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quilos, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se 
distribuírem esses 7 kg de feijão para essas famílias será igual a 
a) 30. 
Guilherme Neves
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b) 120. 
c) 330. 
d) 820. 
e) 1.320. 
Comentário 
Para facilitar o raciocínio, imagine que há 7 sacos com 1kg de feijão cada. 
Há 4 famílias disponíveis e devemos escolher o destino de cada um dos 7 sacos de feijão. 
É importante notar que a ordem das famílias escolhidas não importa. Além disso, cada família 
pode ser escolhida mais de uma vez. Exemplo: 
𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶𝐴 
Nas duas situações acima, a família A receberá 3kg de feijão, a família B receberá 2kg de feijão e 
a família C receberá 2 kg de feijão (a família D receberá 0kg). 
Juntando as peças: há 4 famílias disponíveis e devemos escolher qual família receberá cada um 
dos 7 sacos de feijão (deveremos fazer 7 escolhas). Além disso, a ordem das famílias não importa 
(logo, devemos usar combinações) e cada família pode ser escolhida mais de uma vez (logo, 
devemos usar combinação com repetição). 
Assim, o total de maneiras de se distribuírem os 7kg de feijão é: 
𝐶𝑅Xo = 𝐶XLoqMo = 𝐶MYo 
Lembre-se que 𝐶MYo = 𝐶MYJ . Logo, a resposta é: 
𝐶MYJ =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
 
A situação descrita no enunciado pode ser perfeitamente modelada pelo exemplo da prateleira 
que utilizei na teoria sobre combinações completas. 
Imagine que temos 7 sacos de 1 kg de feijão. Queremos distribuí-los para ATÉ 4 famílias. Isso 
quer dizer que alguma família pode ficar sem feijão. 
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O que vamos fazer? Vamos construir uma prateleira com divisórias móveis. Nessa prateleira, 
teremos 3 divisórias, pois queremos distribuir os sacos de feijão entre 4 famílias. 
Vou representar cada saco de feijão por uma bolinha. Observe. 
 
Percebeu o porquê de serem 3 divisórias? Com 3 divisórias, a prateleira fica dividida em 4 
regiões. 
Vamos agora colocar 7 bolinhas, que correspondem aos sacos de feijão. 
 
Na configuração acima, a primeira família recebeu 2kg de feijão, a segunda família recebeu 1 kg 
de feijão, a terceira família recebeu 4kg de feijão e a quarta família ficou sem feijão. 
Para distribuir os sacos de feijão, eu posso movimentar tanto os sacos de feijão (as bolinhas) 
quanto as divisórias (os traços). Vou movimentar duas bolinhas, por exemplo. 
 
 
Veja que eu vou movimentar agora a segunda divisória para a direita. 
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Assim, podemos reorganizar a distribuição dos sacos movimentando os traços ou as bolinhas. 
Portanto, o total de maneiras de distribuir os 7 kg de feijão em até 4 famílias é o total de 
permutação de 10 objetos (7 bolinhas e 3 traços), sendo que temos repetição de 7 bolas e 3 
traços. 
𝑃MY
o,J =
10!
7! 3! = 
 
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!
7! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
720
6 = 120 
 
Poderíamos, entretanto, interpretar o problema sob outra ótica. 
 
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 as quantidades em quilogramas de feijão recebidas por cada uma das famílias. 
Sabemos que esses números são inteiros (de acordo com o enunciado). 
Além disso, esses números não podem ser negativos (mas podem ser zero). 
Finalmente, sabemos que a quantidade total de quilogramas de feijão é 7. Logo, 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 7 
 
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O enunciado pode então ser reescrito da seguinte forma: quantas são as soluções inteiras não-
negativas da equação 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 7? 
 
Havíamos visto que a resposta desse problema é 𝐶𝑅Xo. 
 
Assim, podemos interpretar 𝐶𝑅K
j de duas maneiras: 
• É a quantidade de maneiras de selecionar 𝑝 objetos, distintos ou não, entre 𝑛 objetos 
dados (a ordem dos objetos não é relevante). 
• É o número de soluções inteiras não-negativas da equação 𝑥M + 𝑥N + ⋯+ 𝑥K = 𝑝. 
 
