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− Cada senha, do sistema de senhas K, é formada por três letras vogais seguidas de dois 
algarismos diferentes. 
− Cada senha, do sistema de senhas L, é formada por uma letra dentre as dez primeiras 
consoantes, seguida por duas letras vogais diferentes e ainda seguidas por dois algarismos 
diferentes dentre os oito primeiros algarismos. 
Quanto ao número de senhas diferentes possíveis, a ordenação crescente desses três sistemas é 
(A) K;L;J. 
(B) J;L;K. 
(C) J;K;L. 
Guilherme Neves
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211 
 
(D) L;K;J. 
(E) K;J;L. 
Comentário 
• Sistema J 
Há 10 possibilidades para cada letra e 5 possibilidades para cada algarismo (pois os algarismos 
são ímpares). 
10 × 10 × 5 × 5 × 5 = 12.500	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠	𝑠𝑒𝑛ℎ𝑎𝑠 
• Sistema K 
Há 5 possibilidades para cada uma das 3 letras, 10 possibilidades para o primeiro algarismo e 9 
opções para o segundo algarismo, já que os algarismos são diferentes. 
5 × 5 × 5 × 10 × 9 = 11.250	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠	𝑠𝑒𝑛ℎ𝑎𝑠 
• Sistema L 
Há 10 possibilidades para a primeira letra, 5 possibilidades para a segunda letra (vogal), 4 
possibilidades para a terceira letra (vogal diferente), 8 possibilidades para o primeiro algarismo e 
7 possibilidades para o próximo algarismo (algarismo diferente). 
10 × 5 × 4 × 8 × 7 = 11.200 
 
O sistema com menos senhas é o sistema L. O sistema com mais senhas é o sistema J. 
Em ordem crescente do número de senhas, temos L, K, J. 
Gabarito: D 
 
103. (CONSULPLAN 2017/TRF 2ª Região) 
Bruna mora longe de seus pais e deseja escolher 3 meses de um mesmo ano para visitá-los, 
sendo que os dois primeiros deles devem ser do primeiro semestre do ano e não consecutivos; o 
outro mês deve ser qualquer um a partir de agosto. De quantas maneiras Bruna poderá efetuar 
a escolha dos meses em que visitará seus pais? 
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212 
 
A) 18. 
B) 32. 
C) 50. 
D) 60. 
Comentário 
Vamos escolher dois meses do primeiro semestre e 1 mês do segundo semestre. Vamos calcular 
a quantidade de possibilidades para escolher os dois meses do primeiro semestre, calcular a 
quantidade de possibilidades para escolher o mês do segundo semestre e vamos multiplicar os 
resultados. 
Há 6 meses no primeiro semestre e vamos escolher 2. 
𝐶BN =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 15 
Entretanto, esses dois meses não podem ser consecutivos. Assim, vamos excluir as seguintes 
opções: 
- Janeiro e Fevereiro 
- Fevereiro e Março 
- Março e Abril 
- Abril e Maio 
- Maio e Junho 
Vamos excluir, portanto, 5 possibilidades. Assim, há 15 – 5 = 10 maneiras de escolher 2 meses 
não consecutivos do primeiro semestre. 
Para o terceiro mês, devemos escolher qualquer mês a partir de agosto (Agosto, Setembro, 
Outubro, Novembro ou Dezembro). Há 5 possibilidades. 
Pelo princípio multiplicativo, o total de possibilidades é 10 × 5 = 50. 
Gabarito: C 
 
104. (CETRO 2012/PM-SP) 
Simplificando (𝒏L𝟒)!
(𝒏q𝟑)!
∙ (𝒏q𝟐)!
(𝒏L𝟑)!
, obtém-se 
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a) 𝑛N + 2𝑛 − 8 
b) 𝑛N − 2𝑛 + 8 
c) 𝑛N − 2𝑛 − 8 
d) 𝑛N + 2𝑛 + 8 
Comentário 
Observe que (𝑛 + 4)! = (𝑛 + 4)(𝑛 + 3)! e que (𝑛 − 2)! = (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)!. 
(𝑛 + 4)!
(𝑛 − 3)! ∙
(𝑛 − 2)!
(𝑛 + 3)! =
(𝑛 + 4)(𝑛 + 3)!
(𝑛 − 3)! ∙
(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)!
(𝑛 + 3)! = 
 
