
Teorema das raízes racionais: 
Considere uma equação polinomial do tipo:
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a2.x2 + a1.x + a0 = 0
Onde,
an é diferente de zero e os coeficientes ai são números inteiros.
Pelo teorema das raízes racionais, se esta equação admite uma raiz 
racional 
p
q
, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é 
divisor de an. 
Além disso, se P(x) = 0 admite uma raiz inteira r = 
1
r
, então r é divisor 
de a0. 
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Se a equação f(x) = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente 
dominante unitário (an= 1), admite uma raiz racional 
p
q
, então essa 
raiz é necessariamente inteira, pois q = 1. 
 
Transformação 
Considere uma equação do tipo P(x) = 0 (equação primitiva). 
 
Q(y) = 0 (equação transformada), tal que y = f(x) 
 
F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z
Derivada: F´(X) = a.n.xn-1 + b.(n-1).xn-2 + c.(n-2).xn-3 + ....+ w + 0,
F´(X) = a.n xn-1 + b.(n-1)xn-2 + c.(n-2)xn-3 + .... + w + 0
Integral: F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z
 
 
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5.8. Exercícios de Fixação 
 
1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1
obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua
resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação
original, uma das quais é
(A) 2
(B) 2 1−
(C) – 2
(D) 3 2
(E) 3 2 2−
2.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1,
x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = −6. Nessas condições, f é dada por
(A) f(x) = x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
(B) f(x) = x3 + 4x2 –
19
2
x + 6
(C) f(x) = x4 – 8x2 + 13x – 6
(D) f(x) =
1
2
x3 + 4x2 –
19
2
x + 6
(E) f(x) =
1
2
x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração-
Maranhão-2009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo
polinômio T(x) = x – 2 é exata, então b é igual a
(A) 2(2+a)
(B) −2(1+2a)
(C) −2(2a−1)
(D) −2(a−2a)
(E) 2(1−2a)
 
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4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP-
2009-FCC)A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax3 +
bx2 + cx + d, com a, b, c, d reais.
Nas condições dadas, b é igual a
(A) − 4.
(B) − 2.
(C) 0.
(D) 2.
(E) 4.
5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-
Teresina-2009-FCC) Admitindo-se x ≠ 0, quando multiplicamos x5, x +
1
x
e
1 +
2
x
+
3
3
x
, o produto será um polinômio de grau
(A) 2.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
 
 
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6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) A função polinomial f(x) = 2x3
+ ax2 + 17x − 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles
(b,0) e (
1
b
, 0). Nessas condições, o valor de a é
(A) − 11
(B) − 9
(C) − 8
(D) 6
(E) 8
7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) O conjunto solução da
desigualdade |2x− 5| < 2 é formado por valores reais de x tais que
(A) x <
3
2
(B) x >
3
2
(C) x <
7
2
(D) x <
3
2
ou x >
7
2
(E)
3
2
< x <
7
2
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8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) O gráfico representa uma
função do tipo f(x) = ax2 + bx + c.
A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a
(A)
4
3
−
(B)
4
3
(C)
8
3
(D) 4
(E)
16
3
9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Dada a função de equação f(x)
=
2
2
4 3
x
x x
−
− + −
, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) $ 0 é
(A) 1 < x ≤ 2 ou x > 3
(B) x < −3 ou −1 < x < 2
(C) – 3 < x < − 1 ou x ≥ 2
(D) x < 1 ou 2 ≤ x < 3
(E) x ≤ 2 ou 1 < x ≤ 3
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10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Dada a função f(x) =
3
1x −
e
f(g(x)) =
6
5x −
, o resultado de g(1) é igual a
(A) – 1
(B)
1
2
(C) 2
(D)
7
2
(E) 4
11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Se f(3x + 2) = x – 1, então
f(x) é igual a
(A)
1
2
(B)
5
3
x −
(C)
3
3
x −
(D) 2x + 3
(E) – 3x + 2
12.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) Dadas as equações
E1 : |4 − 3x| = 3 − 5x
E2 : |2x2 – 1| − 3 = 0
o produto de suas raízes reais é igual a
(A)
7
16
−
(B)
7
8
(C) 1
(D)
1
2
(E)
7
4
−
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13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x20 + 3x17 – x2 – x – 1)
por (x2 – 1), então r(2) vale:
(A) −3
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) A raiz da equação 2.2x-3 + 2x = 6 é um número a, tal que
(A) 0<a<1
(B) 1<a<2
(C) 2<a<3
(D) 3<a<4
(E) 4<a<5
15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-2004-FCC) No conjunto dos
números reais a inequação 0
x b
a x
+
≥
−
tem por conjunto solução {x ∈ R / − 3 ≤
x < 4} . Os valores de a e b são, respectivamente,
(A) − 3 e − 4
(B) − 3 e 4
(C) 3 e 4
(D) 3 e − 4
(E) 3 e − 3
16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = xn + xn-1 + ... + x + 1, onde n é ímpar,
o valor de p(-1) é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
 
17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x3 – 5x2 + px + 2, é divisível por x + 2. O
valor de p é:
(A) -15
(B) -13
(C) -8
(D) 8
(E) 13
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18.(PUC-MG) Na função f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2, f(a) = f(b) = f(-1). O valor
de a + b é:
(A) 0,5
(B) 1,0
(C) 1,5
(D) 2,5
(E) 3,0
19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto
p(x).p(x) terá como raízes:
(A) a2, b2, c2
(B) a, - a, b, - b, c, -c
(C) a, b, c
(D) 2a, 2b, 2c
(E) ab, ac, bc
20.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x3 – 3x2 + 9x – 2 = 0. Então
o valor de
2 2 2
1 1 1
a b c
+ + é igual a:
(A)
69
4
(B)
48
3
−
(C)
86
3
(D)
35
4
−
(E)
59
4
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5.9. Gabarito 
1. B 
2. E 
3. B 
4. E 
5. C 
6. A 
7. E 
8. B 
9. D 
10. A 
11. B 
12. C 
13. E 
14. C 
15. C 
16. C 
17. B 
18. D 
19. C 
20. A 
 
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5.10. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 
1.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1
obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua
resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação
original, uma das quais é
(A) 2
(B) 2 1−
(C) – 2
(D) 3 2
(E) 3 2 2−
Resolução 
 