Como a equação 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 7 possui 4 incógnitas, então 𝑛 = 4. Logo, o número de soluções 
inteiras não-negativas dessa equação é 𝐶𝑅Xo = 120. 
 
 
(CESPE 2011/SEDUC-AM) 
A equação 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟖 possui mais de 200 soluções inteiras e não negativas. 
Comentário 
Há 3 incógnitas; logo, 𝑛 = 3. O número de soluções inteiras não-negativas da equação é 
 
𝐶𝑅K
j = 𝐶𝑅JMA = 𝐶JLMAqMMA 
 
= 𝐶NYMA 
 
= 𝐶NYN 
 
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=
20 ∙ 19
2 ∙ 1 
 
= 190 
Gabarito: Errado 
 
 
Exemplo: Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5? 
Comentário 
Como são 3 incógnitas, então 𝑛 = 3. Logo, o número de soluções inteiras não-negativas dessa 
equação é 
𝐶𝑅JI = 𝐶JLIqMI = 𝐶oI 
Lembre-se que 𝐶oI = 𝐶oN. Logo, a resposta é: 
𝐶oN =
7 ∙ 6
2 ∙ 1 = 21 
Resposta: 21 
 
 
 
(CESPE 2010/EMBASA) 
Suponha que uma empresa irá sortear 3 passagens aéreas para um curso de formação. O sorteio 
será realizado entre os 8 setores dessa empresa, e, se um setor for premiado, o chefe do setor 
contemplado indicará um funcionário para participar do evento. Em relação a esse sorteio, 
julgue os itens que se seguem. 
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Se um setor puder ser contemplado até duas vezes, então haverá 112 resultados distintos 
possíveis para esse sorteio. 
Comentário 
Comecemos pelo primeiro item. 
Sejam 𝑥M, 𝑥N, 𝑥J, … , 𝑥A as quantidades de passagens que cada setor receberá. Como são 3 
passagens sorteadas, então: 
𝑥M + 𝑥N + 𝑥J + 𝑥X + 𝑥I + 𝑥B + 𝑥o + 𝑥A = 3 
Observe que essas incógnitas só podem ser números inteiros não-negativos. 
Como são 8 incógnitas, temos que n = 8. O total de soluções inteiras não-negativas é 
𝐶𝑅AJ = 𝐶ALJqMJ = 𝐶MYJ =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
Entretanto, há uma restrição nesse problema. Cada setor só pode ser contemplado até duas 
vezes. Assim, devemos os casos em que as incógnitas são iguais a 3. Por exemplo, não queremos 
o caso em que 𝑥M = 3	e todas as outras incógnitas são iguais a 0. São 8 casos a excluir (quando 
cada incógnita é igual a 3). 
Assim, o total de possibilidades é 120 – 8 = 112. 
Gabarito: Certo 
Exemplo: Quantas são as soluções inteiras positivas de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10? 
Comentário 
Cuidado com a pegadinha do malandro! 
Nos problemas anteriores, poderíamos assumir valor 0 para alguma das incógnitas. Nessa 
questão, queremos que todos as incógnitas sejam positivas! 
Existe uma maneira de transformar esse problema no anterior: basta fazer uma mudança de 
incógnita. 
Façamos 
𝑥 = 𝑎 + 1 
𝑦 = 𝑏 + 1 
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𝑧 = 𝑐 + 1 
Dessa maneira, se 𝑎 = 0, 𝑥 = 1, ou seja, se 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 forem iguais a zero, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 serão iguais a 1. 
A equação fica: 
𝑎 + 1EGH
�
+ 𝑏 + 1EGH
�
+ 𝑐 + 1EGH
�
= 10 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7 
Resumindo: a quantidade de soluções inteiras positivas da equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10 equivale à 
quantidade de soluções inteiras não-negativas de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7. 
Outra maneira intuitiva de chegar a esse resultado é o seguinte. Como queremos soluções 
positivas, ou seja, como queremos que cada incógnita assuma pelo menos o valor 1, então já 
colocamos 1 unidade para cada incógnita. Como a soma deve ser 10 e já “demos” 1 unidade 
para cada incógnita,

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