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o número 5 em 3 fatores: 5 x 4 x 3. 
Aqui faremos o mesmo, só que vamos expandir “para cima”: 5 x 6 x 7. 
𝐶𝑅IJ =
5 ∙ 6 ∙ 7
3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
 
 
Guilherme Neves
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Exemplo: De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em uma loja onde há 3 tipos de 
refrigerante? 
Comentário 
Este exemplo é muito parecido com o anterior. Entretanto, no problema anterior, havia 5 tipos 
de refrigerante e queríamos comprar 3 latas. 
Agora são 3 tipos de refrigerante e queremos comprar 5. 
Como são 3 tipos de refrigerante, precisamos de 2 divisórias para separar as marcas. 
Assim, iremos permutar ao todo 5 + 2 = 7 objetos com repetição de 5 e de 2. 
𝑃o
I,N =
7!
5! ∙ 2! =
7 ∙ 6 ∙ 5!
5! 2 ∙ 1 =
7 ∙ 6
2 ∙ 1 = 21 
Vamos resolver o mesmo problema com a dica da combinação completa. São 3 tipos de 
refrigerante. Portanto, n = 3. Queremos selecionar 5 objetos. Portanto, p = 5. 
𝐶𝑅JI 
 
A combinação completa pode ser trocada por uma combinação simples. 
𝐶𝑅JI = 𝐶JLIqMI 
 
= 𝐶oI 
 
= 𝐶oN 
 
=
7 ∙ 6
2 ∙ 1 
 
= 21 
Resposta: 21 
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(IBADE 2019/IF-RO) Um restaurante oferece cinco pratos típicos da culinária regional. Paulo 
comprará almoço para três amigos nesse restaurante. De quantas maneiras ele pode realizar 
essa compra? 
a) 55 
b) 50 
c) 45 
d) 40 
e) 35 
Comentário 
Há 5 pratos disponíveis e Paulo comprará 3 pratos. A ordem dos pratos não é relevante. Logo, 
utilizaremos combinações. Além disso, pode haver pratos repetidos. Portanto, usaremos 
combinação com repetição (combinação completa). O total de maneiras é 
 
𝐶𝑅IJ 
 
Lembre-se que, no símbolo 𝐶𝑅K
j, 𝑛 é a quantidade de classes de objetos que você tem à sua 
disposição e 𝑝 é a quantidade de objetos que serão selecionados. No exemplo acima, há 5 tipos 
de pratos disponíveis (𝑛 = 5) e queremos escolher 3 pratos (𝑝 = 3). 
 
Vamos agora utilizar a relação 𝐶𝑅K
j = 𝐶KLjqM
j para calcular a quantidade pedida. 
 
𝐶𝑅IJ = 𝐶ILJqMJ = 𝐶oJ =
7 ∙ 6 ∙ 5
3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
Gabarito: E 
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10. PARTIÇÕES 
 
Muita atenção neste tópico, pois é uma excelente ferramenta em Análise Combinatória que te 
ajudará ganhar tempo em muitas questões. Vamos trabalhar as partições ordenadas e não-
ordenadas. 
Vamos primeiro entender o que é uma partição de um conjunto. Normalmente, nos problemas 
de Análise Combinatória, teremos conjuntos de pessoas. Vou explicar então com um conjunto de 
pessoas para ficar mais fácil. 
Imagine que temos um conjunto formado por 7 pessoas. Se queremos dividir esse conjunto de 7 
pessoas em subconjuntos disjuntos (que não possuem elemento em comum), obteremos uma 
partição. 
Por exemplo, imagine que queremos dividir esse conjunto de 7 pessoas em 3 subconjuntos: um 
com 3 pessoas, outro com 2 pessoas e outro com 2 pessoas. Pronto, acabamos de obter uma 
partição. 
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 = {𝐴𝑛𝑎, 𝐵𝑖𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐷𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎, 𝐹𝑙á𝑣𝑖𝑎, 𝐺𝑎𝑏𝑟𝑖𝑒𝑙𝑎} 
Exemplo de partição: 
{𝐵𝑖𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎}; {𝐴𝑛𝑎, 𝐷𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒}; {𝐹𝑙á𝑣𝑖𝑎, 𝐺𝑎𝑏𝑟𝑖𝑒𝑙𝑎} 
 
Se a ordem entre esses conjuntos é relevante, a partição é chamada de partição ordenada. Se a 
ordem não é relevante, a partição é denominada partição não-ordenada. 
 