Bom, a questão já está nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja,
devemos substituir a incógnita x da equação por z – 1 (transformação):
x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0
Vamos calcular separadamente:
(z – 1)2 = (z – 1).(z – 1) = z.(z – 1) – 1.(z – 1) ⇒
⇒ (z – 1)2 = z.z + z.(-1) – 1.z – 1.(-1) ⇒
⇒ (z – 1)2= z2 – z – z + 1 = z2 – 2z + 1
Só estou fazendo as contas detalhadamente para que você possa treinar, mas,
na verdade, já estudamos que: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Portanto: (z – 1)2 = z2 – 2.z.1 + 12 = z2 – 2z + 1
Para calcular (z – 1)3 basta fazer (z – 1)2.(z – 1):
(z – 1)3= (z – 1)2.(z – 1) = (z2 – 2z + 1).(z – 1) ⇒
⇒ (z – 1)3 = z2.(z – 1) – 2z.(z – 1) + 1.(z – 1) ⇒
⇒ (z – 1)3 = z2.z + z2.(–1) – 2z.z – 2z.(–1) + 1.z + 1.(–1) ⇒
⇒ (z – 1)3 = z3 – z2 – 2z2 + 2z + z – 1 ⇒
⇒ (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1
Logo, temos:
(z – 1)2= z2 – 2z + 1
(z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1
Substituindo tudo na equação abaixo:
x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒
⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0 ⇒
⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3.( z2 – 2z + 1) + z – 1 – 1 = 0 ⇒
⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 +3.(-2z) + 3.1 + z – 2 = 0 ⇒
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⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 – 6z + 3 + z – 2 = 0 ⇒
⇒ z3 – 3z2+ 3z2 + 3z – 6z + z – 1 + 3 – 2 = 0 ⇒
⇒ z3 – 2z = 0
Repare que todos os termos da equação possuem z. Portanto, podemos colocar
o z em evidência:
⇒ z3 – 2z = 0 ⇒
⇒ z.(z2 – 2) = 0
Repare que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos são iguais a zero.
Portanto, na equação z.(z2 – 2) = 0, temos as seguintes opções:
z = 0
ou
z2 – 2 = 0 ⇒ z2 = 2 ⇒ z = 2± (repare que 2± elevado ao quadrado é
igual a 2).
Cuidado, pois achamos as raízes da equação transformada para z e a questão
pergunta as raízes para equação com a variável x. Contudo, sabemos que a
transformação foi x = z – 1.
Portanto, as raízes da equação x3 + 3x2 + x − 1 serão:
z = 0 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 0 – 1 ⇒ x = – 1 
z = 2 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2 – 1 ⇒ x = 2 – 1 
z = 2− ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2− – 1 ⇒ x = 2− – 1 
GABARITO: B
2.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1,
x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0)= −6. Nessas condições, f é dada por
(A) f(x) = x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
(B) f(x) = x3 + 4x2 –
19
2
x + 6
(C) f(x) = x4 – 8x2 + 13x – 6
(D) f(x) =
1
2
x3 + 4x2 –
19
2
x + 6
(E) f(x) =
1
2
x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
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Resolução 
 
Vamos verificar as informações da questão: Considere uma função polinomial
real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente.
Portanto, como vimos na teoria da matéria, se a função polinomial possui
zeros, significa que estes zeros são as raízes dessa função. Além disso, a
quantidade de zeros identifica o grau da função polinomial.
No caso da questão, há três zeros para a função (x = 1, x = 3 e x = 4). Logo,
esta é uma função de grau 3 (terceiro grau). Com isso, podemos representar a
função da seguinte maneira:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
A questão ainda fornece outra informação, que nos permite achar a variável d.
Veja: f(0) = −6. Substituindo x = 0 na equação, teremos:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒
⇒ f(0) = a.03 + b.02 + c.0 + d = – 6 ⇒
⇒ f(0) = d = - 6 ⇒ d = – 6 
 
Até o momento, temos a seguinte função: f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6
Para achar os demais termos, temos que substituir os valores das raízes na
função polinomial. Vejamos:
x = 1 é raiz da função polinomial ⇒ f(1) = 0 ⇒
⇒ f(1) = a.13 + b.12+ c.1 – 6 = 0 ⇒
⇒ a + b + c = 6 (I)
x = 3 é raiz da função polinomial ⇒ f(3) = 0 ⇒
⇒ f(3) = a.33 + b.32+ c.3 – 6 = 0 ⇒
⇒ 27a + 9b + 3c = 6 (II)
x = 4 é raiz da função polinomial ⇒ f(4) = 0 ⇒
⇒ f(4) = a.43 + b.42+ c.4 – 6 = 0 ⇒
⇒ 64a + 16b + 4c = 6 (III)
Portanto, temos um sistema de três equações e três incógnitas:
a + b + c = 6 (I)
27a + 9b + 3c = 6 (II)
64a + 16b + 4c = 6 (III)
Se multiplicarmos toda a equação (I) por 3, temos:
3a + 3b + 3c = 3.6 ⇒ 3a + 3b + 3c = 18 (IV)
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Fazendo (II) – (IV):
3a + 3b + 3c = 18 (IV)
27a + 9b + 3c = 6 (II)
27a + 9b + 3c – 3a – 3b – 3c = 6 – 18 ⇒
⇒ 27a – 3a + 9b – 3b + 3c – 3c = – 12 ⇒
⇒24a + 6b = – 12 (dividindo todos os termos por 6) ⇒
⇒ 4a + b = – 2 (V)
Na equação (III), os dois primeiros termos à esquerda da equação são
divisíveis por 16. Portanto, podemos colocar o 16 em evidência:
64a + 16b + 4c = 6 (III) ⇒ 4.16a + 16b + 4c = 6 ⇒
⇒ 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI)
Como achamos, em (V), que 4a + b = – 2, podemos substituir (V) em (VI):
⇒ 4a + b = – 2 (V)
⇒ 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) ⇒ 16.(– 2) + 4c = 6 ⇒
⇒ - 32 + 4c = 6 ⇒
⇒ 4c = 6 + 32 ⇒
⇒ 4c = 38 ⇒
⇒ c =
38
4
⇒
⇒ c =
19
2
Substituindo c em (I):
a + b + c = 6 (I) ⇒ a + b +
19
2
= 6 ⇒
⇒ a + b = 6 -
19
2
⇒ a + b =
2.6 19 12 19
2 2
− −
= ⇒
⇒ a + b =
7
2
−
(VII)
Agora, para achar a e b, podemos utilizar as equações (V) e (VII):
4a + b = – 2 (V)
a + b =
7
2
−
(VII)
Fazendo (V) – (VII):
⇒ 4a + b – a – b = – 2 – (
7
2
−
) ⇒
⇒ 4a – a = – 2 +
7
2
⇒
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⇒ 3a =
2.2 7
2
− +
⇒
⇒ 3a =
4 7
2
− +
⇒
⇒ 3a =
3
2
⇒ a =
1
2
Com esses valores de a, c e d é possível verificar que a única alternativa
possível é a alternativa “e”.
(E) f(x) =
1
2
x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
Contudo, somente para conferir, vamos calcular o valor de b. Substituindo o
valor encontrado de a em (V):
4a + b = – 2 (V) ⇒ 4.
1
2
+ b = – 2 ⇒
⇒ 2 + b = – 2 ⇒
⇒ b = – 2 – 2 ⇒
⇒ b = – 4
Portanto, finalmente, chegamos ao resultado:
a =
1
2
; b = – 4; c =
19
2
e d = – 6
f(x) =
1
2
x3 – 4x2 +
19
2
x – 6
GABARITO: E
 