= (𝑛 + 4)(𝑛 − 2) = 𝑛N − 2𝑛 + 4𝑛 − 8 = 𝑛N + 2𝑛 − 8 
Gabarito: A 
 
105. (CETRO 2012/PM-SP) 
Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia deveriam ter 3 algarismos 
seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de placas diferentes 
será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
Comentário 
Há 10 possibilidades para cada um dos 3 algarismo e 24 possibilidades para cada uma das 4 
letras. Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de placas é igual a 
10 × 10 × 10 × 24 × 24 × 24 × 24 = 331.776.000 
Gabarito: C 
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106. (IDECAN 2014/AGU) 
Observe a figura. Quantos caminhos diferentes há para ir de A até B, andando sobre as linhas da 
grade e sempre nos sentidos das setas x e y? 
 
a) 28 
b) 120 
c) 330 
d) 360 
e) 720 
Comentário 
Chamaremos de D cada passo para a direita e C cada passo para cima. 
Observe o seguinte caminho: 
 
O caminho acima pode ser representado por DDDDDDDCCCC. 
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O caminho acima pode ser representado por CCCCDDDDDDD. 
Observe mais um caminho que pode ser percorrido. 
 
O caminho acima pode ser representado por DDCDCCDDDCD. 
Mais um exemplo de um possível caminho, que será representado por CCDDCDDCDDD. 
 
Em suma, estamos permutando 4 letras “C” e 7 letras “D”, o que pode ser feito de: 
𝑃MM
X,o =
11!
4! 7! =
11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 7! =
11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 330	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Gabarito: C 
 
 
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107. (FGV 2018/MPE-AL) 
Em uma reunião há 9 pessoas, das quais 6 se conhecem mutuamente e as outras 3 não 
conhecem nenhuma das outras pessoas presentes à reunião. As pessoas que se conhecem, se 
cumprimentam com um abraço e, as pessoas que não se conhecem, se cumprimentam com um 
aperto de mão. 
Todas as pessoas presentes à reunião se cumprimentaram mutuamente. 
Assinale a opção que indica o número de apertos de mãos que foram dados. 
a) 21. 
b) 20. 
c) 18. 
d) 15. 
e) 12. 
Comentário 
Precisamos escolher 2 pessoas que não se conhecem. Isso pode ser feito de duas formas: 
i) Escolher 2 pessoas entre as 3 que não conhecem nenhuma das outras pessoas. 
ii) Escolher 1 pessoa entre as 3 que não conhecem nenhuma das outras pessoas e 
escolher 1 pessoa do grupo de 6. 
 
Vamos agora calcular o número de possibilidades para cada uma dessas formas. 
 
i) Há 3 pessoas disponíveis e vamos escolher 2. Observe que quando A aperta a mão de B, B 
também aperta a mão de A. Portanto, a ordem não é relevante. Vamos utilizar combinação. 
𝐶JN =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 = 3 
 
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217 
 
ii) Há 3 pessoas disponíveis no grupo das que não conhecem outras pessoas e vamos escolher 1 
delas. Há 6 pessoas disponíveis no outro grupo e também vamos escolher uma. O total de 
possibilidades é 
 
𝐶JM ∙ 𝐶BM = 3 ∙ 6 = 18 
O total de possibilidades é 3 + 18 = 21. 
 
Vamos resolver de outra forma. Queremos calcular o total de apertos de mão. Um aperto de mão 
é sempre composto por 2 pessoas. Assim, há 9 pessoas disponíveis e queremos escolher 2 delas. 
𝐶�N =
9 ∙ 8
2 ∙ 1 = 36 
O problema é que contamos apertos de mãos demais. Há alguns que não nos interessa. Quais 
não estamos interessados? Não queremos apertos de mãos entre pessoas que se conhecem. 
Assim, vamos excluir os apertos de mãos entre os 6 conhecidos. 
𝐶BN =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 15 
Portanto, os apertos de mão que queremos totalizam 36 – 15 = 21. 
Gabarito: A 
 
108. (FGV 2017/IBGE) 
Em um encontro de 12 pessoas, 8 delas se conhecem mutuamente e cada uma das outras 4 não 
conhece nenhuma das pessoas presentes ao encontro. Pessoas que se conhecem mutuamente 
se cumprimentam com um abraço e pessoas que

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