As partições ordenadas são as mais importantes em questões de concursos. Por quê? 
Porque normalmente as pessoas de cada subconjunto terão funções específicas na situação-
problema de tal forma que a ordem dos conjuntos será relevante. 
 
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Exemplo: Há 7 engenheiros envolvidos em um projeto. Queremos dividir os 7 engenheiros em 2 
subconjuntos: 4 deles serão os responsáveis pelo planejamento do projeto e 3 serão 
responsáveis pela execução do projeto. Temos aqui uma partição ordenada, porque cada 
subconjunto tem um papel diferente na situação-problema. 
 
Por outro lado, há situações em que a ordem dos conjuntos não é relevante (partições não-
ordenadas). Nunca vi essa situação em prova de concurso. 
Exemplo: Há 10 crianças que vão jogar futebol. Dividir as crianças em dois times de 5. Aqui 
temos uma partição não-ordenada, porque a ordem dos times não é relevante. 
 
10.1. Partições ordenadas 
Observe a seguinte questão: 
(CESPE 2019/COGE-CE) 
Em determinado órgão, sete servidores foram designados para implantar novo programa de 
atendimento ao público. Um desses servidores será o coordenador do programa, outro será o 
subcoordenador, e os demais serão agentes operacionais. 
Nessa situação, a quantidade de maneiras distintas de distribuir esses sete servidores nessas 
funções é igual a 
a) 21. 
b) 42. 
c) 256. 
d) 862. 
e) 5.040. 
Comentário 
O problema acima ilustra perfeitamente a situação de uma partição ordenada. Há 7 pessoas e 
queremos dividi-las em 3 subconjuntos: um deles com 1 pessoa (o coordenador), outro com 1 
pessoa (o subcoordenador) e outro com 5 pessoas (os agentes operacionais). 
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Normalmente, os livros resolvem esse tipo de problema assim: 
Há 7 pessoas disponíveis e precisamos escolher 1 coordenador. Podemos escolher de 𝐶oM =
7	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠. 
 
Sobraram 6 pessoas disponíveis. Devemos agora escolher 1 subcoordenador. Podemos escolher 
de 𝐶BM = 6	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠. 
 
Sobraram 5 pessoas. Devemos escolher 5 agentes operacionais. Podemos escolher de 𝐶II = 1 
maneira. 
 
Como há ordem entre os subconjuntos (1 deles é o coordenador, o outro é o subcoordenador, e 
os restantes são agentes operacionais), a partição é ordenada. Não estou dizendo que existe 
ordem entre os elementos dos subconjuntos. Existe ordem entre os subconjuntos! 
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades é 7 × 6 × 1 = 42. 
 
Poderíamos também ter começado escolhendo os agentes operacionais. 
Há 7 pessoas disponíveis e precisamos escolher 5 agentes operacionais. Podemos escolher de 
𝐶oI = 21 maneiras. 
Sobraram 2 pessoas. Dessas duas pessoas, precisamos escolher 1 coordenador. Podemos 
escolher de 𝐶NM = 2 maneiras. 
Sobrou 1 pessoa. Precisamos escolher o subcoordenador. Podemos escolher de 𝐶MM = 1 maneira. 
Pelo princípio fundamental da contagem, podemos distribuir os servidores nas funções de 
21 × 2 × 1 = 42 maneiras. 
 
Vamos agora aprender o pulo do gato: a grande dica que te fará ganhar muito tempo nessas 
questões. 
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Há 7 pessoas e queremos dividi-las em 3 subconjuntos com 1 pessoa (o coordenador), 1 pessoa 
(o subcoordenador) e 5 pessoas (os agentes operacionais). Vamos simbolizar essa quantidade de 
partições da seguinte forma: 
k 71, 1, 5l 
A expressão acima é conhecida como “coeficiente multinomial”. 
Pois bem, como calculamos? É muito fácil. A resposta será uma fração. No numerador, 
colocamos o fatorial de 7, que é o fatorial do conjunto original de pessoas. No denominador, 
colocamos os fatoriais das quantidades de elementos dos subconjuntos (fatoriais de 1, 1, e 5). 
k 71, 1, 5l =
7!
1! 1! 5! =
7 ∙ 6 ∙ 5!
5! = 7 ∙ 6 = 42 
Muito fácil, não? 
 
O número de partições ordenadas de 𝑛 objetos em 𝑘 subconjuntos com 𝑛M, 𝑛N, … , 𝑛� 
elementos, respectivamente, é 
k
𝑛
𝑛M, 𝑛N, … , 𝑛�l

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