3.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração-
Maranhão-2009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo
polinômio T(x) = x – 2 é exata, então b é igual a
(A) 2(2+a)
(B) −2(1+2a)
(C) −2(2a−1)
(D) −2(a−2a)
(E) 2(1−2a)
Resolução 
 
Se a divisão de um polinômio P(x) por T(x) = x – 2 é exata, significa que 2 é
raiz de P(x), ou seja, P(2) = 0.
Portanto, se x = 2, P(2) = 0 ⇒
⇒ P(x) = ax3 + bx + 4 ⇒ P(2) = a.23 + b.2 + 4 = 0 ⇒
⇒ 8a + 2b + 4 = 0 ⇒ 2b = – 4 – 8a (dividindo todos os termos por 2) ⇒
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⇒ b = – 2 – 4a
Repare que os dois termos à direita da equação são divisíveis por – 2.
Portanto, podemos colocar o – 2 em evidência. Vejamos:
⇒ b = – 2 – 4a ⇒ b = (– 2).1 + (– 2).2a ⇒ b = – 2.(1 + 2a)
GABARITO: B
4.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-SP-
2009-FCC) A figura mostra parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax3 +
bx2 + cx + d, com a, b, c, d reais.
Nas condições dadas, b é igual a
(A) − 4.
(B) − 2.
(C) 0.
(D) 2.
(E) 4.
Resolução 
 
De acordo com a questão: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Verificando o gráfico, percebe-se que, quando x = 0 ⇒ f(x = 0) = 2
Portanto, substituindo x = 0 na função polinomial:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒
⇒ f(0) = a.03 + b.02 + c.0 + d = 2 ⇒
⇒ d = 2
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A função, até o momento é: f(x) = ax3 + bx2 + cx + 2
Além disso, conseguimos, a partir do gráfico, verificar que há duas raízes para
a função polinomial. Repare que, quando x = - 1, f(x = -1) = 0 e quando x =
1, f(x = 1) = 0. Portanto, substituindo estes valores na função polinomial:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒
⇒ f(-1) = a.(-1)3 + b.(-1)2 + (-1).0 + 2 = 0 ⇒
⇒ – a + b – c + 2 = 0 (I)
⇒ f(1) = a.13 + b.12 + 1.0 + 2 = 0 ⇒
⇒ a + b + c + 2 = 0 (II)
Se fizermos (I) + (II):
– a + b – c + 2 = 0 (I)
a + b + c + 2 = 0 (II)
– a + b – c + 2 + a + b + c + 2 = 0 ⇒
⇒ – a +a + b + b – c + c + 2 + 2 = 0 ⇒
⇒ 2b + 4 = 0 ⇒
⇒ 2b = – 4 ⇒
⇒ b = –
4
2
⇒
⇒ b = – 2 
GABARITO: B
5.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-
Teresina-2009-FCC) Admitindo-se x ≠ 0, quando multiplicamos x5, x +
1
x
e
1 +
2
x
+
3
3
x
, o produto será um polinômio de grau
(A) 2.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
 
Resolução 
 
Vamos por partes. Se multiplicarmos x5 por x +
1
x
, teremos:
x5.(x +
1
x
) = x5.x + x5.
1
x
= x5+1 + x5.x-1 = x6 + x5-1 = x6 + x4
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Lembrando que:
1
x
=
1
1
1
1 1
x
x x
−  = = 
 
Agora, se multiplicarmos x6 + x4 por 1 +
2
x
+
3
3
x
:
(x6 + x4). (1 +
2
x
+
3
3
x
) = x6.(1 +
2
x
+
3
3
x
) + x4.(1 +
2
x
+
3
3
x
) =
= x6.1 + x6.
2
x
+ x6.
3
3
x
+ x4.1 + x4.
2
x
+ x4.
3
3
x
Não é preciso continuar a conta, pois já é possível verificar que o maior grau
do polinômio resultante da multiplicação é 6 (referente ao termo x6). Contudo,
para fins didáticos, vamos achar o resultado:
Lembrando que:
1 1
t
t
t
x
x x
−  = = 
 
= x6 + x6. 2.x-1+ x6. 3.x-3+ x4 + x4. 2.x-1+ x4. 3.x-3 =
= x6+ 2.x6-1 + 3.x6-3+ x4 + 2.x4-1 + 3.x4-3=
= x6 + 2x5 + 3x3 + x4 + 2x3 + 3x =
= x6 + 2x5 + x4+ 5x3 + 3x ⇒ polinômio de grau 6. 
GABARITO: C
 
6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) A função polinomial f(x) = 2x3
+ ax2 + 17x − 6 encontra o eixo das abscissas em 3 pontos, sendo dois deles
(b,0) e (
1
b
, 0). Nessas condições, o valor de a é
(A) − 11
(B) − 9
(C) − 8
(D) 6
(E) 8
Resolução 
 
Ainda veremos funções, mas, para começar a nos acostumar com idéia, o eixo
das abscissas corresponde ao eixo dos x e o eixo da das ordenadas
corresponde ao eixo dos y.
Quando a função cruza o eixo das abscissas, y = 0. Por outrolado, quando a
função cruza o eixo das ordenadas, x = 0.
Além disso, um par ordenado possui a seguinte representação: (a, b), onde a
corresponde ao valor de x e b corresponde ao valor de y = f(x).
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Repare no gráfico do exercício 4:
Quando a função cruza o eixo das abscissas (eixo dos x), em x = - 1 e x = 1, y
= f(x) = 0. São as raízes da equação. Se fôssemos representar estes pontos
como pares ordenados, teríamos: (-1, 0) e (1, 0).
(-1, 0): x = -1 e y = 0; e
(1, 0): x = 1 e y = 0.
Por outro lado, quando a função cruza o eixo das ordenadas (eixo dos y), em y
= 2, x = 0. Se representássemos este ponto com par ordenado, teríamos:
(0, 2): x = 0 e y = 2.
Portanto, voltando a nossa questão, se a função polinomial é de grau 3, ela
possuirá três raízes. Duas das raízes foram informadas, tendo em vista que a
função encontra o eixo das abscissas (eixo dos x) em (b,0) e (
1
b
, 0).
Ou seja, para x = b, y = 0 e para x =
1
b
, y = 0.
Relembrando a aula anterior, podemos representar a função polinomial com
um produto de x - ri, onde ri são as raízes da função, multiplicado pelo valor do
primeiro termo, da seguinte forma:
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a1.x + a0= 0
Essa equação polinomial pode ser representada por:
P(x) = an.(x – r1).(x – r2).(x – r3)....(x – rn)
Onde r1, r2,..., rn são as raízes da equação.
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Como a função possui três raízes e conhecemos duas, vou representar as
raízes da equação como:
x1 = b; x2 =
1
b
e x3= c
f(x) = 2x3 + ax2 + 17x – 6, ou seja, o valor do termo x3 é igual a 2 (an).
Portanto, podemos representar a função polinomial como:
2.(x – b).(x –
1
b
).(x – c) = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
Multiplicando os dois primeiros termos (x – b).(x –
1
b
):
⇒ 2.[x.(x –
1
b
) – b.(x –
1
b
)].(x – c) = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
⇒ 2.[x.x + x.(–
1
b
) – b.x – b.(–
1
b
)].(x – c) = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
⇒ 2.[x2 –
1
b
x – b.x + 1].(x – c) = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
⇒ 2.[x2 – (
1
b
+ b).x + 1].(x – c) = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
⇒ 2.[x2.(x – c) – (
1
b
+ b).x.(x – c) + 1.(x – c)] = 2x3 + ax2 + 17x – 6 ⇒
⇒ 2.[x2.x – x2.c – (
1
b
+ b).x.x + (
1
b
+ b).x.c + 1.x – 1.c] = 2x3+ax2+17x–6
⇒ 2.[x3 – c.x2 – (
1
b
+ b).x2 + (
1
b
+ b).c.x + x – c] = 2x3+ ax2+ 17x – 6 ⇒
⇒ 2x3 – 2.[c + (
1
b
+ b)]x2 + 2.[1 + (
1
b
+ b).c]x – 2c = 2x3+ ax2+ 17x – 6
Igualando os termos das equações:
2x3 = 2x3 (ok)
– 2.[c + (
1
b
+ b)] = a (I)
2.[1 + (
1
b
+ b).c] = 17 (II)
– 2c = – 6 ⇒ c =
6
2
−
−
⇒ c = 3 (III)
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Substituindo c = 3 em (II):
2.[1 + (
1
b
+ b).c] = 17 ⇒
⇒ 2.[1 + (
1
b
+ b).3] = 17 ⇒
⇒ 2.1 + 2.(
1
b
+ b).3 = 17 ⇒
⇒ 2 + 6.(
1
b
+ b) = 17 ⇒
⇒ 6.(
1
b
+ b) = 17 – 2 ⇒
⇒ 6.(
1
b
+ b) = 15 ⇒ (dividindo os dois lados da igualdade por 3)
⇒ 2.(
1
b
+ b) = 5 ⇒
⇒ (
1
b
+ b) =
5
2
(IV)
Substituindo c = 3 e (
1
b
+ b) =
5
2
em (I):
– 2.[c + (
1
b
+ b)] = a (I) ⇒
⇒ – 2.(3 +
5
2
) = a ⇒
⇒ a = – 2.(
2.3 5
2
+
) ⇒
⇒ a = – 2.(
6 5
2
+
) ⇒
⇒ a = – 2.(
11
2
) ⇒
⇒ a = – 11
GABARITO: A
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7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) O conjunto solução da
desigualdade |2x− 5| < 2 é formado por valores reais de x tais que
(A) x <
3
2
(B) x >
3
2
(C) x <
7
2
(D) x <
3
2
ou x >
7
2
(E)
3
2
< x <
7
2
Resolução 
 
E aí? Você ainda se lembra do módulo ou valor absoluto de um número?
Vamos lá! Não pode podemos esquecer os conceitos principais! Relembrando:
O módulo ou valor absoluto de um número é a distância deste número ao 0.
Se x ≥ 0, então |x| = x
Se x < 0, então |x| = - x
Exemplos: 
x = 4 ⇒ |4| = 4
x = - 4 ⇒ |-4| = -(-4) = 4
Voltando à questão, temos a seguinte inequação: |2x− 5| < 2
Portanto, temos duas hipóteses:
I) 2x – 5 ≥ 0
Nessa hipótese: |2x – 5| = 2x – 5
Substituindo na equação: 2x – 5 < 2 ⇒ 2x < 2 + 5 ⇒ 2x < 7 ⇒ x <
7
2
I) 2x – 5 < 0
Nessa hipótese: |2x – 5| = -(2x – 5) = -2x + 5
Substituindo na equação: -2x + 5 < 2 ⇒ -2x < 2 – 5 ⇒ -2x < -3
Lembre que quando multiplicamos uma inequação por (-1), o sinal da
inequação inverte.
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Portanto, multiplicando -2x < -3 por -1:
(-1).(-2x) > (-1).(-3) ⇒ 2x > 3 ⇒ x >
3
2
Portanto, a solução da |2x− 5| < 2 é x >
3
2
e x <
7
2
ou:
2
3
< x <
7
2
GABARITO: E
8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) O gráfico representa uma
função do tipo f(x) = ax2 + bx + c.
A soma dos coeficientes a e b da equação da função é igual a
(A)
4
3
−
(B)
4
3
(C)
8
3
(D) 4
(E)
16
3
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Resolução 
 
Bom, do gráfico acima conseguimos “tirar” as seguintes informações:
Para y = 0, temos que x1 = -1 e x2 = 3 (são as raízes da equação).
Para x = 0¸temos que y = 4
Portanto, substituindo na função y = f(x) = ax2 + bx + c, teríamos:
f(x = 0) = 4 ⇒a.02 + b.0 + c = 4 ⇒ c = 4
Podemos resolver, a partir daqui, da seguinte maneira: lembra das relações de
Girard? Não. Então, vamos relembrar:
Relações de Girard:
b
a
= – (x1+ x2) ⇒ menos a soma das raízes
c
a
= x1.x2 ⇒ produto das raízes
Portanto, como temos as duas raízes da equação do segundo grau (x1 = -1 e
x2 = 3).
Qual seria o produto das raízes? x1.x2 = (-1).3 = -3
E este produto é igual a
c
a
. Como já sabemos que c = 4, fica fácil calcular o a:
c
a
= x1.x2 ⇒
4 4
3 4 3
3
a a
a
= − ⇒ = − ⇒ = −
Além disso, a soma das raízes é: x1+ x2= -1 + 3 = 2
E esta soma é igual a
b
a
. Como já conhecemos o a, fica fácil calcular o b:
b
a
= – (x1+ x2) ⇒
3 4.( 2) 8
2 . 2
4 4 3 3
3
b
b b b
− −
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
− −
A questão pede a soma de a com b:
a + b =
4 8 4
3 3 3
− + =
GABARITO: B
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9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Dada a função de equação f(x)
=
2
2
4 3
x
x x
−
− + −
, o conjunto dos valores de x, reais, para os quais f(x) ≥ 0 é
(A) 1 < x ≤ 2 ou x > 3
(B) x < −3 ou −1 < x < 2
(C) – 3 < x < − 1 ou x ≥ 2
(D) x < 1 ou 2 ≤ x < 3
(E) x ≤ 2 ou 1 < x ≤ 3
Resolução 
 
Repare que a função f(x) é uma fração, ou seja, ela será maior que zero
quando o numerador e o denominador forem maiores que zero; ou quando o
numerador e o denominador forem menores que zero. Além disso, será igual a
zero quando o numerador for igual o zero. Não entendeu? Vamos ver exemplos
numéricos.
0
0
4
=
(quando o numerador é zero, o resultado da divisão é zero).
4
1
4
+
= +
+
(quando o numerador é o denominador forem positivos, o resultado da divisão
é positivo).
4
1
4
−
= +
−
(quando o numerador é o denominador forem negativos, o resultado da divisão
é positivo).
Agora, para sabermos quando as funções são maiores ou menores que zero,
temos que achar as suas raízes. Vejamos:
I) Raiz de x – 2:
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
Portanto, esta função de primeirograu será maior que zero para x > 2, igual a
zero para x = 2 e menor que zero para x < 2.
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Veja o gráfico:
 
 
 
 
 
 
 
II) Raízes de –x2 + 4x – 3 = 0:
Fórmula de Bhaskara: 
ax2 + bx + c = 0
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −=
–x2 + 4x – 3 = 0
a = -1
b = 4
c = -3
22 4 4 4.( 1).( 3)4
2 2.( 1)
4 16 4.3 4 16 12 4 4 4 2
2 2 2 2
b b ac
x
a
x
− ± − − −− ± −
= = ⇒
−
− ± − − ± − − ± − ±
⇒ = = = =
− − − −
Podemos dividir o númerador e o denominador por 2:
x =
2 1
1
− ±
−
Portanto, as raízes possíveis são:
x1 =
2 1 1
1
1 1
− + −
= =
− −
x2 =
2 1 3
3
1 1
− − −
= =
− −
Além disso, como a é menor que zero (a = -1) a parábola tem concavidade
para baixo.
x
y = f(x) = x - b
2
y
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Finalmente, para que f(x) =
2
2
4 3
x
x x
−
− + −
seja maior o igual a zero, temos as
seguintes possibilidades:
I) Numerador igual a zero: x – 2 = 0 ⇒ x = 2
II) Numerador e denominador maiores que zero:
x – 2 > 0 ⇒ x > 2
-x2 + 4x + -3 > 0 ⇒ 1 < x < 3
Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam maiores
que zero ao mesmo tempo, temos que 2 < x < 3. Veja:
Portanto, ambos são maiores que zero para 2 < x < 3.
III) Numerador e denominador menores que zero:
x – 2 < 0 ⇒ x < 2
-x2 + 4x + -3 < 0 ⇒ x < 1 ou x > 3
Como a condição é que os dois (numerador e denominador) sejam menores
que zero ao mesmo tempo, temos que x < 1. Veja:
Portanto, ambos são menores que zero para x < 1.
x
y
y = f(x) = -x2 + 4x + -3, a < 0
1 < x < 3 ⇒ y > 0
x < 1 ou x > 3 ⇒ y < 0
x = 1 ou x = 3 ⇒ y = 0
1 3
2
x – 2 > 0
1 3
-x2 + 4x + -3 > 0 
2
x – 2 < 0
1 3
-x2 + 4x + -3 < 0 
-x2 + 4x + -3 < 0 
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Juntando todas as soluções possíveis, teríamos:
x = 2
2 < x < 3
x < 1
Ou, escrevendo de outra forma: x < 1 ou 2 ≤ x < 3 
GABARITO: D
10.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Dada a função f(x) =
3
1x −
e
f(g(x)) =
6
5x −
, o resultado de g(1) é igual a
(A) – 1
(B)
1
2
(C) 2
(D)
7
2
(E) 4
Resolução 
 
Mais uma questão de função composta. Vejamos:
f(x) =
3
1x −
Para acharmos f(g(x)) temos que substituir o x, na função f(x), por g(x):
f(g(x)) =
3
( ) 1g x −
(I)
Além disso, a questão da informou que:
f(g(x)) =
6
5x −
(II)
Portanto, (I) deve ser igual a (II) e, deste modo, poderemos achar g(x):
3 6
( ) 1 5g x x
=
− −
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Se multiplicarmos em cruz: [g(x) – 1].6 = 3.(x – 5) ⇒
⇒ g(x).6 – 1.6 = 3x + 3.(-5) ⇒
⇒ 6.g(x) – 6 = 3x – 15 ⇒
(como todos os termos da igualdade são divisíveis por 3, dividirei tudo por 3)
⇒2.g(x) – 2 = x – 5 ⇒
⇒ 2.g(x) = x – 5 + 2 ⇒
⇒2.g(x) = x – 3 ⇒
⇒ g(x) =
3
2
x −
Como a questão pede g(1), basta substituir x por 1 na equação acima:
g(1) =
1 3 2
1
2 2
− −
= = −
GABARITO: A
11.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-Maranhão-2005-FCC) Se f(3x + 2) = x – 1, então
f(x) é igual a
(A)
1
2
(B)
5
3
x −
(C)
3
3
x −
(D) 2x + 3
(E) – 3x + 2
Resolução 
 
Nesta questão, só temos o valor “já simplificado” de f(3x + 2) = x – 1.
Lembra se questão anterior? Nós tínhamos f(x) e, para calcular f(g(x)),
substituímos x por g(x).
Agora, não temos o termo em g(x), que, no nosso caso, seria igual a 3x + 2,
mas podemos chegar nele. Como? Veja:
Vamos partir de f(3x + 2) = x – 1.
Repare que o nosso g(x) é 3x + 2. Portanto, um primeiro passo seria
multiplicarmos tudo por 3, pois, deste modo, chegaríamos ao termo 3x.
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Contudo, para não alterar o resultado, temos que multiplicar e dividir os
termos por 3 Vejamos:
g(x) = 3x + 2
f(g(x)) = x – 1 ⇒
3 3 1.3 3 3
( ( )) ( 2).
3 3 3
x x
f g x x
− −
= − = =
Agora precisamos obter o termo +2 de g(x). Para obtermos +2, temos que
somar 5 ao -3. Para não alterar o valor da igualdade, devemos somar e
subtrair 5 no numerador. Vejamos:
3 3 5 5 (3 2) 5
( ( ))
3 3
x x
f g x
− + − + −
= =
Portanto, chegamos a nossa função f(3x + 2) e, por conseqüência, f(x) será:
f(3x + 2) =
(3 2) 5
3
x + −
Substituindo y = 3x + 2 por x:
f(x) =
5
3
x −
GABARITO: B
12.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) Dadas as equações
E1: |4 − 3x| = 3 − 5x
E2: |2x2 – 1| − 3 = 0
o produto de suas raízes reais é igual a
(A)
7
16
−
(B)
7
8
(C) 1
(D)
1
2
(E)
7
4
−
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Resolução 
 
Novamente, uma questão com equações em módulo.
Vamos achar as raízes da equação E1?
E1: |4 − 3x| = 3 − 5x
Hipótese 1:
Se 4 – 3x > 0, então |4 − 3x| = 4 – 3x
Neste caso, teríamos: 4 – 3x = 3 – 5x ⇒ – 3x + 5x = 3 – 4 ⇒
⇒ 2x = – 1 ⇒ x =
1
2
−
Hipótese 2:
Se 4 – 3x < 0, então |4 − 3x| = – (4 – 3x) = – 4 + 3x
Neste caso, teríamos: – 4 + 3x = 3 – 5x ⇒ 3x + 5x = 3 + 4 ⇒
⇒ 8x = 7 ⇒ x =
7
8
Vamos achar as raízes da equação E2?
E2 : |2x2 – 1| − 3 = 0
Hipótese 1:
Se 2x2 – 1 > 0, então |2x2 – 1| = 2x2 – 1
Neste caso, teríamos: 2x2 – 1 – 3 = 0 ⇒ 2x2 – 4 = 0 ⇒
⇒ 2x2 = 4 ⇒ x2 =
4
2
⇒ x2 = 2 ⇒ x = 2±
Hipótese 2:
Se 2x2 – 1 < 0, então |2x2 – 1| = – (2x2 – 1) = – 2x2 + 1
Neste caso, teríamos: – 2x2 + 1 – 3 = 0 ⇒– 2x2 – 2 = 0 ⇒
⇒ 2x2 = – 2 ⇒ x2 =
2
2
−
⇒ x2 = – 1 ⇒ x = 1± −
Esta equação não possui raízes reais, visto que não há um número real x que
seja uma raiz quadrada de um número negativo. Esta equação teria raízes
complexas, que será assunto de aula posterior.
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Portanto, o produto das raízes reais das equações seria:
21 7 1 7 2 ( 2) 1 7 ( 2) 7 2 7
2 ( 2)
2 8 2 8 2 8 2 8 8
− − × × × − × × ×
× × × − = = = =
× × ×
Repare que, no numerador, há um número par de sinais negativos, fato que
torna o numerado positivo.
GABARITO: B
13.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) Se r(x) é o resto da divisão do polinômio (x20 + 3x17 – x2 – x – 1)
por (x2 – 1), então r(2) vale:
(A) −3
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Resolução 
 
Bom, primeiramente, temos que lembrar que: (x2 – 1) = (x + 1).(x – 1)
Lembra? a2 – b2 = (a + b).(a – b). É, sou chato mesmo. Vou repetir até você
guardar. Risos.
No caso, a = x e b = 1.
Também temos que lembrar que:
I) O grau de r(x) é menor que o grau de g(x). 
II) O resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao valor 
numérico de f em para x = a.
 
Portanto, o como o divisor do polinômio é de grau 2 (x2 – 1), o resto r(x) deve
ser de grau 1.
Se considerarmos que o resto r(x) = ax + b, temos:
I) Se r´(x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x20 + 3x17 – x2 – x – 1)
por (x + 1), então r(-1) = f(–1), pois o resto da divisão de um polinômio f por
x – a é igual ao valor numérico de f em para x = a.
r(–1) = a.(–1) + b = f(–1) = (–1)20 + 3.(–1)17 – (–1)2 – (–1) – 1 ⇒
⇒ – a + b = 1 + 3.(–1) – 1 + 1 – 1 ⇒
⇒ – a + b = – 3 (I)
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Repare que:
(–1) elevado a um número par é igual a 1.
Exemplo: (–1)20 = 1
(–1) elevado a um número ímpar é igual a –1.
Exemplo: (–1)21 = –1
 
II) Se r´´(x) é o resto da divisão do polinômio f(x) = (x20 + 3x17 – x2 – x – 1)
por (x – 1), então r(1) = f(1), pois o resto da divisão de um polinômio f por x
– a é igual ao valor numérico de f em para x = a.
r(1) = a.1 + b = f(1) = 120 + 3.117 – 12 – 1 – 1 ⇒
⇒ a + b = 1 + 3.1 – 1 – 1 – 1 ⇒
⇒ a + b = 1 (II)
– a + b = – 3 (I)
a + b = 1 (II)
Fazendo (I) + (II), temos:
– a + b + a + b = – 3 + 1 ⇒ 2b = – 2 ⇒ b = – 1
Substituindo o valor de b em (II): a + b = 1 ⇒ a – 1 = 1 ⇒ a = 1 + 1 ⇒
⇒ a = 2
Portanto, o resto r(x) = ax + b será: r(x) = 2x – 1
Como a questão pede o r(2): r(2) = 2.2 – 1 ⇒ r(2) = 4 – 1 ⇒ r(2) = 3
GABARITO: E
 
14.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SE-
2005-FCC) A raiz da equação 2.2x-3 + 2x = 6 é um número a, tal que
(A) 0<a<1
(B) 1<a<2
(C) 2<a<3
(D) 3<a<4
(E) 4<a<5
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Resolução 
 
A questão forneceu a seguinte equação: 2.2x-3 + 2x = 6
Vamos simplificá-la um pouco:
2.2x-3 + 2x = 6 ⇒
3
2 2 2
2. 2 6 2. 2 6 2 6
2 8 4
2 4 2 4.2 5.2
2 . 6 6 6
4 4 4 4
x x x
x x x
x x x x
x
⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒
+
⇒ + = ⇒ = ⇒ =
Se multiplicarmos em cruz: 5 . 2x = 4 . 6 ⇒ 5 . 2x = 24 ⇒
⇒ 2x =
24
5
⇒ 2x = 4,8
Como 22 = 4 e 23 = 8, para que 2x seja igual a 4,8, que é menor 8 e maior que
4, x deve ser um número entre 2 e 3. Portanto, 2<x<3.
GABARITO: C
15.(Professor de Matemática-Sesi/SP-2004-FCC) No conjunto dos
números reais a inequação 0
x b
a x
+
≥
−
tem por conjunto solução {x ∈ R / − 3 ≤
x < 4} . Os valores de a e b são, respectivamente,
(A) − 3 e − 4
(B) − 3 e 4
(C) 3 e 4
(D) 3 e − 4
(E) 3 e − 3
Resolução 
 
Para que a inequação 0
x b
a x
+
≥
−
seja maior ou igual a zero, temos as seguintes
hipóteses:
I) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador deve ser igual a zero,
ou seja:
x + b = 0 ⇒ x = −b
II) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador
devem ser maiores que zero.
x + b > 0 ⇒ x > −b
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a – x > 0 ⇒ - x > - a (multiplicando ambos os lados por –1, o sinal da
desigualdade inverte) ⇒
⇒ x < a
Uma outra opção de resolução seria “passar” o –x para o lado direito da
desigualdade. Vejamos:
a – x > 0 ⇒ a > x ⇒ x < a (se a é maior que x, então x é menor que a).
III) Para que a inequação seja igual a zero, o numerador e o denominador
devem ser menores que zero.
x + b < 0 ⇒ x < −b
a – x < 0 ⇒ - x < - a (multiplicando ambos os lados por –1, o sinal da
desigualdade inverte) ⇒
⇒ x > a
Uma outra opção de resolução seria “passar” o –x para o lado direito da
desigualdade. Vejamos:
a – x < 0 ⇒ a < x ⇒ x > a (se a é menor que x, então x é maior que a).
Ou seja, temos as seguintes soluções:
x = −b (I)
x > −b (II)
x < a (III)
x < −b (IV)
x > a (V)
A questão já informa que o conjunto solução da equação é:
{x ∈ R / − 3 ≤ x < 4}
Portanto, pela solução x deve ser maior ou igual a –3. Com isso, pode-se
deduzir, como em (I) x = -b e em (II) x > - b, que x deve ser maior ou igual a
–b.
Logo:
x ≥ - 3
x ≥ - b
então b = 3.
Além disso, pela solução x deve ser menor que 4. Com isso, pode-se deduzir,
como em (III) x < a, que x deve ser menor que a.
Logo:
x < 4
x < a
então a = 4.
GABARITO: C
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16.(PUC-RS) Dado o polinômio p(x) = xn + xn-1 + ... + x + 1, onde n é ímpar,
o valor de p(-1) é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Resolução 
 
Sabe-se que:
(–1) elevado a um número par é igual a 1.
Exemplo: (–1)20 = 1
(–1) elevado a um número ímpar é igual a –1.
Exemplo: (–1)21 = –1
Em relação à questão:
p(x) = xn + xn-1 + ... + x + 1, onde n é ímpar
Repare que:
I) Se n = 1 ⇒ p(x) = x + 1
p(-1) = -1 + 1 = 0
II) Se n = 3 ⇒ p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1 = -1 + 1 – 1 + 1 = 0
III) Se n = 4 ⇒ p(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)5 + (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1 = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
Portanto, para n ímpar, p(x) = 0.
GABARITO: C
17.(PUC-MG) O polinômio p(x) = x3 – 5x2 + px + 2, é divisível por x + 2. O
valor de p é:
(A) -15
(B) -13
(C) -8
(D) 8
(E) 13
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Resolução 
 
Vamos relembrar:
O resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual ao valor 
numérico de f em para x = a. Portanto, se f(x) é divisível por x – a, o 
resto é zero e f(a) = 0. 
Se o polinômio p(x) = x3 – 5x2 + px + 2, é divisível por x + 2, então:
p(-2) = 0.
P(-2) = (-2)3 – 5.(-2)2 + p.(-2) + 2 = 0 ⇒
⇒ – 8 – 5.4 – 2.p + 2 = 0 ⇒
⇒ – 8 – 20 + 2p + 2 = 0 ⇒
⇒ – 26 – 2p = 0 ⇒
⇒ 2p = – 26 ⇒
⇒ p =
26
2
−
⇒
⇒ p = – 13 
GABARITO: B
18.(PUC-MG) Na função f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2, f(a) = f(b) = f(-1). O valor
de a + b é:
(A) 0,5
(B) 1,0
(C) 1,5
(D) 2,5
(E) 3,0
Resolução 
 
Como f(a) = f(b) = f(-1), vamos calcular, inicialmente, o valor de f(-1):
f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 ⇒ 
⇒ f(-1) = 2.(-1)3 – 3.(-1)2 – 3.(-1) + 2 ⇒ 
⇒ f(-1) = 2.(-1) – 3.1 + 3 + 2 ⇒ 
⇒ f(-1) = - 2 – 3 + 3 + 2 ⇒ 
⇒ f(-1) = 0
Portanto, se f(-1) é igual a zero, -1 é raiz de f(x). Como f(a) = f(b) = f(-1),
então a e b também são raízes de f(x).
A questão pede a + b. Olha as nossas relações de Girard novamente!
f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
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a = 2
b = -3
c = -3
d = 2
As raízes da equação são:
r1 = -1
r2 = a
r3 = b
Das relações de Girard, temos:
b
a
=
3
2
−
= – (r1 + r2 + r3) ⇒
3
2
= r1 + r2 + r3 ⇒
⇒
3
2
= - 1 + a + b ⇒ a + b =
3
2
+ 1 ⇒
⇒ a + b =
3 2 3 2 5
1.
2 2 2 2
+
+ = = ⇒ a + b = 2,5
Viu! Não podemos esquecer as relações de Girard.
GABARITO: D
19.(UF-RS) Se o polinômio p(x) possui três raízes distintas a, b e c, o produto
p(x).p(x) terá como raízes:
(A) a2, b2, c2
(B) a, - a, b, - b, c, -c
(C) a, b, c
(D) 2a, 2b, 2c
(E) ab, ac, bc
Resolução 
 
Se o polinômio p(x) possui raízes a, b e c, podemos representá-lo da seguinte
maneira:
p(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0 (é de grau 3, pois possui três raízes).
P(x) = a3.(x – r1).(x – r2).(x – r3) = a3.(x – a).(x – b).(x – c)
Onde r1, r2,..., rn são as raízes da equação.
Se fizermos a multiplicação de p(x) por ele mesmo, teremos:
p(x).p(x) = a3.(x – a).(x – b).(x – c). a3.(x – a).(x – b).(x – c) ⇒
⇒ p(x).p(x) = a3.a3.(x – a).(x – a).(x – b).(x – b).(x – c).(x – c) ⇒
⇒ p(x).p(x) = a32.(x – a)2.(x – b)2.(x – c)2
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Para acharmos as raízes de p(x).p(x), devemos igualar o polinômio a zero:
p(x).p(x) = a32.(x – a)2.(x – b)2.(x – c)2 = 0
Repare que para a expressão acima seja igual, temos:
x – a = 0 ⇒ x = a 
x – b = 0 ⇒ x = b 
x – c = 0 ⇒ x = c 
Portanto, as raízes de p(x).p(x) também são a, b e c. 
GABARITO: C
20.(Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x3 – 3x2 + 9x – 2 = 0. Então
o valor de
2 2 2
1 1 1
a b c
+ + é igual a:
(A)
69
4
(B)
48
3
−
(C)
86
3
(D)
35
4
−
(E)
59
4
Resolução 
 
E aí? O que você acha que vou utilizar nesta questão? É. São elas novamente:
as equações de Girard.f(x) = x3 – 3x2 + 9x – 2 = 0
p(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0
Raízes: a, b, c
Relações de Girard:
2
3
3
3
1
a
a
−
= = − = – (a + b + c) ⇒ 3 = a + b + c (I)
1
3
9
9
1
a
a
= = = ab + bc + ac (II)
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0
3
2
2
1
a
a
−
= = − = – a.b.c ⇒ 2 = a.b.c (III)
A questão pede para calcular o valor de
2 2 2
1 1 1
a b c
+ + .
Vamos igualar os denominadores. O m.m.c de a2, b2 e c2 é a2. b2.c2.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 . 1 . 1 .
. . .
. . .
. . .
. .
b c a c a b
a b c a b c b a c c a b
b c a c a b
a b c
+ + = + + =
+ +
=
Bom, da relação (III), temos que a.b.c = 2.
Portanto, a2.b2.c2 = (a.b.c)2 = 22 = 4
Até agora, temos:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 . . .
4
b c a c a b
a b c
+ +
+ + =
Mas como iremos “achar” b2.c2 + a2.c2 + a2.b2? Não temos este valor
claramente. Aqui, temos que fazer uma “mágica”. Vejamos!
Da relação (II), temos: ab + bc + ac = 9
Se elevarmos ao quadrado os dois lados da equação, não alteramos a
igualdade:
(ab + bc + ac)2 = 92 ⇒ (ab + bc + ac).(ab + bc + ac) = 81 ⇒
⇒ ab.(ab + bc + ac) + bc.(ab + bc + ac) + ac.(ab + bc + ac) = 81 ⇒
⇒ ab.ab + ab.bc + ab.ac + bc.ab + bc.bc + bc.ac + ac.ab + ac.bc + ac.ac =
81 ⇒
⇒ a2.b2 + ab.bc + ab.ac + ab.bc + b2.c2 + ac.bc + ab.ac + ac.bc + a2.c2 = 81
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 + 2.ab.bc + 2.ab.ac + 2.ac.bc = 81 ⇒
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 + 2.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) = 81 ⇒
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 81 – 2.(ab.bc + ab.ac + ac.bc) ⇒
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Repare que nos três termos ab.bc + ab.ac + ac.bc aparece uma vez abc.
Portanto, podemos colocar abc em evidência:
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 81 – 2.a.b.c.(b + a + c) ⇒
Da relação (I), temos que: a + b + c = 3
Da relação (II), temos que: a.b.c = 2
Substituindo os valores das relações (I) e (II) na expressão acima:
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 81 – 2.a.b.c.(b + a + c) ⇒
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 81 – 2.2.3 ⇒
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 81 – 12 ⇒
⇒ a2.b2 + b2.c2 + a2.c2 = 69
Portanto:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 . . . 69
4 4
b c a c a b
a b c
+ +
+ + = =
Essa foi para encerrar a aula com chave de ouro!!!
GABARITO: A
Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
moraesjunior@pontodosconcursos.com.br
Alexandre Lima
ablima@ablima.pro.br
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Bibliografia 
 
ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo. Nobel,
2002.
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